三角形定理
三角形定理
1过两点有且只有一条直线
2 两点之间线段最短
3 同角或等角的补角相等
4 同角或等角的余角相等
5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9 同位角相等，两直线平行
10 内错角相等，两直线平行
11 同旁内角互补，两直线平行
12两直线平行，同位角相等
13 两直线平行，内错角相等
14 两直线平行，同旁内角互补
15 定理三角形两边的和大于第三边
16 推论三角形两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°
18 推论1 直角三角形的两个锐角互余
19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21 全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等
26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等
31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合
33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)
35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称
46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2
47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形
48定理四边形的内角和等于360°
49四边形的外角和等于360°
50多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°
51推论任意多边的外角和等于360°
52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
54推论夹在两条平行线间的平行线段相等
55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
61矩形性质定理2 矩形的对角线相等
62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷2
67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等
70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一
点平分，那么这两个图形关于这一点对称
74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等
75等腰梯形的两条对角线相等
76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形
78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边
81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=(a+b)÷2 S=L×h
83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc；如果ad=bc,那么a:b=c:d
84 (2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d
85 (3)等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b
86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例
87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例
88 定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边
89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似
91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似(ASA)
92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)
94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似(SSS)
95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比
98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值
100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值
101圆是定点的距离等于定长的点的集合
102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
104同圆或等圆的半径相等
105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆
106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线
107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线
108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线
109定理不在同一直线上的三个点确定一条直线
110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等115推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
118推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径
119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
120定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角
121①直线L和⊙O相交d﹤r
②直线L和⊙O相切d=r
③直线L和⊙O相离d﹥r
122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径
124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
127圆的外切四边形的两组对边的和相等
