高中数学瞬时变化率--导数
瞬时变化率--导数
教学目标：
(1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念
(2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度
(3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处 的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想
一、复习引入
1、什么叫做平均变化率；
2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率
3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？
下面我们来看一个动画。从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。
所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势
二、新课讲解
1、曲线上一点处的切线斜率
不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0
101)()(x x x f x f k PQ --=， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴x
x f x x f k PQ ?-?+=)()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当
△x 无限趋近于0时，x
x f x x f k PQ ?-?+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。 2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法：
x
x f x x f k ?-?+=)()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的斜率。 3、瞬时速度与瞬时加速度
(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度
(2) 位移的平均变化率：t
t s t t s ?-?+)()(00 (3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，t
t s t t s ?-?+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时速度
求瞬时速度的步骤：
1.先求时间改变量t ?和位置改变量)()(00t s t t s s -?+=?
2.再求平均速度t
s v ??= 3.后求瞬时速度：当t ?无限趋近于0，
t s ??无限趋近于常数v 为瞬时速度
(4)速度的平均变化率：t
t v t t v ?-?+)()(00 (5)瞬时加速度：当t ?无限趋近于0 时，
t t v t t v ?-?+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时加速度
注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率
三、数学应用
例1、已知f(x)=x 2，求曲线在x=2处的切线的斜率。
变式:1.求21()f x x
=过点(1,1)的切线方程 2.曲线y=x 3在点P 处切线斜率为k,当k=3时,P 点的坐标为_________
3.已知曲线()f x =P(0,0)的切线斜率是否存在?
例2.一直线运动的物体，从时间t 到t t +?时，物体的位移为s ?，那么s t
??为（ ） Ａ．从时间t 到t t +?时，物体的平均速度； Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度； Ｃ．当时间为t ?时物体的速度； Ｄ．从时间t 到t t +?时物体的平均速度
例3.自由落体运动的位移s(m)与时间t(s)的关系为s=22
1gt (1)求t=t 0s 时的瞬时速度
(2)求t=3s 时的瞬时速度
(3)求t=3s 时的瞬时加速度
点评：求瞬时速度，也就转化为求极限，瞬时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景
苏教版高中数学选修2-2《1.1.2 瞬时变化率——导数(2)》教案
教学目标： 1．理解并掌握瞬时速度的定义； 2．会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度； 3．理解瞬时速度的实际背景，培养学生解决实际问题的能力． 教学重点： 会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度． 教学难点： 理解瞬时速度和瞬时加速度的定义． 教学过程： 一、问题情境 1．问题情境． 平均速度：物体的运动位移与所用时间的比称为平均速度． 问题一平均速度反映物体在某一段时间段内运动的快慢程度．那么如何刻画物体在某一时刻运动的快慢程度？ 问题二跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的．假设t 秒后运动员相对于水面的高度为h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10,试确定t＝2s时运动员的速度. 2．探究活动： (1)计算运动员在2s到2.1s(t∈)内的平均速度． (2)计算运动员在2s到（2＋?t）s(t∈)内的平均速度． (3)如何计算运动员在更短时间内的平均速度． 探究结论：
当?t →0时，v →－13.1， 该常数可作为运动员在2s 时的瞬时速度． 即t ＝2s 时，高度对于时间的瞬时变化率． 二、建构数学 1．平均速度． 设物体作直线运动所经过的路程为()s f t ＝,以0t 为起始时刻，物体在?t 时间内的平均速度为00()() ????f t t f t s v t t ＋－＝ ＝． v 可作为物体在0t 时刻的速度的近似值，?t 越小，近似的程度就越好．所以当 ?t →0时，v 极限就是物体在0t 时刻的瞬时速度． 三、数学运用 例1 物体作自由落体运动，运动方程为21 2 S gt ＝，其中位移单位是m ，时 间单位是s ，210m/s g ＝，求： （1） 物体在时间区间 s 上的平均速度；
高中高等数学常用导数积分公式查询表
导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高中数学导数与积分知识点
高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
苏教版数学高二- 选修2-2试题《瞬时变化率—导数—瞬时速度与瞬时加速度》(二)
