大一上学期微积分期末试卷
微积分期末试卷
1兀、
.设f(x)=2cos x,g(x)=(—)sin x在区间(0,)内()。
22
A f(x)是增函数，g(x)是减函数
B f(x)是减函数，g(x)是增函数
C二者都是增函数
口二者都是减函数
2、T0时，e2x-cos x与sin x相比是()
A高阶无穷小B低阶无穷小C等价无穷小D同阶但不等价无价小
3、x0是函数y(1x的()
A连续点B可去间断点C跳跃间断点D无穷型间断点
4、下列数列有极限并且极限为1的选项为()
I n冗
AX=(-1)n-—BX=sinn-n n n2
II
CX=(a>1)D X=cos—
n n n
n a
5、若f"(x)在X处取得最大值，则必有()0
A'(X)=oB f X) 00 C f X)=0且''(X)<0D''(X)不存在或'(X)=0 0000 6、曲线y=xe(x2)() A仅有水平渐近线B仅有铅直渐近线 C既有铅直又有水平渐近线D既有铅直渐近线 1~6DDBDBD 一、填空题 1、()=-^―d x x 1相切。这条直线方程为：x 2、求过点(2,0)的一条直线，使它与曲线y= 2x 3、函数y=，^的反函数及其定义域与值域分别是： 2x+1 4、y=&X的拐点为： 5、若lim-:ax>"=2,则a/的值分别为： x-1X2+ x 2y—x3-2x2；3y=log--,(0,1),R；4(0,0)21-x (x-1)(x+m)x+m1+m lim=lim==2 5解：原式=彳-1(x-1)(x+3)x-1x+34 m=7b=—7,a=6 二、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小() 2、limsi吧在区间(-如+8)是连续函数() x f 0x 3、f”(x )一定为的拐点()0 4、若f(X)在x 处取得极值，则必有f(x)在x 处连续不可导()00 5、设函数f (x)在[0,1] 上二阶可导且 f '(x )<0令A =f '(0),B =f '(1),C =f (1)-f (0),则必有A>B>C() 1~5FFFFT 三、计算题 -1 1用洛必达法则求极限lim x 2e x 2 x f 0 e x 2e x 2(-2x - 3)1.一 解：原式=lim 丁=lim =lim e x 2 =+8 x f 0x f 0 - 2x - 3 x f 0 x 2 2若f (x )=(x 3+10)4,求"(0) 解： f '(x )=4(x 3+10)3•3x 2=12x 2(x 3+10)3 f "(x )=24x -(x 3+10)3+12x 2・3•(x 3+10)2•3x 2=24x •(x 3+10)3+108x 4(x 3+10)2 ・•.f "(x )=0 3求极限 lim(cos x )x 2x f0 44, 解：原式lim e ；2历 cos x =e x —0x 2 1n cos x x —0 4In cos x lim_In cos x =lim x ―0x 2 x —0x 2 1 (-sin x ) =lim cos x x —0 x =lim x —0 一tan x =lim x =-2x —o x 2 4求y =(3x -1)；：士 1 的导数 x -2 解：I 〃y = —In3x —1+—Inx —1一 y ，1=5 y 3 3 31 —十 2 11 3x 一12x 一12 2Inx-2 J tan 3xdx 5 解：原式J tan 2x tan xdx =J(sec 2x -1)tan xdx =J sec 2x tan xdx -J tan xdx sin x tan xd tan x - cos x JJ 1 tan xd tan x - dx d cos x ltan 2x +In cos x +c 2 求J x arctan xdx y'=(3x -1) x 一213x -12(x -1)2(x 一2) 5 3 BM + 解：原式1J arctan xd (x 2)=1(x 2arctan x -J x 2d arctan x ) 22 1,J x 2+1-1,、 (x 2arctan x -dx ) 21+x 2 1 x 2arctan x -J(1-)dx 1+x 2 1+x 2x arctan x --+c 四、证明题。 1、证明方程X 3+x -1=0有且仅有一正实根。 证明：设f (x )=x 3 +x -1 /(0)=-1<0,f (1)=1>0,且f (x )在［0,1］上连续 ・•・至少存在自(0,1),使得化)=0 即/(x)在(0,1)内至少有一根，即f (x )=0在(0,+8)内至少有一实根 假设〃X )=0在(0,+8)有两不同实根x x 2,x 2>x /(x)在[x ,x ]上连续，在(x ,x )内可导2222 且(X)=f (x )=0 H 至少m G e(x ,x )，•/&)=0 22 而化)=312+1>1与假设相矛盾 ・•・方程x 3+x -1=0有且只有一个正实根 兀/、 2、证明arcsin x +arccos x =—(-1 证明：设f (x )=arcsin x +arccos x 1=0,x w [-1,1] J1一X 2 ，f (x )=c =f (0)=arcsin0+arccos0= .兀 f (1)=arcsin1+arccos1二一 2 f '(x )=: J1-x 2 兀 f(-1)=arcsin(-1)+anccos(-1)=—，综上所述，f(x)=arcsin x+arccos x二五、应用题 [-1,1] 1、描绘下列函数的图形 °1 y=x2+— x 解：.Dy=(-8,0)u(0,+s) 12X3—1 2.y=2x———= X2X2 令y'=0得X={2 y"=2+— X3 令y"=0,得X=—1 -717—入9 4.补充点(—2,-).(—-,—-).(1,2).(2,-) 5lim f(X)=8,:.f(X)有铅直渐近线X=0 X—0 6如图所示： 2.讨论函数/(x)=X2—/加2的单调区间并求极值解：Df(x)=R X2(x—1)(x+1) f(x)=2x--=(x丰0) xx 令f'(x)=0,得x=—1,x=1 12 由上表可知f(x)的单调递减区间为(-8,-1)和(0,1) 单调递增区间为(-1,0)和。+8) 且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1 一、求下列数列的极限（每题5分，共10分）： 1. 