三次求根公式
三次求根公式
三次求根公式是数学中应用非常广泛的一种方法，它可以用来解决一元三次方程的根。三次求根公式是17th世纪著名的法国数学家卡尔·卢梭研究出来的。
三次求根公式的基本原理是：一元三次方程的根与其根的多项式的三次幂的系数有关。即，给定一元三次方程的系数：ax3+bx2+cx+d=0，其解是：
x1 = (-b+√b2-4ac)/2a
x2 = (-b-√b2-4ac)/2a
x3 = c/a-bx1-cx2/a
上面的公式是三次求根公式的基本形式，它可以用来解决一元三次方程的根。
三次求根公式具有许多优点，尤其是在解决一元三次方程时，它比其他解法更加简单，更加容易理解，也更加精确。此外，它对于求解复杂的方程也有一定的帮助，可以将复杂的方程简化，从而得出更加精确的结果。
除了解决一元三次方程的根，三次求根公式还可以用来解决多元方程的根，并且可以用来解决一元多项式的根。因此，三次求根公式
在数学中的应用是非常广泛的。
总之，三次求根公式是一种非常有用的数学方法，它可以用来解决一元三次方程的根，以及多元方程和一元多项式的根。它可以将复杂的方程简化，从而得出更加精确的结果，从而给我们带来更多的方便。
一元三次方程的求根公式及其推导
一元三次方程的求根公式及其推导 有三个实数根。有三个零点时，当有两个实数根。 有两个零点时，当有唯一实数根。有唯一零点时，当。，有两实根，为，则方程若有唯一实数根。 有唯一零点有一实根，则方程若有唯一实数根。 有唯一零点没有实根，则方程若实数根的个数。 点的个数即方程零即方程则设实数根的判定： 程即可。 因此，只需研究此类方的特殊形式即公式化为均可经过移轴 三次方程由于任一个一般的一元0)()(0)1281(81 1)()(0)()(0)1281(81 1)()(0)()(0)1281(81 1)()(3 3: 0)(0)3(0)()(0)(,0).2(0)()(0)(',0).1(0)(,00)(,)(.1,0,0)2792()3)(39()3(0)3272()3)(3()3(032323221''3333233232323=?<+=?=?=+=?=?>+=?--==- ===<=?===?=>=++=++=++==++=+-++-++=+-++-++=+++x F x F p q F F x F x F p q F F x F x F p q F F p x p x x F p x F x F x F p x F x F x F p q px x x F q px x x F q px x x F q px x D A ABC B B Ax AB AC B Ax D A BC A B A B x A B C A B x A D Cx Bx Ax βαβαβαβα
33 2332323233 232332313223 2132323 233333333333333333333333233233232321281121086 1128112108610)1281(81 1)27(41281121086112811210861181281918128190)1281(81 1)27(4027 27,3)(300)(33)(3)(.1.200128100128100128112810)1281(81 10)0.(0.p q q p q q x p q p q p q q a B p q q a A B A p q q a p q q a p q p q p qa a B A q B A p B A q B A p AB q B A p AB q px x B A ABx x ABx B A B A AB B A B A x B A x B A B A B A x q px x p q q px x p q q px x p q p q p q p q p q p +--+++-=≤+=--?? ???+--==++-==??? ????+--=++-=>+=--=-+?????-=+-=?? ????????-=+-==+-=-=++=+--++=+++=+=+=+==++<+=?=++=+=?=++>+=?+=?>+≥式，为： 实数根的方程的求根公上方法只能导出有一个）。故由以，小于零时会出现虚数等于零时只能解出一个但却又无法直接解出（二或三个实数根，，虽然我们清楚方程有若判别式顺序，则有，如果不考虑。则有，若判别式的两根。为一元二次方程，易知，。，即可令， 对比。 即有， 故， 由于。 ，就是设法求出下面的工作为两个待定的代数式。，的形式。其中，程的求根公式应为了一元三次方根公式的归纳，我得到及特殊一元高次方程求一元一次，一元二次以得到。通过对出的，通常由归纳思维式由演绎推理是很难解一元三次方程的求根公实根式的推导： ）（求根公式的推导： 有三个实数根。 时，方程有两个实数根。 时，方程有唯一实数根。 时，方程，则有以下结论：。令一定有时，，则当时方程很容易求解同时为不同时为为研究方便，不妨设
一元三次方程求根公式推导
