2020-2021学年山西省忻州市第一中学高二上学期开学考试数学试题(解析版)

2020-2021学年山西省忻州市第一中学高二上学期开学考试

数学试题

一、单选题

1．已知集合{}

31A x x =-<<-，{

}

2

20B x x x =+<，则(

)R

A B =（ ）

A ．{}

11x x -<< B ．{}

21x x -<<

C ．{}

32x x -<<- D ．{}

32x x -<≤-

【答案】D

【解析】先解不等式得集合B ，再根据补集以及交集定义求结果. 【详解】

{}

()][()2R |202,0,20,B x x x B =+<=-∴=-∞-?+∞

因此(

)R

A B ={}32x x -<≤-

故选：D 【点睛】

本题考查解一元二次不等式、补集以及交集，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．已知,a b 为非零实数，R c ∈，若a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．22ac bc > B ．

11a b

< C ．

1a b

> D ．222a b ab +>

【答案】D

【解析】根据不等式的性质逐项判断即可得出． 【详解】 对A ，当0c

时，22ac bc >不成立，所以A 错误；

对B ，当0a b >>时，11

a b

<不成立，所以B 错误； 对C ，当0b <时，

1a

b

>不成立，所以C 错误； 对D ，因为0a b ->，所以()2

0a b ->，即222a b ab +>，正确. 故选：D ． 【点睛】

本题主要考查不等式的性质应用，属于基础题．

3．若45角的终边上有一点(4,1)a a -+，则a =（ ） A ．3 B ．32

-

C ．1

D ．

32

【答案】D

【解析】利用三角函数定义可得a 的方程，解之即可. 【详解】 因为0

1tan4514a a +==-，所以3

2

a =. 故选D 【点睛】

本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题. 4．已知()2,3a =，1,2b ，则()

2a b b +?=（ ）

A ．13

B ．14

C ．14-

D ．30

【答案】B

【解析】根据向量加法法则以及向量数量积坐标表示计算即得结果. 【详解】 因为()2,3a =，1,2b

，

所以()

2(0,7)(1,2)7214a b b +?=?-=?= 故选：B 【点睛】

本题考查向量加法、向量数量积坐标运算，考查基本求解能力，属基础题. 5．记等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若325a =，4129a a +=，则10S = A ．34 B ．35

C ．68

D ．70

【答案】B

【解析】由题意可得4129a a +=进而可得829a =，而10S ()

38102

a a +=，代入即可得

答案． 【详解】

352

a =

，又4129a a +=故829a =，得892a =，

则10S =

()

3810352

a a +=

故选:B 【点睛】

本题考查等差数列的性质和求和公式，熟记公式准确计算是关键，属基础题． 6．若1

2

72a -??= ?

??

，12

27b -

??

= ???

，5log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）

A ．a b c <<

B ．a c b <<

C ．c b a <<

D ．c a b <<

【答案】D

【解析】先与1比较，再与1

2

比较，即可判断大小. 【详解】

12

111

22221121

()(),()11742772

2a a -

??= ?=>=∴??<<< 1

1

2

27127()2

b -

??= ???

=>

551log 2log 2

c =<=

因此c a b << 故选：D 【点睛】

本题考查比较大小、指数函数单调性、对数函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.

7．执行如图所示的程序框图，则输出的=S （ ）

A ．

14

B ．

310

C ．

13

D ．

514

【答案】B

【解析】根据输入的条件执行循环，并且每一次都要判断结论是或否，直至退出循环. 【详解】

2k =，16S =

，3k =，2

1116334S =+=+；4k =，2113

44410

S =+=+． 【点睛】

本题考查程序框图，执行循环，属于基础题.

8．已知ABC ?的面积为6，若在ABC ?内部随机取一个点P ，则使PBC ?的面积大于2的概率为（ ） A ．

29

B ．

13

C ．

49

D ．

59

【答案】 C

【解析】根据几何概型的公式转化为对应区域面积比值进行计算即可． 【详解】

如图，DE BC ，13BD AB =

，1

3

CE AC =，当点P 在线段DE 上时PBC ?的面积等于2，若使PBC ?的面积大于2，则点P 应在ADE ?内部， 易知ADE ABC ??∽，

则使PBC ?的面积大于2的概率为2

24

39

ADE ABC S P S ????=== ???.