1.1.3 瞬时变化率——导数 同步检测 (二) 一、基础过关 1．下列说法正确的是________(填序号)． ①若f′(x 0)不存在，则曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处就没有切线； ②若曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处有切线，则f′(x 0)必存在； ③若f′(x 0)不存在，则曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处的切线斜率不存在； ④若曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处没有切线，则f′(x 0)有可能存在． 2．已知y ＝f(x)的图象如图所示，则f′(x A )与f′(x B )的大小关系是________． 3．已知f(x)＝1x ，则当Δx→0时，f 2＋Δx －f 2Δx 无限趋近于________． 4．曲线y ＝x 3＋x －2在点P 处的切线平行于直线y ＝4x －1，则此切线方程为 ____________． 5．设函数f(x)＝ax 3＋2，若f′(－1)＝3，则a ＝________. 6．设一汽车在公路上做加速直线运动，且t s 时速度为v(t)＝8t 2＋1，若在t ＝t 0时的加速度为6 m/s 2，则t 0＝________ s. 二、能力提升 7．已知函数y ＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y ＝12 x ＋2，则f(1)＋f′(1)＝________. 8．若函数y ＝f(x)的导函数在区间上是增函数，则函数y ＝f(x)在区间上的图象可能是________．(填序号)
9．若曲线y＝2x2－4x＋P与直线y＝1相切，则P＝________. 10．用导数的定义，求函数y＝f(x)＝1 x 在x＝1处的导数． 11．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10.求： (1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程． 12．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y ＝6平行，求a的值． 三、探究与拓展 13．根据下面的文字描述，画出相应的路程s关于时间t的函数图象的大致形状： (1)小王骑车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； (2)小华早上从家出发后，为了赶时间开始加速； (3)小白早上从家出发后越走越累，速度就慢下来了．
高中数学公式大全 文科
第1页（共11页） 高中数学公式及知识点速记 （文科55个） 一、函数、导数 1、函数的单调性 (1)设2121],,[x x b a x x 、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在 上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在 上是减函数. (2)设函数)(x f y 在某个区间内可导，若0)( x f ，则)(x f 为增函数；若0)( x f ，则)(x f 为减函数. 2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f ，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f ，则)(x f 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 3、函数)(x f y 在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y 在点0x 处的导数是曲线)(x f y 在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ，相应的切线方程是))((000x x x f y y .
第2页（共11页） 4、几种常见函数的导数 ①'C 0 ；②1')( n n nx x ； ③x x cos )(sin ' ；④x x sin )(cos ' ； ⑤a a a x x ln )(' ；⑥x x e e ')(； ⑦a x x a ln 1)(log ' ；⑧x x 1)(ln ' 5、导数的运算法则 （1）' ' ' ()u v u v . （2）' ' ' ()uv u v uv . （3）'' '2()(0)u u v uv v v v . 6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数 y f x 的极值的方法是：解方程 0f x ．当 00f x 时： (1) 如果在0x 附近的左侧 0f x ，右侧 0f x ，那么 0f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧 0f x ，右侧 0f x ，那么 0f x 是极小值． 二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 8、同角三角函数的基本关系式 22sin cos 1 ，tan = cos sin . 9、正弦、余弦的诱导公式 k 的正弦、余弦，等于 的同名函数，前面加上把 看成锐角时该函数的符号； 2 k 的正弦、余弦，等于 的余名函数，前面加上把 看成锐角时该函数的符号。
瞬时变化率--导数
课题:瞬时变化率—导数 教学目标： (1)理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念 (2)会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度 (3)理解导数概念 实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处 的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想 一、复习引入 1、什么叫做平均变化率； 2、曲线上两点的连线（割线）的斜率与函数f(x)在区间[x A ，x B ]上的平均变化率 3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？ 下面我们来看一个动画。从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。 所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势 二、新课讲解 1、曲线上一点处的切线斜率 不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0101)()(x x x f x f k PQ --= ， 设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴x x f x x f k PQ ?-?+=)()(00 当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，x x f x x f k PQ ?-?+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。 2、曲线上任一点(x 0，f(x 0))切线斜率的求法： x x f x x f k ?-?+=)()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的斜率。 3、瞬时速度与瞬时加速度
