已知函数单调性求参数(较难)

已知函数单调性求参数（较难）

一、选择题

1.若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是()

A． (－∞，＋∞)

B． (－2，＋∞)

C． (0，＋∞)

D． (－1，＋∞)

2.已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递减，则实数m的取值范围是() A．－1≤m≤1

B．－1

C．－1

D．－1≤m<1

3.函数f(x)＝x－a在x∈[1,4]上单调递减，则实数a的最小值为()

A． 1

B． 2

C． 4

D． 5

4.函数y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则实数b的取值范围是()

A．b<－1或b>2

B．b≤－1或b≥2

C．－2

D．－1≤b<2

5.已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)在区间(－1,1)上不单调，则a的取值范围是()

A． (－5，－1)∪(－1,1)

B． (－5，－)∪(－，1)

C． (－3，－)∪(－，1)

D． (－3，－1)∪(－1,5)

6.已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－a ln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于()

A． 1

B． 2

C． 0

D．

7.已知函数f(x)＝x2＋a ln x＋在(1,4)上是减函数，则实数a的取值范围是()

A．a≤3

B．a<－

C．a≤－

D．a<3

8.若函数f(x)＝x3－kx2＋(2k－1)x＋5在区间(2,3)上是减函数，则k的取值范围是()

A． [1，＋∞)

B． [0,1]

C． (－∞，0]

D． [2，＋∞)

9.函数f(x)＝x3－mx2＋4x在[1,3]上是单调增函数，则实数m的取值范围是()

A．m≤5

B．m≤

C．m≤4

D．m≤

10.设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是()

A． 1

B．a≥4

C．a≤2

D． 0

11.已知函数f(x)＝x3＋ax2－bx＋1(a，b∈R) 在区间[－1,3]上是减函数，则b的最小值是() A． 1

B． 2

C． 3

D． 4

二、填空题

12.若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域的一个子区间(t－1，t＋1)上不是单调函数，则t的取值范围是________．

13.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(2a－3)x－1.

(1)若f(x)的单调减区间为(－1,1)，则a的取值集合为________．

(2)若f(x)在区间(－1,1)内单调递减，则a的取值集合为________．

14.若函数f(x)＝x＋cos x在区间(0，π)的一个子区间(k，k＋)内不是单调函数，则实数k的取值范围是________．

15.已知函数f(x)＝－x2－3x＋4ln x在[t，t＋1]上不单调，则实数t的取值范围是________．

16.已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x的单调递减区间为(m，m＋2)，则a的值为________．

三、解答题

17.已知x∈R，奇函数f(x)＝x3－ax2－bx＋c在[1，＋∞)上单调，求实数a，b，c应满足的条件．

18.已知f(x)＝e x－ax－1.

(1)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围；

(2)是否存在实数a使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

19.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在区间(－，－)上单调递减，求a的取值范围．

20.已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)，若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．

21.已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)e x.设f(x)在区间[－1,1]上是单调函数，求a的取值范围．

22.设函数f(x)＝x e kx(k≠0)．

(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)求函数f(x)的单调区间；

(3)若函数f(x)在区间(－1,1)内单调递增，求k的取值范围．

23.若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围．

24.已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x，a≠0.

若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．

25.已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)e x在[0,1]上单调递减且满足f(0)＝1，f(1)＝0.求a的取值范围．

26.已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增函数，求t的取值范围．

27.已知函数f(x)＝ln x－ax2－bx.当a＝－1时，

若函数f(x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围．

28.已知函数f(x)＝x2－a ln x(a∈R)．

(1)若函数f(x)的图象在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，求a，b的值；

(2)若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．

答案解析1.【答案】D

【解析】∵2x(x－a)<1，∴a>x－.

令f(x)＝x－，∴f′(x)＝1＋2－x ln 2>0，

∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

∴f(x)>f(0)＝0－1＝－1，

∴a的取值范围为(－1，＋∞)．

2.【答案】D

【解析】∵函数f(x)＝x3－12x在(2m，m＋1)上单调递减，∴f′(x)＝3x2－12≤0在(2m，m＋1)上恒成立．

故即

解得－1≤m<1.

3.【答案】C

【解析】求得函数的导数f′(x)＝1－，

∵函数f(x)＝x－a在x∈[1,4]上单调递减，

∴f′(x)≤0即1－≤0，对任意的x∈[1,4]成立，

∴a≥2对任意的x∈[1,4]成立，得a≥4，

因此a的最小值是4.

