中考数学压轴题20题(含答案_)

中考数学压轴题复习20题

1．在平面直角坐标系xO y 中，抛物线y ＝－

4

1 m x

2＋45m

x ＋m

2－3m ＋2与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，

点B （2，n ）在这条抛物线上．

（1）求点B 的坐标；

（2）点P 在线段OA 上，从O 点出发向A 点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动）．

①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；

②若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动）．过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当Q 点运动时，M 点、N 点也随之运动）．

若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．

2．在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点．

（Ⅰ）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；

（Ⅱ）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．

3．在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－x

2＋bx ＋c 与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为E ．

（Ⅰ）若b ＝2，c ＝3，求此时抛物线顶点E 的坐标；

（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足S △BCE

＝S △ABC

，求此时直线BC

的

解析式；

（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足S △BCE

＝2S △AOC

，且顶点E 恰好落在直线y ＝－4x ＋3上，求此时抛物线的解析式．

4．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，半径为1的圆A 与边AB 相交于点D ，与边AC 相交于点E ，连结DE 并延长，与线段BC 的延长线交于点P ． （1）当∠B ＝30°时，连结AP ，若△AEP 与△BDP 相似，求CE 的长； （2）若CE ＝2，BD ＝BC ，求∠BPD 的正切值；

（3）若tan ∠BPD ＝3

1

，设CE ＝x ，△ABC 的周长为y ，求y 关于x 的函数关系式．

5．已知：如图①，在平面直角坐标系xO y 中，边长为2的等边△OAB 的顶点B 在第一象限，顶点A 在x 轴的正半轴上．另一等腰△OCA 的顶点C 在第四象限，OC ＝AC ，∠C ＝120°．现有两动点P ，Q 分别从A ，O 两点同时出发，点Q 以每秒1个单位的速度沿OC 向点C 运动，点P 以每秒3个单位的速度沿A →O →B 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止. （1）求在运动过程中形成的△OPQ 的面积S 与运动的时间t 之间的函数关系，并写出自变量t 的取值范围； （2）在等边△OAB 的边上（点A 除外）存在点D ，使得△OCD 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标；

（3）如图②，现有∠MCN ＝60°，其两边分别与OB ，AB 交于点M ，N ，连接MN ．将∠MCN 绕着C 点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M ，N 始终在边OB 和边AB 上．试判断在这一过程中，△BMN 的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

6．已知抛物线y ＝ax

2＋bx ＋c （a ＞0）的图象经过点B （12，0）和C （0，－6），对称轴为x ＝2． （1）求该抛物线的解析式：

（2）点D 在线段AB 上且AD ＝AC ，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t （秒）和点Q 的运动速度；若不存在，请说明理由；

A

E C B P D 图2（备用） B P

E C D A 图3（备用） A B C P E D 图1

图②

图①

（3）在（2）的结论下，直线x ＝1上是否存在点M ，使△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

7．如图，抛物线y ＝ax

2＋bx ＋1与x 轴交于两点A （－1，0），B （1，0），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；

（2）过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ，求四边形ACBD 的面积；

（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

8．如图，已知抛物线y ＝

2

1x

2

＋bx ＋c 与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，－1）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；

（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由．

9．如图，已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为k （k ＞1），且△ABC 的三边长分别为a 、b 、c （a ＞b ＞c ），△A 1B 1C 1的三边长分别为a 1、b 1、c 1． （1）若c ＝a 1，求证：a ＝kc ；

（2）若c ＝a 1，试给出符合条件的一对△ABC 和△A 1B 1C 1，使得a 、b 、c 和a 1、b 1、c 1都是正整数，并加以说明；

（3）若b ＝a 1，c ＝b 1，是否存在△ABC 和△A 1B 1C 1，使得k ＝2？请说明理由．

10．如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，AC ＝BC ，∠BAC 的平分线AD 与⊙O 交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结OG ． （1）判断OG 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明； （2）求证：AE ＝BF ； （3）若OG ·DE ＝3(2－2)，求⊙O 的面积．

11．已知：抛物线y ＝ax

2＋bx ＋c （a ≠0）的对称轴为x ＝－1，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，

其中A （－3，0）、C （0，－2）． （1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得△PBC 的周长最小．请求出点P 的坐标．

（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE ∥PC 交x 轴于点E ，连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，△PDE 的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

12．（本小题满分12分）如图，BD 是⊙O 的直径，OA ⊥OB ，M 是劣弧上一点，过M 点作⊙O 的切线MP 交OA 的延长线于P 点，MD 与OA 交于N 点． （1）求证：PM ＝PN ； （2）若BD ＝4，P A ＝

2

3

AO ，过B 点作BC ∥MP 交⊙O 于C 点，求BC 的长． B C A

A 1 a b c

B 1

C 1 a 1

b 1

c 1 A C B F D E

O G

13．如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO ，其顶点为A （0，1）、B （－33，1）、C （－33，0）、O （0，0）．将此矩形沿着过E （－3，1）、F （－

