实变函数第二章点集
实变函数习题解答(1)
第一章习题解答 1、证明 A (B C)＝(A B) (A C) 证明：设x∈A (B C)，则x∈A或x∈(B C)，若x∈A，则x∈A B，且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)。若x∈B C，则x∈B且x∈C，于是x∈A B且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)，因此 A (B C) ? (A B) (A C) (1) 设x∈(A B) (A C)，若x∈A，则x∈A (B C)，若x∈A，由x∈A B 且x∈A C知x∈B且x∈C，所以x∈B C，所以x∈A (B C)，因此 (A B) (A C) ? A (B C) (2) 由(1)、(2)得，A (B C)＝(A B) (A C) 。 2、证明 ①A－B＝A－(A B)＝(A B)－B ②A (B－C)＝(A B)－(A C) ③(A－B)－C＝A－(B C) ④A－(B－C)＝(A－B) (A C) ⑤(A－B) (C－D)＝(A C)－(B D) (A－B)＝A B A－(A B)＝A C(A B)＝A (CA CB) ＝(A CA) (A CB)＝φ (A CB)＝A－B (A B)－B＝(A B) CB＝(A CB) (B CB) ＝(A CB) φ＝A－B ②(A B)－(A C)＝(A B) C(A C) ＝(A B) (CA CC)＝(A B CA) (A B CC)＝φ [A (B CC)]＝ A (B－C) ③(A－B)－C＝(A CB) CC＝A C(B C) ＝A－(B C) ④A－(B－C)＝A C(B CC)＝A (CB C) ＝(A CB) (A C)＝(A－B) (A C) ⑤(A－B) (C－D)＝(A CB) (C CD) ＝(A C) (CB CD)＝(A C) C(B D) ＝(A C)－(B D)
实变函数试题库(5)及参考答案
实变函数试题库及参考答案（5） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A 2．设n E R ?，如果E 满足0 E E =（其中0 E 表示E 的内部），则E 是 3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的 4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是 7．若()E R ?是可数集，则__0mE 8．设 {}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果 .()() ()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ?x E ∈（是否成立） 二、选择题 1、设E 是1 R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则 （ ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（ ） （A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =? （C ）(\)B A A =? （D ）A B A B ? 3. 若() n E R ?是闭集，则 （ ） （A ）0 E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设{[0,1]}E =中的有理点 ，则（ ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点
实变函数集合标准答案
第一章 集合 一、內容小结 1. 这一章学习了集合的概念、表示方法、集合的运算（并、交、差、补）；引入 了集合列的上、下极限和极限的运算；对集合运算规则作了仔细的讨论，特别是德摩根公式。 2. 引入了集合对等的概念，证明了判别两个集合对等的有力工具——伯恩斯坦定 理。 3. 引入了集合基数的概念，深入地研究了可数基数和连续基数。 二、学习要点 1. 准确熟练地掌握集合的运算法则，特别要注意集合运算既有和代数运算在形式 上一许多类似的公式，但也有许多本质。但是千万不要不加证明地把代数恒等式搬到集合运算中来。例如：(a+b)-a=b,但是(A+B)-B=A 却不一定成立。条件为A,B 不交。 2. 可数集合是所有无限集中最小的无限集。若可数A 去掉可数B 后若还无限则C 必可数。 3. 存在不可数集。无最大基数集。 以下介绍学习中应掌握的方法 4. 肯定方面与否定方面。B X B X ?∈与, 5. 集合列的上、下限集是用集合运算来解决分析问题的基础，应很好地掌握。其 中用交并表示很重要。对第四章的学习特别重要。 6. 基数部分重点：集合对等、构造集合的一一对应；利用对等的传递性（伯恩斯 坦定理）来进行相应的证明。 7. 集合可数性的证明方法很重要：可排列、与已知可数集对等、利用集合的运算 得到可数、第四节定理6. 8. 证明集合基数为C 中常用到已知的基数为C 的集合。∞E R n , 三、习题解答 1. 证明：)()()(C A B A C B A Y I Y I Y = 证明 则若设,).(A x C B A x ∈∈I Y B A x Y ∈,得).()(C A B A x Y I Y ∈ 若 则同样有设,C B x I ∈B A x Y ∈且C A x Y ∈，得 ).()(C A B A x Y I Y ∈因此 )()()(C A B A C B A Y I Y I Y ? 设)()(C A B A x Y I Y ∈则若,.A x ∈当然有)()(C A B A x Y I Y ∈，若,.A x ?由B A x Y ∈且C A x Y ∈，可知B x ∈若.且c x ∈.，所以,C B x I ∈同样有).(C B A x I Y ∈因此?)()(C A B A Y I Y )(C B A I Y ， 所以)()()(C A B A C B A Y I Y I Y = 2. 证明