故选C.

【点睛】

本题考查几何概型的概率计算，根据条件转化为对应区域面积是解决本题的关键． 9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且55S =，1030S =，则15S =（ ）. A ．90 B ．125

C ．155

D ．180

【答案】C

【解析】由等比数列的性质，232,,n n n n n S S S S S --成等比数列，即可求得1510S S -，再得出答案. 【详解】

因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，根据性质所以51051510,,S S S S S --成等比数列，因为5105,30S S ==，所以105151025,255125S S S S -=-=?=，故

1512530155.S =+=

故选C 【点睛】

本题考查了等比数列的性质，若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则

232,,n n n n n S S S S S --也成等比数列，这是解题的关键，属于较为基础题.

10．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，

c ，若sin 3cos 0a B b A -=，且2c b =，则cos B =（ ） A ．

3

B ．

12

C ．1

D ．0

【答案】A

【解析】先根据正弦定理化角求得A ，再根据正弦定理以及两角和正弦公式求cos B . 【详解】

sin 3cos 0sin sin 3cos 0a B b A A B B A -=∴-=

sin 0sin 3,tan 33

B A A A A π

≠∴===

2sin 2sin sin()2sin sin()2sin 3c b C B A B B B B π

=∴=∴+=∴+=

1

cos sin 2sin 22

B B B +=

3cos sin tan ,cos 22362

B B B B B π=∴===

故选：A 【点睛】

本题考查正弦定理解三角形、两角和正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 11．已知函数()sin (0)2f x x a a π??

=>

???

，点A ，B 分别为()f x 图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O 为坐标原点，若OAB 为钝角三角形，则a 的取值范围为（ ）

A ．10,(2,)2??

+∞ ?

?? B

．0,(1,)3???+∞ ???

C

．,13??

? ?

??

D ．(1,)+∞

【答案】B

【解析】首先根据题的条件，将三角形三个顶点的坐标写出来，之后根据三角形是钝角三角形，利用向量夹角为钝角的条件，从而转化为向量的数量积0OA OB ?<或

0AB AO ?<，找出a 所满足的条件，最后求得结果.

【详解】 由题意得

24,(0,0),(,1),(3,1)

2T a O A a B a a

π

π

=

=-，因为OAB 为钝角三角形，所以

0OA OB ?<或0AB AO ?<，

即2310a -<，或2220a -+<

，从而0a <<或1a >． 故选：B . 【点睛】

该题考查的是有关利用钝角三角形求对应参数的取值范围，涉及到的知识点有正弦型函数图象上的特殊点的坐标，钝角三角形的等价转化，向量的数量积坐标公式，属于中档题.

12．在ABC ?中，2AB =，3AC =，5

cos 6

A =

，若O 为ABC ?的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mAB nAC +=，则2n m -=（ ） A ．

19

9

B ．4122

-

C ．111

-

D ．

1711

【答案】D

【解析】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，从而得到·0?0OD AB OE AC ==，，坐标化构建m ，n 的方程组，解之即可. 【详解】

设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，又

OD AD AO =-，

即11222

m

OD AB mAB nAC AB nAC -=

--=-， 同理122

n

OE AE AO AC mAB -=-=-， 因为212·

||?02

m OD AB AB nAB AC -=-=， 所以124502m n -?-=，又212·||?02

n

OE AC AC mAB AC -=-=， 所以129502n

m -?-=，联立方程组124502129502m

n n m -??-=???-??-=??，

解得922811m n ?

=-????=??

，所以17211n m -=.

故选D 【点睛】

本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

二、填空题

13．已知圆心角不超过π、半径为3的扇形OAB 的弦长AB =则该扇形的弧长是_________.

【答案】

32

π 【解析】先求出圆心角，再根据弧长公式得结果. 【详解】

因为3AB OA OB ===，所以2

AOB π

∠=

因此该扇形的弧长是332

2

π

π?=

故答案为：32

π 【点睛】

本题考查弧长公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 14．若2a >-，则16

2

a a ++的最小值为________. 【答案】6

【解析】根据基本不等式直接求最值. 【详解】

1616222622a a a a +

=++-≥=++ 当且仅当16

2,22

a a a +==+时取等号 故答案为：6 【点睛】

本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.

