高考中的分段函数

云南省下关第一中学郭润仙

分段函数既能考查函数的概念及性质,又能体现分类讨论,数形结合的数学思想方法,故成为高考命题热点之一.下面就高考中分段函数的题型及解题策略做一归纳,希望同学们能有所收获.

一. 求分段函数的函数值

已知分段函数解析式求对应的函数值,这类问题是高考数学试题最常考的题型,解决这类问题的关键就是弄清自变量所在区间,然后代入对应区间的解析式求值;若是求"层层套"的函数值,要从内到外逐层计算.

例1.(2015 理5)设函数211log (2),1,

()2,1,

x x x f x x -+-

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12 【答案】C

【解析】试题分析：由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以

22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ．

例2(2015陕西文4) 设

，则

（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】

例3(2015 全国课标1文10)已知函数1222,1

()log (1),1

x x f x x x -?-≤=?-+>? ，

且()3f a =-，则(6)f a -= ( ) A.74- B.54- C.34- D.14

- 【答案】A

【解析】试题分析：∵()3f a =-，∴当1a ≤时，1

()2

23a f a -=-=-，则121a -=-

，此

等式显然不成立，当1a >时，2log (1)3a -+=-，解得7a =， ∴(6)f a -=(1)f -=117

224

---=-

，故选A. 二. 求分段函数的值域或最值

已知分段函数解析式求值域或最值,是高考数学试题的最基本题型.解决这类问题的关键就是求出分段函数中每一个区间对应函数值的范围或每一个区间上的最值(再进行比较),借助于图象也是解决这类问题的常用方法.

例4(2015浙江文12)已知函数，则，

的最小值是．【答案】

例5( 2015福建理14)若函数（且）的值域是

，则实数

的取值范围是．

【答案】

三.分段函数的性质的判断与应用

1. 分段函数的单调性: 分段函数的单调性必须每一段都单调,而且要关注分段点处的情况.

2. 分段函数的奇偶性:必须对每一段的奇偶性进行单独讨论,由函数及偶性的定义,得出奇

偶性的结论,或由函数图象来判断.

例6(2014福建理7)已知函数()?

??≤>+=0,cos 0

,12x x x x x f 则下列结论正确的是（）

A.()x f 是偶函数

B. ()x f 是增函数

C.()x f 是周期函数

D.()x f 的值域为[)+∞-,1

解析: 做出函数的图象,则可直观看出, ()x f 不是偶函数,不是增函数,不是周期函数, 其值域是[)+∞-,1,故选D

例7(2015湖北理6)已知符号函数

是

上的增函数，

，则（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】试题分析：因为

是

上的增函数，令

，所以

，

因为，所以是上的减函数，由符号函数知，

三. 分段函数与方程的交汇(或求分段函数的零点)

分段函数与方程的交汇性试题是今近年来高考数学试题的热点题型. .解决这类问题要对不同区间进行分类讨论,列出不同方程来求解,然后整合. 求分段函数的零点问题主要是零点个数问题,常转化为两个函数图象的交点个数问题去解决,关键是作出函数的图象. 例8(2015理山东（10）)设函数f(x)=

,则满足

的取值范

围是（）

（A ）[

,1] （B ）[0,1] （C ）[

）（D ）[1, + ）

【答案】C

例9(2015天津理（8）)已知函数()()2

2,2,

x x f x x x ?-≤?=?->?? 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( )

（A ）7,4??+∞

??? （B ）7,4??-∞ ??? （C ）70,4?? ???（D ）7,24??

???

【答案】D

【解析】试题分析：由()()2

2,2,2,2,x x f x x x -≤??=?->??得222,0

(2),0x x f x x x --≥??-=?

()(2)42,

0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ?-+

=+-=---≤≤??--+->?

，即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ?-+

=+-=≤≤??-+>?

()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程 ()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图

象的4个公共点，由图象可知

b <<

四.分段函数与不等式的交汇

分段函数与不等式的交汇性试题是今近年来高考数学试题的亮点,难度偏大. .解决这类问题要对不同区间进行分类求解,然后整合,或利用分段函数的单调性结合图象求解.

例10(2013全国课标1文（15）)设函数()113,1,,1,

x e x f x x x -?

