韦达定理一元三次方程求根公式
韦达定理是一种用于求解一元三次方程根的方法，其求根公式如下：
对于一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，首先计算其判别式 D = b^2 - 3ac，然后根据D 的取值分类讨论：
若D > 0，则方程有三个实根，公式如下：
x1 = (-b + √D) / (3a)
x2 = (-b -√D) / (3a)
x3 = (-b + √D) / (3a)
若D = 0，则方程有一个实根和一个重根，公式如下：
x1 = x2 = -b / (3a)
x3 = (-b + 2√D) / (3a)
若D < 0，则方程有一个实根和一对共轭虚根，公式如下：
x1 = (-b + (3√-D)i) / (3a)
x2 = (-b -√D + (3√-D)i) / (3a)
x3 = (-b -√D - (3√-D)i) / (3a)
其中，i 表示虚数单位。
需要注意的是，这个公式虽然可以用来求解一元三次方程的根，但是它的计算过程比较复杂，而且容易出现计算错误。因此，实际应用中常常使用计算机程序来求解一元三次方程的根。
一元三次方程求根
[编辑本段]解一元三次方程的卡尔丹公式法 卡尔丹公式法 特殊型一元三次方程X^3＋pX＋q=0 (p、q∈R)。 判别式Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3。 卡尔丹公式 X1=(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3)； X2= (Y1)^(1/3)ω＋(Y2)^(1/3)ω^2； X3=(Y1)^(1/3)ω^2＋(Y2)^(1/3)ω， 其中ω=(－1＋i3^(1/2))/2； Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2＋(p/3)^3)^(1/2)。 标准型一元三次方程aX ^3＋bX ^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。 令X=Y—b/(3a)代入上式。 可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3＋pY＋q=0。 卡尔丹判别法 当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根； 当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根； 当Δ=(q/2)^2＋(p/3)^3<0时，方程有三个不相等的实根。解一元三次方程的其他方法 [编辑本段]解一元三次方程的其他方法 除了上文中的卡尔丹公式解法，一元三次方程还有其它解法，列举如下： 1.因式分解法 因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些简单的三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。当然，对一些简单的三次方程能用因式分解求解的，当然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程降次。 例如：解方程x^3-x=0 对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根：x1=0；x2=1；x3=—1。 2.另一种换元法 对于一般形式的三次方程，先将方程化为x^3+px+q=0的特殊型。 令x=z—p/3z，代入并化简，得：z^3-p/27z+q=0。再令z=w，代入，得：w^2+p/27w+q=0．这实际上是关于w的二次方程。解出w，再顺次解出z，x。 3.盛金公式法 三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法．盛金公式 Shengjin’s Formulas 一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。 重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd， 总判别式：Δ=B^2－4AC。 当A=B=0时，盛金公式①： X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。 当Δ=B^2－4AC>0时，盛金公式②： X1=(－b－(Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(3a)； X2，X3=(－2b＋(Y1)^(1/3)＋(Y2)^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)((Y1)^(1/3)－(Y2)^(1/3))/(6a)， 其中Y1，Y2=Ab＋3a(－B±(B^2－4AC)^(1/2))/2，i^2=－1。 当Δ=B^2－4AC=0时，盛金公式③： X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2，
一元三次方程
