实变函数第二章 点 集

第二章 点 集 §1. 度量空间， n 维欧氏空间

d e f .设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素y x ,都有唯一确定的实数

),(y x d 与之对应，满足：

?1 ()(),0.,0d x y d x y x y ≥=?=（非负性）

?2 对任意的()()(),,,,z X d x y d x z d y z ∈≤+（三点不等式） 则称(),,d x y x y 是之间的距离，称(),X d 为度量空间，X 中的元素称为点. 注：(1)由?1，?2可以推出距离具有对称性：()(),,,,d x y d y x x y X =∈

(2)子空间：若(),X d 为度量空间，(),.,Y X Y Y d ?≠?则也是一个度量 空间，称为(),X d 的子空间. (3)度量空间的例子及其性质见第七章.

n 维欧氏空间定义为(){}112:,,

,,,1,2,

,n n i R x x x x x x R i n ==∈=，n R 中两

点()()1212,,,,,,,n n x x x x y y y y ==的距离定义为

()()12

21,n

i i i d x y x y =??

=-????

∑

易证，对任何(),,,,n x y z R d ∈满足：

（1）()(),0,,0d x y d x y x y ≥=?=（非负性） （2）()(),,d x y d y x = （对称性）

（3）()()(),,,d x y d x z d z y ≤+ （三点不等式）

注 1.从三点不等式可以推出，),(y x d 是),(y x 的二元连续函数，即当

()()()(),0,,0,,n n n n d x x d y y d x y d x y →→→时，（当n →∞时） 注

2.对任何()12,,

,,n n x x x x R x =∈的模（或长度）定义为

2

112),(??

?

???==∑=n

i i x X d x θ，

)0,,0,0( =θ是n R 的原点.

注3.在n R 中也可以定义其它的距离，例如：

()()121,max ,,n

i i i i i

i d x y x y d x y x y ==-=-∑，

其中()()1212,,,,,,,n n x x x x y y y y ==

但以后所说的n R 中的距离一般是指()()12

21,n

i i i d x y x y =??

=-????

∑.

1def .设()(){}000,0,,:,n

P R U P P d P P δδδ∈>=<记，称为0P 的δ邻域.或记

为()0P U .

邻域的性质：

()()1P U P ∈；

()()()()()()()1233122,,U P U P U P U P U P U P ??对于和存在使； ()()()()()3Q U P U Q U Q U P ∈?对于，存在，使；

()()()()()4P Q U P U Q U P U Q ≠?=?对于，存在和，使

2def .设{}()0123m m

n P n R P R =?∈，，，，.如果

()0lim 0n n d P P →∞

=，，称点列{}n P 收敛于0P ,记为 0lim n n P P →∞

=.

注1.点列{}n P 收敛于P 0等价于：点列{}n P 的坐标序列收敛于P 0的坐标; 注2.点列{}n P 收敛于0P 等价于：对于0P 的任何邻域()0P U ，存在N ,当N n > 时，有()0n P U P ∈.

3def .两个非空的点集B A ,的距离定义为

()()inf P A Q B

d A B d P Q ∈∈=，，.

4def .一个非空的点集E 的直径定义为

()()sup P E Q E

E d P Q δ∈∈=，.

5def .设,n R E ?如果+∞<)(E δ,称E 是有界集.

注1.n R 中点集E 是有界集等价于：存在()()00,,,.U P E U P δδ?使

注2.n R 中点集E 是有界集等价于：存在常数K ,对所有E x x x x n ∈=),,,(21 都有),,2,1(||n i K x i =≤.

注3.n R 中点集E 是有界集等价于：存在常数K ,对所有E x ∈,有

)0,,0,0(0,)0,( =≤K x d .

6def .n R 中的开区间定义为点集(){}12,,,:,1,2,

,n i i i x x x a x b i n <<=，闭

区间定义为点集(){}12,,

,:,1,2,

,n i i i x x x a x b i n ≤≤=，类似地定义左开右闭或

左闭右开区间.记为I ,体积()1

n

i i i I b a ==-∏.

§2.聚点，内点，界点

设n n R P R E ∈?0,，则0P 与E 有三种可能的关系： （1）在0P 的附近没有E 的点. （2）0P 的附近全是E 的点.