高中数学导数题型总结
导数 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值围。 例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 （1）求a 、b 的值； （2）若对于任意的[03]x ∈， ，都有2 ()f x c <成立，求c 的取值围。 点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤：①求导数()x f '； ②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出，得出单调区间，由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。
例7. 已知a 为实数，()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。 解析：（1）()a x ax x x f 442 3 +--=，∴ ()423'2 --=ax x x f 。 （2）()04231'=-+=-a f ，2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ，即()()0143=+-x x ，解得1-=x 或3 4 =x ， 则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ，275034-=??? ??f 。所以，()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ，最 小值为()2 9 1= -f 。 答案：（1）()423'2 --=ax x x f ；（2）最大值为275034- =?? ? ??f ，最小值为()2 91=-f 。 点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值，要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值，然后与()a f 和()b f 进行比较，从而得出函数的最大最小值。 考点七：导数的综合性问题。 例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。（1）求a ，b ，c 的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。
高中数学选修2-2导数--导数的运算(解析版)
高中数学选修2-2导数--导数的运算（解析版） 1．若f (x )＝sin π 3 －cos x ，则f ′(α)等于( ) A ．Sin α B ．Cos α C ．sin π3＋cos α D ．cos π 3＋sin α [答案] A [解析] ∵f (x )＝sin π 3 －cos x ，∴f ′(x )＝sin x ，∴f ′(α)＝sin α，故选A. 2．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1B ．n ＋2n ＋1C.n n －1 D ．n ＋1n [答案] A [解析] ∵f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，∴数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和为： S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1 n (n ＋1)＝????1－12＋????12－13＋…＋????1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1 ，故选A. 3．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( ) [答案] B [解析] 依题意可设f (x )＝ax 2＋c (a <0，且c >0)，于是f ′(x )＝2ax ，显然f ′(x )的图象为直线，过原点，且斜率2a <0，故选B. 4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．e － 1B ．－1C ．－e － 1 D ．－e [答案] C [解析] ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1 e ， 解得f ′(e)＝－1 e ，故选C.
高中文科数学公式大全(完美版)
高三文科数学公式及知识点 一、函数、导数 1、函数的单调性 (1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是 ))((000x x x f y y -'=-. 4、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ' )(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos ' -=； ⑤a a a x x ln )(' =；⑥x x e e =' )(； ⑦a x x a ln 1)(log ' = ；⑧x x 1)(ln ' = 5、导数的运算法则 （1）' ' ' ()u v u v ±=±. （2）' ' ' ()uv u v uv =+. （3）'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 8、同角三角函数的基本关系式 22sin cos 1θθ+=，tan θ= θ θ cos sin . 10、和角与差角公式 sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ±±=.
3.1 变化率与导数 教学设计 教案
教学准备 1. 教学目标 知识与技能 1.理解平均变化率的概念. 2.了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念. 3.理解导数的概念 4.会求函数在某点的导数或瞬时变化率. 过程与方法 理解平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率． 情感、态度与价值观 感受数学模型刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力． 2. 教学重点/难点 教学重点 平均变化率的概念． 教学难点 平均变化率概念的形成过程． 3. 教学用具 多媒体、板书 4. 标签 教学过程 教学过程设计