21 lim(1)n n n -→∞+ 解：2222 111lim(1)lim[(1)][lim(1)]n n n n n n e n n n ----→∞→∞→∞+=+= += 2. 2222 lim( )123n n n n n n n n n n →∞ +++???++++ 解：22 2 222221231n n n n n n n n n n n n n n ≤+++???≤++++++ ， 又222 22 11 lim lim 1,lim lim 111 111n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞====++++ 所以由夹逼准则知，2222 lim( )1123n n n n n n n n n n →∞ +++???=++++ 二、求下列函数的极限：（每小题5分,共20分）. 1. x →解：23 x →== 厦门大学《微积分IV 》课程期末试卷 试卷类型：（A 卷） 考试日期 2016.01.12 2. 22 11 lim x x x x →-- 解：22 1111 lim lim 2x x x x x x x →→-+==- 或者用洛必达法则，2211122 lim lim 22121x x x x x x x →→-===--- 3. 3 0lim sin x x x x →- 解：3200036lim lim lim 6sin 1cos sin x x x x x x x x x x →→→===-- 4. lim )x x x →+∞ 解：lim )lim lim lim x x x x x x →+∞ === 12= = 。 大一上学期微积分期末试卷及答案 cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π==1设在区间（0，）内（ ）。Ａ是增函数，是减函数 是减函数，是增函数 二者都是增函数 二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 2 1C X (1) x n e x x n a D a π→-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点 ４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ） n 1 X cos n = 200000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线 Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为：ｘ ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-3 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2(1)(3)34 77,6x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设函数ｆ(x)在 []0,1上二阶可导且'()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限21 20 lim x x x e → 解：原式=2221 11330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34 ()(10),''(0)f x x f =+求 解：332233 33232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 40lim(cos )x x x →求极限 4 I cos 2204 I cos lim 022000002 lim 1(sin )4cos tan cos lim cos lim lim lim lim 22224 n x x x n x x x x x x x x e e x In x x x x In x x x x x x e →→→→→→→-=---=====-∴=Q 解：原式=原式 4 (3y x =-求 《微积分》期末考试试卷附答案 一、填空题(共5小题，每小题4分,共20分) 1、已知2 )(x e x f =,x x f -=1)]([?,且0)(≥x ?,则=)(x ? 2、已知a 为常数,1)12(lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a . 3、已知2)1(='f ,则=+-+→x x f x f x )1()31(lim 0 . 4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 5、=?x x dx 22cos sin . 二、选择题（共5小题，每小题4分，共20分） 1、设)(x f 为偶函数,)(x ?为奇函数,且)]([x f ?有意义,则)]([x f ?是 (A) 偶函数； (B) 奇函数； (C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数. 2、0=x 是函数?????=≠-=.0 ,0 ,0 ,cos 1)(2x x x x x f 的 (A) 跳跃间断点； (B) 连续点； (C) 振荡间断点； (D) 可去间断点. 3、若函数)(x f 在0x 处不可导，则下列说法正确的是 (A) )(x f 在0x 处一定不连续； (B) )(x f 在0x 处一定不可微； (C) )(x f 在0x 处的左极限与右极限必有一个不存在； (D) )(x f 在0x 处的左导数与右导数必有一个不存在. 4、仅考虑收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是： (A) )()(Q C Q R ''>''； (B) )()(Q C Q R ''<''； (C) )()(Q C Q R ''=''；(D) )()(Q C Q R '='. 5、若函数)(x f '存在原函数,下列错误的等式是： (A) )()(x f dx x f dx d ?=； (B) )()(x f dx x f ?