一元三次方程、一元四次方程、一元五次以上方程 一元三次方程求根公式: 以下是传统解法 一元二次ax^2 +bx+c=0可用求根公式x= 求解，它是由方程系数直接把根表示出来的公式。这个公式早在公元9世纪由中亚细亚的阿尔·花拉子模给出。 南宋数学家秦九韶至晚在1247 年就已经发现一元三次方程的求根公式，欧洲人在400 多年后才发现，但在中国的课本上这个公式仍是以那个欧洲人的名字来命名的。（《数学九章》等） 一元三次方程ax^3 +bx^2 +cx+d=0的求根公式是1545年由意大利的卡当发表在《关于代数的大法》一书中，人们就把它叫做“卡当公式”。可是事实上，发现公式的人并不是卡当本从，而是塔塔利亚（Tartaglia N.,约1499~1557）.发现此公式后，曾据此与许多人进行过解题竞赛，他往往是胜利者，因而他在意大利名声大震。医生兼数学家卡当得知塔塔利亚总是获胜的消息后，就千方百计地找塔塔利亚探听他的秘密。当时学者们通常不急于把自己所掌握的秘密向周围的人公开，而是以此为秘密武器向别人挑战比赛，或等待悬赏应解，以获取奖金。尽管卡当千方百计地想探听塔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔塔利亚都守口如瓶。可是后来，由于卡当一再恳切要求，而且发誓对此保守秘密，于是塔塔利亚在1539年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡当，但是并没有给出详细的证明。卡当并没有信守自己的誓言，1545年在其所著《重要的艺术》一书中向世人公开了这个解法。他在此书中写道："这一解法来自于一位最值得尊敬的朋友--布里西亚的塔塔利亚。塔塔利亚在我的恳求之下把这一方法告诉了我，但是他没有给出证明。我找到了几种证法。证法很难，我把它叙述如下。"从此，人们就把一元三次方程的求根公式称为卡当公式。塔塔利亚知道卡当把自己的秘密公之于众后，怒不可遏。按照当时人们的观念，卡当的做法无异于背叛，而关于发现法则者是谁的附笔只能被认为是一种公开的侮辱。于是塔塔利亚与卡当在米兰市的教堂进行了一场公开的辩论。许多资料都记述过塔塔利亚与卡当在一元三次方程求根公式问题上的争论，可信的是，名为卡当公式的一元三次方程的求解方法，确实是塔塔利亚发现的；卡当没有遵守誓言，因而受到塔塔利亚及许多文献资料的指责，卡当错有应得，但是卡当在公布这一解法时并没有把发现这一方法的功劳归于自己，而是如实地说明了这是塔塔利亚的发现，所以算不上剽窃；而且证明过程是卡当自己给出的，说明卡当也做了工作。卡当用自己的工作对塔塔利亚泄露给他的秘密加以补充，违背誓言，把秘密公之于世，加速了一元三次方程求根公式的普及和人类探索一元n次方程根式解法的进程。不过，公式的名称，还是应该称为方塔纳公式或塔塔利亚公式；称为卡当公式是历史的误会。一元三次方程应有三个根。塔塔利亚公式给出的只是一个实根。又过了大约200年后，随着人们对虚数认识的加深，到了1732年，才由瑞士数学家欧拉找到了一元三次方程三个根的完整的表达式。 塔尔塔利亚是意大利人，出生于1500年。他12岁那年，被入侵的法国兵砍伤了头部和舌头，从此说话结结巴巴，人们就给他一个绰号“塔尔塔利亚”(在意大利语中，这是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了，他自学成才，成了数学家，宣布自己找到了三次方程的的
一元三次方程的求根公式及其推导
一元三次方程的求根公式及其推导 有三个实数根。 有三个零点时，当有两个实数根。有两个零点时，当有唯一实数根。有唯一零点时，当。，有两实根，为，则方程若有唯一实数根。 有唯一零点有一实根，则方程若有唯一实数根。 有唯一零点没有实根，则方程若实数根的个数。 点的个数即方程零即方程则设实数根的判定： 程即可。因此，只需研究此类方的特殊形式即公式化为均可经过移轴三次方程由于任一个一般的一元0)()(0)1281(81 1 )()(0 )()(0)1281(81 1 )()(0 )()(0)1281(81 1 )()(3 3: 0)(0)3(0)()(0)(,0).2(0)()(0)(',0).1(0)(,00)(,)(.1,0,0)2792()3)(39()3(0)3272()3)(3()3(032323221''33332332 32323=?<+= ?=?=+=?=?>+=?--==- = ==<=?===?=>=++=++=++==++=+-++-++=+-++-++=+++x F x F p q F F x F x F p q F F x F x F p q F F p x p x x F p x F x F x F p x F x F x F p q px x x F q px x x F q px x x F q px x D A ABC B B Ax AB AC B Ax D A BC A B A B x A B C A B x A D Cx Bx Ax βαβαβαβα
