现代图论课程论文

浙江师范大学

研究生课程论文封面

可平面图的非正常染色

摘要：本文介绍了可平面图的非正常染色的研究背景和现状，并以《不含4-

圈和6-圈的可平面图是(2,0,0)-可染的》这篇文章为例，研究了无4-，5-圈的

可平面图的(1,0,0)-可染的一些成果。最后，简述了本学期学习现代图论这门课

程的心得体会。

关键词：非正常可染；研究背景和现状；方法和技巧；心得体会

1 课题背景

染色理论是图论的重要内容，也是图论的起源之一。图的染色问题的研究来

源于著名的四色问题，具有重要的理论依据和实际意义。而的非正常染色是图的

正常染色的一个延伸。

一个有序对()E V G ,=称为无向图，其中V 表示一个有限集合，E 是V 中不同

元素的无序对组成的集合。V 中的元素叫做G 的顶点，E 中的元素叫做G 的边。

通常用V ,E 分别表示G 的顶点集与边集。若一条边的始点和终点是同一个顶点,

则把这样的边称为环。 若两条以上的边的一对端点相同,则把这些边称为重边。

把没有重边和环的图称为简单图。

如果可以把图G 画在平面上, 使得它的边仅在端点处相交, 则称图G 为可

平面图. 把可平面图在平面内具体的使得边仅在端点处相交的嵌入叫做平面图。

我们所研究的3-可染图形都是有限的,简单的，无向的图形。

通常用u ,v 表示G 中的点, e 表示G 中的边. 若()G V uv e ∈=,则称u 和v 在

G 中相邻, 或称u 和v 互为邻点, 或又称u 和v 是e 的两个端点, 或称u 和v 都与

v 相关联。与v 相关联的边的条数叫做v 的度数，记作()v d 。若()k v d =(或()k v d ≥,

或()k v d ≤),则称v 为一个k -点(或-+k 点, 或--k 点)，对f 类似定义令C 是G

的一个圈，()C Int 和()C E xt 分别表示由(严格)位于C 的内部或者外部的点构成的

G 的一个生成子图。特别地，()()C Ext G C Int \=,()()C Int G C Ext \=。若

()()C Ext C Int ≠≠φ(即G 至少有一个的点在C 的内部和外部)，称C 是分离圈。

连接C 上两个不相继的点的边称为C 的弦。若弦e 关联一个三角形称e 是三角的。

令12,,k d d d 为k 个非负整数。若我们能用1,2,……,k 这k 种颜色来染

(V,E)G =中的顶点使得点导出子图[]i G V 具有最大度i d ，其中i V 是颜色为i 的顶

点集，1,2,,i k =,则称G 是非正常12(d ,d ,,d )k -可染的，简称

12(d ,d ,,d )k -可染的。坏圈由一个3,3,6,6剖分构成的8圈和四个9圈构成，

其中四个9圈分别是3,3,6,7剖分，3,6,6剖分，3,6,6,6剖分和一个3,6,3,6,3,6

剖分。好圈是9-非坏的圈。

2 可平面图的正常3-染色的研究现状

2.1著名的猜想及已知结果

四色猜想：可平面图都是4-可染的.见[1][2].

Grotzsch 三色定理：不含3-圈的可平面图是3-可染的.见[3].

Steinberg 猜想：不含4-圈和5-圈的可平面图是3-可染的.见[4].

s Havel '猜想：两个三角形的距离?d 足够大的可平面图是3可染.见[5].

以下是较Steinberg 猜想更弱的Bordeaux 猜想

Bordeaux 猜想：（1）不含相交三角形及5-圈的可平面图是3-可染的.(2)不

含相邻三角形及5-圈的可平面图是3-可染的.

针对Steinberg 猜想,Erdos 提出一个问题：是否存在一个最小值k ，使得每一

个不含4-至k -圈的平面图是3-可染的。

围绕这个问题，

Borodin V O ..,H.L.Abbott ,Glebov N A ..等人进行了很多深入的研究，得到以下一些结果：

11≤k ,见[7].

10≤k ,见[8].

9≤k ,见[9].

7≤k ,见[10].

关于可平面图的3-可染，Y.Wang,W.Wang,M.Chen,等人给出以下一些充分条件：

不含4-,-i ,-j ,-k 圈的可平面图是3-可染的，其中94≤≤≤≤k j i .见

[11]-[15].