4.【答案】A

【解析】先求出函数为递增时b的范围，

∵已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3，

∴y′＝x2＋2bx＋b＋2，

∵f(x)是R上的单调增函数，

∴x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，

∴Δ≤0，即b2－b－2≤0，

则b的取值是－1≤b≤2.

∵y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，

∴实数b的取值范围是b<－1或b>2.

5.【答案】B

【解析】由f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b，得

f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)

＝(x－a)[3x＋(a＋2)]．

因为函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)在区间(－1,1)上不单调，所以f(x)至少有一个极值点在区间(－1,1)内，

a≠－时，f(x)有两个不相同的极值点x 1＝a和x2＝－.

①a＝－时，f(x)严格单调增加；

②若－1

③若－1

综合①、②、③，可得a的取值范围是(－5，－)∪(－，1)．

6.【答案】B

【解析】函数f(x)＝x2－ax＋3的对称轴为x＝a，

∵函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，且开口向上，

∴a≥1，得出a≥2.

∵g′(x)＝2x－，

若函数g(x)＝x2－a ln x在(1,2)上为增函数，

则有g′(x)≥0在(1,2)上恒成立，

即2x2－a≥0在(1,2)上恒成立，

a≤2x2，故只要a≤2.

综上所述，a＝2.

7.【答案】C

【解析】由f(x)＝x2＋a ln x＋，

得f′(x)＝2x＋－＝，

因为f(x)＝x2＋a ln x＋在(1,4)上是减函数，

所以当x∈(1,4)时，2x3＋ax－2≤0恒成立，

即a≤－2x2＋在x∈(1,4)时恒成立，

令u＝－2x2＋，则u′＝－4x－<0，

所以u＝－2x2＋，在x∈(1,4)上为减函数，

此时u min＝－2×42＋＝－，

所以a≤－.

8.【答案】D

【解析】f′(x)＝x2－2kx＋(2k－1)，

∵函数f(x)＝x3－kx2＋(2k－1)x＋5在区间(2,3)上是减函数，∴f′(x)≤0在(2,3)上恒成立，

即x2－2kx＋(2k－1)≤0在(2,3)上恒成立．

令g(x)＝x2－2kx＋(2k－1)，则解得k≥2.

9.【答案】C

【解析】函数导数为f′(x)＝x2－mx＋4，要使f(x)在[1,3]上是单调增函数，则f′(x)≥0在[1,3]上恒成立即可，

即f′(x)＝x2－mx＋4≥0在[1,3]上恒成立，

即m≤＝x＋成立．

因为＝x＋≥2＝4，

当且仅当x＝，x＝2时取等号，所以m≤4.

10.【答案】A

【解析】∵f(x)＝x2－9ln x，

∴函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，

f′(x)＝x－，

∵x>0，∴由f′(x)＝x－≤0，得0

∵函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，

∴解得1

11.【答案】C

【解析】求导数可得f′(x)＝x2＋2ax－b，

函数f(x)在区间[－1,3]上是减函数，即在区间[－1,3]上，f′(x)≤0，

得到f′(－1)≤0，且f′(3)≤0，

代入得1－2a－b≤0，①

且9＋6a－b≤0，②

由①得2a＋b≥1，③

由②得b－6a≥9，④

设u＝2a＋b≥1，v＝b－6a≥9，

设b＝mu＋nv＝m(2a＋b)＋n(－6a＋b)

＝(2m－6n)a＋(m＋n)b，

对照系数得2m－6n＝0，m＋n＝1，解得m＝，n＝，

故b＝(2a＋b)＋(－6a＋b)≥×1＋×9＝3.

12.【答案】[1，)

【解析】f(x)的定义域为{x|x>0}，f′(x)＝4x－＝＝，f(x)在其定义域的一个子区间

不单调，则需0≤t－1<，1≤t<.