（3）0P 的附近既有E 的点，又有不属于E 的点.

1def .若存在0P 的一个邻域()()00,E U P U P ?使，

则称0P 为E 的内点.这时， 0P E ∈.若0P 是c E 的内点，则称0P 为E 的外点.这时，c 00P E ,P E ∈?即.若对任

何()()000,,,,c

U P E U P E δδδ>?≠??≠?，则称0P 为E 的界点.

注：E 的界点不一定属于E .

2def . 设0,.n n E R P R ?∈若对任何(){}()000,,U P P E δδ>-?≠?，则称0P

为E 的聚点.

注1：E 的聚点不一定属于E . 注2：有限点集没有聚点.

注3：E 的内点一定是E 的聚点. E 的聚点不一定是E 的内点.E 的聚点有 可能是E 的界点. 1Th .....E A F T (1)0P 为E 的聚点.

(2)对任何()00,,U P δδ>内含有E 中无穷多个点.

(3)存在各项互异的点列{}0,n n P E P P ?→()n →∞.即：

()0lim ,0n n d P P →∞

=. 3def . 0,.n n E R P R ?∈若(){}()000,0,,,P E U P P E δδ∈?>-?=?且使则称

0P 为E 的孤立点. 这时0,P E ∈但是0P 不是E 的聚点.

若集合E 的每一点都是孤立点，则称E 是孤立点集. 注1：E 是孤立点集''.E E E ??=?表示E 的聚点全体.

注2：E 的界点不是聚点就是孤立点

注3：若一个点集E 没有聚点，即E '=?，则称它是离散集.离散集是孤立 点集，反之不一定.如例1.

注4：空集?没有聚点，也没有孤立点. 4def .设n E R ?，有

(1)E 的内点全体称为E 的开核，记为?

E ； (2)E 的界点全体称为E 的边界，记为E ?； (3)E 的聚点全体称为E 的导集，记为E '； (4)E E ' 称为E 的闭包，记为E 。

2eg .正整数集N ,每个n 都是N 的孤立点，N 是孤立点集.且

.,N N N N N =?=?='=?

3eg .设Q 为)1,0(中的有理数集，则[][]0

,0,1,0,1Q Q Q Q '=?==?=. 4eg .设()[]{}0

1

,,,,,,I a b R I I I I a b I a b '=?===?=则.

5eg .设(){}(){}0

2

,0:,,E ,0:E x a x b R E E E x a x b '=<

闭包可以表为其它形式：

(){}0

E E E E E E E E E E E E ''''=?=?-=??=??=?的全体孤立点.

设n n 0E R P R .?∈，则以下三条等价： (1)0P E ∈

(2)对任何()00,,U P E δδ>?≠? (3)存在E 中的点列{}0,lim n n n P E P P →∞

?=

闭包与开核的对偶关系：()0

0,.C E CE CE CE == 证明：前一个式子.

00

x C E x E x ∈???不是E 的内点()(),x U x U x ?对的任何邻域中 含有不属于E 的点(),x E x ??∈0或x E 但U 中含有不属于E 的点 ?()()0

,.x CE x CE x CE CE x CE C E CE ∈∈??∈???∈∴=或 2Th .设0

,,,.A B A B A B A B ''????则 3Th .().A B A B '''?=?

证明()()(),.,,.A A B B A B A A B B A B A B A B ''''''????∴????∴???

另一方面，设(),P A B '''∈?∈?要证P A B.

由

(),

P A B '∈?根据定理1，存在一列互异的点

{}(),lim

,0.n n n P A B d P P →∞

''''∈?=∈∈??n 若P A ,则P A B ;若P A ,则P 中至多有有限多个属于A,其余无穷多个都是属于B 的. 根据定理1，

().P B A B A B A B ''''''∈??∴???.所以，().A B A B '''?=?

eg .(1)n R 中的孤立点集是至多可数集合. (2)设A 是n R 中的非空集合，则A A a '-≤. (3)设A 是n R 中的非空集合，若,A a a '≤≤则A .

4Th . 设n E R ?，E 是一个有界的无穷集合，则E '≠?. 5Th . 设,,.n n E R E E R E ?≠?≠?≠?则.

6Th . n R 中的有界点列必有收敛子列.