3323323232 33 232332313 223213232 32 33333 33333 3333333333333233233232321281121086 1 128112108610)1281(81 1)27(412811210861 12811210861181281918128190)1281(81 1)27(4027 27,3)(300)(33)(3)(.1.200128100128100128112810)1281(81 1 0)0.(0.p q q p q q x p q p q p q q a B p q q a A B A p q q a p q q a p q p q p qa a B A q B A p B A q B A p AB q B A p AB q px x B A ABx x ABx B A B A AB B A B A x B A x B A B A B A x q px x p q q px x p q q px x p q p q p q p q p q p +--+++-= ≤+=--?? ?? ?+--==++-==??? ????+--=++-=>+=--=-+?????-=+-=?? ????????-=+-==+-=-=++=+--++=+++=+=+=+==++<+=?=++=+=?=++>+=?+=?>+≥式，为：实数根的方程的求根公上方法只能导出有一个）。故由以 ，小于零时会出现虚数等于零时只能解出一个但却又无法直接解出（二或三个实数根， ，虽然我们清楚方程有若判别式顺序，则有，如果不考虑。则有， 若判别式的两根。 为一元二次方程，易知，。，即可令， 对比。即有，故， 由于。，就是设法求出下面的工作为两个待定的代数式。，的形式。其中，程的求根公式应为了一元三次方根公式的归纳，我得到及特殊一元高次方程求一元一次，一元二次以得到。通过对出的，通常由归纳思维式由演绎推理是很难解一元三次方程的求根公实根式的推导： ）（求根公式的推导：有三个实数根。时，方程有两个实数根。时，方程有唯一实数根。时，方程，则有以下结论： 。令一定有时， ，则当时方程很容易求解同时为不同时为为研究方便，不妨设
一元三次方程的三个解
一元三次方程的三个解 一元三次方程的解法 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax+bx+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x+px+q=0的特殊型。 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如x+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下： （1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到 （2）x=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3)) （3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为 x=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得 （4）x－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x+px+q=0作比较，可知 （5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得 （6）A+B＝－q，AB＝-(p/3) （7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A 和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即 （8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a (9) 对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-(p/3)＝c/a (10)由于型为ay+by+c=0的一元二次方程求根公式为 y1＝（－b＋（b－4ac）^(1/2)）/(2a) y2＝（－b－（b－4ac）^(1/2)）/(2a) 可化为 （11）y1＝－(b/2a)-((b/2a)-(c/a))^(1/2) y2＝－(b/2a)+((b/2a)-(c/a))^(1/2) 将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-(p/3)＝c/a代入（11）可得 （12）A＝－(q/2)-((q/2)＋(p/3)^(1/2) B＝－(q/2)+((q/2)＋(p/3)）^(1/2) （（13）将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得 （14）x=（－(q/2)-((q/2)＋(p/3)）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)＋(p/3)）^(1/2)）^(1/3) 式 (14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了 将其以下图具体显示 注意此处的三次方程是实数域的。 但是，如果出现了复数的形式，由于三根不分主次，将会有9个结果，其中6个是错误的。公式可如下改良： 令k=(-q/2+√((q/2)+(p/3)))^(1/3)，则 y1=(3k-p)/(3k) y2=(3k^2w-p)/(3kw) y3=(3k^2w^2-p)/(3kw) 其他解法 除了上文中的卡尔丹公式，三次方程还有其它解法，列举如下： 1.因式分解法
三次方程求根公式