13.【答案】(1){0}(2){a|a≤0}

【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋2a－3＝(x＋1)(3x＋2a－3)．

(1)∵f(x)的单调减区间为(－1,1)，

∴－1和1是方程f′(x)＝0的两根，

∴＝1，∴a＝0，∴a的取值集合为{0}．

(2)∵f(x)在区间(－1,1)内单调递减，∴f′(x)<0在(－1,1)内恒成立，

又二次函数y＝f′(x)开口向上，一根为－1，

∴必有≥1，∴a≤0，

∴a的取值集合为{a|a≤0}．

14.【答案】[0，)∪(，]

【解析】令f′(x)＝－sin x＝0，得x＝或(x∈(0，π))，

因为f(x)在(k，k＋)内不单调，

所以f′(x)＝0在(k，k＋)内有实数解，

则或解得0≤k<或

15.【答案】[0,1)

【解析】∵函数f(x)＝－x2－3x＋4ln x，

∴f′(x)＝－x－3＋，

∵函数f(x)＝－x2－3x＋4ln x在[t，t＋1]上不单调，∴f′(x)＝－x－3＋＝0在[t，t＋1]上有解，

∴＝0在[t，t＋1]上有解，令g(x)＝x2＋3x－4，∴g(x)＝x2＋3x－4＝0在[t，t＋1]上有解，

由x2＋3x－4＝0，得x＝1或x＝－4(舍)，

∴1∈(t，t＋1]，

即t∈[0,1)，

故实数t的取值范围是[0,1)．

16.【答案】

【解析】f′(x)＝－ax－2＝，

由题意知f′(x)<0有实数解，

∵x>0，∴m>0，m＋2>0，

由m＋m＋2＝－，m·(m＋2)＝－，得a<0，

当a<0时，只要Δ＝4＋4a>0，

∴－1

由题意得m，m＋2是方程ax2＋2x－1＝0的2个根，由m＋m＋2＝－，m·(m＋2)＝－，

得|m＋2－m|＝＝2，

∴a2－a－1＝0，

解得a＝，

∵－1

17.【答案】解∵函数f(x)＝x3－ax2－bx＋c是奇函数，

可得f(0)＝0，∴c＝0，a＝0.

∵f′(x)＝3x2－b，又∵函数f(x)＝x3－ax2－bx＋c在[1，＋∞)上单调，

∴f′(x)＝3x2－b≥0或f′(x)＝3x2－b≤0(舍去)，在[1，＋∞)上恒成立，

∴b≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，即b≤3，

∴a＝0，b≤3，c＝0.

【解析】

18.【答案】解(1)∵f(x)＝e x－ax－1，

∴f′(x)＝e x－a.

∵f(x)在R上单调递增，

∴f′(x)＝e x－a≥0(等号只能在有限个点处取得)恒成立，即a≤e x，x∈R恒成立．∵x∈R时，e x∈(0，＋∞)，∴a≤0.

(2)f′(x)＝e x－a.

若f(x)在(－∞，0]上是单调递减函数?e x－a≤0在x∈(－∞，0]时恒成立?a≥(e x)max.当x∈(－∞，0]时，e x∈(0,1]，

∴a≥1.①

若f(x)在[0，＋∞)上是单调递增函数

?e x－a≥0在x∈[0，＋∞)时恒成立?a≤(e x)min.

当x∈[0，＋∞)时，e x∈[1，＋∞)，∴a≤1.②

由①②知a＝1，故存在a＝1满足条件．

【解析】

19.【答案】解(1)∵f′(x)＝3x2＋2ax＋1，

令f′(x)＝3x2＋2ax＋1≥0，再令Δ＝4a2－12≤0，即a2≤3时，

即－≤a≤，

∴当a∈[－，]时，f′(x)≥0恒成立，

∴在R上单调递增．

当a∈(－∞，－)∪(，＋∞)时，

f(x)的单调递增区间为(－∞，)，

(，＋∞)，

单调递减区间为(，)．

(2)只需3x2＋2ax＋1≤0在区间(－，－)恒成立即可．

令g(x)＝3x2＋2ax＋1，

∴只需

∴

∴a≥2.

∴a的取值范围为[2，＋∞)．

【解析】

20.【答案】解f′(x)＝2x－＝.

要使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，即≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．

∵x2>0，∴2x3－a≥0，

∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．

∴a≤(2x3)min.

∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是单调递增的，

∴(2x3)min＝16，∴a≤16.

当a＝16时，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0，∴a的取值范围是(－∞，16]．【解析】

21.【答案】解f′(x)＝(2x－2a)e x＋(x2－2ax)e x

＝e x[x2＋2(1－a)x－2a]．

令f′(x)＝0，即x2＋2(1－a)x－2a＝0.