§3.开集，闭集，完备集

定义1. 若

E E R E n

??,即E 的每一点都是E 的内点，称E 是开集. 注1.

E E E E E =?∴?是开集,. 注2. n R ,?是开集.

例1. 在),(1b a R 中，开区间是开集（在2R 中就不是）. 例2. ]1,0(不是开集.

例3. 在2R 中，}1:),{(22<+y x y x 是开集.}1:),{(22≤+y x y x 不是开集. 例4.设1)(R x f 是上的连续函数，则对任何实数a ,集合})(:{a x f x E >=是开集. 证明：设1000)(.)(,R x x f a x f E x ∈>∈在即 连续，有a x f x f x x >=→)()(lim 00

,,0>?∴δ

a x f x x >?<-)(||0δ.即存在.),,(),,(),(0000E x x U x x x x U ∈∈+-=有当δδδδ即E x E x U 是00,),(??δ的内点.由E x ∈0的任意性知,E 是开集. 注:例4中的1R 可以换成开区间),(

b a .

定义2. 设E E R E n ?'?若,.即E 的每一个聚点都属于E ,称E 是闭集. 注1:E 是闭集E E =?.

注2:E 是闭集E ?包含了其所有的聚点.

注3:E 是闭集?若0P 是E 中收敛点列}{n P 的极限，则0P 必属于E . 注4:n R ,?是闭集. 有限集合是闭集.

例5.在],[1b a R 中，是闭集.],(b a 不是闭集,有理数集合不是闭集,无理数集合不是闭集.

例6.在2R 中，}1:),{(22≤+y x y x 是闭集，}:)0,{(b x a x ≤≤是闭集. 注5:E 是闭集E E ??.

定理1. 对任何是闭集和是开集，E E E R E n

'?

,.

证明：证

E E E ?是开集，要证.设 E 非空.

E P ∈，存在邻域E P U ?)(.下证

E P U ?)(.对任意的)(P U Q ∈，存在)(Q U 使E P U Q U ??)()(.的内点是E Q ∴

E Q ∈ ...)(是开集

E E P E P U ∈∴?∴

再证E '是闭集. 要证E E '?'')(.设)(''E 非空.)(0''∈E P .E P '是0的聚点，在)(00P U P 的任一个邻域内，至少含有一个属于E '而异于0P 的点1P .因为

)(,011P U P

E P ∈'∈,所以又有属于0202)(P P P U P E ≠∈且的.所以在的0P 任一个邻域 )(0P U 内，至少含有一个属于20P P E 的点而异于.即E P '∈0.所以E '是闭集.

最后证E 是闭集.E E E E E E E E E E ?'=''?'''=∴'= )()(,.E 是闭集. 定理2 .)2()1(是开集是闭集，则设是闭集；是开集，则设c c E E E E

证明：)1(要证c c E E ?')(.设E 是开集，)(0'∈c E P .在0P 的任一邻域都有属于c E 的

点，即在0P 的任一邻域都有不属于E 的点，所以0P 不是E 的内点.E E P =?∴

0.

.)(,0c c c E E E P ?'∴∈∴

)2(要证. c

c

E E ?设E 是闭集,,0c

E P ∈∴.0

c E P ∈如果则在0P 的任一邻域内

至少有一个不属于c E 的点，即在0P 的任一邻域内至少有一个属于E 的点，而且这个点又异于0P (因为)0c

E P ∈.,0E E P ?'∈∴矛盾. 所以.

c c

E E ?

注1: 开集与闭集有对偶关系.

注2: 开集减闭集，差是开集；闭集减开集, 差是闭集. 定理3 )1(任意多个开集的并是开集；)2(有限多个开集的交是开集.

证明: )1(设}:{I i G i ∈是一个开集族， I

i i G G ∈=.设G P G ∈?≠,.则存在某一个

.),(,0.000000G G P U G G P I i i i i ??>?∴∈∈δδ使是开集，使 所以G 的每一点都是

G 的内点，所以G 是开集.

注: 任意多个开集的交不一定是开集.

例. ,2,1,1,1=???

??-=n n n I n 是直线上一列开集，但是}0{1

=∞

= n n I 是闭集.