一元三次方程求根公式 三次方程新解法——盛金公式解题法 Shengjin’s Formulas and Shengjin’s Distinguishing Means and Shengjin’s Theorems from the Writings to introduce to you and to solving a problem in mathematics 盛金公式与盛金判别法及盛金定理的运用从这里向您介绍 三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法。 盛金公式 Shengjin’s Formulas 一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。 重根判别式： A=b－3ac； B=bc－9ad； C=c－3bd， 总判别式： Δ=B－4AC。 当A=B=0时，盛金公式①（WhenA=B=0，Shengjin’s Formula①）： X1=X2=X3=－b/(3a)=－c/b=－3d/c。 当Δ=B－4AC>0时，盛金公式②（WhenΔ=B－4AC>0，Shengjin’s Formula②）：X1=(－b－(Y1＋Y2))/(3a)； X2，3=(－2b＋Y1＋Y2±3 (Y1－Y2)i)/(6a)； 其中Y1，2=Ab＋3a (－B±(B－4AC))/2，i=－1。 当Δ=B－4AC=0时，盛金公式③（WhenΔ=B－4AC =0，Shengjin’s Formula ③）： X1=－b/a＋K；X2=X3=－K/2， 其中K=B/A，(A≠0)。 当Δ=B－4AC<0时，盛金公式④（WhenΔ=B－4AC<0，Shengjin’s Formula④）：X1= (－b－2Acos(θ/3) )/(3a)； X2，3= (－b＋A(cos(θ/3)±3sin(θ/3)))/(3a)； 其中θ=arccosT，T= (2Ab－3aB)/(2A)，(A>0，－1
一元三次方程的解法
一元三次方程的解法 数教091班王超逸 48号 一元三次方程的标准形式为aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，将方程两边同时除以最高项系数a,三次方程变为x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+d/a=0,所以三次方程又可简写为 X^3＋bX^2＋cX＋d=0． 一元三次方程的韦达定理 设方程为 ax^3+b^2x+cx+d=0 则有 x1*x2*x3=-d/a；x1*x2+x2*x3+x3*x1=c/a；x1+x2+x3=-b/a； 一元三次方程解法思想 一元三次方程解法思想是：通过配方和换元，使三次方程降次为二次方程求解． 一元三次方程解法的发现 三次方程解法的发现是在16世纪的意大利，那时，数学家常常把自己的发现秘而不宣，而是向同伴提出挑战，让他们解决同样的问题．想必这是一项很砥砺智力，又吸引人的竞赛，三次方程的解法就是这样发现的． 最初，有一个叫菲奥尔的人，从别人的秘传中学会了解一些三次方程，便去向另一个大家称为塔尔塔利亚的人挑战．塔尔塔利亚原名丰塔纳，小时因脸部受伤引起口吃，所以被人称为塔尔塔利亚（意为＂口吃者＂）。他很聪明，又很勤奋，靠自学掌握了拉丁文，希腊文和数学．这次他成功解出了菲奥尔提出的所有三次方程，菲奥尔却不能解答他提出的问题．当时很有名的卡尔丹于是恳求他传授解三次方程的办法，并发誓保守秘密，塔尔塔利亚才把他的方法写成一句晦涩的诗交给卡尔丹．后来卡尔丹却背信弃义，把这个方法发表在1545年出版的书里．在书中他写道：＂波伦亚的费罗差不多在三十年前就发现了这个方法，并把它传给了菲奥尔．菲奥尔在与塔尔塔利亚的竞赛中使后者有机会发现了它．塔尔塔利亚在我的恳求下把方法告诉了我，但保留了证明．我在获得帮助的情况下找出了它各种形式的证明．这是很难做到的．＂卡尔丹的背信弃义使塔尔塔利亚很愤怒，他马上写了一本书，争夺这种方法的优先权．他与卡尔丹的学生费拉里发生了公开冲突．最后，这场争论是以双方的肆意谩骂而告终的．三次方程解法发现的过程虽不愉快，但三次方程的解法被保留了下来，并被错误的命名为＂卡尔丹公式＂沿用至今．以下介绍的解法，就是上文中提到的解法． 一元三次方程的解法 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax+bx+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x+px+q=0的特殊型。 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A 和B。方法如下：
三元一次方程求根公式
三元一次方程求根公式 一元三次方程求根公式的解法一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到（2） x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3)) （3）由于 x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知（5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3 （7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a (9)对比（6）和（8），可令A ＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a (10)由于型为ay^2+by+c=0