3

3

4，0）的直线EF 向右下方翻折，B 、C 的对应点分别为B ′、C ′．

（1）求折痕所在直线EF 的解析式；

（2）一抛物线经过B 、E 、B ′

三点，求此二次函数解析式；

（3）能否在直线EF 上求一点P ，使得△PBC 周长最小？如能，求出点P 的坐标；若不能，说明理由．

14．已知：甲、乙两车分别从相距300（km ）的M 、N

回，图1、图2分别是它们离各自出发地的距离y （km ）与行驶时间x （h ）之间的函数图象． （1）试求线段AB

所对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）当它们行驶到与各自出发地的距离相等时，用了

2

9

h ，求乙车的速度； （3）在（2）的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间．

y h

图1

y h

图2

15．如图1，在△ABC 中，AB ＝BC ，且BC ≠AC ，在△ABC 上画一条直线，若这条直线．．既平分△ABC 的面积，又平分△ABC 的周长，我们称这条线为△ABC 的“等分积周线”． （1）请你在图1中用尺规作图作出一条△ABC 的“等分积周线”；

（2）在图1中过点C 能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由； （3）如图2，若AB ＝BC ＝5cm ，AC ＝6cm ，请你找出△ABC 的所有“等分积周线”，并简要说明确定的方法．

16．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，点P 以一定的速度沿AC 边由A 向C 运动，点Q 以1cm/s 的速度沿CB 边由C 向B 运动，设P 、Q 同时运动，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t （s ）． （1）若点P 以

4

3

cm/s 的速度运动 ①当PQ ∥AB 时，求t 的值；

②在①的条件下，试判断以PQ 为直径的圆与直线AB 的位置关系，并说明理由．

（2）若点P 以1cm/s 的速度运动，在整个运动过程中，以PQ 为直径的圆能否与直线AB 相切？若能，请

求出运动时间t ；若不能，请说明理由．

17．青海玉树发生7.1级强震后，为使人民的生命财产损失降到最低，部队官兵发扬了连续作战的作风。刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令，一分队立即出发前往距营地30千米的A 镇；二分队因疲劳可在营地休息a （0≤

a

≤3）小时再前往A 镇参加救灾。一分队出发后得知，唯一通往A 镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路。已知一分队的行进速度为b 千米/时，二分队的行进速度为（4＋a ）千米/时．

（1）若二分队在营地不休息，要使二分队在最短时间内赶到A 镇，一分队的行进速度至少为多少千米/时？ （2）若b ＝4千米/时，二分队和一分队同时赶到A 镇，二分队应在营地休息几小时？

18．如图1、2是两个相似比为1 :2的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．

（1）在图3中，绕点D 旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC 、BC 交于点E 、F ，如图4． 求证：AE 2＋BF 2＝EF 2；

A B C 图2 A B C 图1

A C

B P

A

B 备用图

（2）若在图3中，绕点C 旋转小直角三角形，使它的斜边和CD 延长线分别与AB 交于点E 、F ，如图5，此时结论AE 2＋BF 2＝EF 2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，满足△CEF 的周长等于正方形ABCD 的周长的一半，AE 、AF 分别与对角线BD 交于M 、N ，试问线段BM 、MN 、DN 能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由． ；

19．如图，直线y ＝k 1x ＋b 与反比例函数y ＝x

k 2

（x ＞0）的图象交于A （1，6），B （a ，3）两点． （1）求k 1、k 2的值；

（2）直接写出k 1x ＋b －

x

k 2

＞0时x 的取值范围； （3）如图，等腰梯形OBCD 中，BC ∥OD ，OB ＝CD ，OD 边在x 轴上，过点C 作CE ⊥OD 于E ，CE 和反比例函数的图象交于点P ，当梯形OBCD 的面积为12时，请判断PC 和PE 的大小关系，并说明理由．

B 图2 A

C B

图3

A C

D D 图1 B

图4

A

C D E F B

图5

A

C D E

F

A C

D

F

M

N

20．

（1）操作发现·

如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF ＝DF ，你同意吗？说明理由． （2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC ＝2DF ，求AB

AD

的值； （3）类比探究

保持（1）中的条件不变，若DC ＝n ·DF ，求AB

AD

的值．

1．解：（1）∵抛物线y ＝－

4

1 m x

2＋45m

x ＋m

2－3m ＋2经过原点

∴m

2－3m ＋2＝0，解得m 1＝1，m 2＝2

由题意知m 1≠1，∴m ＝2 ∴抛物线的解析式为y ＝－

41x

2＋2

5x ∵点B （2，n ）在抛物线y ＝－

41x

2＋2

5

x 上，∴n ＝4 ∴点B 的坐标为（2，4） ······································· 2分 （2）①设直线OB 的解析式为y ＝k 1x 求得直线OB 的解析式为y ＝2x