实变函数积分理论部分复习试题[附的答案解析版]
2011级实变函数积分理论复习题 一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例） 1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可积函数。（×） 2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可测函数。（√） 3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。 （×） 4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ，使得， [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ ，()f x 在[0,]n 上 黎曼可积，从而()f x 是[0,]n 上的可测函数，进而()f x 是1 [0,)[0,]n n ∞ =+∞= 上的可测函数） 10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，()[0,1],n G f 表示()n f x 在
实变函数第一章答案
习题1.1 1．证明下列集合等式． (1) ()()()C A B A C B A \\=； (2) ()()()C B C A C B A \\\ =； (3) ()()()C A B A C B A \\\=． 证明 (1) )()C \B (c C B A A = )()( c c C B A A B A = c C A B A )()( = )(\)(C A B A = . (2) c C B A A )(C \B)(= )()(c c C B C A = =)\()\(C A C A . (3) )(\C)\(B \c C B A A = c c C B A )( = )(C B A c = )()(C A B A c = )()\(C A B A =. 2．证明下列命题． (1) ()A B B A = \的充分必要条件是：A B ?； (2) ()A B B A =\ 的充分必要条件是：=B A ?； (3) ()()B B A B B A \\ =的充分必要条件是：=B ?． 证明 (1) A B A B B B A B B A B B A c c ==== )()()()\(的充要条 是：.A B ? (2) c c c c B A B B B A B B A B B A ===)()()(\)( 必要性. 设A B B A =\)( 成立，则A B A c = , 于是有c B A ?, 可得.?=B A 反之若,?≠B A 取B A x ∈, 则B x A x ∈∈且, 那么B x A x ?∈且与c B A ?矛盾.
充分性. 假设?=B A 成立, 则c B A ?, 于是有A B A c = , 即.\)(A B B A = (3) 必要性. 假设B B A B B A \)()\( =, 即.\c C A B A B A == 若,?≠B 取,B x ∈ 则,c B x ? 于是,c B A x ? 但,B A x ∈ 与c C A B A =矛盾. 充分性. 假设?=B 成立, 显然B A B A \= 成立, 即B B A B B A \)()\( =. 3．证明定理1.1.6． 定理1.1.6 (1) 如果{}n A 是渐张集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 ;lim n n n n A A (2) 如果{}n A 是渐缩集列, 即),1(1≥??+n A A n n 则{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 . lim n n n n A A 证明 (1) 设),1(1≥??+n A A n n 则对任意 ∞ =∈ 1 ,n n A x 存在N 使得,N A x ∈ 从而 ),(N n A x N ≥?∈ 所以,lim n n A x ∞ →∈ 则.lim 1 n n n n A A ∞→∞ =? 又因为 ∞ =∞ →∞ →??1 ,lim lim n n n n n n A A A 由此可见{}n A 收敛且 ∞ =∞ →= 1 ;lim n n n n A A (2) 当)1(1≥??+n A A n n 时, 对于, lim n n A x ∞ →∈存 )1(1≥?<+k n n k k 使得 ),1(≥?∈k A x k n 于是对于任意的,1≥n 存在0k 使得n n k >0, 从而,0 n n A A x k ?∈ 可见.lim 1 ∞ =∞ →?n n n n A A 又因为,lim lim 1 n n n n n n A A A ∞ →∞ →∞ =?? 所以可知{}n A 收敛且 ∞ =∞ →=1 .lim n n n n A A 4．设f 是定义于集合E 上的实值函数，c 为任意实数，证明： (1) ??? ???+≥=>∞ =n c f E c f E n 1][1 ； (2) ?? ? ???+<=≤∞ =n c f E c f E n 1][1 ； (3) 若))(()(lim E x x f x f n n ∈?=∞ →，则对任意实数c 有 ?????? ->=????? ?->=≥∞→∞=∞ =∞ =∞ =k c f E k c f E c f E n n k n N n N k 1lim 1][111 ． 证明 (1) 对任意的[],c f E x >∈ 有,)(c x f > 则存在+ ∈Z n 使得n c x f 1)(+ ≥成
实变函数论试题及答案