三次函数的根的判别式和韦达定理
三次函数，即形如f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d的函数，其中a, b, c, d 为实数，且a不为0。这种函数在数学中有着重要的应用价值。 对于三次函数，其根的判别式和韦达定理是两个重要的数学工具，用于研究函数的性质。 首先，我们来了解一下根的判别式。对于一元二次方程，根的判别式是b^2 - 4ac，而对于三次函数，我们可以通过对其进行求导，然后观察导函数的零点来找到极值点。三次函数的导函数为f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c，对其求导后，再求出导函数的零点，即令f'(x) = 0，解出x的值，这些x的值就是三次函数的极值点。 接下来，我们来看看韦达定理。韦达定理是用于求解一元二次方程的根的一种方法，但对于三次方程，我们可以通过观察其根的分布情况来找到三次函数的极值点。如果三次方程有三个不同的实根，那么这三个实根就是三次函数的三个极值点。如果三次方程有两个相同的实根，那么这两个相同的实根就是三次函数的拐点。 在实际应用中，我们可以利用韦达定理来判断三次函数的单调性。如果三次函数在某个区间内单调递增，那么这个区间内一定存在一个或多个极小值点；反之，如果三次函数在某个区间内单调递减，那么这个区间内一定存在一个或多个极大值点。 此外，我们还可以利用韦达定理来判断三次函数的图像的形状。如果三次函数的图像是一个连续的曲线，那么这个曲线一定是由多个单调递增或递减的区间段组成的；如果三次函数的图像是一个折线图，那么这个折线图一定是由多个单调递增或递减的区间段组成的。 综上所述，根的判别式和韦达定理是两个重要的数学工具，用于研究三次函数的性质。利用这两个工具，我们可以更好地理解三次函数的图像和性质，从而更好地解决相关的数学问题。
一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型
一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下： （1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到 （2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3)) （3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为 x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得 （4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知 （5）－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得 （6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3 （7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即 （8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a (9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a (10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为 y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) 可化为 (11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) 将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得 (12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) (13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得 (14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3) 式(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。 x^y就是x的y次方 好复杂的说 塔塔利亚发现的一元三次方程的解法 一元三次方程的一般形式是 x3+sx2+tx+u=0 如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消 去。所以我们只要考虑形如 x3=px+q 的三次方程。 假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。
三次方程的求根公式