∵A 点是抛物线与x 轴的一个交点，可求得A 点的坐标为（10，0） 设P 点的坐标为（a ，0），则E 点的坐标为（a ，2a ） 根据题意作等腰直角三角形PCD ，如图1 可求得点C 的坐标为（3a ，2a ） 由C 点在抛物线上，得2a ＝－41×(3a )2

＋2

5×3a 即

49a

2－211a ＝0，解得a 1＝9

22

，a 2＝0（舍去） ∴OP ＝

9

22 ·························································· 4分 ②依题意作等腰直角三角形QMN 设直线AB 的解析式为y ＝k 2x ＋b

由点A （10，0），点B （2，4），求得直线AB 的解析式为y ＝－

2

1

x ＋5 当P 点运动到t

图1

图2

有以下三种情况：

第一种情况：CD 与NQ 在同一条直线上，如图2所示 可证△DPQ 为等腰直角三角形

此时OP 、DP 、AQ 的长可依次表示为t 、4t 、2t 个单位 ∴PQ ＝DP ＝4t ，∴t ＋4t ＋2t ＝10 ∴t ＝

7

10 第二种情况：PC 与MN 在同一条直线上，如图3所示 可证△PQM 为等腰直角三角形

此时OP 、AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位 ∴OQ ＝10－2t

∵F 点在直线AB 上，∴FQ ＝t ，∴MQ ＝2t ∴PQ ＝MQ ＝CQ ＝2t ，∴t ＋2t ＋2t ＝10 ∴t ＝2

第三种情况：点P 、Q 重合时，PD 与QM 在同一条直线上， 如图4所示

此时OP 、AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位 ∴t ＋2t ＝10 ∴t ＝

3

10

综上，符合题意的t 值分别为710，2，3

10 ····················································· 8分

2．解：（Ⅰ）如图1，作点D 关于x 轴的对称点D ′，连接CD ′

与x 轴交于点E ，连接DE

若在边OA 上任取点E ′（与点E 不重合），连接CE ′、DE ′、D ′E ′ 由DE ′＋CE ′＝D ′E ′＋CE ′＞CD ′＝D ′E ＋CE ＝DE ＋CE 可知△CDE 的周长最小

∵在矩形OACB 中，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点 ∴BC ＝3，D ′O ＝DO ＝2，D ′B ＝6

∵OE ∥BC ，∴Rt △D ′OE ∽Rt △D ′BC ，∴BC OE ＝

B

D O

D '' ∴O

E ＝

B

D O D ''·BC ＝62

×3＝1 ∴点E 的坐标为（1，0） ························································ 6分

（Ⅱ）如图2，作点D 关于x 轴的对称点D ′，在CB 边上截取CG ＝2，连接D ′G 与x 轴交于点E ，在EA 上截取EF ＝2，则四边形GEFC 为平行四边形，得GE ＝CF

又DC 、EF 的长为定值，∴此时得到的点E 、F 使四边形CDEF 的周长最小

图4

图1

∵OE ∥BC ，∴Rt △D ′OE ∽Rt △D ′BG ，∴BG OE ＝

B D O

D '' ∴O

E ＝

B

D O

D ''·BG ＝

B

D O D ''·(BC －CG )＝

62×1＝3

1 ∴OF ＝OE ＋EF ＝3

1＋2＝37

∴点E 的坐标为（31，0），点F 的坐标为（37

，0） ··················· 10分

3．解：（Ⅰ）当b ＝2，c ＝3时，抛物线的解析式为y ＝－x

2＋2x ＋3，即y ＝－(x －1)2＋4

∴抛物线顶点E 的坐标为（1，4） ····························································· 2分 （Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点E 在对称轴x ＝1上，又b ＝2 ∴抛物线的解析式为y ＝－x

2＋2x ＋c （a ＞0）

∴此时抛物线与y 轴的交点为C （0，c ），顶点为E （1，1＋c ） ∵方程－x

2＋2x ＋c ＝0的两个根为x 1＝1－c +1，x 2＝1＋c +1

∴此时抛物线与x 轴的交点为A （1－c +1，0），B （1＋c +1，0） 如图，过点E 作EF ∥CB 与x 轴交于点F ，连接CF ，则S △BCE

＝S △BCF

∵S △BCE

＝S △ABC

，∴S △BCF

＝S △ABC

∴BF ＝AB ＝2c +1

设对称轴x ＝1与x 轴交于点D ， 则DF ＝

2

1

AB ＋BF ＝3c +1 由EF ∥CB 得∠EFD ＝∠CBO ∴Rt △EDF ∽Rt △COB ，∴DF ED ＝

OB

CO

即

c

c ++131＝

c c

++11，结合题意，解得c ＝

4

5

∴点C （0，45），B （2

5

，0）

设直线BC 的解析式为y ＝mx ＋n ，则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧n m n ＋＝＝ 25045 解得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