实变函数论测试题 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ == 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以 ∞ +=∈ 1 n m m A x ∞ =∞ =? 1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim ∞=∞ =? 1n n m m A 。设 ∞=∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使 ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →= ∞ =∞ =1n n m m A 。 2、设(){}2 2 2,1E x y x y =+<。求2E 在2 R 内的'2 E ，0 2E ，2E 。 解：(){}2 2 2,1E x y x y '=+≤， (){}222,1E x y x y =+< ， (){}222,1E x y x y =+<。 3、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令 ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 4、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E ?，12 m E =。 解：在[0,1]中去掉一个长度为1 6的开区间5 7 ( , )1212 ，接下来在剩下的两个闭区间 分别对称挖掉长度为11 6 3 ?的两个开区间，以此类推，一般进行到第n 次时， 一共去掉12-n 个各自长度为1 116 3 n -? 的开区间，剩下的n 2个闭区间，如此重复 下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为 11 11212166363 2 n n --+?++ ?+= 。
实变函数测试题1-参考答案
本试题参考答案由08统计班15号 李维提供 有问题联系 1、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,n n A n A n n -===n 求出集列{A }的上限集和下限集合。 2、证明：()f x 为[,]a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数c ，集{} ()E x f x c =≥和 {}1()E x f x c =≤都是闭集。 3、设n R E ?是任意可测集，则一定存在可测集 δ G 型集 G ，使得 E G ?,且 ()0=-E G m 4、设,n A B R ?，A B ?可测，且()m A B ?<+∞，若()**m A B m A m B ?=+， 则,A B 皆可测。 5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。 6、设)(x f 是E 上的可测函数，G 为开集，F 为闭集，试问])(|[G x f x E ∈与 ])(|[F x f x E ∈是否是可测集，为什么？ 7、设在Cantor 集0P 上定义函数()f x =0，而在0P 的余集中长为1 3n 的构成区间上定义为n （1,2,3,=L n ）,试证()f x 可积分，并求出积分值。 8、设{}n f 为E 上非负可积函数列，若lim ()0,n E n f x dx →∞=? 则()0n f x ?。 9、设)(x f 是E 上. 有限的可测函数，+∞
(完整版)《实变函数及泛函分析基础》试卷及答案
试卷一： 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有
实变函数试题库(4)及参考答案
实变函数试题库及参考答案（4） 本科 一、填空题 1.设,A B 为两个集合,则__c A B A B - . 2.设n E R ?,如果E 满足E E '?(其中E '表示E 的导集),则E 是 3.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i) ）（b a ,G (ii),a G b G ?? 4.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5.设12,E E 为可测集,2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 6.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ?∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()() ()k a e n f x f x x E →∈. 7.设()f x 为可测集E (n R ?)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值存在且|()|f x 在E 上L 可积.（填“一定”“不一定”） 8.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x 是[,]a b 上的有 二、选择题 1．设(){},001E x x =≤≤，则（ ） A 1mE = B 0mE = C E 是2R 中闭集 D E 是2R 中完备集 2．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ ） A 、()()E x f x g x ??≥??不一定是可测集 B 、()()E x f x g x ??≠??是可测集 C 、()()E x f x g x ??≤??是不可测集 D 、()() E x f x g x ??=??不一定是可测集 3．下列集合关系成立的是（） A 、(\)A B B A B = B 、(\)A B B A = C 、(\)B A A A ? D 、\B A A ? 4. 若() n E R ?是开集，则 （ ） A 、E 的导集E ? B 、E 的开核E =C 、E E =D 、E 的导集E =