创设情景、引入课题 【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。 【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。 新知探究 1.变化率问题 探究1 气球膨胀率 【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 【分析】 （1）当V从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 （2）当V从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为
苏教版高中数学选修2-2《1.1.2 瞬时变化率——导数(3)》教案
教学目标： 1．通过大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵； 2．会求简单函数的导数，通过函数图象直观地了解导数的几何意义； 3．体会建立数学模型刻画客观世界的“数学化”过程，进一步感受变量数学的思想方法． 教学重点： 导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵，导数的几何意义． 教学难点： 对导数的几何意义理解． 教学过程： 一、复习回顾 1．曲线在某一点切线的斜率． ()()PQ f x x f x k x ＋－＝??（当?x 无限趋向0时，k PQ 无限趋近于点P 处切线斜率） 2．瞬时速度． v 在t 0的瞬时速度＝00()()f t t f t t ??＋－ 当?t →0时． 3．物体在某一时刻的加速度称为瞬时加速度． x
v 在t 0的瞬时加速度＝ 00()()v t t v t t ??＋－ 当?t →0时． 二、建构数学 导数的定义． 函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）上有定义，x 0∈(a ，b )，如果自变量x 在x 0处 有增量△x ，那么函数y 相应地有增量△y ＝f (x 0＋△x )－f (x 0)；比值 y x ??就叫函数y ＝f （x ）在x 0到（x 0＋△x ）之间的平均变化率，即00()()f x x f x y x x +?-?=??．如果当0x ?→时，y A x ?→?，我们就说函数y ＝f （x ）在点x 0处可导，并把A 叫做函数y ＝f （x ）在点x 0处的导数，记为0x x y =' ， 0'000()()(),0x x f x x f x y y f x x x x =+?-?'===?→??当 三、数学运用 例1 求y ＝x 2＋2在点x ＝1处的导数. 解 ?y ＝－(12＋2)＝2?x ＋(?x )2 y x ??＝2 2()x x x ???＋＝2＋?x ∴y x ??＝2＋?x ，当?x →0时，1x y '∣＝＝2． 变式训练：求y ＝x 2＋2在点x ＝a 处的导数. 解 ?y ＝－(a 2＋2)＝2a ?x ＋(?x )2 y x ??＝2 2()a x x x ???＋＝2a ＋?x ∴y x ??＝2a ＋?x ，当?x →0时，y '＝2a ． 小结 求函数y ＝f (x )在某一点处的导数的一般步骤： （1）求增量 ?y ＝f (x 0＋?x )－f (x 0)； （2）算比值 y x ??＝00()()f x x f x x ??＋－； （3）求0x x y '∣＝＝y x ??，在?x →0时． 四、建构数学 导函数．
高中导数公式大全
C'=0(C为常数函数)； (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*)；熟记1/X的导数 (sinx)' = cosx； (cosx)' = - sinx； (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 -(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanx·secx (cscx)'=-cotx·cscx (arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=-1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2) (sinhx)'=hcoshx (coshx)'=-hsinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 (sechx)'=-tanhx·sechx (cschx)'=-cothx·cschx (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1) (arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1) (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2) (e^x)' = e^x； (a^x)' = a^xlna （ln为自然对数） (Inx)' = 1/x（ln为自然对数） (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) (1/x)'=-x^(-2) .y=c(c为常数) y'=0 .y=x^n y'=nx^(n-1) .y=a^x y'=a^xlna y=e^x y'=e^x y=lnx y'=1/x .y=sinx y'=cosx .y=cosx y'=-sinx .y=tanx y'=1/cos^2x .y=cotx y'=-1/sin^2x
3.1变化率与导数(教学设计)(3)
3．1变化率与导数（教学设计）（3） 3．1．3导数的几何意义 教学目标： 知识与技能目标： 通过实验探究，理解导数的几何意义，体会导数在刻画函数性质中的作用。 过程与方法目标： 培养学生分析、抽象、概括等思维能力；通过“以直代曲”思想的具体运用，使学生达到思维方式的迁移，培养学生科学的思维习惯。 情感、态度与价值观目标： 渗透逼近和“以直代曲”思想，能激发学生的学习兴趣，培养学生不断发展、探索知识的精神，引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想方法的魅力。 教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义． 教学过程： 一、复习回顾： 导数的概念： 从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 000 ()() lim lim x x f x x f x f x x ?→?→+?-?=?? 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0 ' |x x y =，即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 （2）0x x x ?=-，当0x ?→时，0x x →，所以000 ()() ()lim x f x f x f x x x ?→-'=- 二．创设情景，新课引入： （一）平均变化率、割线的斜率 （二）瞬时速度、导数 我们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的变化情况，导数0()f x '的几何意义是什么呢？ 三．师生互动，新课讲解： （一）曲线的切线及切线的斜率： 如图 3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n P P 的变化趋势是什么？ 图3.1-2