三次方程的求根公式 三次方程是指形如ax^3 + bx^2 + cx + d=0的方程，其中a、b、c、d是已知常数且a≠0。求解三次方程的根有一个标准的求根公式，即Cardano公式，公式非常复杂，涉及到复数的运算，因此并不常用。在实 际计算中，一般采用不同方法进行求解，下面将介绍几种求解三次方程的 常用方法。 一、求解方法一：因式分解法 对于特殊的三次方程，可以通过因式分解的方式求解。例如，对于形 如x^3 + px^2 + qx + r=0的方程，如果其中的一个根已知为x=a，则根 据因式定理得到该方程可以因式分解为(x-a)(x^2 + (a+p)x + (aq+r))=0。这样，我们就将原本的一个三次方程转化为了一次方程和一个一次和二次 的二次方程。进一步求解这两个方程，就可以得到三次方程的全部根。 二、求解方法二：综合除法法 对于一些特殊类型的三次方程，可以通过将其与一个已知方程相除来 进行求解。例如，对于形如x^3 + px^2 + qx + r=0的方程，如果其中已 知一个根x=a，则可以将该方程与(x-a)相除，得到一个二次方程x^2 + (a+p)x + (aq+r)=0。进一步求解这个二次方程，就可以得到三次方程的 其他两个根。 三、求解方法三：代数簇和韦达定理 根据代数簇和韦达定理，三次方程的三个根之间存在一定的关系。设 三次方程的三个根分别为x1、x2、x3，则韦达定理可以表述为：x1+x2+x3=-b/a
x1x2+x1x3+x2x3=c/a x1x2x3=-d/a 四、求解方法四：卡尔达诺公式 卡尔达诺公式是解决三次方程的一个通用公式。设一个三次方程为 ax^3 + bx^2 + cx + d=0，则根据卡尔达诺公式，其解可以表示为：x=u+v-b/3a 其中u、v是满足u^3 = 2v^3 - (b^2-3ac)/3a 和v^3 = (9abc- 2b^3)/27a^2的一对复数解。 卡尔达诺公式的推导非常复杂，而且运算过程中会涉及到复数的运算，在实际应用中并不常用。 综上所述，求解三次方程的根有多种方法，每种方法的适用范围和计 算复杂度都不同。通过灵活地选择合适的方法进行求解，可以更高效地解 决实际问题。
一元三次方程求根问题
一元三次方程求根问题 一元三次方程求根问题是一个曾经困扰了人们许多年的问题，后来数学家们在经过非常多的计算后，用巧妙的方法将其解决了。目前，我还不知道一元三次方程求根公式和其推导过程，下面，我就尝试将这个问题解决。 显然，所有的一元三次方程都可以转化为 x 3+bx 2+cx +d =0的形式， 先从一些三次多项式的公式入手，其中有这样一个公式 ()()()B A AB B A AB B A B A B A +-+=--+=+3333 22333 在这里令x =A+B ，m =-3AB ，n =-(A 3+B 3)，则上述公式转为 x 3+mx+n=0 这便是一个特殊的一元三次方程。 而 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=n B A m B A 333 3327 所以由一元二次方程的韦达定理得A 3与B 3是方程 0273 2 =-+m ny y 的两根， 不考虑A 与B 之间的顺序，得 ⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪⎨⎧+--=++-=22742274223223m n n B m n n A
故3323 3 227422742m n n m n n B A x +--+++-=+= 在解二次方程时，可以通过配方的方法 将 ax 2+bx +c =0 转化为 04422=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b ac 2a b x a 再将a b x 2+换元，以达到消去一次项的目的。 那么，在解x 3+bx 2+cx +d =0的过程中，是否也有类似的方法呢？ 我们可以尝试对其进行“配立方”来消去二次项， 得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++2733323 23b d x b c b x d cx bx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2723333323 b b c d b x b c b x 这就转为x 3+mx+n=0的形式，带入刚才得到的其求根公式，得 3 2233b t n t n x ---++-= 其中108 441827274,3,27233 32223223c d b bcd c b d m n t b c m b bc d n ++--=+=-=+-= 以上只得出了一元三次方程一个根的求根公式，还不一定是实根，而一元三次方程一般有一或三个实根，原因可能是在上述求解过程中只在实数的范围内运算，并没有考虑到虚数。如果考虑虚数，在复数的范围内运算，一元三次方程应当有三个根。在上述方法中，另两个根可能要应用到虚数的一些概念和性质，若只考虑实数，无法将其解出。 接下来尝试一下在复数范围内，能否将另两个根解出。 设刚才求出的根为x 1=A +B,先考虑x 3+mx+n=0形式的方程，
关于韦达定理的证明方法