一元三次方程求根公式推导 推导一元三次方程的求根公式可以基于维尔斯特拉斯方程，该方程是一个带参数的三次方程，具有一根已知解。我们将在推导的过程中应用维尔斯特拉斯方程。下面是详细的推导步骤： 1.令y=x-α，其中α是一个待定常数。将y代入原一元三次方程，并进行变形，得到新的方程a(y+α)^3+b(y+α)^2+c(y+α)+d=0。 展开并对y进行整理，得到 a(y^3+3αy^2+3α^2y+α^3)+b(y^2+2αy+α^2)+c(y+α)+d=0。 2. 对表达式进行分组，得到 (ay^3 + by^2 + cy + d) + 3α(ay^2 + by + c) + 3α^2(ay + b) + α^3a + α^2b + αc + d = 0。 3. 根据原一元三次方程的定义，ay^3 + by^2 + cy + d = 0，因此第一项为 0，可以消去。 4. 对剩下的表达式控制进行整理，得到3α(ay^2 + by + c) + 3α^2(ay + b) + α^3a + α^2b + αc + d = 0。 5. 接下来，我们需要选择α 的值，使得3α(ay^2 + by + c) + 3α^2(ay + b) + α^3a + α^2b + αc + d = 0 中的二次项系数为 0。 令3α(ay^2 + by + c) + 3α^2(ay + b) = 0，消去α，并整理表达式，得到ay^2 + (2aα + b)y + α(ay + b) + c = 0。 6.根据二次项系数为0的条件，2aα+b=0，解得α=-b/(2a)。 7. 将α 的值代入到原一元三次方程中，得到a(y+α)^3 + b(y+α)^2 + c(y+α) + d = 0，展开并整理表达式，得到 a y^3 + (3αa + c)y^2 + (3α^2a + 2αc + d)y + (α^3a + α^2c + αd) = 0。
3次方程求解方法
3次方程求解方法 3次方程是数学中一类重要的方程，包括一元三次方程和二元三次方程。一元三次方程的解法有求根公式法、插值法和图像法。二元三次方程的解法有求根公式法、插值法和图像法。下面，我们将详细介绍求解三次方程的方法。 一、求根公式法 求根公式法是一种有效的求解三次方程的方法。一元三次方程的求根公式是：ax3+bx2+cx+d=0，那么它的解析式是： x1=-b/3a+[bc/3a-3aab2/2a2]1/2+[2a3d/bc2-9a2d/2b3]1/3， x2=[bc/3a-3aab2/2a2]1/2-b/3a+[2a3d/bc2-9a2d/2b3]1/3， x3=-[bc/3a-3aab2/2a2]1/2-b/3a-[2a3d/bc2-9a2d/2b3]1/3。二元三次方程的求根公式为：ax3+by3+cz3+dxy+exz+fxyz+g=0，它的解析式为：x=[2ad-bc2/6b2a2]1/3，y=[-ac3+9abc2-27a2d-2b3f/27b3a2]1/3，z=[9ab2c-27a2c-2b3d+bc3/27b3a2]1/3。 二、插值法 插值法是一种求解三次方程的直接方法，其原理是在给定三个点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3,y3)，令 ax3+bx2+cx+d=0，其中 a、b、c、d是待求参数，计算得： a=-[(x2-x1)(x3-x1)(y2-y1)-(x2-x1)(x3-x2)(y3-y2)]/[(x2-x1)^3 (x3-x2)-(x2-x1)^2(x3-x1)]， b=[(x3-x1)^2(y2-y1)-(x2-x1)^2(y3-y2)]/[(x2-x1)^3(x3-x2)-(x2 -x1)^2(x3-x1)]，
三次方程求根公式
一元三次方程求根公式 三次方程新解法——盛金公式解题法 Shengjin ' s Formulas and Shengjin ' s Distinguishing Means and Shengjin ' s Theorems from the Writings to introduce to you and to solving a problem in mathematics 盛金公式与盛金判别法及盛金定理的运用从这里向您介绍三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d 表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。 盛金公式 Shengjin ' s Formulas 一元三次方程aX A3 + bX A2 + cX + d=0 , ( a , b , c, d € R，且a^O)。 重根判别式： A=b －3ac ；B=bc －9ad ；C=c －3bd ，总判别式： △ =B—4AC。 当A=B=0 时，盛金公式①( WhenA=B=0 , Shengjin ' s Formula ①)： X1=X2=X3= －b/(3a)= －c/b= －3d/c 。 当△ =B—4AC>0 时，盛金公式②(WhenX =B —4AC>0 , Shengjin ' s Formula ②)：X1=( －b－(Y1＋Y2))/(3a) ； X2，3=( —2b＋Y1＋Y2±3 (Y1 —Y2)i)/(6a) ；其中Y1，2=Ab ＋3a (—B±(B—4AC))/2 ，i=—1。 