实变函数试题库及参考答案
实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则()\A B B U A B U （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是 4．有限个开集的交是 5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E U 12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ??是可数集，则*m E 0 7．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ?∈?，()E x f x a ??≥??是 ，则称()f x 在E 上可测 8．可测函数列的上极限也是 函数 9．设()()n f x f x ?，()()n g x g x ?，则()()n n f x g x +? 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上 二、选择题 1．下列集合关系成立的是（ ） 2．若n R E ?是开集，则（ ） 3．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ） 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设[]{}0,1E =中无理数，则（ ） A E 是不可数集 B E 是闭集 C E 中没有内点 D 1m E = 2．设n E ??是无限集，则（ ） A E 可以和自身的某个真子集对等 B E a ≥（a 为自然数集的基数） 3．设()f x 是E 上的可测函数，则（ ） A 函数()f x 在E 上可测 B ()f x 在E 的可测子集上可测 C ()f x 是有界的 D ()f x 是简单函数的极限
4．设()f x 是[],a b 上的有界函数，且黎曼可积，则（ ） A ()f x 在[],a b 上可测 B ()f x 在[],a b 上L 可积 C ()f x 在[],a b 上几乎处处连续 D ()f x 在[],a b 上几乎处处等于某个连续函数 四、判断题 1. 可数个闭集的并是闭集. （ ） 2. 可数个可测集的并是可测集. （ ） 3. 相等的集合是对等的. （ ） 4. 称()(),f x g x 在E 上几乎处处相等是指使()()f x g x ≠的x 全体是可测集. （ ） 五、定义题 1. 简述无限集中有基数最小的集合，但没有最大的集合. 2. 简述点集的边界点，聚点和内点的关系. 3. 简单函数、可测函数与连续函数有什么关系？ 4. [],a b 上单调函数与有界变差函数有什么关系？ 六、计算题 1. 设()[]23 0,1\x x E f x x x E ?∈?=?∈??，其中E 为[]0,1中有理数集，求 ()[] 0,1f x dx ?. 2. 设{}n r 为[]0,1中全体有理数，(){}[]{}12121 ,,00,1\,,n n n x r r r f x x r r r ∈??=?∈??L L ，求()[] 0,1lim n n f x dx →∞?. 七、证明题 1．证明集合等式：(\)A B B A B =U U 2．设E 是[0,1]中的无理数集，则E 是可测集，且1mE = 3．设(),()f x g x 是E 上的可测函数，则[|()()]E x f x g x >是可测集 4．设()f x 是E 上的可测函数，则对任何常数0a >，有1 [|()|]|()|E mE x f x a f x dx a ≥≤ ? 5．设()f x 是E 上的L -可积函数，{}n E 是E 的一列可测子集，且lim 0n n mE →∞ =，则 实变函数试题库及参考答案（1） 本科 一、填空题
实变函数复习资料,带答案
《实变函数》试卷一 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数（C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若 ()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则 ' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都 _________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”） 5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。 三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例
实变函数重点题集
3、下列说法不正确的是（ B ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=? 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =[]0,1,o E =?,E =[]0,1. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有***()()m T m T E m T CE =?+?，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的充要条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. 5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使11|()()|n i i i f x f x -=??