128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
130相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
131推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
135①两圆外离d﹥R+r
②两圆外切d=R+r
③两圆相交R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)
④两圆内切d=R-r(R﹥r) ⑤两圆内含d﹤R-r(R﹥r)
136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
137定理把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
139正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n
140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
141正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长
142正三角形面积√3a/4 a表示边长
143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4 144弧长计算公式：L=n∏R/180
145扇形面积公式：S扇形=n∏R/360=LR/2
146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
三角形公式
三角形公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
三角形公式
1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
三角形定理
12. 三角形中的有关公理、定理： （1）三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；③三角形的外角和等于360°. （2）三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°. （3）三角形的任何两边的和大于第三边 （4）三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 13．多边形中的有关公理、定理： （1）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n－2）×180°. （2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360°. 14.（1）如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分. （2）轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 15. 等腰三角形中的有关公理、定理： （1）等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”） （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”） （3）等腰三角形的“三线合一”定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”． （4）等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60°． （5）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （6）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 16. 直角三角形的有关公理、定理： （1）直角三角形的两个锐角互余； （2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； （3）勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. （4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. （5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 29．相似三角形的判定： （1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似； （2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似； （3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这.两个三角形相似 （4）平行于三角形的一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似。 30. 全等多边形的对应边、对应角分别相等. 31. 全等三角形的判定： （1）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等（S.S.S.）. （2）如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．（S.A.S.） （3）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等(A.S.A.). （4）有两个角及其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等（A.A.S.） （5）如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等.（H.L.） 以上是基本的，重要的掌握： 三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． n边形的内角和等于（n－2）×180°. 任意多边形的外角和都为360°
【初中数学】三角形公式定理