-452

1

＝＝n m ∴直线BC 的解析式为y ＝－

21x ＋4

5

··························································· 6分 （Ⅲ）根据题意，设抛物线的顶点为E （h ，k ），（h ＞0，k ＞0） 则抛物线的解析式为y ＝－(x －h )2＋k 此时抛物线与y 轴的交点为C （0，－h

2＋k ），

与x 轴的交点为A （h －k ，0），B （h ＋k ，0）．（k ＞h ＞0） 过点E 作EF ∥CB 与x 轴交于点F ，连接CF ，则S △BCE

＝S △BCF

x ＝1

C y

O

A B

D

F

E

∵S △BCE

＝2S △AOC

，∴S △BCF

＝2S △AOC

∴BF ＝2AO ＝2(k －h )

设该抛物线的对称轴与x 轴交于点D ， 则DF ＝

2

1

AB ＋BF ＝3k －2h 由Rt △EDF ∽Rt △COB ，得

DF ED ＝

OB

CO

即

h

k k 23-＝

k

h k h ++-2，即2h

2－5k h ＋2k ＝0

结合题意，解得h ＝

2

k

① ∵点E （h ，k ）在直线y ＝－4x ＋3上， ∴k ＝－4h ＋3 ② 由①②，并结合题意，解得k ＝1 ∴k ＝1，h ＝

2

1 ∴抛物线的解析式为y ＝－x

2＋x ＋4

3 ························································· 10分

4．解：（1）∵∠B ＝30°，∠ACB ＝90°，∴∠BAC ＝60°

∵AD ＝AE ，∴∠AED ＝60°＝∠CEP

∴∠EPC ＝30° ······················································································· 1分 ∴△BDP 为等腰三角形

∵△AEP ∽△BDP ，∴∠EAP ＝∠EPA ＝∠DBP ＝∠DPB ＝30° ························· 2分 ∴AE ＝EP ＝1 ·························································································· 3分

∴在RT △ECP 中，EC ＝21EP ＝2

1

······························································ 4分 （2）如图2，过点D 作DQ ⊥AC 于点Q ，且设AQ ＝a ，BD ＝x ∵AE ＝1，EC ＝2，∴QC ＝3－a ∵∠ACB ＝90°，∴△ADQ ∽△ABC ∴

AB AD ＝AC

AQ ，即1x 1+＝3a

，∴a ＝

1x 3+ ∵在RT △ADQ 中，DQ ＝2

2

AQ AD

－＝21x 31)(+

－＝1

x 8

x 2x 2+-+ ∵

BC DQ ＝

AB

AD

，∴x 1x 8

x 2x 2+-+＝

1

x 1+ ······················································· 5分 解得x ＝4，即BD ＝4 ················································································ 6分 过点C 作CF//DP ，则△ADE ∽△AFC

A

∴

AC AE ＝

AF

AD

，∴AF ＝AC ，即DF ＝EC ＝2 ∴BF ＝DF ＝2 ············································· 7分 ∵△BFC ∽△BDP ，∴

BD BF ＝BP

BC ＝42＝21

即BC ＝CP ＝4 ············································ 8分 ∴tan ∠BPD ＝

CP EC ＝42＝2

1

··························· 9分 （3）如图3，过D 点作DQ ⊥AC 于点Q ，则△DQE ∽△PCE 设AQ ＝a ，则QE ＝1－a

∴EC QE ＝CP DQ 且ta n ∠BPD ＝3

1，∴DQ ＝3(1－a ) 在Rt △ADQ 中，由勾股定理得：AD

2＝AQ

2＋DQ

2

即1

2＝a

2＋[3(1－a )]2

，解得a ＝1（舍去）或a ＝54，∴DQ ＝5

3 ······················ 10分

∵△ADQ ∽△ABC ，∴AB AD ＝BC DQ ＝AC AQ ＝x 154

+＝

x

554+ ∴AB ＝

4x 55+，BC ＝4

x

33+ ···································································· 12分 ∴三角形ABC 的周长y ＝AB ＋BC ＋AC ＝

4x 55+＋4

x

33+＋1＋x ＝3＋3x 即y ＝3＋3（x ＞0） ················································································· 14分