当△ =B—4AC=0 时，盛金公式③( When\ =B —4AC =0 , Shengjin ' s Formula ③)： X1= —b/a ＋K；X2=X3= —K/2 ， 其中K=B/A , (A 工0)。 当△ =B—4AC<0 时，盛金公式④(When\ =B —4AC<0 , Shengjin ' s Formula ④)：X仁(—b — 2Acos( 0 /3) )/(3a); X2 , 3= (— b + A(cos( 0/3) ± 3sin( 0 /3)))/(3a); 其中0 =arccosT ，T= (2Ab —3aB)/(2A) ，(A>0 ，—1
一元三次方程的求根公式
一元三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式” 一元三次方程的一般形式是 x3+sx2+tx+u=0 如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消 去。所以我们只要考虑形如 x3=px+q 的三次方程。 假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。 代入方程，我们就有 a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q 整理得到 a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q 由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时， 3ab+p=0。这样上式就成为 a3-b3=q 两边各乘以27a3，就得到 27a6-27a3b3=27qa3 由p=-3ab可知 27a6 + p = 27qa3 这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x. 除了求根公式和因式分解外还可以用图象法解，中值定理。很多高次方程是无法求得精确解的，对于这类方程，可以使用二分法，切线法，求得任意精度的近似解。参见同济四版的高等数学。 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。我归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下： （1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到 （2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3)) （3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为 x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得 （4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知 (5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得 （6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3 （7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a (9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a (10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为 y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
三种解决一元三次方程的求根公式
三种解决一元三次方程的求根公式 三种解决一元三次方程的求根公式 导语：一元三次方程的标准形式(即所有一元三次方程经整理都能得到的形式)是ax3+bx2+cx+d=0(a，b，c，d为常数，x为未知数，且a≠0)。一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法与盛金公式法。两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。由于用卡尔丹公式解题存在复杂性，相比之下，盛金公式解题更为直观，效率更高。 一元三次方程求根公式 下面介绍三种三次方求根计算方法： 第一：计算方法 X(n+1)=Xn+[A/X^2-Xn)1/3 n，n+1是下角标，A被开方数。 例如，A=5，5介于1的.3次方至2的3次方之间。