高中数学-导数的概念及运算练习
高中数学-导数的概念及运算练习 1．y ＝ln 1 x 的导函数为( ) A ．y ′＝－1 x B ．y ′＝1 x C ．y ′＝lnx D ．y ′＝－ln(－x) 答案 A 解析 y ＝ln 1x ＝－lnx ，∴y ′＝－1 x . 2．(·东北师大附中摸底)曲线y ＝5x ＋lnx 在点(1，5)处的切线方程为( ) A ．4x －y ＋1＝0 B ．4x －y －1＝0 C ．6x －y ＋1＝0 D ．6x －y －1＝0 答案 D 解析 将点(1，5)代入y ＝5x ＋lnx 成立，即点(1，5)为切点．因为y ′＝5＋1x ，所以y ′|x ＝1＝5＋1 1＝6. 所以切线方程为y －5＝6(x －1)，即6x －y －1＝0.故选D. 3．曲线y ＝x ＋1 x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12 答案 D 解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2 （x －1）2，故曲线在(3，2)处的切线的斜率k ＝ y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－1 2 ，故选D. 4．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2 ＋2t ，那么速度为零的时刻是( ) A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末 D ．1秒末和2秒末 答案 D 解析 ∵s＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t)＝t 2 －3t ＋2. 令v ＝0，得t 2 －3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2. 5．(·郑州质量检测)已知曲线y ＝x 2 2－3lnx 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12 答案 A
基本初等函数的导数公式表
基本初等函数的导数 公式表 Revised on November 25, 2020
导数基本知识汇总试题 基本知识点： 知识点一、基本初等函数的导数公式表（须掌握的知识点） 1、=c '0 2、=n n x nx -1'（） （n 为正整数） 3、ln =x x a a a '（） =x x e e '（） 4、ln =a long x x a 1 '（） 5、ln =x x 1 '（） 6、sin cos =x x '（） 7、cos sin =-x x '（） 8、=-x x 211 '（） 知识点二：导数的四则运算法则 1、v =u v u ''' ±±（） 2、=u v uv v u '''+（） 3、(=Cu Cu ''） 4、u -v =u v u v v 2'' '（） 知识点三：利用函数导数判断函数单调性的法则 1、如果在(,)a b 内，()f x '>0，则()f x 在此区间是增区间，(,)a b 为()f x 的单调增区间。 2、如果在(,)a b 内，()f x '<0，则()f x 在此区间是减区间，(,)a b 为()f x 的单调 减区间。 一、计算题 1、计算下列函数的导数； （1）y x 15=
（2） )-y x x 3=≠0（ （3）)y x x 54=0 （ （4）)y x x 23=0 （ （5）)-y x x 23=0 （ （6）y x 5= （7）sin y x = （8）cos y x = （9）x y =2 （10）ln y x = （11）x y e = 2、求下列函数在给定点的导数； （1）y x 14= ，x =16 （2）sin y x = ， x π=2 （3）cos y x = ，x π=2 （4）sin y x x = ， x π=4 （5）3y x = ，1128（，）
《变化率问题与导数的概念》导学案
第1课时变化率问题与导数的概念 a 1.通过物理中的变化率问题和瞬时速度引入导数的概念. 2.掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤. 3.通过构建导数概念,使学生体会极限思想,为将来学习极限概念积累学习经验. 4.通过导数概念的教学教程,使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程. 借助多媒体播放2012年伦敦奥运会中国跳水运动员陈若琳夺得女子单人10米跳台冠军的视频.上节课我们已经学习了平均变化率的问题,我们知道运动员的平均速度不一定能够反映她在某一时刻的运动状态,而运动员在不同时刻的运动状态是不同的,我们需要借助于瞬时速度这样的量来刻画,那么我们如何才能求出运动员在某一时刻的瞬时速度呢? 问题1:根据以上情境,设陈若琳相对于水面的高度h (单位:m)与起跳后的时间t (单位:s) 存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,如果用她在某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么: (1)在0≤t≤0.5这段时间里,运动员的平均速度= . (2)在1≤t≤2这段时间里, 运动员的平均速度= . 问题2:函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率公式是.如果用x1与增量Δx
表示,平均变化率的公式是. 问题3:函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率的定义:一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是=,我们称它为函数y=f(x)在x=x 0处的导数,记作f'(x0)或y',即f'(x0)== . 问题4:在导数的定义中,对Δx→0的理解是:Δx>0,Δx<0,但. 1.已知函数y=f(x)=x2+1,当x=2,Δx=0.1时,Δy的值为(). A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44 2.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则(). A.f'(x)=a B.f'(x)=b C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b 3.一质点按规律s(t)=2t2运动,则在t=2时的瞬时速度为. 4.求y=2x2+4x在点x=3处的导数.