说起韦达定理，其实就是一元二次方程中根与系数的关系，说到这，你可能会想，难道这 也算是定理吗？不就是把两个根加起来一次，乘起来一次吗？要是我出生的比韦达早，那这个定理就要改名了。其实不是这样的，这个定理可以推广到n次方程，根据代数基本定理， n次方程有n个根，那么你还会求出这n个根来相加，相乘吗，不说很高次的，就比如说一元三次方程，其求根公式是： _ -1 + <3/ 其中⑴二 ~2 —（2 = - 1 ），那么他的根与系数的关系是 “ L 1 1 P + X2 + x j + 二■—「Xj XJ X J = 一g 帀翅旳号 给你笔你有本事算算啊，还能是一加一乘就算出来吗？ 到了五次以上的方程就没有求根公式了你还怎么算，找规律吗？我个人认为，书上给出的韦达定理的证明那根本不叫证明而是验证会误导学生.. 接下来我会写出5种韦达定理的别样证法，其中1种为几何方法的证明证迭1 设原方程两根対呵‘ x2 则一定存在（厂可）（小2）勻 两边都乘业得&（X-Kj ）（ X-X-3） =0 展开，得ai'-ax （引十鮎）十狂声了二。 与原来的方程ax：十"十*0对血素数，得-ax （屮七）=bx, ax円二匚 此种方法也可简单点求出一元三次方程乃至1元漱.方程的根与系數的关系|
证法2 将axJbx+c=O 左右两边都乘4 a 得到4 a\+4abx+4ac=0 =>4a 2x 2+4abx+b 2=b 2- 4 ac (2ax±b) 设 b'-4ac=A 则，当Z^O 时，原方程一定有实数解 此时，2aX[+b=>/Z _, 2ax 、+b=-J^ 、 b 两式相加，得 2a(X[+x2)-2b=0=>X[+x2d_ 两式相乘，得2a*x 1x ?+ab (xj+xO =2ac-b* b j ? c 因为 X] r?二-—=>22TX]X2-tr=22LC .b 2=>x 1x 2=— 证法3 b 设x=y ・»~ 2a b —)+c=0 2a 则原方程可以变为a （y-f~） % （y- 2a 展开，化简并合并得， ayJ 耳生 4 a 当bU 皑0时，原方程一定有两个实数根 -7b^ 4ac-b b b 到了这里，不妨设X!=y r —, x 2=y 2-— 2a 2a b b b 则旷刊・£轨£二； b b b x l x 2=（«£）（丫2・工）刊旳■云（丫力2） Z£L ・£L JbUac. 4ac 2a 2 b? 4ac-b^ b? 二 -- +—; 4a? 4a 2 --- 4a -
韦达定理的应用及推广
韦达定理的应用及推广 一、 韦达定理概述 根据记载，在韦达那个年代，有一个角落们的比例是数学家提出了一个45次方程各国数学家挑战各国数学家挑战。法国国王便将这个充满挑战的问题交给了韦达，韦达当即就得出了一个正根，再由他研究了一晚上时间就得出了23个正根（另外的22个负根被他舍了），消息传开，让当时整个数学界都为之震惊。在他阶梯式发现方程的根似乎与某些系数有关联，因此他就对此进行了一系列的研究，在不久以后发现了伟大的韦达定理。 韦达定理：在一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，当∆≥b 2−4ac 时，则原方程的两根满足以下规律{x 1+x 2=− b a x 1x 2= c a 韦达定理的逆定理：如果x 1，x 2满足{x 1+x 2=−b a x 1x 2= c a ，那么x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0 （a ≠0）的两个根 二、 韦达定理的证明 1. 求根公式法：根据将ax 2+bx+c=0（a ≠0）配方得到的x 1,2= −b±√b 2−4ac 2a 可得 x 1+x 2=−b +√b 2−4ac 2a +−b −√b 2−4ac 2a =−2b 2a =−b a x 1×x 2=(−b +√b 2−4ac 2a ×−b −√b 2−4ac 2a )=b 2−（b 2−4ac)4a 2=4ac 4a 2=c a 2. 同解方程法 ： 若ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根为x 1，x 2，那么知道ax 2+bx+c=a(x −x 1)(x −x 2) 左边=ax 2−ax ×x 1−ax ×x 2+ax 1x 2=ax 2−a(x 1+x 2)x +ax 1x 2 比较系数知：−a (x 1+x 2)=b ax 1x 2=c ⟹ x 1+ x 2=−b a ，x 1×x 2= c a 与韦达定理有关的推论：|x 1−x 2|=√b 2−4ac |a| 三、 韦达定理的应用 1. 已知A 、B 为一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根A ≠B (1)求A 2+B 2，A 3+B 3， 1A 2+ 1B 2 ，A −B （2）求以1 A 、1 B 为根的方程和以(A 2+A +1)、(B 2+B +1)为根的方程 解(1)：由韦达定理知{ A + B =−b a A × B = c a ∴A 2+B 2=(A +B)2−2AB = b 2a 2− 2c a = b 2−2a c a 2 A ３+ B ３ =(A +B )3 −3AB (A +B )=−b 3 a 3+3bc a 2 = −b 3+3abc a 3 1 A 2 +1 B 2=A 2+B 2A 2B 2 = b 2−2a c a 2 ÷c 2a 2= b 2−2ac c 2 A − B =|√(A −B )2|=|√A 2+B 2−2AB|=|√ b 2−2a c a 2 − 2c a |=√b 2−4ac a 2 = √b 2−4ac |a | 解(2)：由韦达定理知{ A + B =−b a A ×B =c a ⟹ A 2+A +1+B 2 +B +1= b 2−2a c a 2 −b a +2= b 2−2ac−ab+2a 2 a 2