X0可以取1.1;1.2;1.3;1.4;1.5;1.6;1.7;1.8;1.9;2.0我们可以随意代入一个数，例如2，那么： 第一步，2+[5/(2×2)-2]×1/3=1.7=X1; 第二步，1.7+[5/(1.7×1.7)-1.7]×1/3=1.71=X2; 第三步，1.71+[5/(1.71×1.71)-1.71]×1/3=1.709=X3; 每次多取一位数。公式会自动反馈到正确的数值。 第二：置换群解法 一元三次方程系数和根的关系如下：求出X,Y，后有这是个线性方程，其中为原方程的三个根! 第三：公式法(卡尔丹公式) 若用A、B换元后，公式可简记为： x1=A^(1/3)+B^(1/3); x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2; x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。 判别法 当△=(q/2)^2+(p/3)^3>0时，有一个实根和一对个共轭虚根;
当△=(q/2)^2+(p/3)^3=0时，有三个实根，其中两个相等; 当△=(q/2)^2+(p/3)^3<0时，有三个不相等的实根。 推导 第一步： ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0) 为了方便，约去a得到 x^3+kx^2+mx+n=0 令x=y-k/3 ， 代入方程(y-k/3)^3+k(y-k/3)^2+m(y-k/3)+n=0 ， (y-k/3)^3中的y^2项系数是-k ， k(y-k/3)^2中的y^2项系数是k ， 所以相加后y^2抵消， 得到y^3+py+q=0， 其中p=-k^2/3+m ， q=(2(k/3)^3)-(km/3)+n。 第二步： 方程x^3+px+q=0的三个根为： x1=[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+ +[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3); x2=w[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+ +w^2[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3); x3=w^2[-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)+ +w[-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)]^(1/3)， 其中w=(-1+i√3)/2。 ×推导过程： 1、方程x^3=1的解为x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ; 2、方程x^3=A的解为x1=A^(1/3)，x2=A^(1/3)ω，x3=A^(1/3)ω^2 ， 3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可
三次方程与四次方程的求根公式
三次方程与四次方程的求根公式 一、历史背景：在数学发展的早期，人们已经研究了一、二次方程的 解法。但是，对于三次方程和四次方程的解法却一直困扰着数学家们。直 到16世纪末，意大利数学家卡尔达诺通过一系列的探索和实践，才找到 了求解三次方程的方法。而求解四次方程更是摆在数学家们面前的一个难题，直到16世纪末，法国天文学家费尔马提出了一个通解。 二、解题思路与方法：对于三次方程和四次方程，我们首先需要将其 化为特定的形式。三次方程可以表示为a*x^3+b*x^2+c*x+d=0，四次方程 可以表示为a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e=0。接下来，我们需要找到合适的 变量代换，使得原方程可以转化为形如y^3+p*y+q=0或y^4+p*y^2+q=0的 方程。这个变量代换的选取很关键，可以利用一些特殊的性质或条件来进 行选取。然后，我们需要通过一些代数方法，如因式分解、配方法、全平 方法等，将原方程转化为一个关于新变量的方程，并进一步进行变量代换。最后，我们可以采用牛顿迭代、套公式等方法，求得方程的根。 三、三次方程的求根公式：我们首先进行变量代换y=x+p/3，将三次 方程转化为y^3+p*y+q=0的形式。根据维埃塗公式的推导，我们可以得到：y1=C+u+v y2=C+ωu+ω^2v y3=C+ω^2u+ωv 其中，C和ω是与p和q相关的常数，u和v是根据原方程的系数经 过一些运算得到的。最后，我们再将y1、y2、y3代入变量代换，即可得 到原方程的三个实根。
