板的屈曲理论在钢构件设计中的应用与思考

板的屈曲理论在钢构件设计中的应用与思考

作者：Running

在钢结构中板的厚度与另外两个方向的尺寸相比较小，在某些维度方向上刚度大而在其他维度方向上刚度小，从而导致了在面内受压或温升作用下板容易发生屈曲失稳，降低结构的承载能力。当施加在平板的面内荷载（如单向受力、双向受力、剪切载荷等）较小时板会处于平衡状态，而当载荷增加到一定程度时这种平衡状态将会被打破，平板将不再保持平整的形状而是开始变得不稳定。临界屈曲荷载即为平衡状态被打破时施加在板上的最小载荷。板的屈曲理论在钢结构厂房、桥梁、船舶和海洋平台等工程结构中有着极为广泛的应用。

1 板的屈曲理论

1.1板的小挠度理论

板的小挠度弹性理论认为，板屈曲时板的挠度远小于其厚度，而中面（平分板的厚度且与板的两个面平行的平面）在板屈曲时产生的薄膜拉力是微不足道的，因而作理论分析时可忽略不计。

薄板的小挠度弯曲理论，是以三个计算假设为基础的

1，板很薄，微元体上的应力σz ，τzx 和τzy 远小于应力σx ，σy 和τxy ，由此产生的正应变εz 和剪应变γzx 与γzy 都可忽略不计。εz =0，可用板中面的挠度代表沿厚度方向任何一点挠度；

2，与板的厚度相比，垂直于中面的挠度是微小的，这样一来，可以忽略中面因弯曲变形伸长而产生的薄膜力，这样微元体两侧的中面力相同N x =p x ，N y =p y ，N xy =p xy ；

3，板为各向同性弹性体，应力与应变关系服从虎克定律。

薄板的小挠度问题是按位移求解的，其基本未知函数是薄板的挠度ω。因此把其它所有物理量都用ω来表示，即可得到板的常系数四阶偏微分方程：

D (ð4ωðx 4+2ð4ωðx 2ðy 2+ð4ωðy 4)=N x ð2ωðx 2+2N xy ð2ωðxðy +N y ð2ωðy 2(1.1) 1.2板的大挠度理论

当板边缘的支承构件具有较大的刚度时，有时板的屈曲应力虽不很高，但屈曲以后并不破坏，板的强度有很大潜力可以发挥。板的挠度将继续发展到相当大的数值，在发展挠度的过程中，板的应力将出现重分布，板的中面会产生相当大的薄膜拉力。板中的应力重分布和薄膜拉力的出现可延缓挠度的发展，实际上对板起着支持作用，从而大大提高板的承载力，使其远远超过板的分岔屈曲荷载。

对于有刚强侧向支撑的板，凸曲后板的中面会产生薄膜效应，从而会产生薄膜应力。如果在板的一个方向有外力作用而凸曲时，在另一个方向的薄膜应力会对它产生支持作用，从而增强板的抗弯刚度，进而提高板的强度，这种屈曲后的强度提高陈为屈曲后强度。

由于板在屈曲后的挠度与厚度相比已经不再是一个小的数量，而且在单向均

匀外荷载作用下中面力不再是常量，在非荷载作用的方向也同时产生了中面力，为此需要按照大挠度理论研究薄板的屈曲后强度。薄板的大挠度方程组为以挠度ω和应力函数F为变量的力平衡方程和变形协调方程

ð4ωðx4+2

ð4ω

ðx2ðy2

+

ð4ω

ðy4

=

t

D

(

ð2F

ðy2

×

ð2ω

ðx2

+

ð2F

ðx2

×

ð2ω

ðy2

−2

ð2F

ðxðy

×

ð2ω

ðxðy

)(1.2)ð4F

ðx4

+2

ð4F

ðx2ðy2

+

ð4F

ðy4

=E[(

ð2ω

ðxðy

)

2

−

ð2ω

ðx2

×

ð2ω

ðy2

](1.3)

1.3板的弹塑性屈曲理论

对于不太薄的板，当按照弹性屈曲的计算公式得到的屈曲应力超过了材料的比例极限后，板将在弹塑性状态屈曲。从理论上讲，屈曲应力不仅与材料的切线模量有关，而且还与割线模量有关。对于有残余应力的板，屈曲应力还与残余应力有关。