定理4 )1(任意多个闭集的交是闭集；)2(有限多个闭集的并是闭集.

证明：)1(设i i

i F F F , =是闭集.i i i

i i i F F F F F F F F ?'

'?'?'?'∴? .,.

i i i i i i F F F F F =?'?'='?

??

? ??∴.所以F 是闭集. )2(设),,2,1(,21n i F F F F F i n ==都是闭集.)(21'='n F F F F

F F F F F F F n n =?'

''= 2121，所以F 是闭集.

注: 任意多个闭集的并不一定是闭集.

例. ,3,2,11,0=??????

-=n n F n 是直线上一列闭集，但是)1,0[2

=∞

= n n F 不是闭集.

下面考虑点集间的距离.

两个非空的点集B A ,的距离是()(){}B Q A P Q P d B A d ∈∈=,:,inf ,如果{}P A =,则(){}()(){}B Q Q P d B P d B P d ∈==:,inf ,,.

注:两个非空的点集B A ,的距离是非负的.()0,=??≠B A d B A .反之不一定对.

例. 设()()().0,,1,0,0,1=?==-=B A d B A B A 则

结论1 设B A ,是两个非空的闭集，且其中至少有一个有界.则必有

()()

****,,,,P A Q B d P Q d A B ∈∈=使.

证明见，江泽坚，实函，P.46-47

结论2 设()()F x d y x d F y R x F R F n n ,,,.,=∈∈?使则有是闭集，.于是当,时F x ?

().0,>F x d

证明：若()().,,,,F x d y x d x y F x ==∈此时即可则取

若()()()∞→→∈?k F x d y x d F y F x k k ,,,,使则由定义存在.此时()1},{≥k k y x d 是有界数列，1}{≥k k y 是有界点列，所以存在子列).(}{∞→∈p R y y n k p 收敛于某个.

但是F 是闭集，故()

()()()F x d y x d y x d y x d F y p k ,,,,,=→∈知再由.

结论3 设B A ,是两个非空的闭集，且其中至少有一个有界.若 ()0,=B A d ,则

.?≠B A

证明：由结论1，()

.,0,****?≠?∈=?=B A B A Q P Q P d

结论4 设E 是n R 中一个点集，{}.),(:,0δδ<=>E P d P U 则U 是一个开集，且

.E U ?

证明略.、

P.40例（隔离性定理） 设?=?2121121,,.,F F F F R F F 是闭集.则存在开集

12121122

,:,,G G G G G F G F ?=???.

证明：令{}{}.0),(),(:,0),(),(:212211>-=<-=F x d F x d x G F x d F x d x G 则21,G G 即为所求的两个开集.事实上，由21,G G 的作法知()()2121,,,F x d F x d G G 由?= 为连续函数知()()21,,F x d F x d -为连续函数.且21,G G 是开集.

再证.)2(0),(),(),(,:,122112211G x F x d F x d F x d F x F G F G ∈?<-=-∈??见结论则若 .)2(0),(),(),(,21212G x F x d F x d F x d F x ∈?>=-∈见结论则若

注1: 在n R 中，设21,F F 是两个非空有界闭集，2121,,G G F F 则有开集?= ，使

.,,212211?=??G G F G F G

证明见，江泽坚，实函，P.47-48.

注2: 两个闭集21,F F 不相交，推不出()0,21>F F d .

例. 在1R 中,{}??????+++== ,21,,212,211,,,,2,12n n B n A .则.,?='?='B A

.0),(,,=?=B A d B A B A 是闭集，

注3: 上述结论1中的B A ,不能都是无界集，否则结论1不对.

定理5.设F R F n ,?是有界闭集，Ω是一族开集{

}Λ∈i i U ，它覆盖了F .即 Λ

∈?i i U F 则Ω中一定存在有限个开集m U U U ,,,21 它们同样覆盖了F .即 m

i i U F 1

=?.

定义3. 设M 是度量空间X 中的一个集合，Ω是X 中任意一族覆盖了M 的开集.如果必定可以从Ω中选出有限个开集覆盖M ，则称M 是X 中的紧集.简称M 是紧集.

注1.n

R 中的有界闭集是紧集.这由定理5得出.

注2.反之，有

定理6 设M M R M n 则是紧集,,?是有界闭集.