5．解：（1）如图①，过点C 作CD ⊥OA 于点D

∵OC ＝AC ，∠ACO ＝120°，∴∠AOC ＝∠OAC ＝30° ∵OC ＝AC ，CD ⊥OA ，∴OD ＝DA ＝1 在Rt △ODC 中，OC ＝

AOC OD

∠cos ＝ο

30

cos 1＝332 ·········· 1分 （ⅰ）当0＜t

＜3

2

时，OQ ＝t ，AP ＝3t ，OP ＝2－3t

过点Q 作QE ⊥OA 于点E ，则EQ ＝2

1

t

∴S △OPQ

＝21OP ·EQ ＝21(2－3t )·21t ＝－43t

2＋2

1

t

即S

＝－

43t

2＋2

1t ···················································· 3分 （ⅱ）当

3

2

＜t

≤332时，如图②，OQ ＝t ，OP ＝3t －2

∵∠BOA ＝60°，∠AOC ＝30°，∴∠POQ ＝90°

∴S △OPQ

＝21OQ ·OP ＝21t ·(3t －2)＝2

3

t

2－t

B P

E

C

D

A 图3

Q

A Q

C B

P O

x

y

图①

E D A Q C B

P O

x

y

图②

即S

＝

2

3t 2

－t 故当0＜t

＜32时，S

＝－43t

2＋21t ，当32＜t

≤332时，S

＝2

3

t

2－t ···················· 5分

（2）D （

33，1）或（332，0）或（32，0）或（3

4

，332） ······················· 9分 （3）BMN 的周长不发生变化

如图③，延长BA 至点F ，使AF ＝OM ，连结CF ∵∠MOC ＝∠F AC ＝90°，OC ＝AC ，∴△MOC ≌△F AC ∴MC ＝CF ，∠MCO ＝∠FCA ··································· 10分 ∴FCN ＝∠FCA ＋∠NCA ＝∠MCO ＋∠NCA

＝∠OCA －∠MCN ＝60° ∴FCN ＝∠MCN

又∵MC ＝CF ，CN ＝CN ，∴△MCN ≌△FCN

∴MN ＝NF ····························································································· 11分 ∴BM ＋MN ＋BN ＝BM ＋NF ＋BN ＝BO －OM ＋BA ＋AF ＝BA ＋BO ＝4

∴BMN 的周长不变，其周长为4 ································································ 12分

6．解：（1）方法一：∵抛物线过C （0，－6），∴c ＝－6，即y ＝ax

2＋bx －6

由⎪⎩

⎪⎨⎧0

6121442

2 ＝＋＝

－－

b a a b

解得a ＝161，b ＝－41

∴该抛物线的解析式为y ＝161x

2－41

x －6 ······················································· 3分

方法二：∵A 、B 关于x ＝2对称，∴A （－8，0） 设y ＝a (x ＋8)(x －12)，∵C （0，－6）在抛物线上 ∴－6＝a (0＋8)(0－12)，∴a ＝

16

1 ∴该抛物线的解析式为y ＝161

(x ＋8)(x －12)

即y ＝161x

2－4

1

x －6 ·································· 3分

（2）存在，设直线CD 垂直平分PQ 在Rt △AOC 中，AC ＝2268

＋＝10＝AD

∴点D 在对称轴上，连结DQ ，显然∠PDC ＝∠QDC ······································· 4分 由已知∠PDC ＝∠ACD

∴∠QDC ＝∠ACD ，∴DQ ∥AC ·································································· 5分 DB ＝AB －AD ＝20－10＝10 ∴DQ 为△ABC 的中位线，∴DQ ＝

2

1

AC ＝5 ·················································· 6分

图③

AP ＝AD －PD ＝AD －DQ ＝10－5＝5，∴t ＝5÷1＝5（秒）

∴存在t ＝5秒时，线段PQ 被直线CD 垂直平分 ············································· 7分 在Rt △BOC 中，BC ＝22612

＋＝56，∴CQ ＝53

∴点Q 的运动速度为每秒

55

3

单位长度 ·

······················································ 8分 （3）存在 过点Q 作QH ⊥x 轴于H ，则QH ＝3，PH ＝9 在Rt △PQH 中，PQ ＝2239

＋＝103 ························································ 9分

①当MP ＝MQ ，即M 为顶点时

设直线CD 的解析式为y ＝kx ＋m （k ≠0）则： ⎩⎨⎧m k m ＋＝＝

－206 解得⎩

⎨

⎧63

－ ＝＝m k ∴y ＝3x －6 当x ＝1时，y ＝－3，∴M 1（1，－3） ··························································· 10分 ②当PQ 为等腰△MPQ 的腰且P 为顶点时 设直线x ＝1上存在点M （1，y ），由勾股定理得： 4

2＋y

2＝(103)2，∴y ＝±74

∴M 2（1，74），M 3（1，－74） ····························································· 11分 ③当PQ 为等腰△MPQ 的腰且Q 为顶点时

过点Q 作QE ⊥y 轴于E ，交直线x ＝1于F ，则F （1，－3） 设直线x ＝1上存在点M （1，y ），由勾股定理得： 5

2＋( y ＋3)2＝(103)2，∴y ＝－3±65

∴M 4（1，－3＋65），M 5（1，－3－65） ·················································· 12分 综上所述，存在点M ，使△MPQ 为等腰三角形，点M 的坐标为：