【初中数学】三角形公式定理 1三角形的有关概念和性质 1.1三角形的内角和 在同一平面内,由一些无此同一条直线上的线段首位顺次相连所围起的半封闭图形叫 作多边形.共同组成多变形的那些线段叫作多边形的边.相连两边的公共端点叫作多边形的 顶点.多变形相连两边所夹的角叫作多边形的内角,缩写多边形的角.多变形的角的一边与 另一边的逆向延长线共同组成的角叫作多边形的外角. 三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180 在原来图形上添画的线叫作辅助线 依据三角形内角的特征,对三角形进行分类：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形；锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形. 在直角三角形中,夹直角的两边叫作直角边,直角的对边叫作斜边. 推论1直角三角形的两个锐角互余 推断2三角形的一个外角等同于与它不相连的两个内角的和 1.2三角形的有关线段 三角形一个角的平分线和对边平行,角的顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分 线 连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线 从三角形的一个顶点向其对边或对边的延长线画垂线,顶点和像距间的线段叫作三角 形的高 2全等三角形 2.1全系列等三角形的证明 边边边有三边对应相等的两个三角形全等 边角边存有两边及其夹角对应成正比的两个三角形全系列等 角边角有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 定理存有两角及其其中一角的对边对应成正比的两个三角形全系列等
2.2直角三角形全等的判定 定理斜边和一条直角边对应成正比的两个直角三角形全系列等 3等腰三角形 3.1等腰三角形及其性质 三角形的三边,有的三边互不相等,有的有两边相等,有的三边都相等.三边都不相等的三角形叫做不等边三角形,有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边都相等的三角形叫做等边三角形.在等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角 定理等腰三角形的底角成正比 推论等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 定理存有两个角成正比的三角形就是等腰三角形 定理一个三角形是等腰三角形的充要条件是这个三角形有两个内角相等 等边三角形定理1等边三角形的各角都成正比,并且每一个角都等同于60 等边三角形定理2三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形定理3存有一个角等同于60的等腰三角形就是等边三角形 3.2线段的垂直平分线与角平分线 定理线段的垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离成正比 定理和一条线段两个端点距离相等的点,都在这条线段的垂直平分线上 线段的垂直平分线可以看作就是所有和线段两段距离成正比的点的子集 定理点在角平分线上的充要条件是这一点到这个角两边的距离相等 角的平分线可以看做就是至角的两边距离成正比的所有点的子集 3.3轴对称 定义如果点a,b在直线l的两侧,且l就是线段ab的垂直平分线,则表示点a,b关于 直线l互相等距,点a,b互称作关于直线l的对称点,直线l叫作对称轴 定义在平面上,如果图形f的所有点关于平面上的直线l成轴对称,直线l叫做对称轴
三角形八大定理
三角形八大定理 三角形八大定理是三角形几何学中非常重要的概念，它们是三角形基本性质的总结和归纳。在三角形的研究中，这些定理不仅具有理论价值，还有实际应用价值。本文将对三角形八大定理进行详细介绍。 一、角平分线定理 定义：三角形内任意一条角的平分线，将这个角分成两个相等的小角。 证明：假设AB为三角形ABC的一条角的平分线，交BC边于点D。根据角的定义，∠BAD和∠DAC是相等的。又因为∠BAD和∠DAC的和等于∠BAC，所以∠BAD和∠DAC都等于∠BAC的一半。 二、垂心定理 定义：三角形三条高的交点称为垂心，垂心到三边的距离分别为h1、h2、h3，那么h1:h2:h3=bc:ac:ab。 证明：假设H为三角形ABC的垂心，AH、BH、CH分别垂直于BC、AC、AB。根据三角形相似的性质，可得 AH:HB=cosB:cosA BH:HC=cosC:cosB CH:HA=cosA:cosC 由于cosA:sinA=bc:2S，所以 AH:HB=bc:sinB:sinA BH:HC=ac:sinC:sinB CH:HA=ab:sinA:sinC
将上述三个等式带入第一个等式中，得到 h1:h2:h3=AH:HB:BH:HC=bc:ac:ab 三、中线定理 定义：三角形三条中线交于一点，称为重心。重心到三角形三个顶点的距离相等，即G到AB、AC、BC的距离相等。 证明：假设D、E、F为三角形ABC的中点，交于点G。由于AD、BE、CF是三角形ABC的中线，所以它们相等。又因为G是三角形ABC 的重心，所以AG:GD=BG:GE=CG:GF=2:1，所以 AG:AB=GD:AD=1:2 BG:BC=GE:BE=1:2 CG:AC=GF:CF=1:2 由此可得，G到三角形三个顶点的距离相等。 四、欧拉线定理 定义：三角形三条高、重心、垂心、外心四个点的连线，称为欧拉线。欧拉线定理指出，垂心、重心、外心三点共线，且重心到外心的距离等于垂心到外心的距离的两倍。 证明：这个定理的证明比较复杂，这里只给出结论。设O为三角形ABC的外心，H为垂心，G为重心，则OH=3OG。 五、旁切圆定理 定义：三角形外接圆上的切线，称为旁切线，旁切点称为旁心，旁心到三角形三个顶点的距离相等。 证明：假设D、E、F为三角形ABC的外接圆上的旁切点，交于点
初中数学定理大全三角形
初中数学定理大全三角形 初中数学定理大全：三角形 一、三角形的基本定义和性质 三角形是由三条线段组成的图形。三角形的名称通常根据其边长和角度特征来命名。 1.等边三角形：三条边的边长相等。 等边三角形的三个内角均为60度。 2.等腰三角形：两边的边长相等。 等腰三角形的两个底角（底边对应的两个内角）相等。 3.直角三角形：其中一个内角为90度。 直角三角形的直角边是斜边对应直角的两倍。 二、三角形的角度性质 1.内角和定理：三角形的三个内角的和等于180度。 对于任意三角形ABC，角A + 角B + 角C = 180度。 2.外角和定理：三角形的一个内角的外角等于另外两个内角的和。 对于任意三角形ABC，角A的外角等于角B + 角C。 3.三角形内角的大小关系： （1）锐角三角形：三个内角均小于90度。
（2）直角三角形：一个内角为90度，其他两个内角为锐角。 （3）钝角三角形：其中一个内角大于90度，其他两个内角为锐角。 三、三角形的边长关系 1.三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边。 对于任意三角形ABC，AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB + AC > BC。 2.等边三角形的性质： （1）等边三角形的三个角均为60度。 （2）等边三角形的角平分线、高线、中线重合。 3.等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的底角相等。 （2）等腰三角形的高线、角平分线、中线重合。 四、三角形的重要线段和点 1.中线：连接三角形任意两个顶点的中垂线交于一个点，该点距离 三个顶点的距离相等，称为三角形的重心。 2.高线：从三角形的顶点向底边作垂线，交于底边或其延长线上的 一点，称为三角形的高线。 3.角平分线：从三角形的一个内角中心点作垂线，平分该内角。