证明：要证：,.::c c M Q M Q M Q M Q M M ∈'??∈'??'设点或证或证对任何

()().,,,0,,?=>?∴≠∈p p p Q U P U Q P M P δδδ 使开集族(){

}M P P U p ∈:,δ覆盖 了M ,由于M 是紧集,因此存在有限个邻域()

()

m

i p i p i i i P U M m i P U 1

.,,,,2,1,,=?=δδ使.

所以M 是有界集合.令{}()()

,,,0,,,,min 21?=>=i m p i p p p P U Q U δδδδδδδ 且则

M M M M Q M Q U m i ??'?'???=?= ),(,,2,1δ是闭集.

注3: 在n R 中，M 是紧集M ?有界闭集.

注4: 在一般的度量空间中，紧集是有界闭集.反之不一定（见第十一章）. 例. 设{}A G R A 为为非空集合Λ∈?αα,1的一个开覆盖，则从{}Λ∈ααG 中可以选出至多可数个开集覆盖A .（见第二版书P.43) 定义4.设E E R E n '??若,则称E 是自密集. 注1: E 是自密集等价于E 的每一点都是E 的聚点. 注2: E 是自密集等价于E 不含孤立点

在1R 中，()b a I ,=是自密集.[]()[]b a F b a I I ,,,=='? 是自密集. 1R 是自密集. 例2. 在1R 中，全体有理数集，全体无理数集都是自密集.空集是自密集. 定义5. 设E E R E n '=?若,，则称E 是完备集. 注: 完备集是自密的闭集，是没有孤立点的闭集. 例4. 在1R 中，[][][]?,,3,21,0,,1R b a 都是完备集. 例5. ?,n R 都是完备集.

§4. 直线上的开集、闭集及完备集的构造

定义 1.设G R G ,1?是开集，开区间(),,,,G G G ???βαβα则称()G 是βα,的构成区间.

例1. 开集()()()()3,21,03,21,0，的构成区间是 .

注.非空开集G 可能有形如()()()+∞∞-+∞∞-,,,,,a b 的构成区间，此时G 是无界开集.最极端的情形是：()+∞∞-,可看成是实直线自身的构成区间. 引理1. 直线上非空开集G 的任何两个不同的构成区间是互不相交的. 证明：用反证法.假设G 有两个不同的构成区间()()βαβα'',,和是相交的，则这两个开区间中必有一个开区间的一个端点落入另一个开区间中，比如，

()()()βααβαβαα''∈'∴?∈',.,,., 又G G 也是G 的构成区间，.G ?'∴α矛盾.

引理2. 设G R G ,1?是开集.则G 中任一点必属于且仅属于一个构成区间. 证明：设G G x ,∈是开集,G x 是∴的内点，()G x x ?+-?>?∴δδδ,,0.从而存在开区间()βα,=I （这里并不要求x 是I 的中心），使()G I x ?=∈βα,.令

(){}(){}G x G x x x ?∈=?∈=βαβββααα,:sup ,,:inf

()∞+∞可以是，可以是这里x x βα-.则()x x x x I I x 下证βα,=∈是G 的一个构成区

间.先证明： G I x ?. 任取x x x I z βα,由∈的定义，必存在()()G x ?''∈?''βαβα,,,

().,,,G I G z z x x x ?∴?''∈∴<'<<'<βαββαα且

其次证明：,,G G x x ??βα用反证法.假设,G x ∈α,,的内点是故是开集G G x α

()G x x ?+->?δαδαδ,,0使,于是，()()()G x x x x x x ?+-=-βαδαδαβδα,,, ，但.,的定义矛盾这与x x x ααδα<-G G x x ??∴βα同理可得,.

定理 1 直线上任一个非空开集都可以唯一地表示成至多可数个互不相交的开区间（即其构成区间）的并集.

证明：设G R G ,1?是开集.由引理2知，G 必有构成区间.由引理1知，G 的所有构成区间是互不相交的.因为1R 中由互不相交的开区间组成的开区间集是至多可数的（P.30，11），所以开集G 的所有构成区间是至多可数的，不妨设为

()()() n

n n i i G n i βαβα,,,,,2,1,==则必有事实上，

因为每个构成区间()G n n ?βα,, ().,G n

n n ?∴ βα又对任意的G x ∈，由引理2知，必存在某个n ，使()n n x βα,∈,

()()() n

n n n

n n n

n n G G x βαβαβα,.,.,=∴∈∴∈∴.最后，说明G 的表示() n

n n G βα,=.

