云大2006数学分析

云南大学2006年硕士研究生入学考试试题

专业：基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论 考试科目：数学分析

一、计算极限

1

、29lim ln 1n n n n n n →∞??+??+ ? ? ?-???

?， 2、设当0x →时，23013

x t x x e dt ---?与n x 是同阶无穷小量，求正整数n 的值。 二、已知f(x)的一个原函数为sin x x

，求3()x f x dx '? 三、证明不等式()1ln 2,011x x x x

+><<- 四、设f(x)在[0,a]上有连续的导数，若f(0)= f(a)，求证：至少存在一点()0,a ξ∈，使得

()2()3(()0)f f f ξξξ'=-

五、求幂级数()

201n n n x ∞=+∑的收敛域、和函数，并求级数()()20112n n n n ∞=-+∑的和。

六、将函数()(50)f x x x =-≤≤展开成周期为10的正弦级数。

七、设u,v 为x,y 的隐函数，它们由方程组01xu yv yu xv +=??

+=?确定，在点（1，0，0，1）处求 八、设()()()11[]22x at x at

u x at x at d a ??ψξξ+-=++-+?，其中?和ψ分别具有一、二阶连续偏导数，证明22222

0u u a t x ??-=??

九、计算积分D ，其中，D 是圆()2

211x y ++=与直线y x =-围成的小部分区域。

十、计算积分()()2212S

dydz x y dzdx x x z dxdy +-+-??，其中，S 是曲面221z x y =++被平面z=2所截得的一块曲面的下侧。