解得x 1＝a－1－，x2＝a－1＋，

其中x1

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表：

∵a≥0，

∴x1<－1，x2≥0，f(x)在(x1，x2)上单调递减．

由此可得f(x)在[－1,1]上是单调函数的充要条件为x 2≥1，即a－1＋≥1，解得a≥.故所求a的取值范围为[，＋∞)．

【解析】

22.【答案】解(1)f′(x)＝(1＋kx)e kx，f′(0)＝1，f(0)＝0，

曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x.

(2)由f′(x)＝(1＋kx)e kx＝0，得x＝－(k≠0)．

若k>0，则当x∈(－∞，－)时，f′(x)<0，

函数f(x)单调递减；

当x∈(－，＋∞)时，f′(x)>0，

函数f(x)单调递增．

若k<0，则当x∈(－∞，－)时，f′(x)>0，

函数f(x)单调递增；

当x∈(－，＋∞)时，f′(x)<0，

函数f(x)单调递减．

(3)由(2)知，若k>0，则当且仅当－≤－1，

即k≤1时，函数f(x)在(－1,1)内单调递增；

若k<0，则当且仅当－≥1，即k≥－1时，

函数f(x)在(－1,1)内单调递增．

综上可知，函数f(x)在区间(－1,1)内单调递增时，k的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．

【解析】

23.【答案】解函数f(x)的导数f′(x)＝x2－ax＋a－1.

令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝a－1.

当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，不合题意．

当a－1>1，即a>2时，函数f(x)在(－∞，1)上为增函数，在(1，a－1)上为减函数，在(a－1，＋∞)上为增函数．

依题意应有当x∈(1,4)时，f′(x)<0，当x∈(6，＋∞)时，f′(x)>0.

所以4≤a－1≤6，解得5≤a≤7.

所以a的取值范围是[5,7]．

【解析】

24.【答案】解h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，

所以h′(x)＝－ax－2.

因为h(x)在[1,4]上单调递减，

所以x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，

即a≥－恒成立，令G(x)＝－，

所以a≥G(x)max.而G(x)＝(－1)2－1.

因为x∈[1,4]，所以∈[，1]，

所以G(x)max＝－(此时x＝4)，

所以a≥－.

当a＝－时，

h′(x)＝＋x－2＝

＝.

因为x∈[1,4]，所以h′(x)＝≤0，

即h(x)在[1,4]上为减函数．

故实数a的取值范围是[－，＋∞)．

【解析】

25.【答案】解由f(0)＝1，f(1)＝0得c＝1，a＋b＝－1，

则f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]e x，

f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]e x.

依题意可知对于任意x∈[0,1]，有f′(x)≤0.

当a>0时，因为二次函数y＝ax2＋(a－1)x－a的图象开口向上，而f′(0)＝－a<0，所以需f′(1)＝(a－1)e≤0，即0

当a＝0时，对于任意x∈[0,1]，f′(x)＝－x e x≤0，符合条件；

当a<0时，f′(0)＝－a>0，不符合条件．

故a的取值范围为[0,1]．

【解析】

26.【答案】解f(x)＝a·b＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，f′(x)＝－3x2＋2x＋t，

∵函数f(x)在(－1,1)上是增函数，

∴f′(x)≥0对x∈(－1,1)恒成立，

∴－3x2＋2x＋t≥0在(－1,1)上恒成立，

即t≥3x2－2x在(－1,1)上恒成立，

令g(x)＝3x2－2x，x∈(－1,1)，

∴g(x)∈(－，5)，

故要使t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立，只需t≥5，

即所求t的取值范围为t≥5.

【解析】

27.【答案】解依题意f(x)＝ln x＋x2－bx，

∵f(x)在(0，＋∞)上递增，

∴f′(x)＝＋2x－b≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，

即b≤＋2x对x∈(0，＋∞)恒成立，

∴只需b≤(＋2x)min，

∵x>0，∴＋2x≥2，当且仅当x＝时取“＝”，

∴b≤2，∴b的取值范围为(－∞，2]．

【解析】

28.【答案】解(1)因为f′(x)＝x－(x>0)，

又因为f(x)在x＝2处的切线方程为y＝x＋b，

所以

解得a＝2，b＝－2ln 2.

(2)若函数f(x)在(1，＋∞)上为增函数，则f′(x)＝x－≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≤x2在(1，＋∞)上恒成立．

所以有a≤1.

【解析】