是唯一确定的.设G 有表示式 i

i J G =，这里{}i J 是一族互不相交的开区间，仅

需说明每个i J 必是G 的某个构成区间即可.G J i ?是显然的.又若i J 的某个端点

c 属于G , 则由c J c i 必有,?属于另一个开区间j J ,.?≠j i J J .这与条件{}i J 是

互不相交的开区间矛盾.所以i J 是构成区间.

定义2 设A R A ,1?是闭集，称c A 的构成区间为A 的余区间.这时余区间的端点属于A .

定理 2 设F R F ,1?是闭集,若,1R F ≠则F 是从直线上挖去至多可数个互不相交的开区间（即F 的余区间）所得到的集.

证明：F 是闭集,?≠∴≠∴c c F R F F ,,1 是开集.由定理1，

()() i

i i c i

i i c b a R F R F b a F ,,,11-=-=∴=,

其中各个开区间()i i b a ,（是开集c F 的构成区间）互不相交,它们为至多可数个. 注1: 若x 是闭集F 的孤立点，则x 必是F 的两个相互邻接的余区间的公共端点. 注2: 设,1R F ?则F 是完备集F ?为没有相互邻接的余区间的闭集F ?是闭集且F 的任何两个余区间都没有公共端点.

注3: 设,1R F ?F 是非空有界闭集，则F 中必有一最大点（最大数）和一最小点（最小数）.

P.45 §5 康托尔三分集

第一步：把闭区间]1,0[三等分，删去中间的开区间()??

?

??=32,3111I .

第二步：把余下的两个闭区间??

?

?????????1,32,31,0各自三等分，并各删去中间的开

区间()()??

?

??=??? ??=2222222138,37,32,31I I .

如此继续下去.

一般地，第n 步是把第1-n 步删去过程后余下的12-n 个闭区间各自三等分，

并各删去中间的开区间()()()

n n n n I I I 1221,,,- .

令G 为所有删去开区间的并，即

()[].1,0,38,3732,3132,31121

22221

G P I G n k n k k -==???

????? ????? ??=∞==-

称P 是康托尔集.康托尔集P 的性质：

P 是非空的完备集..?≠P 这是因为在]1,0[中永远删不去的点都在P 中，如各个开区间()()

,2,1,2,,2,11==-n k I n n k 的端点都属于P .其次，由于G 为可数个互不相交的开区间的并集，故G 为开集，各个()()

,2,1,2,,2,11==-n k I n n k 是其构成区间.

于是[]()(){}+∞∞--=-=,10,1,01 G R G P 是闭集，每个()

()

,2,1,2,,2,11==-n k I n n k 以及()()+∞∞-,1,0,是P 的余区间.P 的任何两个余区间都不互相邻接. ()P 1是非空的完备集.

P 不含任何内点. 换言之，P 不包含任何开区间.设P x ∈，要证x 不是P 的内点.即要证对任何()δδ,,0x U >中总含有不属于P 的点.事实上,对任何,0>δ取正整数n 满足

δ

3

1，按P 的作法，在进行第n 次删去过程后,余下了n

2个长度为n

3

1的闭区间,故x 必落入这n

2个闭区间当中的一个,不妨记为()δ,.,x U x ??'?'∈?'. ()??

?

??<≤?'∈?δn y x d y 31,, .因为接下去还要对?'继续三等分并删去中间的开区

间，因此，在?'中总含有不属于P 的点.故在()δ,x U 内更含有不属于P 的点.P 不包含任何开区间，当然也谈不上填满直线上的任何一小段.

一般地，如果集合E 的闭包E 不含任何内点，即()

,?=

E 则称E 为疏朗集（或无处稠密集）.P 是一个 疏朗完备集(因为P 是闭集，?==

P P P ,).P 中的点是由删去的开区间的“端点集”的聚点所构成的.P 中的点远非仅仅由“端点集”1

P

组成（因为1P 是可数集），而且“非端点”（由()'

=1P P ,它是端点集的聚点）比“端

点”要多的多.