薄板的弹塑性屈曲有4个基本假定

1，材料为各向同性体；

2，按小变形理论，不计板屈曲时的中面薄膜力；

3，板屈曲时不发生应变的反向变化；

4，塑性的应力和应变关系遵循形变理论的计算假定。

2 板的屈曲理论在钢构件设计中的应用

钢结构大型梁、柱等构件，通常都由板件焊接（或铆接）而成。在建设过程中，为了节省材料，板件通常宽而薄。然而，薄板在面内压力作用下可能发生失稳，并由此导致整个构件的承载力下降。另外，在构件连接的节点构造中，也存在板件失稳的可能性。因此，对板件屈曲失稳和失稳后性态的研究是钢结构设计中的一个重要问题。

板可以按照其厚度分为厚板、薄板和薄膜3种。设板的最小宽度为b，厚度

为t。一般来说，当t

b >1

5

~1

8

时称为厚板，这时板内的横向剪力引起的剪切变形与

弯曲变形大小同阶，分析时不能忽略剪切变形的影响；当1

80~1

100

b

<1

5

~1

8

时称

为薄板，此时板内的横向剪力产生的剪切变形与弯曲变形相比很微小，可以忽略

不计；当板极薄，t

b <1

80

~1

100

时称为薄膜，薄膜没有抗弯刚度，靠薄膜拉力与横

向荷载平衡。工字形截面构件的翼缘和腹板以及冷弯薄壁型钢中的板件均可看作薄板。

针对板的受力性能特点及在构件中起到的作用，对构件中板件的设计，表现在对板件宽厚比的规定。目前在工程应用上，有两种不同的考虑方法，一种是保证板的屈曲荷载不低于构件的极限荷载，即保证构件在整体失稳前不会发生局部失稳；另一种则是允许板件屈曲并发展屈曲后的强度。

2.1轴心受压构件中板件的局部稳定设计

对于具有柔薄板件、其宽厚比b/t超过0.45√E/f y（单角钢）或0.56√E/f y（轧制翼缘）和其高厚比ℎ0/t w超过1.49√E/f y（焊接箱形截面腹板）或1.40√E/f y（轧

制腹板）的柔薄截面轴心受压构件，决定构件的设计承载力P u时，应按照ANSI/AISC360-2010的规定，将极限强度根据截面的应力和有效面积进行折减。板的屈曲应力与宽厚比的关系曲线如图2.1所示，可以用简化的近似法确定板件的塑性屈服应力值。

图 2.1 板件屈曲应力与相对宽厚比的相关曲线

图2.2为一工字形截面轴心受压构件发生局部失稳时的变形形态示意图，左图表示腹板失稳时的变形，右图表示翼缘失稳时的变形。

图 2.2 轴心受压构件的局部失稳

判断究竟是翼缘约束腹板还是腹板约束翼缘，需要视两者的宽厚比而定。当考虑组成构件的板件之间的相互约束作用，可得到板件临界应力的一般公式为：

σcr=√ηχkπ2E

(2)

(

t

)

2

(2.1)

式中

k——屈曲系数。

χ——板边缘的弹性约束系数。如图2.2所示轴心受压柱的腹板可以认为是两非加载侧边支承于翼缘的均匀受压板，翼缘对腹板存在一定的弹性约束作用。

η——弹性模量折减系数。当按照弹性屈曲计算得到的板的屈曲应力超过了

材料的比例极限后，板将在弹塑性状态屈曲，应考虑弹性模量的折减，引入系数η=E t/E。根据轴心受压构件局部稳定的试验结果，可取

η=0.1013λ2(1−

0.0248λ2f y

E)f y

E

(2.2)

局部失稳验算考虑要保证板件的局部失稳临界应力不小于构件整体稳定的临界应力，即

√ηχkπ2E 12(1−μ2)(

t

b

)

2

≥φf y(2.3)

式中，φ为轴心受压柱的整体稳定系数。

2.1.1工字形截面翼缘宽厚比b/t

由于工字形截面的腹板一般较翼缘板薄，腹板对翼缘板几乎没有嵌固作用，因此翼缘可视为三边简支一边自由的均匀受压板，屈曲系数k=0.425，弹性约束系数x=1.0，由式(2.3)可以得到翼缘板悬伸部分的宽厚比b/t与长细比λ的关系曲线，为了便于应用，采用下列简单的直线关系

b t ≤(10+0.1λ)√

235

f y

(2.4)