15．已知甲船位于小岛A 的南偏西30的B 处，乙船位于小岛A 处，20AB =千米，甲船沿BA 的方向以每小时6千米的速度行驶，同时乙船以每小时8千米的速度沿正东方向匀速行驶，当甲、乙两船相距最近时，他们行驶的时间为_____小时． 【答案】

10

13

【解析】根据方位角的定义，可知BAD ∠= 120?，设出时间为t ，则可表示出

206AC t =-，8AD t =，根据余弦定理可求出两船之间的距离表达式，进而可求出

距离最小值及对应的时间t ． 【详解】

如图，

当甲、乙两船相距最近时，他们行驶的时间为t (0)t >小

时，此时甲船位于C 处，乙船位于D 处，则206AC t =-，8AD t =，由余弦定理可得：

2220(206)(8)2(206)8cos120CD t t t t =-+--25280400t t =-+=

210480052()1313t -

+，故当1013t =时CD 取最小值，故答案为1013

． 【点睛】

本题考查解三角形的实际应用，需灵活运用正余弦定理，属基础题．

16．若关于x 的不等式9log 2x

a x -≤在10,2

?? ??

?

上恒成立，则a 的取值范围为______．

【答案】1,12??????

【解析】关于x 的不等式92log x

a x -≤在10,2??

???上恒成立等价于92log x a x -≤在10,2?? ???

恒成立，进而转化为函数()log a g x x =的图象恒在()92x

f x =-图象的上方，利用指数函数与对数函数的性质，即可求解. 【详解】

由题意，关于x 的不等式92log x a x -≤在10,2

?? ??

?

上恒成立等价于92log x

a x -≤在

10,2?? ???恒成立，设()92x f x =-，()log a g x x =，因为92log x a x -≤在10,2?? ???

上恒成立，

所以当10,2

x ??∈ ??

?

时，函数()log a g x x =的图象恒在()92x

f x =-图象的上方，

由图象可知，

当1a >时，函数()92x

f x =-的图象在()lo

g a g x x =图象的上方,不符合题意，舍去；

当01a <<时，函数()log a g x x =的图象恒在()92x

f x =-图象的上方，则

1

21

log 922

a ≥-，

即1log 12a

≥，解得1

12

a ≤<， 综上可知，实数a 的取值范围是1,12??

????

. 【点睛】

本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，以及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中把不等式恒成立转化为两个函数的关系，借助指数函数与对数函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.

三、解答题

17．ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4

A π

=，3

2

a b =

. （1）求sin B 的值；

（2）若6a =，求ABC ?的面积.

【答案】（1）

3

；（2）4+【解析】（1）由正弦定理可得3sin sin 2A B =

，又因为4

A π

=，代入即可求出sin B ．

（2）根据同角的三角函数关系式求出cos B =

，进而可求出

2sin sin()6

C A B =+=

in 12s S ab C =，代入数据即可求解． 【详解】 （1）因为

sin sin a b A B =，32a b =，所以3

sin sin 2

A B =

因为4

A π

=

，所以2sin 323

B =

?=

（2）因为6a =，所以4b = 因为b a <，所以B A <，B 为锐角，

因为sin B =

cos B =

所以()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=

+=

故ABC ?的面积为112sin 644226

ab C +=???=+【点睛】

本题考查了正弦定理，两角和的正弦公式及求面积公式，考查了推理和计算能力，属基础题．正弦定理为解三角形中有力的工具，常见用法如下：（1）已知两边和一边对角，求另一边对角；（2）已知两角和其中一角的对边，求另一角对边；（3）证明化简；（4）求外接圆半径．

18．某校要从该校环境保护兴趣协会的20名成员中，选取6人组队参加市电视台组织的环保知识竞赛.