瞬时变化率——导数
1.1.2瞬时变化率——导数 1．结合实际背景理解函数的瞬时变化率——导数的概念及其几何意义．(重点、难点) 2．会求简单函数在某点处的导数及切线方程．(重点) 3．理解导数与平均变化率的区别与联系．(易错点) [基础·初探] 教材整理1曲线上一点处的切线 阅读教材P8～P9“例1”以上部分，完成下列问题． 设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线，随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线． 判断正误： (1)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．() (2)过曲线外一点作已知曲线的切线有且只有一条．() 【答案】(1)×(2)× 教材整理2瞬时速度与瞬时加速度 阅读教材P11～P12，完成下列问题． (1)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率S(t0＋Δt)－S(t0) Δt无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率． (2)一般地，如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率
v (t 0＋Δt )－v (t 0) Δt 无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加 速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率． 1．判断正误： (1)自变量的改变量Δx 是一个较小的量，Δx 可正可负但不能为零．( ) (2)瞬时速度是刻画某物体在某一时间段内速度变化的快慢．( ) 【答案】 (1)√ (2)× 2．如果质点A 按规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为________． 【解析】 Δs Δt ＝3(3＋Δt )2－3×3 2 Δt ＝18＋3Δt ， 当Δt →0时，Δs Δt ＝18＋3×0＝18. ∴质点A 在t ＝3时的瞬时速度为18. 【答案】 18 教材整理3 导数 阅读教材P 13～P 14，完成下列问题． 1．函数在一点处的导数及其几何意义 (1)导数 设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称 该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)． (2)导数的几何意义 导数f ′(x 0)的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率． 2．导函数 若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )．f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．
导数的运算法则及基本公式应用
120 导数的运算法则及基本公式应用 导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式.四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导. ●难点磁场 (★★★★★)已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标. ●案例探究 ［例1］求函数的导数： )1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y x x x y ω 命题意图：本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法.这是导数中比较典型的求导类型，属于★★★★级题目. 知识依托：解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数. 错解分析：本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错. 技巧与方法：先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y 222222222222222222222cos )1(sin )1)(1(cos )12(cos )1(] sin )1(cos 2)[1(cos )1(cos )1(]))(cos 1(cos )1)[(1(cos )1(cos )1(]cos )1)[(1(cos )1()1(:)1(++-+--=++---+-=+'++'+--+-=-+'+--+'-='解 (2)解：y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －by v =x ,y =sin γ γ=ωx y ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′ =3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′) =3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx ) (3)解法一：设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则 y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·2 1v －21·2x =f ′(12+x )·21 112+x ·2x =),1(122+'+x f x x 解法二：y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′
导数：平均变化率与瞬时变化率
【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 导数——平均变化率与瞬时变化率w 二. 本周教学目标： 1、了解导数概念的广阔背景，体会导数的思想及其内涵． 2、通过函数图象直观理解导数的几何意义． 三. 本周知识要点： （一）平均变化率 1、情境：观察某市某天的气温变化图 t (d) 20 2、一般地,函数f （x ）在区间[x 1，x 2]上的平均变化率2121 ()()f x f x x x -- 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”． （二）瞬时变化率——导数 1、曲线的切线 如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ ，当 点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线
割线PQ 的斜率为 PQ k =00()()f x x f x x +?-?，即当0→?x 时，00()()f x x f x x +?-?无 限趋近于点P 的斜率． 2、瞬时速度与瞬时加速度 1）瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻（某一位置）的速度，叫做瞬时速度. 2）确定物体在某一点A 处的瞬时速度的方法： 要确定物体在某一点A 处的瞬时速度，从A 点起取一小段位移AA 1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A 点的瞬时速度. 当位移足够小时，物体在这段时间内的运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A 点的瞬时速度． 我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s ＝s （t ），也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t 0，t 0+Δt ，现在问从t 0到t 0+Δt 这段时间内，物体的位移、平均速度各是： 位移为Δs ＝s （t 0+Δt ）－s （t 0）（Δt 称时间增量） 平均速度 t t s t t s t s v ?-?+=??= )()(00 根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间t 来表示，也就是说时间 足够短时，平均速度就等于瞬时速度. 现在是从t 0到t 0+Δt ，这段时间是Δt . 时间Δt 足够短，就是Δt 无限趋近于0．当Δt →0时，位移的平均变化率00()() s t t s t t +?-?无限趋近于一个常数，那么称这个常数为物体 在t ＝ t 0的瞬时速度 同样，计算运动物体速度的平均变化率00()() v t t v t t +?-?，当Δt →0时，平均速度00()() v t t v t t +?-?无限趋近于一个常数，那么这个常数为在t ＝ t 0时的瞬时加速度． 3、导数 设函数)(x f y =在（a,b ）上有定义，0(,)x a b ∈．若x ?无限趋近于0时，比值 x x f x x f x y ?-?+=??)()(00无限趋近于一个常数A ，则称f （x ）在x ＝0x 处可导，并称该常