式中，λ为构件两个方向长细比的较大值。当λ<30时，取λ=30；当λ>100时，取λ=100。

2.1.2工字形截面腹板高厚比h0/t w

腹板可视为四边支承板，屈曲系数k=4。当腹板发生屈曲时，翼缘板作为腹板纵向边的支承，对腹板起一定的弹性嵌固作用，这种嵌固作用可以提高板的临界应力。根据试验，可取弹性约束系数x=1.3，由式（2.3），经简化后得到腹板高厚比ℎ0/t w的限值公式

ℎ0 t w ≤(25+0.5λ)√

235

f y

(2.5)

式中，λ为构件两个方向长细比的较大值，取值规定与翼缘的相同。

2.2受弯构件中板件的局部稳定设计

组合梁一般由翼缘和腹板等板件组成，如果这些板件不适当地减薄加宽，板中压应力或剪应力达到某一数值后，腹板或受压翼缘有可能偏离其平面位置，出现波形鼓面，如图2.3所示，这种现象称为梁局部失稳。

图 2.3 梁局部失稳

热轧型钢由于轧制条件，其板件宽厚比铰小，都能满足局部稳定要求，不需要计算。对冷弯薄壁型钢梁的受压或受弯板件，宽厚比不超过的限值时，认为板件全部有效；当超过此限值时，则只考虑一部分宽度有效，按现行《冷弯薄壁型钢结构技术规范》计算。

2.2.1受压翼缘的局部稳定设计

梁的受压翼缘受均布压应力作用，如图2.4。为了充分发挥材料强度，翼缘的合理设计是采用一定厚度的钢板，让其临界应力σcr不低于钢材的屈服强度f y，从而保证翼缘不先丧失稳定。一般采用限制宽厚比的方法来保证受压翼缘板的稳定性。

图 2.4 梁的受压翼缘板

由板件临界应力的一般公式（2.1），梁的受压翼缘悬伸部分，为三边简支板而板长a趋于无穷大的情况，屈曲系数取0.425，支承翼缘板的腹板一般较薄，对翼缘板没有起到什么约束作用，因此弹性约束（嵌固）系数取 1.0。取系数η=E t/=0.25，并将E=2.06×105N/mm2和μ=0.3代入公式（2.1），由条件σcr≥f y得

b

≤13√235

y

(2.6)

当梁在绕强轴的弯矩作用下的强度按弹性设计时，宽厚比可放宽为：

b t ≤15√

235

f y

(2.7)

箱形梁翼缘板在两腹板之间的部分，相当于四边简支单向均匀受压板，弹性约束（嵌固）系数取1.0，屈曲系数为4，弹性模量折减系数取0.25，代入临界应力公式，有：

b0 t ≤40√

235

f y

(2.8)

2.2.2腹板的局部稳定设计

为了提高腹板的稳定性，可增加腹板的厚度，也可设置加劲肋。后一种措施比较经济。

梁腹板加劲肋的布置形式如图2.5所示。图2.5a仅布置横向加劲肋，图2.5b、2.5c同时布置横向加劲肋和纵向加劲肋，图2.5d除布置横向加劲肋、纵向加劲肋外，还设置短加劲肋。横、纵向加劲肋交叉处，切断纵向加劲肋，让横向加劲肋贯通，并尽可能使纵向加劲肋两端支承于横向加劲肋上。

图 2.5 腹板加劲肋的布置

梁的加劲肋和翼缘使腹板成为若干四边支承的矩形板区格，这些区格一般受弯曲正应力、剪应力，有时还有局部压应力。横向加劲肋主要防止由剪应力和局部压应力可能引起的腹板失稳；纵向加劲肋主要防止由弯曲压应力可能引起的腹板失稳；短向加劲肋主要防止由局部压应力可能引起的腹板失稳。梁腹板的主要作用是抗剪，而剪应力最容易引起腹板失稳，因此，三种加劲肋中最常采用横向加劲肋。