不含4-, 5-, 7-圈的平面图是3-可染的.见[16].

不含4-, 6-, 7-圈的平面图是3-可染的.见[17].

不含4-, 6-, 8-圈的平面图是3-可染的.见[18].

不含4-, 6-, 9-圈的平面图是3-可染的.见[19].

不含4-, 7-, 9-圈的平面图是3-可染的.见[20].

至今尚无人能证明出平面图不含4-至6-圈是否是(0,0,0)-可染的。对于平面

图的非正常染色，如下列出部分著名结果。

每个平面图是(2,2,2)-可染的。见[]6

每个平面图是*(3,2)-可染的。见[]21[]22。

不含3-圈的平面图是*(3,1)-可染的。见[]23

不含相邻三角形和5-圈的平面图是(1,1,1)-可染的。见[]24

不含4-圈和5-圈的平面图是(1,1,0)-可染的。见[]25

对于平面图不含4-圈和-i 圈，5i ≠我们又有以下结果。

既不含4-圈又不含6-圈的平面图是(3,0,0)-(1,1,0)-可染的。见[]26

既不含4-圈又不含6-圈的平面图是(2,0,0)-可染的。见[]27

对于平面图不含4至6-圈的平面图是否是(0,0,0)-可染的，暂无人证明。

不含4至6-圈的平面图是否是（1,0,0）-可染的。见[]28

2.2 可研究课题

在证明了每个平面图是*(3,2)-可选的后，Eaton,Hull 等人提出：每个平面图

是否是*(4,1)-可选的？我们在此提出每个平面图是否是(2,1,1)-可染的，若不是，

那是否是(2,1,1)-可染的？无4-圈和圈的平面图是否是(1,0,0)-可染的？无4-圈

和圈的平面图是否是(0,0,0)-可染的？

3 方法与技巧

该部分以《不含4-圈和5-圈的平面图是(1,0,0)-可染的》为例，介绍了图

的点荫度方法与技巧。本文定理：不含4-圈和5-圈的平面图是(1,0,0)-可染的。

该定理的证明是通过反证法来证明的。设G 是定理3关于点数最少的一个极小反

例，即G 是不含4-圈和5-圈，它本身不是(1,0,0)-可染的，但G 的每一个真子

图都是(1,0,0)-可染的。第二部分就是介绍了极小反例G 的一些性质，再通过权

转移方法证明极小反例是不存在的，从而证明了定理是成立的。

极小反例的性质如下：

Lemma 1 若()D Int v ∈,则D 在v G -中未变坏.

Lemma 2 若()D Int v ∈，则()3≥v d .

Lemma 3 G 无分离好圈.

Lemma 4 3-点v 及其邻点均内点，则v 至少有一个4+-邻点

Lemma 5 真内(3,3,4)--面的外邻点均4+点

Lemma 6 D 无弦

Lemma 7 二路与D 围成3-面.

Lemma '7 三路与D 围成5-面.

Lemma 8 四路与D 围成5-面或7-面

Lemma 9 五路与D 围成k -圈，{}7,8,9k ∈

Lemma 11 内4-点有一个悬挂(3,3,3)-面，则它不会有任何悬挂(3,3,4)--面

Lemma 12 内4-点关联一个(3,4,4)-面，则它不会有悬挂(3,3,4)-面

这些性质的证明都是利用反证法。先假设性质不成立，再通过删点粘点或插

边对G 作图变换得'G 。根据G 的极小性，先将?延拓到'G 上，从而得'G 的一个

(1,0,0)-染色，再将'G 进行补染，从而得到G 的一个(1,0,0)-染色，与G 是极

小反例相矛盾。

第三部分是权转移

4 心得体会

现代图论这门课程，打破了原有教师台上讲课，学生台下听课的模式，它要

求每一位同学都上台去做论文报告，还要进行相应的板书。一方面提高了学生板

书、讲课等教师所应具备的能力；另一方面，在教师的悉心指导之下，扫清论文

不懂、模糊的障碍，加深了对论文的理解。而每一个同学所报告的论文内容各不

相同，但有些也有想通之处，开拓了我们的视野。讲课方式以及思维方式的不同

也拓宽了我们的知识面和研究思维。总而言之，现代图论该课程给我带来了深远

的影响，使我自己从中受益匪浅。

5 参考文献

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