M 1（1，－3），M 2（1，74），M 3（1，－74），M 4（1，－3＋65），M 5（1，－3－65）

7．解：（1）把A （－1，0），B （1，0）代入y ＝ax

2＋bx ＋1得：

⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1＝0a ＋b ＋1＝0 解得⎩

⎪⎨⎪⎧a ＝－1

b ＝0 ∴抛物线的解析式为y ＝－x

2＋1 ······················································· 3分

（2）令x ＝0，得y ＝1，∴C （0，1） ······················································· 4分

∴OA ＝OB ＝OC ＝1，∴∠BAC ＝∠ACO ＝∠BCO ＝∠ABC ＝45° ∵BD ∥CA ，∴∠ABD ＝∠BAC ＝45°

如图1，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，则△EDB 为等腰直角三角形 设EO ＝x ，则ED ＝x ＋1，∴D （－x ，－x －1） ∵点D 在抛物线y ＝－x

2＋1上，∴－x －1＝－(－x

)2＋1

解得x 1＝2，x 2＝－1（不合题意，舍去）

∴ED ＝3 ······················································································ 6分

（说明：先求出直线BD 的解析式，再用两个解析式联立求解得到点D 的坐标也可） ∴S 四边形ACBD ＝

21AB ·OC ＋2

1

AB ·ED ＝

21×2×1＋21

×2×3 ＝4 ············································································· 7分

（说明：也可直接求直角梯形ACBD 的面积为4）

（3）存在 ··························································································· 8分

∵∠ABC ＝∠ABD ＝45°，∴∠DBC ＝90°

∵MN ⊥x 轴，∴∠MNA ＝∠DBC ＝90°

BC ＝22OC OB ＋＝2，BD ＝22EB ED ＋＝23 设M 点的横坐标为m ，则M （m ，－m

2

＋1）

①当点M 在y 轴左侧时，如图2，则m ＜－1 ⅰ)若△NMA ∽△BCD ，则

NA MN ＝

BD

BC

即1 1

2－－－m m ＝2

32，整理得3m

2＋m －2＝0 解得m 1＝－1（舍去），m 2＝3

2

（舍去）

················································ 9分

ⅱ)若△NAM ∽△BCD ，则NA MN ＝

BC BD

即1 1

2－－－m m ＝2

23，整理得m

2＋3m ＋2＝0 解得m 1＝－1（舍去），m 2＝－2 ∴－m

2＋1＝－(－2)

2＋1＝－3

∴M 1（－2，－3） ········································································· 10分 ②当点M 在y 轴右侧时，如图2，则m ＞1 ⅰ)若△NMA ∽△BCD ，则

AN MN ＝

BD

BC

即1 1

2＋－m m ＝2

32，整理得3m

2－m －4＝0 解得m 1＝－1（舍去），m 2＝3

4

∴－m

2＋1＝－(

34)2＋1＝－9

7 ∴M 2（

34，－9

7） ····································· 11分 ⅱ)若NAM ∽△BCD ，则

AN MN ＝

BC

BD

C

A

B D y

x

O

图2

(M 1)

N 1 M 2

N 2 C

A B

D

y

x

O

E 图1

即∴1 1 2＋－m m ＝

2

23，整理得m

2－3m －4＝0 解得m 1＝－1（舍去），m 2＝4 ∴－m

2＋1＝－42＋1＝－15

∴M 3（4，－15）

∴存在点M ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似，M 点的坐标分别为： M 1（－2，－3），M 2（

34，－9

7

），M 3（4，－15） ·································· 12分

8．解：（1）∵抛物线y ＝

2

1x

2

＋bx ＋c 经过点A （2，0），C （0，－1） ∴⎩

⎨⎧10

22

－ ＝＝＋＋

c c b

解得：b ＝－

2

1

，c ＝－1 ··········································································· 2分 ∴抛物线的解析式为y ＝21x

2－2

1

x －1 ··························································· 3分 （2）设点D 的坐标为（m ，0）（0＜m ＜2），则OD ＝m ，AD ＝2－m 由△ADE ∽△AOC 得，AO AD ＝

OC

DE

······························································ 4分 ∴

22m -＝

1

DE

∴DE ＝

2

2m

- ·························································································· 5分 ∴△DCE 的面积＝

21×22m -×m ＝－41m

2＋21m ＝－41(m －1)2＋4

1 当m ＝1时，△DCE 的面积最大

∴点D 的坐标为（1，0） ·········································································· 8分 （3）存在 在y ＝

21x

2－21x －1中，令y ＝0，得21x

2－2

1

x －1＝0 解得x 1＝－1，x 2＝2，∴点B 的坐标为（－1，0） 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b 则⎩