关于三角形的数学原理
关于三角形的数学原理 三角形是几何学中最简单和最基本的图形之一。它由三条边和三个角组成，具有丰富的数学原理和性质。以下将详细介绍关于三角形的数学原理。 1. 三角形的定义：三角形是一个有三条边和三个内角的多边形。三角形的三条边可以用a、b、c表示，而三个内角可以用A、B、C表示。根据三角形的内角和性质，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 2. 三角形的性质： a. 三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180度，即A + B + C = 180度。 b. 三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于其两个相邻内角之和。即A' = B + C，B' = A + C，C' = A + B。 c. 同位角定理：当两条平行线被一条截线所截时，同位角相等。对于三角形来说，当一条平行线与两边所在的角为同位角时，这两个角相等。 d. 三角形的边长关系：任意两边之和大于第三边，即a + b > c，a + c > b，b + c > a。 e. 三角形的面积公式：三角形的面积可以使用海伦公式（Heron's formula）计算，即面积= sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))，其中s为半周长，即s = (a + b + c) / 2。 3. 三角形的分类：
a. 锐角三角形：三个内角都小于90度的三角形。在锐角三角形中，边长最长的一边对应的角最大。 b. 直角三角形：含有一个90度内角的三角形。根据勾股定理，直角三角形的两条较短边的平方和等于最长边的平方。 c. 钝角三角形：含有一个大于90度的内角的三角形。在钝角三角形中，边长最短的一边对应的角最大。 4. 三角形的相似性： a. 三角形的相似性：若两个三角形的对应角相等，则它们是相似的。相似的三角形的三边成比例。 b. AAA相似定理：如果两个三角形的三个角分别相等，则它们是相似的。根据AAA相似定理，两个三角形的边长之比等于它们对应角的正弦值之比。 c. SSS相似定理：如果两个三角形的三边对应相等，则它们是相似的。根据SSS相似定理，两个三角形的边长之比等于它们对应边的长度之比。 5. 三角形的中线和中心： a. 三角形的中线：三角形的中线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。中线把三角形分成两个等面积的三角形。 b. 三角形的中心：三角形的外心、内心、重心和垂心是三角形的四个重要中心。外心是三角形外接圆圆心，内心是三角形内切圆圆心，重心是三角形三条中线交点，垂心是三角形三条高线交点。
解三角形的三种定理
解三角形的三种定理 三角形是几何学中重要的概念之一，解三角形的定理是研究三角形性质和求解其中未知量的基础。本文将介绍三种解三角形的定理，分别是正弦定理、余弦定理和正切定理。 一、正弦定理 正弦定理是解三角形常用的定理之一，用于求解三角形中的边长和角度。 假设三角形的三边分别为a、b和c，对应的角度为A、B和C，则正弦定理可以表示为： a/sinA = b/sinB = c/sinC 其中，等式两边的比值都相等。根据已知条件可知，如果已知三角形的两个角和一个对应边的关系，就可以利用正弦定理求解其他未知量。 二、余弦定理 余弦定理是解三角形中常用的定理之一，适用于计算三角形中的边长和角度。 假设三角形的三边分别为a、b和c，对应的角度为A、B和C，则余弦定理可以表示为： c² = a² + b² - 2abcosC
根据已知条件可知，如果已知三角形的两个边和一个对应夹角的关系，就可以利用余弦定理求解其他未知量。 三、正切定理 正切定理是解三角形中常用的定理之一，适用于计算三角形中的角度。 假设三角形的三边分别为a、b和c，对应的角度为A、B和C，则 正切定理可以表示为： tanA = (b/a)，tanB = (a/b)，tanC = (a/b) 根据已知条件可知，如果已知三角形的两个边的关系，就可以利用 正切定理求解其他未知量。 综上所述，正弦定理、余弦定理和正切定理是解三角形最常用的三 种定理。在实际问题中，可以根据已知条件选择合适的定理求解三角 形的未知量。为了准确求解，需要提前了解三角形的性质和应用场景，并根据具体情况选择合适的解题方法。 解题过程中，还需注意运用角度和边长的单位一致，避免计算误差。同时，需注意解题过程中的推导和计算步骤，确保结果的准确性。 总结起来，正弦定理、余弦定理和正切定理是解三角形的三种常用 定理，它们在求解三角形中的边长和角度方面起到了重要的作用。熟 练运用这些定理，并结合实际问题，可以快速、准确地求解三角形的 未知量。
三角形判定定理
三角形判定定理 三角形是几何学中最基本的图形之一，它有着丰富的性质和应用。在学习和研究三角形时，我们需要掌握一些判定三角形的定理，以便能够准确地判断一个图形是否为三角形。 1. 三边关系定理 三边关系定理是判定一个图形是否为三角形的最基本定理之一。根据三边关系定理，如果一个图形的三条边满足任意两边之和大于第三边的关系，则这个图形是一个三角形。换句话说，如果一个图形的任意两边之和大于第三边，则这个图形是一个三角形。 2. 两边夹角定理 两边夹角定理是判定一个图形是否为三角形的另一个重要定理。根据两边夹角定理，如果一个图形的两条边和它们之间的夹角满足任意两边之和大于第三边的关系，则这个图形是一个三角形。换句话说，如果一个图形的任意两边和它们之间的夹角之和大于第三边，则这个图形是一个三角形。 3. 两角夹边定理 两角夹边定理是判定一个图形是否为三角形的另一个重要定理。根据两角夹边定理，如果一个图形的两个角和它们夹的边满足两个角之和小于180度的关系，则这个图形是一个三角形。换句话说，如果一个图形的两个角和它们夹的边之和小于180度，则这个图形是
一个三角形。 4. 等腰三角形判定定理 等腰三角形判定定理是判定一个图形是否为等腰三角形的定理。根据等腰三角形判定定理，如果一个图形的两条边相等，则这个图形是一个等腰三角形。换句话说，如果一个图形的两条边相等，则这个图形是一个等腰三角形。 5. 直角三角形判定定理 直角三角形判定定理是判定一个图形是否为直角三角形的定理。根据直角三角形判定定理，如果一个图形的一个角为90度，则这个图形是一个直角三角形。换句话说，如果一个图形的一个角为90度，则这个图形是一个直角三角形。 通过掌握以上几个定理，我们可以准确地判断一个图形是否为三角形，并进一步研究和应用三角形的性质。三角形作为几何学中最基本的图形之一，不仅在数学中有着重要的地位，而且在物理学、工程学等其他学科中也有着广泛的应用。 在实际应用中，我们经常需要判断一个图形是否为三角形，以便能够应用三角形的性质解决问题。例如，在建筑设计中，我们需要判断一个图形是否为三角形，以便能够计算三角形的面积、周长等参数；在导航系统中，我们需要判断一个图形是否为三角形，以便能够确定位置和方向等信息。因此，掌握三角形判定定理对于我们的