对于腹板的局部稳定设计，应根据规范布置加劲肋，计算各区隔板的各种应力和临界应力，使其满足稳定条件。

2.3压弯构件中板件的局部稳定设计

为了保证压弯构件中板件的局部稳定，规范采用了同轴心受压构件相同的方法，限制翼缘和腹板的宽厚比及高厚比。

2.3.1翼缘的宽厚比

压弯构件的受压翼缘板，其应力情况与梁受压翼缘基本相同，因此其自由外伸宽度与厚度之比以及箱形截面翼缘在腹板之间的宽厚比均与梁受压翼缘的宽厚比相同。

2.3.2腹板的宽厚比

压弯构件在轴心压力、弯矩和剪力的共同作用下，如果构件失稳时腹板仍处于弹性状态，腹板受力如图2.6所示。

图 2.6 压弯构件中的腹板受力

1)工字形截面的腹板

工字形截面腹板的受力状态如图2.7所示。在平均剪应力τ和不均匀正应力σ的共同作用下，临界条件为

[1−(α0

)

5

]

σ1

cr1

+(

α0

)

5

(

σ1

cr1

)+(

τ

cr

)

2

≤1.0(2.9)图 2.7 偏心受压工字形截面柱的腹板

对压弯构件，腹板中的剪应力τ的影响不大，但不能忽略剪应力的影响。经分析，平均剪应力τ可取腹板弯曲应力σM的0.3倍。可得腹板弹性屈曲临界应力

σcr=K e

π2E

12(1−μ2)

(

t w

ℎ0

)

2

(2.10)

式中，K e为弹性屈曲系数，其值与应力梯度有关。

由式(2.10)得到的临界应力只适用于弹性状态屈曲的板，压弯构件失稳时，截面的塑性变形将有不同程度的发展。腹板的塑性发展深度与构件的长细比板的应力梯度有关。

2)T形截面的腹板

当α0≤1.0时，T形截面腹板中压应力分布不均与的有利影响不大，其宽厚比限值采用与翼缘板相同；当α0>1.0时，此有利影响较大，故可放宽此限值。

3)箱形截面的腹板

考虑两腹板受力可能不一致，而且翼缘对腹板的约束因常为单侧角焊缝也不如工字形截面的，因而箱形截面的腹板高度比限值取为工字形截面腹板的0.8倍。

4)圆管截面

一般圆管截面构件的弯矩不大，故其直径与厚度之比的限值与轴心受压构件相同。

3 关于板的屈曲理论及应用的思考

板的平衡方程属于二维偏微分方程，除了均匀受压的四边简支的理想矩形板可以直接求解其分岔屈曲荷载外，对于其他受力条件和边界条件的板，用平衡法很难求解。可以用能量法（如瑞利-里兹法、伽辽金法）或者数值法（如差分法、有限元法等）求解屈曲荷载，在弹塑性阶段，用数值法可以得到精度很高的板屈曲荷载。按照小挠度理论分析只能得到板的分岔屈曲荷载，而按照有限挠度理论，或称为大挠度理论分析才能得到板的屈曲后强度和板的挠度。

当薄腹板受压、受弯和兼受这两种力作用时，如要提高板的临界应力就必须配置纵向加劲肋（压应力作用线平行的加劲肋），横向加劲肋对此不起作用，因为只有纵向加劲肋才能减小板的宽厚比。支承条件不同的板，板的屈曲系数也不同，支承边转动约束越大，板的屈曲系数也会越大。

在钢结构设计中，对工字形截面受弯构件而言，由荷载所产生的弯矩主要由翼缘承担，腹板主要承担剪力，腹板的抗弯作用远小于翼缘，而增大腹板的高度可显著提高翼缘的抗弯能力，因此采用高（宽）厚比较大的腹板，往往会获得最佳的经济效益。虽然采用较大的高（宽）厚比会使腹板超过按小挠度理论确定的局部稳定限值，引起腹板的局部屈曲，但不能断定构件丧失了承载能力，事实上反而有较大的屈曲后强度可以利用。采用较宽的截面尺寸既能提高构件的抗弯刚度，又可以补偿板件屈曲后对构件极限荷载降低的影响。

对轻钢结构，可以充分利用截面腹板屈曲后强度，尽量使用截面高而窄的构件；对于刚架柱的设计，在允许有必要的隅撑情况下，可以利用腹板屈曲后强度，考虑到平面外稳定，截面不宜做得太高；利用框架柱腹板屈曲后强度，节点板域周边为其提供了连续的支承作用，当某一支承边失去约束，将导致板域失效。用加劲肋加强的板域，其抗剪承载力和吸能耗能能力与延性明显提高。利用屈曲后强度时，应严格限制翼缘板的宽厚比，使其对节点板域的周边具有足够的约束能力。