-????∑成一有界数集,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。 1、设1E R ?，若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集。错误 2、若0=mE ，则E 一定是可数集.错误例如：设E 是Cantor 集，则0mE =，但E =c ， 故其为不可数集 3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数。错误 二、2. 下列说法不正确的是(C ) (A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则0P 是E 的聚点 (B) 0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点，则0P 是E 的聚点 (C) 存在E 中点列{}n P ，使0n P P →，则0P 是E 的聚点 (D) 内点必是聚点 3. 下列断言(B )是正确的。 （A ）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； (C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对； 4. 下列断言中( C )是错误的。 （A ）零测集是可测集； （B ）可数个零测集的并是零测集； （C ）任意个零测集的并是零测集；（D ）零测集的任意子集是可测集； 1、设11[,2],1,2,n A n n n =-=，则=∞→n n A lim _________。 2、设P 为Cantor 集，则 =P ，mP =_____，o P =________。 3、设{}i S 是一列可测集，则11 ______i i i i m S mS ∞∞==??? ???∑ 4、鲁津定理：______________________________________________________ 5、设()F x 为[],a b 上的有限函数，如果_________则称()F x 为[],a b 上的绝对连续函数。 答案：()0,2 2，c ；0 ；? 3， ≤ 4，设()f x 是E 上..a e 有限的可测函数，则对任意0δ>，存在闭子集E E δ?，使得()f x 在E δ上是连续函数，且(\)m E E δδ<。
完整word版,实变函数练习及答案
实变函数练习及答案 一、选择题 1、以下集合，（ ）是不可数集合。 .A 所有系数为有理数的多项式集合； .B [0,1]中的无理数集合； .C 单调函数的不连续点所成集合； .D 以直线上互不相交的开区间为元素的集。 2、设E 是可测集，A 是不可测集，0mE =，则E A U 是（ ） .A 可测集且测度为零； .B 可测集但测度未必为零； .C 不可测集； .D 以上都不对。 3、下列说法正确的是（ ） .A ()f x 在[,]a b L —可积?()f x 在[,]a b L —可积； .B ()f x 在[,]a b R —可积?()f x 在[,]a b R —可积； .C ()f x 在[,]a b L —可积?()f x 在[,]a b R —可积； .D ()f x 在(],a +∞R —广义可积?()f x 在[,]a b L —可积 4、设{}n E 是一列可测集，12......,n E E E ???则有（ ） .A 1( )lim n n n n m E mE ∞→∞ =>U ； .B 1()lim n n n n m E mE ∞→∞==U ； .C 1 ()lim n n n n m E mE ∞→∞==I ； .D 以上都不对。 5、()()\\\A B C A B C =U 成立的充分必要条件是（ ） .A A B ?； .B B A ?； .C A C ?； .D C A ?。 6、设E 是闭区间[]0,1中的无理点集，则（ ） .A 1mE =； .B 0mE =； .C E 是不可测集； .D E 是闭集。 7、设mE <+∞， (){}n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 是E 上几乎处处有限的可测函数，则(){}n f x 几乎处处收敛于()f x 是(){}n f x 依测度收敛于()f x 的（ ）
实变函数习题
第一章习题 2、(ii) ()1 1 1n n n n n n n A B A B ∞∞∞ ===-?- 证明：对于1 1 ,n n n n x A B ∞∞ ==?∈- 11 n n n n x A x B ∞∞ ==?∈? 且 001,1,n n n x A n x B ??≥∈?≥?且对于 0001,n n n x A B ??≥∈- ()1n n n x A B ∞ =?∈- 22、具体构造[]0,1与()0,1之间的一个完全的一一映射. 解：记()0,1中的有理数点集为Q ；()0,1中的无理数点集为M ()0,1Q M = ；[]{}0,10,1Q M = ,作映射 12132,,0,1,..........n n x M x x r r r r r r +?∈→→→→→ 所以[]()0,10,1与等价 29、求证：n R 中任一集合的导集是闭集. 证明：若()E ''=Φ,则E '为闭集,否则 要证明E '为闭集()E E '''?? ()x E x ''?∈?为E '的聚点(){}{}0,,V x x E εε'??>-≠Φ (){}{}1,x V x x E ε'??∈- ()(){}11,x V x x ε?∈- ()() ()110,,,2V x V x x E δδε??>?' ?∈使得 (){}{}11110,,V x x E δδ??>-≠Φ 10,δ??>()11,V x δ中含有E 的无穷多个点 ()1,V x δ?也中含有E 的无穷多个点 ()()1,,E V x E V x δε?