⎨⎧10

－－ ＝＝＋

b b k 解得k ＝－1，b ＝－1

∴直线BC 的解析式为y ＝－x －1

在Rt △AOC 中，由勾股定理得：AC ＝2

2OC OA

＋＝5

∵点B （－1，0），点C （0，－1），∴OB ＝OC ∠BCO ＝45° ①当以C 为顶点且PC ＝AC ＝5时，如图1

图1

设P （n ，－n －1），过点P 作PH ⊥y 轴于H 则∠HCP ＝∠BCO ＝45°，CH ＝PH ＝|

n

|

在Rt △PCH 中，n

2＋n

2＝(5)2，解得n 1＝

210，n 2＝－2

10

∴P 1（

210，－210－1），P 2（－210，2

10

－1） ·············································· 10分

②当以A 为顶点且AC ＝AP ＝5时，如图2 设P （t ，－t －1），过点P 作PG ⊥x 轴于G 则AG ＝|

2－t |，GP ＝|

－t －1|

在Rt △APG 中，∵AG 2＋PG 2＝AP 2

∴(2－t )2＋(－t －1)2＝5，解得：t 1＝1，t 2＝0（舍去） ∴P 3（1，－2） ············································· 11分 ③当以P 为顶点时，PC ＝P A ，如图3

设P （x ，－x －1），过点P 作PM ⊥y 轴于M ，PN ⊥x 轴于N 则N （x ，0）

∵△C 为等腰直角三角形，∴PM ＝CM ＝x ，P A ＝PC ＝2x ∴AN ＝|

x －2|，PN ＝|

－x －1|

在Rt △P AN 中，∵AN 2＋PN 2＝P A 2 ∴(x －2)2＋(x ＋1)2＝(2x )2，解得：x ＝2

5

∴P 4（

25，－2

7

） ··················································································· 12分 综上所述，在直线BC 上存在点P ，使△ACP 为等腰三角形，点P 的坐标为： P 1（210，－210－1），P 2（－210，210－1），P 3（1，－2），P 4（25，－2

7）

9．（1）证：∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k （k ＞1），∴

1

a a

＝k ，∴a ＝ka 1 又∵c ＝a 1，∴a ＝kc ·················································································· 3分 （2）解：取a ＝8，b ＝6，c ＝4，同时取a 1＝4，b 1＝3，c 1＝2 ······························ 8分 此时1a a ＝1b b ＝1

c c

＝2，∴△ABC ∽△A 1B 1C 1且c ＝a 1 ····································· 10分

注：本题也是开放型的，只要给出的△ABC 和△A 1B 1C 1符合要求就相应赋分． （3）解：不存在这样的△ABC 和△A 1B 1C 1．理由如下： 若k ＝2，则a ＝2a 1，b ＝2b 1，c ＝2c 1 又∵b ＝a 1，c ＝b 1，∴a ＝2a 1＝2b ＝4b 1＝4c

∴b ＝2c ································································································· 12分 ∴b ＋c ＝2c ＋c ＝3c ＜4c ＝a ，而b ＋c ＞a

B

C

O A 图3 y

x

M

N

P 4

故不存在这样的△ABC 和△A 1B 1C 1，使得k ＝2． ··········································· 14分

注：本题不要求学生严格按反证法的证明格式推理，只要能说明在题设要求下k ＝2的情况不可能即可．

10．（1）猜想：OG ⊥CD ．

证明：如图，连结OC 、OD ，则OC ＝OD ．

∵G 是CD 的中点

∴由等腰三角形的性质，有OG ⊥CD ． ················· 2分

（2）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°．

而∠CAE ＝∠CBF （同弧所对的圆周角相等）． 在Rt △ACE 和Rt △BCF 中

∵∠ACE ＝∠BCF ＝90°，AC ＝BC ，∠CAE ＝∠CBF ∴Rt △ACE ≌Rt △BCF ．（ASA ）

∴AE ＝BF ． ············································································ 6分

（3）解：如图，过点O 作BD 的垂线，垂足为H ，则H 为BD 的中点．

∴OH ＝

2

1

AD ，即AD ＝2OH ． 又∠CAD ＝∠BAD ，∴CD ＝∠BD ，∴OH ＝OG ． 在Rt △BDE 和Rt △ADB 中

∵∠DBE ＝∠DAC ＝∠BAD ，∴Rt △BDE ∽Rt △ADB ． ∴

AD BD ＝

DB

DE

，即BD 2＝AD ·DE ． ∴BD 2＝AD ·DE ＝2OG ·DE ＝6(2－2)． ······································ 8分 又BD ＝FD ，∴BF ＝2BD ．

∴BF 2＝4BD 2＝24(2－2)．……………………………………①． ······· 9分 设AC ＝x ，则BC ＝x ，AB ＝2x ．

∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠F AD ＝∠BAD ． 在Rt △ABD 和Rt △AFD 中