四、四次方程的求根公式：我们先进行变量代换y = x - b/(4a)， 将四次方程转化为y^4 + py^2 + q = 0的形式。根据费尔马的推导，我 们可以得到： y1 = sqrt(-p/2 + sqrt((p/2)^2 - q)) y2 = -sqrt(-p/2 + sqrt((p/2)^2 - q)) y3 = sqrt(-p/2 - sqrt((p/2)^2 - q)) y4 = -sqrt(-p/2 - sqrt((p/2)^2 - q)) 然后，我们再将y1、y2、y3、y4代入变量代换，即可得到原方程的 四个实根。 五、应用与拓展：三次方程与四次方程的求根公式在数学的各个领域 中都有广泛的应用。在解析几何中，我们可以通过求解三次方程与四次方程，得到曲线的交点、切线和斜率等。在代数学中，我们可以通过求解三 次方程与四次方程，得到多项式的零点和极点等。在数学分析中，我们可 以通过求解三次方程与四次方程，得到函数的极值、鞍点和拐点等。此外，在实际问题中，三次方程与四次方程的求解方法也可以帮助我们解决一些 实际的物理、工程及统计问题。 综上所述，三次方程与四次方程的求根公式是数学中非常重要的内容。虽然其推导和应用过程可能较为复杂，但通过合理的变量代换和适当的解法，我们仍然能够求得方程的根。通过对三次方程与四次方程的学习和探索，我们不仅能够加深对数学的理解和认识，还可以培养我们的逻辑思维 和解决问题的能力。因此，我们应该加强对这些内容的学习和研究，以更 好地应用于实际和理论中。
一元三次方程 求根公式
一元三次方程求根公式 一元三次方程求根公式 一元三次方程是指方程的最高次数为三次的方程，一般表示为ax³+bx²+cx+d=0，其中a、b、c、d为实数且a≠0。求解一元三次方程的根是数学中的重要问题之一，我们可以通过求根公式来解决这个问题。 一元三次方程的求解过程较为复杂，需要借助求根公式来进行计算。根据数学原理，一元三次方程的根可以通过以下公式来求解： 我们要计算一元三次方程的判别式Δ，Δ的计算公式为Δ=b²c²-4ac³-4b³d-27a²d²+18abcd。判别式Δ的值可以帮助我们判断方程的根的情况。 当Δ>0时，方程有一个实根和两个共轭复根。实根可以通过以下公式计算得出：x₁=(-b+((b²-3ac)^(1/2)))/(3a)。而共轭复根可以通过以下公式计算得出：x₂=x₃=(-b-(b²-3ac)^(1/2))/(6a)+i((3(b²-3ac))^(1/2))/(6a)和x₂=x₃=(-b-(b²-3ac)^(1/2))/(6a)-i((3(b²-3ac))^(1/2))/(6a)。 当Δ=0时，方程有一个实根和一个重根。实根可以通过以下公式计算得出：x=(-b+((b²-3ac)^(1/2)))/(3a)。重根可以通过以下公式计算得出：x=(-b-(b²-3ac)^(1/2))/(3a)。
当Δ<0时，方程有三个不相等的实根。实根可以通过以下公式计算得出：x₁=2√(-p/3)cos((1/3)arccos(√(-3q/2p^3))) - b/(3a)，x₂=2√(-p/3)cos((1/3)arccos(√(-3q/2p^3))-2π/3) - b/(3a)，x₃=2√(-p/3)cos((1/3)arccos(√(-3q/2p^3))+2π/3) - b/(3a)。其中p=b²-3ac，q=2b³-9abc+27a²d。 通过以上的求根公式，我们可以解决一元三次方程的根的问题。不过需要注意的是，在实际应用中，我们可能会遇到一些特殊情况，例如方程的系数不全为实数，此时我们需要根据具体情况进行分析和求解。 总结起来，一元三次方程的求根公式提供了解决方程根的方法，通过计算判别式Δ的值，我们可以判断方程的根的情况，并利用相应的公式求解根的值。在实际应用中，我们需要灵活运用这些公式，结合具体问题进行求解，以得出准确的结果。
三次方程△的公式与求根公式
三次方程的求根公式和判别式（△）相对复杂，不像二次方程那样有简单的公式。 三次方程的一般形式为： ax3+bx2+cx+d=0 其中a,b,c,d是常数，且a=0。 判别式（△） 对于三次方程，判别式（△）是一个复杂的表达式，用于判断方程的根的性质。三 次方程的判别式通常包括多个部分，并且计算起来相当复杂。判别式可以帮助我们确定方程的根是实数还是复数，以及根的数量和类型。 求根公式 三次方程的求根公式涉及到复杂的数学运算，通常包括开立方、三角函数等。一个常用的方法是卡尔丹公式（Cardano's formula），但它涉及到复杂的运算和可能的复数解。 卡尔丹公式如下： 令p=3a23ac−b2，q=27a32b3−9abc+27a2d，Δ=(2q)2+(3p)3。 1.如果Δ>0，则方程有一个实根和两个复数根。 2.如果Δ=0，则方程有三个实根，其中两个相同。 3.如果Δ<0，则方程有三个不同的实根。 然后，根据p和q的值，可以使用卡尔丹公式来找到方程的根。 示例 考虑方程x3−3x+1=0。 1.计算p和q： p=3⋅123⋅1⋅(−3)−(−3)2=−4 q=27⋅132⋅(−3)3−9⋅1⋅(−3)+27⋅12⋅1=32 2.计算Δ： Δ=(62)2+(3−4)3=91−2764=−919 3.因为Δ<0，方程有三个不同的实根。 然而，实际求解这些根通常涉及到复杂的数学运算和数值方法，通常使用计算机代数系统（如Mathematica、SymPy 等）来求解。 注意
在实际应用中，对于三次方程，通常更倾向于使用数值方法（如牛顿法、二分法等）来求解，而不是直接使用卡尔丹公式，因为后者涉及到复杂的运算和可能的数值不稳定性。