()x E E E '?∈''' ?? 从而E '为闭集 30、(i)设,A B 是任意的两个集合,若A B ?,则A B ''?. 证明：x A x '?∈?为A 的聚点 (){}{}0,,V x x A εε??>-≠Φ A B ? (){}{}0,,V x x B εε??>-≠Φ ?x 为B 的聚点 ?x B '∈ (ii)若A B A '??,求证：B 是闭集. 根据(i)式可知B A B ''??,则B 是闭集 32、n R 中任一集合的孤立点是至多可数的 证明：先来证明1 R 中的孤立点是至多可数的 记B 为1 R 中以有理数为端点的开区间全体所成的集合,(){},,m n n m B r r r r Q =∈ 则B 为可数集. 设A 为1R 中的孤立点全体,则对于任意的x A ∈,则存在x 的一个以有理数为端点的邻域 (),x x αβ,使得 (){},x x A x αβ= ` 对于每一个x A ∈,都做出这样的一个邻域,由于每个邻域中只含有一个A 中的点,故对于A 中不同的两个点对应的邻域(),x x αβ，() ,y y αβ也不同. 令(){},x x D x A α β= ∈ 则A 与D 等价,而D B ?,则D 是至多可数集,从而A 是至多可数集,因此有限个至多可数集的直积是至多可数集. 33、若A 不可数,则A '也不可数. 证明：假设A '是至多可数集,则设B 为A 的孤立点全体,则B 为至多可数集 因为()A B A A '= ,A A A ''? ,则A A ' 为至多可数集 则A 为至多可数集与已知矛盾. 第二章习题 2、求证：()(){}*inf :,m E m Q E Q Q =?是开集
实变函数试题库参考答案
《实变函数》试题库及参考答案（完整版） 选择题 1,下列对象不能构成集合的是:（ ） A 、全体自然数 B 、0,1 之间的实数全体 C 、[0, 1]上的实函数全体 D 、全体大个子 2、下列对象不能构成集合的是:（ ） A 、{全体实数} B 、{全体整数} C 、{全体小个子} D 、{x ： x>1} 3、下列对象不能构成集合的是:（ ） A 、{全体实数} B 、{全体整数} C 、{x ：x>1} D 、{全体 胖子} 4、下列对象不能构成集合的是:（ ） A 、{全体实数} B 、{全体整数} C 、{x ：x>1} D 、{全体瘦子} 5、下列对象不能构成集合的是:（ ） A 、{全体小孩子} B 、{全体整数} C 、{x ：x>1} D 、{全体实 数} 6、下列对象不能构成集合的是:（ ） A 、{全体实数} B 、{全体大人} C 、{x ：x>1} D 、{全体整 数} 7、设}1:{ααα≤<-=x x A , I 为全体实数, 则ααA I ∈?= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、(-∞, +∞) D 、(1, +∞)
8、设}1111:{i x i x A i -≤≤+-=, N i ∈, 则i i A ∞=?1= ( ) A 、(-1, 1) B 、(-1, 0) C 、[0, 1] D 、[-1, 1] 9、设}110:{i x x A i +≤≤=, N i ∈, 则i i A ∞=?1= ( ) A 、(0, 1) B 、[0, 1] C 、[0, 1] D 、 (0, +∞) 10、设}1211:{i x i x A i +<<-=, N i ∈, 则i i A ∞=?1= ( ) A 、[1, 2] B 、(1, 2) C 、 (0, 3) D 、 (1, 2) 11、设}2 3:{+≤≤=i x i x A i , N i ∈, 则i i A ∞=?1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、 {0} 12、设}11:{i x i x A i <<-=, N i ∈, 则i i A ∞=?1= ( ) A 、(-1, 1) B 、[0, 1] C 、Φ D 、{0} 13、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2n A n +=, N n ∈,则=∞→n n A lim ( ) A 、[0, 2] B 、[0, 2] C 、[0, 1] D 、[0, 1] 14、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2n A n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( ) A 、[0, 2] B 、[0, 2] C 、[0, 1] D 、[0, 1]
实变函数标准答案 第三版 第二章 点集