∵∠ADB ＝∠ADF ＝90°，AD ＝AD ，∠F AD ＝∠BAD ∴Rt △ABD ≌Rt △AFD ．（ASA ） ∴AF ＝AB ＝2x ，BD ＝FD ．

∴CF ＝AF －AC ＝2x －x ＝(2－1)x ． 在Rt △BCF 中，由勾股定理，得

BF 2＝BC 2＋CF 2＝x

2＋[(2－1)x ]2＝2(2－2)x

2．…………②． ······ 10分

由①、②，得2(2－2)x

2＝24(2－2)．

∴x

2＝12，∴x ＝32或32－（舍去）．

∴AB ＝2x ＝2·32＝62．

∴⊙O 的半径长为6． ····························································· 11分

A

C

B

F D E H

O G

∴S ⊙O ＝π·(6)2＝6π． ·························································· 12分

11．解：（1）由题意得⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧2 0 391 2－－－－＋＝＝＝c c b a a b

································································· 2分

解得a ＝32，b ＝3

4

，c ＝－2．

∴这条抛物线的函数表达式为y ＝32x

2＋3

4

x －2 ·································· 4分

（2）如图，连结AC 、B C ．

由于BC 的长度一定，要使△PBC 的周长最小，必须使PB ＋PC 最小． 点B 关于对称轴的对称点是点A ，AC 与对称轴x ＝－1的交点即为所求的点P ． 设直线AC 的表达式为y ＝kx ＋b ，则

⎩

⎨

⎧20

3－－＋ ＝＝b b k ················································· 6分 解得k ＝－

3

2

，b ＝－2． ∴直线AC 的表达式为y ＝－32

x －2 ······························

把x ＝－1代入上式，得y ＝－32×(－1)－2＝－3

4． ∴点P 的坐标为（－1，－

3

4

） ························································· 8分 （3）S 存在最大值，理由如下：

∵DE ∥PC ，即DE ∥AC ，∴△OED ∽△OAC ．

∴OD OE ＝OC OA ，即m

OE －2＝23，∴OE ＝3－23m ，∴AE ＝23

m ．

方法一： 连结OP

S ＝S △POE ＋S △POD －S △OED

＝21×(3－23m )×34＋21×(2－m )×1－21×(3－23

m )×(2－m ) ＝－43m

2＋2

3

m ········································································· 10分 ∵－

4

3

＜0，∴S 存在最大值． ······················································· 11分 ∵S ＝－

43m

2＋23m ＝－43(m －1)2＋4

3 ∴当m ＝1时，S 最大＝

4

3

． ··························································· 12分

方法二：

S ＝S △OAC

－S △OED

－S △P AE

－S △PCD

＝21×3×2－21×(3－23m )×(2－m )－21×23m ×34－2

1

×m ×1 ＝－

43m

2＋2

3

m ········································································· 10分 以下同方法一．

12．（1）证明：连接OM ····································· 1分

∵MP 是⊙O 的切线，∴OM ⊥MP ∴∠OMD ＋∠DMP ＝90°

∵OA ⊥OB ，∴∠OND ＋∠ODM ＝90° 又∵∠MNP ＝∠OND ，∠ODM ＝∠OMD ∴∠DMP ＝∠MNP ，∴PM ＝PN ··············· 4分 （2）解：设BC 交OM 于点E ，∵BD ＝4，∴OA ＝OB ＝

2

1

BD ＝2 ∴P A ＝

2

3

AO ＝3，∴PO ＝5 ································································· 5分 ∵BC ∥MP ，OM ⊥MP ，∴OM ⊥BC ，∴BE ＝2

1

BC ··································· 7分 ∵∠BOM ＋∠MOP ＝90°，在Rt △OMP 中，∠MPO ＋∠MOP ＝90° ∴∠BOM ＝∠MPO ，又∵∠BEO ＝∠OMP ＝90° ∴△OMP ∽△BEO ，∴OP OM ＝

BO

BE

······················································· 10分 得：

52＝

2

BE ，∴BE ＝54，∴BC ＝58

··················································· 12分

13．解：（1）由于折痕所在直线EF 过E （－3，1）、F （－

3

3

4，0） ∴tan ∠EFO ＝3，直线EF 的倾斜角为60° ∴直线EF 的解析式为：y －＝tan60°[x －(－3)]

化简得：y ＝3x ＋4． ············································································ 3分 （2）设矩形沿直线EF 向右下方翻折后，B 、C 的对应点为B ′（x 1，y 1），C ′（x 2，y 2） 过B ′

作B ′A ′

⊥AE 交AE 所在直线于A ′

点

∵B ′E ＝BE ＝32，∠B ′EF ＝∠BEF ＝60° ∴∠B ′EA ′＝60°，∴A ′E ＝3，B ′A ′＝3

∴A 与A ′

重合，B ′

在y 轴上，∴x 1＝0，y 1＝－2，即B ′（0，－2）

【此时需说明B ′（x 1，y 1）在y 轴上】 ························································ 6分 设二次函数的解析式为：y ＝ax

2＋bx ＋c