P 的基数是c .（P .47）

P 的测度是零,0=mP ,见下一章.

注1: 设n R E ?，若空间任一邻域内至少包含某点的一个邻域，其中不含E 的点，则称E 是疏朗集合.该定义与前面的定义等价.一般地，有 设1R E ?，则以下几个陈述等价： ()E .1是疏朗集;

()E .2没有内点，即()

?=

E ; ()E .3不含任何开区间;

().4在任何开区间()βα,中存在子区间()()()βαβαβα''?'',,,,在中没有E 的点. 例. 设A R A ,1?是孤立点集.则A 是疏朗集.

证明: 对于任何的开区间()βα,，如果()βα,不含有A 的点就不需要讨论. 如果

()βα,含有A 的点000,,x x x 由于βα<<是孤立点，必有()()而使得βαδδ,,,000?+>x x

()δ+00,x x 中不含有A 的点.所以A 是疏朗集.

但是，疏朗集不一定是孤立点集. 康托尔集就是如此.

注: 当n R n ,2时≥中的开集一般不能表示成至多可数个互不相交的开区间

()维n 的并.[]5150.P -

注: 当n R n ,2时≥中的非空开集G 都可以表示成可数多个互不相交的左开右闭的区间的并.即

(){}

().,,,2,1,:,,,,211j i J J n j d x c x x x J J G j i i j j i j n i i i ≠?==<<==∞

= 且

这种表示法没有唯一性.[]5150.P -

例1.判断题.

(1).不是E 的聚点必不是E 的内点. （√） (2).E 的聚点必属于E . (×)

(3).E 的孤立点必属于E . （√） (4).若?≠?E ，则{E 的孤立点全体}不等于空集. （×） (5).E 的外点集即.c E （×） (6).E x R x n '?∈,.则x 是E 的孤立点. （×） (7)..E E E '?= （√）

(8).{}.的孤立点集E E E

= （×）

(9)..E E E E '-='- （√） (10)..

E E E -=? （√） 例2.设 11:R R f →是连续函数，则对任何常数a ,集(){}

a x f R x x E >∈=,:1是开集,(){}

a x f R x x F ≥∈=,:1是闭集. 证明：E 是开集已证过. 下证F 是闭集.

法1.易证(){}

a x f R x x E <∈=,:11 是开集，而c E F 1=,故F 是闭集.

法2.任取点列{}().,00F x n x x F x n n ∈∞→→?要证使事实上，因为().,a x f F x n n ≥∴∈

f n 由令,∞→的连续性和极限的保号性，()().,lim 00F x a x f x f n n ∈∴>=∞

→F 是闭集.

直线上存在不开不闭的集，如区间(][)d c b a ,,,. 例3. 直线上既开又闭的集合，只有两个：空集，全直线.

证明：设A A R A ,,1?≠?是既开又闭的集合,则1R A =.事实上,假设A 不是全直线,由于A 是开集,记A 的构成区间是{}(),,,,,1R A A n

n n n n ≠= βαβα则所以这些

构成区间的端点{}n n βα,中至少有一个是有限的，不妨设为.,11A ?αα(),,11A ?βα

.,,.11A A A A A ∈?'∴'∈αα是闭集 矛盾.

例4.设F R F n ,?是紧集,f 是定义在F 上的连续函数.则f 在F 上有界并能达到最大值和最小值.f 在F 上一致连续. 即()有时且当,,,,0,0δδε<∈>?>?Q P d F Q P

()().ε<-Q f P f

证明：类似于数学分析.

例5.（闭集套定理） 设{}n

k k R F 是1≥中一列单减的非空有界闭集，则.1

?≠∞

= k k F

证明：任取(){}.,,2,11是有界点列则≥=∈k k k k x k F x 故有子列{}

p m x 收敛于n R x ∈

().∞→p 对任何,1≥k 由定理条件，当p 充分大时都有,k m

F x p

∈并且k F 是闭集，

从而().,,2,11?≠=∈∞

= k k k F k F x

注: 例5中“有界”这个条件不能少.例如[){}1,≥+∞k k 是1R 中一列单减的非空闭集，但是它们的交集是空集.