（1）若采用抽签法选取参赛队伍成员，请写出步骤；

（2）若选出的人员中有2名女生4名男生，在这6名学生中任选两人担任正副队长，求所选两人恰好有1名女生的概率. 【答案】（1）步骤见解析；（2）

8

15

【解析】（1）根据抽签法确定对应步骤；

（2）先确定总事件数，再确定两人恰好有1名女生包含事件数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】

（1）先制签，标号1到20；放到盒子中摇匀，再依次抽出6个标签（每次抽签后均重新摇匀）；根据所抽到标签对应号码确定参赛队伍成员；

（2）这6名学生中任选两人共有2

615C =种选法， 其中所选两人恰好有1名女生有11

248C C =种选法，

因此所选两人恰好有1名女生的概率为815

【点睛】

本题考查抽签法、古典概型概率公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 19．已知函数()()2sin sin cos 2f x x x x a =++-的图象经过点,14π?? ???

. （1）求a 的值以及()f x 的单调递减区间； （2）当,22x ππ??

∈-

???

?时，求使()1f x <成立的x 的取值集合.

【答案】（1）

1a =，()f x 的单调递减区间为37[,]88k k ππππ++， k Z ∈.（2）(,)24

ππ

-

【解析】（1）化简得()f x )14

x a π=

-+-，根据()14f π

=，解得1a =，再根

据正弦函数的递减区间可得()f x 的单调递减区间；

（2）()1f

x <可化为sin(2)4

2

x π-<，根据,22x ππ??∈-??

??

，得532444

x πππ-≤-≤，

要使sin(2)4

2

x π

-<

成立，只能有52444x πππ-<-<，解得结果即可得解. 【详解】

()()2sin sin cos 2f x x x x a =++-22sin sin 22x x a =++- 1cos2sin 22x x a =-++-

)14

x a π

=-+-，

（1）()4

f π=)144

a π

π

?

-+-a =，所以a 1=，

所以())4

f x x π

=

-，

由3222242

k x k πππππ

+≤-≤

+，k Z ∈， 得

3788

k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， 所以()f x 的单调递减区间为37[

,]88

k k ππ

ππ++， k Z ∈.

（2）

()1f x <可化为sin(2)4

2

x π-<，

因为22

x π

π

-

≤≤

，所以532444

x πππ-

≤-≤，

因为sin(2)4

2

x π

-

<

，所以只能有52444x πππ-<-<，即24x ππ-<<. 所以使

()1f x <成立的x 的取值集合为(,)24

ππ

-.

【点睛】

本题考查了二倍角的正弦、余弦公式，考查了两角差的余弦公式，考查了正弦函数的递减区间，考查了简单的三角不等式的解法，属于中档题.

20．已知二次函数()f x 满足()()2f x f x =-，且()14f =，()30f =. （1）求()f x 的解析式；

（2）是否存在实数m ，使得在[)1,4上()f x 的图象恒在曲线2x

y m =+的上方？若存

在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1) ()2

23f x x x =-++ (2) (],21-∞-

【解析】（1）利用待定系数法，设()2

f x ax bx c =++，根据题意列出相应的方程，即

可求解；

（2）设()2

232x

g x x x m =-++--，函数()f x 的图象恒在曲线2x y m =+的上方

等价于()0g x >恒成立，分离参数2232x m x x <-++-恒成立，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】

（1）设()2

f x ax bx c =++，

因为二次函数()f x 满足()()2f x f x =-，所以()f x 的图象关于直线1x =对称， 即12b

a

-

=① 因为()14f =，()30f =，所以()14f a b c =++= ②

()3930f a b c =++=，③

联立①②③，解得1a =-，2b =，3c =. 故()2

23f x x x =-++.

（2）设()2

232x

g x x x m =-++--，

()f x 的图象恒在曲线2x y m =+的上方等价于()0g x >恒成立，

即2232x m x x <-++-恒成立，

因为223y x x =-++在[)1,4上单调递减，2x

y =在[

)1,4上单调递增，

所以()2

232x h x x x =-++-在[

)1,4上单调递减，

则()()min 416831621h x h ==-++-=-. 故m 的取值范围为(]

,21-∞-.

【点睛】

本题主要考查了待定系数法求解函数的解析式，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答根据题意转化为2232x m x x <-++-恒成立，利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题. 21．设sin ,sin ,4a x x π??

??=+

? ??

???cos ,sin ,4b x x π????=- ? ????

?()2f x a b =. （1）当,02x ??

∈-

????

π时，求()f x 的最大值和最小值；

（2）已知2f α??-

= ???，且当22παπ≤≤时，求()f α的值.