三角形公式定理
三角形公式定理
三角形公式定理 1 三角形的有关概念和性质 1.1三角形的内角和 在同一平面内,由一些不在同一条直线上的线段首位顺次相接所围成的封闭图形叫做多边形.组成多变形的那些线段叫做多边形的边.相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.多 变形相邻两边所夹的角叫做多边形的内角,简称多边形的角.多变形的角的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做多 边形的外角. 三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180 在原来图形上添画的线叫做辅助线 依据三角形内角的特征,对三角形进行分类：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形；锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形. 在直角三角形中,夹直角的两边叫做直角边,直角的对边叫 做斜边. 推论1 直角三角形的两个锐角互余 推论2 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和1.2三角形的有关线段 三角形一个角的平分线和对边相交,角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线
定理有两个角相等的三角形是等腰三角形 定理一个三角形是等腰三角形的充要条件是这个三角形有两个内角相等 等边三角形定理1 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60 等边三角形定理2 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形定理3 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形 3.2线段的垂直平分线与角平分线 定理线段的垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 定理和一条线段两个端点距离相等的点,都在这条线段的垂直平分线上 线段的垂直平分线可以看成是所有和线段两段距离相等的点的集合 定理点在角平分线上的充要条件是这一点到这个角两边的距离相等 角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的所有点的集合 3.3 轴对称 定义如果点A,B在直线l的两侧,且l是线段AB的垂直平分线,则称点A,B关于直线l互相对称,点A,B互称为关于直
三角形的性质定理
三角形的性质定理 三角形作为几何学的基本概念之一，在数学中扮演着重要角色。对 于三角形的性质定理的研究，可以帮助我们更好地理解和应用三角形 的相关知识。本文将介绍一些常见的三角形的性质定理，并通过举例 说明其应用。 一、角度定理 1. 三角形内角和定理 三角形的三个内角之和等于180度。即对于任意三角形ABC，我们有∠A + ∠B + ∠C = 180°。 这一定理可以通过对三角形的内角进行求和来验证。例如，考虑一 个直角三角形，其中∠A是90度，∠B是45度，那么根据内角和定理，∠C必须是180度减去90度加45度，即45度。验证了定理的成立。 2. 外角和定理 三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角之和。具体而言，对于 三角形ABC，以BC为边所成外角∠D，我们有∠D = ∠B + ∠C。 考虑一个等边三角形ABC，其中三个内角均为60度。根据外角和 定理，三个外角将分别等于180度，这验证了定理的正确性。 二、边长定理 1. 直角三角形的勾股定理
直角三角形的两个边长a和b的平方和等于斜边c的平方。即对于 直角三角形ABC，我们有a^2 + b^2 = c^2。 以3、4、5三角形为例，边长分别为3、4、5，可以验证3^2 + 4^2 = 5^2，这符合勾股定理。 2. 等腰三角形的边长关系 等腰三角形的两个底边（等边）长度相等。即对于等腰三角形ABC，如果AB = AC，则称之为等腰三角形。 考虑一个等腰三角形ABC，其中AB = AC = 5，BC = 6，可以验证 等腰三角形的底边相等。 三、角边定理 在三角形中，两个角的对边是它们对应的两条边成比例。即对于三 角形ABC，如果∠A/∠B = AB/BC = AC/BC，则称之为角边定理。 四、高度定理 对于三角形ABC与它的高CD，我们有以下高度定理： 1. 高度与底边关系 高度CD将底边AB分成两部分，这两部分的长度与相应的边成比例。具体而言，我们有AD/BD = CD/BC。 2. 高度与斜边关系
三角形的全部定理
三角形的全部定理 三角形的全部定理可以概括为以下定理: 1. 三角形的三条边长关系定理：如果三角形的三条边长分别为 a、b、c，且其中任意两边之和大于第三边，则有以下关系式: a + b > c a + c > b b + c > a 2. 三角形的面积定理：如果三角形的三条边长分别为 a、b、c，则三角形的面积 S 可以表示为: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) 其中，p 为三角形的周长。 3. 三角形的稳定性定理：如果一个三角形的三边长度分别为 a、 b、c，且满足 a + b > c，则这个三角形是稳定的，即任何一条边都不会轻易变形。 4. 三角形的重心定理：三角形的重心是指这样一个点，使得三角形三条边长的重心连线交点在该点处。三角形的重心定理表明，三角形的重心位置是三角形三条边长关系的几何中心。 5. 三角形的垂线定理：对于任意一个三角形 ABC，其三条边长分别为 a、b、c，点 D 是边 a 的另一端点，点 E 是边 b 的另一端点，点 F 是边 c 的另一端点，则有: AD⊥BC AE⊥BC
AF⊥BC 其中，AD、AE、AF 分别为三角形 ABC 的垂线。 6. 三角形的旁切圆定理：如果三角形 ABC 的边长分别为 a、b、c，点 P 是边 a 的一端点，点 Q 是边 b 的一端点，点 R 是边 c 的一端点，则有: 以点 P、Q、R 为顶点的三角形是三角形 ABC 的旁切圆。 7. 三角形的内接圆定理：如果三角形 ABC 的边长分别为 a、b、c，点 P 是边 a 的一端点，点 Q 是边 b 的一端点，点 R 是边 c 的一端点，则有: 以点 P、Q、R 为顶点的三角形是三角形 ABC 的内接圆。
关于三角形公式及定理
有关三角形的公式及定理 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形