第二章 点集 1、证明：' 0P E ∈的充要条件是在任意含有0P 的领域(),P δ?（不一定以0P 为中心）中，恒有异于0P 的点1P 属于E （事实上，这样的1P 还有无穷多个）；0o P E ∈ 的充要条件则是有含有0P 的领域(),P δ?（同样，不一定以0P 为中心）存在，使(),P E δ??. ()()()'00100010101001001'0010 000:min ,,,,..o P E d P P d P P P P E P E P E P E P E P E E δδδδδδδδ∈?=-????∈?∈?∈?∈∈∈?∈? 证明若，对任意含有P 的领域(P,)，取则(P ,)(P,),而(P ,)中含有异于的点，所以(P ,）中存在异于P 的点若任意一个含有P 的领域(P,)中有异于P 的点，则任一 （P ）也有异于P 的点，故 若，则存在（P ），使（P ()()()0100010=min ,,,. o d P P d P P E P E δδδδδδ?∈??=-????∈ ）（P ，）即得证.若P (P,)E ，取，则有(P ,)(P,)，从而 4、设3E 是函数 1 sin ,0,0,0 x y x x ?≠?=??=?当 当 的图形上的点所作成的集合，在2 R 内讨论' 333o E E 的E 与. (){}'33=0y 11. o E y E φ?-≤≤=解：E ， 8.x -+a f ∞∞≥设（）是（，）上的实值连续函数，则对于任意常数,E={x|f(x)>a}是一开集，而E={x|f(x)a}总是一闭集。 (){} ()()(){}(){}()(){}()()o ,?,0,,,, ,|()||()| |{|}|{|}. {, |}. ' ',o o o o o c o x E x f x a f x a f x x x x f x a x E x f x a x E E x f x a H x f x a x f x a H x f x a x H H f x a H x δδδ∈=>>>-<>?∈=><=≥=<=≥∈=≥?' 任取则由在处连续及极限的保号性知， 存在当时有即即为的内点，从而 证明为开：集； 类似可证为开集从而是闭集又要证是闭集，只需证任取则存在()()(){}()(){|}{| ,, ,}n o n o o H x f x x f x a f x a x x f x a x f x a ≥≥∈≥≥中的点列使得由在处连续及，可知所以从而是闭集. 9.证明：每个闭集必是可数个开集的交集；每个开集可以表示成可数个闭集的和集。
实变函数测试题与答案
实变函数试题 一，填空题 1. 设1 ,2n A n ?? =???? , 1,2 n =, 则lim n n A →∞ = . 2. ()(),,a b -∞+∞,因为存在两个集合之间的一一映射为 3. 设E 是2R 中函数1cos ,00,0 x y x x ? ≠?=?? =?的图形上的点所组成的 集合，则E '= ，E ? = . 4. 若集合n E R ?满足E E '?, 则E 为 集. 5. 若(),αβ是直线上开集G 的一个构成区间, 则(),αβ满足: , . 6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体无理数集, 则 mE = . 7. 若()n mE f x →()0f x ??=??, 则说{}()n f x 在E 上 . 8. ） 9. 设n E R ?, 0n x R ∈,若 ,则称0x 是 E 的聚点. 10. 设{}()n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列, ()f x 是 E 上 几乎处处有限的可测函数, 若0σ?>, 有
, 则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x . 11. 设()()n f x f x ?,x E ∈, 则?{}()n f x 的子列{} ()j n f x , 使得 . 二, 判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 1. 若,A B 可测, A B ?且A B ≠,则mA mB <. 2. 设E 为点集, P E ?, 则P 是E 的外点. 3. 点集11,2, ,E n ? ? =??? ? 的闭集. 4. 任意多个闭集的并集是闭集. 5. 若n E R ?,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合. ' 三, 计算证明题 1. 证明:()() ()A B C A B A C --=- 2. 设M 是3 R 空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明M 为可数集. 3. 设n E R ?,i E B ?且i B 为可测集, 1,2 i =.根据题意, 若 有 ()()*0,i m B E i -→ →∞, 证明E 是可测集. 4. 设P 是Cantor 集, ( )[]3 2ln 1,(),0,1x x P f x x x P ?+ ∈?=? ∈-??. 求1 0(L)()f x dx ?.