【答案】（1）min ()f x =max ()1f x =；（2）()f α=

【解析】（1）利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用可得

()24f x x π?

?=+ ??

?，利用正弦函数的性质可求出函数在给定区间上的最值；

（2）由已知可得cos sin αα-=

，从而得到22cos sin 03αα=>，再根据

22

π

απ≤≤，即可得到sin 0α<，cos 0α<，从而求出cos sin αα+=求出cos2α，再根据两角和的正弦公式计算可得； 【详解】

解：（1）因为sin ,sin ,4a x x π??

?

?=+

? ??

???cos ,sin ,4b x x π????=- ? ????

?()2f x a b =. 所以()22sin cos sin sin 44f x a b x x x x ππ????

??==++

- ? ????

????

?

12sin 2sin sin 2

424x x x πππ??

??????=++-+?? ? ???????????

sin 22sin cos 44x x x ππ?

???=+++ ? ?????

sin 2sin 24x x π?

?=++ ??

?

sin 2sin 22x x π?

?=++ ???

sin 2cos2x x =+

24x π?

?=+ ??

?

()24f x x π?

?∴=+ ??

?

因为,02x ??

∈-

????π，所以432,44x πππ??+∈-???

?

所以当38x π=-

即242

x ππ

+=-时，()f x 取最小值，min ()f x = 当0x =即24

4

x π

π

+

=

时，()f x 取最大值，max ()1f x =；

（2）因为23

f α??

-

= ?

??，

243f απα????∴-=-+= ? ????

?

cos sin αα∴-=

112cos sin 3αα∴-=，22cos sin 3αα∴=，

2

sin 23

α∴=

又

22

π

απ≤≤，cos 0α∴<，sin 0α<，

()2

25cos sin 12cos sin 133

αααα∴+=+=+=

cos sin 3

αα∴+=-

()()cos 2cos sin cos sin ααααα?∴=+-== ??

()

2sin 2cos cos 2sin sin 2cos 2444f πππαααααα???∴=+=+=+=

?????

【点睛】

本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

22．已知数列{}n a 满足1220n n a a +-+=，且18a =. （1）证明：数列{2}n a -为等比数列；

（2）设1

(1)(21)(21)

n n

n n n a b +-=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意的*n N ∈，n m T ≥恒成立，求m 的取值范围.

【答案】（1）详见解析；（2）2

[,)9

-

+∞. 【解析】（1）由题意得()1222n n a a +-=-，化简整理，结合定义，即可得证．

（2）由（1）可得322n

n a =?+，代入可得

()

()()()

()1

1

1322

1112121212

1n

n

n

n

n n n

n b ++-?+??=

=-+ ?++++??

，分别讨论n 为奇数和偶数时n T 的表达式，结合单调性，便可求出m 的取值范围． 【详解】

（1）证明：因为1220n n a a +-+=，所以122n n a a +=-

即()1222n n a a +-=-，则

()

*12

22

n n a n N a +-=∈- 从而数列{}2n a -是以6为首项，2为公比的等比数列

（2）解：由（1）知1

262n n a --=?，即322n n a =?+

所以()()(

)()

()()()

()1

1

1

13?22

111121212

121212

1n

n

n

n

n

n n n n

n n

n a b +++-+-??=

=

=-+ ?++++++??

当n 为偶数时，

223

11

111111112121212121212121n n n n n T -+?

????

???=--++++--++ ? ? ? ?++++++++????????

111111

2121321

n n ++=-

+=-++++ 当n 为奇数时，

223

11

11111

1112121212121212121n n n n n T -+????????=--++++++-- ? ? ? ?++++++++????????

111111

2121321

n n ++=-

-=--+++

当n 为偶数时，111321n n T +=-

++是递减的，此时当2n =时，n T 取最大值29

-，则2

9

m ≥-

； 当n 为奇数时，111321n n T +=-

-+是递增的，此时13n T <-，则13m ≥-. 综上，m 的取值范围是2,9??

-+∞????

. 【点睛】

本题考查了数列构造法，等比数列的定义及求和．证明等比数列常用概念来证明，裂项相消法是求和中常用的办法，题中还涉及了分类讨论的思想，需分别求n 为奇数和n 偶数时的T ，再分别求解，整理答案，属难题．