=??≥?则使得()2f x ≤成立的x 的取

值范围是________. 解析:依题意,2)(,11

≤=≤-x e

x f x 解得2ln 1+≤x 又1≤x 故1≤x

2)(,13

≤=≥x x f x 解得8≤x 又1≥x 故81≤≤x 综上知 x 的取值范围是

(]8,∞-

例11(2013全国1理11)已知函数()f x =22,0

ln(1),0

x x x x x ?-+≤?+>?，若|()f x |≥ax ，则a 的取值范围

是( )

A .(,0]-∞

B .(,1]-∞

C .[-2,1]

D .[-2,0]

【解析】∵|()f x |=22,0ln(1),0x x x x x ?-≤?+>?，∴由|()f x |≥ax 得，202x x x ax ≤??-≥?且0

ln(1)x x ax >??

+≥?，由20

2x x x ax

≤??-≥?可得2a x ≥-，则a ≥-2，排除Ａ，Ｂ，当a =1时，易证ln(1)x x +<对0x >恒成立，故a =1不适合，排除C ，故选D.

通过以上例子我们不难发现解决分段函数的问题,根据解析式若能画出大致图象,其值域,最值,单调性,奇偶性等问题就会迎刃而解,方程,不等式的问题用数形结合思想,分类讨论的思想来解,使问题得到大大化简,效果明显.总之,解决分段函数的策略一句话来说就是"分段函数,分段解决”

分段函数的几种常见题型和解法

函数的概念和性质考点分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 2．求分段函数的函数值例2．已知函数2 |1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()]f f .

例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（） 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? y x

分段函数的几种常见题型及解法

分段函数的几种常见题型及解法分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0]; ()(0,2);3 [2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈?? ∈+∞?的定义域、值域. 【解析】作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为 [1,)-+∞, 值域为(1,3]-. 2．求分段函数的函数值例2．（05年浙江理）已知函数2 |1|2,(||1) ()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12 [()]f f . 【解析】因为311222()|1|2f =--=-, 所以3 12 22 3 2 14[()]()1() 13 f f f =-== +-. 3．求分段函数的最值例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值.

【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, m ax ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有m ax ()4f x =. 4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（） 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 【解析】当[2,0]x ∈-时, 1 2 1y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移 1个单位, 得解析式为11 2 2 (2)111y x x = -+-= -, 所以 ()22 ( [f x x x = + ∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2 个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以 1 2 ()2([0,2])f x x x = +∈, 综上可得2 22(10) ()2(02)x x x f x x +-≤≤?=?+<≤?, 故选A . 5．作分段函数的图像例5．函数|ln | |1|x y e x =--的图像大致是（） y x

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历年高考数学真题精选（按考点分类）专题八分段函数（学生版）一．选择题（共19小题） 1．（2010?天津）设函数2()2g x x =-，()4,() ()(),()g x x x g x f x g x x x g x ++??是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．1(0,)3 C ．11[,)73 D ．1[,1)7 5．（2006?山东）设12 3 2,2 ()log (1),2x e x f x x x -?的解集为( ) A ．(1，2)(3?，)+∞ B ．，)+∞ C ．(1 ，2)?)+∞ D ．(1,2) 6．（2005?山东）函数21sin(),10 (),0x x x f x e x π-?-<<=?? …若f （1）f +（a ）2=，则a 的所有可能

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专题1.3 一题多变分段函数求值或范围【经典母题】已知函数f (x )＝?????2x －1 －2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( ) A.－74 B.－54 C.－34 D.－14 答案A. 【迁移探究1】设函数f (x )＝????? ? ?? ??12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞) C ．(－3,1) D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞) 解：法一：当a <0时，不等式f (a )<1为? ????12a －7<1，即? ????12a <8，即? ????12a －3，此时－30ax ＋1，x ≤0，若f (4)＝3，则f (x )>0的解集为( ) A ．{x |x >－1} B ．{x |－1－1且x ≠0} D.?????? ????x ??? －112 解：因为x >0时，f (x )＝log 2x ＋a ，所以f (4)＝2＋a ＝3，所以a ＝1. 所以不等式f (x )>0等价于? ???? x >0，log 2x ＋1>0，即x >12，或????? x ≤0x ＋1>0，即－10的解集为?????? ????x ??? －112. 答案D