='； 高等数学期末考试试题及答案(大一考试) 姓名：__________ 班级：__________ 学号：__________ 课程名称：高等数学(上)(A卷) 考试日期：2008年1月10日 注意事项： 1.本试卷满分100分，要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2.考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写 在试卷规定的地方，否则视为废卷。 3.考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4.如有答题纸，请将答案全部写在答题纸上，否则不给分。考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。 一、单选题（每题3分，共15分） 1.lim(sin(x^2-1)/(x-1))，x趋近于1，等于() A)1；(B)0；(C)2；(D)不存在。 2.若f(x)的一个原函数为F(x)，则∫e^(-x)f(e^x)dx等于() A)F(e^x)+c；(B)-F(e^-x)+c；(C)F(e^-x)+c；(D)F(e^- x^2/2)+c。 3.下列广义积分中()是收敛的。 A)∫sinxdx，从负无穷到正无穷；(B)∫1/|x|dx，从-1到1； (C)∫x/(1+x^2)dx，从负无穷到正无穷；(D)∫e^x dx，从负无穷到 0. 4.f(x)为定义在[a,b]上的函数，则下列结论错误的是() A)f(x)可导，则f(x)一定连续；(B)f(x)可微，则f(x)不一定可导；(C)f(x)可积（常义），则f(x)一定有界；(D)函数f(x)连续，则∫f(x)dx在[a,b]上一定有定义。 5.设函数f(x)=lim(n→∞)(1+x^2n)^2，则下列结论正确的是() A)不存在间断点；(B)存在间断点x=1；(C)存在间断点 x=0；(D)存在间断点x=-1. 二、填空题（每题3分，共18分） 1.极限lim(x→∞)(x^2+1-1)/x=______。 2.曲线y=3t在t=2处的切线方程为y=______。 3.已知方程y''-5y'+6y=xe^(2x)的一个特解为- 1/2(x+2x)e^(2x)，则该方程的通解为______。 一、计算下列各题（每题5分，共20分）： 1.θ θ θ θ d ?2 sin cos 2.?+dx x x)1 ( 1 2 3. dx e x x ?+∞- 53 4.[]dx x x x sin | | )1, min(2015 2016 2 2 + ?- 解： 1. 22;C θ===+ ----------------3分 ----------- 5分 2. 由待定系数法，或者加一项减一项，有 1 1 )1 ( 1 2 2+ - + = +x x x x x ? ?+ + - = + - + = + C x x dx x x x dx x x ) 1 ln( 2 1 | | ln 1 1 )1 ( 1 2 2 2 ------------3分 -----------5分 另解：令 2 11 ,d(dt) x x t t ==-， 3 2 2222 1111 ()d=d(+1) (1)(1)2(1) t dx t t x x t t t =-- +++ ??? ---------------- 3分 2222 1111 =ln(+1)ln(+1)ln()ln||ln(+1). 2222 t C x x C x x C -+=-++=-+ -------------5分 3. 33 533 000 1111 (2) 3333 x x u x e dx x e dx ue du +∞+∞+∞ --- ===Γ= ??? ------------ 3分 ---------- 5分 4. 由偶倍奇零准则[]? ?= + - 2 2016 2015 2016 2 2 )1, min( 2 sin | | )1, min(dx x dx x x x ----------------3分 厦门大学《微积分III-1》课程期末试卷 试卷类型：（经管类A卷）考试日期 2016.1.12 大一高等数学期末考试试卷及答案详解 一、选择题 1. 该题为微分求导题，考察对基本微分法则的掌握。 解答：根据指数函数的求导法则，对指数函数f(x)进行求导，得到f'(x)=3x^2。将x=2代入f'(x)，得到f'(2)=3×2^2=12。因此，选项C为正确答案。 2. 该题为函数极值题，考察对函数极值点的判断和求解。 解答：首先计算函数f(x)的导函数f'(x)。根据导数定理，函数在极值点处的导数为0。将f'(x)=2x-3=0，求解得到x=3/2。接下来通过二阶导数的符号判断极值类型。计算f''(x)=2，由此可知二阶导数恒为正，故x=3/2是函数f(x)的极小值点。因此，选项A为正确答案。 3. 该题为定积分计算题，考察对定积分的理解和计算。 解答：根据定积分的定义，将被积函数f(x)=2x在区间[1,3]上进行积分，即∫(1->3) 2x dx。对函数f(x)进行不定积分，得到F(x)=x^2+C。将上限3代入不定积分结果，再减去下限1代入不定积分结果，得到∫(1->3) 2x dx=F(3)-F(1)=(3)^2+C-(1)^2+C=9+C-1-C=8。因此，选项B为正确答案。 4. 该题为二重积分计算题，考察对二重积分的理解和计算。 解答：首先对被积函数f(x,y)=x+2y进行内积分，得到 f_1(y)=xy+2y^2/2=x(y+y^2)。接下来对内积分结果进行外积分，即对 f_1(y)在区间[0,1]上积分，得到∫(0->1) x(y+y^2) dy。先对y进行积分，得到∫(0->1) (xy+xy^2) dy=x/2 + x/3=5x/6。因此，选项C为正确答案。 二、填空题 1. 该题为极限计算题，考察对极限的求解。 解答：将x趋近于无穷大时，分子和分母的最高次项均为x^4，根据极限的最高次项的性质，可以将该极限简化为计算3/(-2)= -3/2。因此，空格中应填入-3/2。 2. 该题为导数计算题，考察对反函数求导的理解和计算。 解答：首先求出函数f(x)=e^x的导函数，得到f'(x)=e^x。根据反函数求导的公式，可以得到f^(-1)'(x)=1/f'(f^(-1)(x))。代入f(x)=e^x，得到f^(-1)'(x)=1/(e^x)。因此，空格中应填入1/(e^x)。 三、解答题 1. 该题为二阶导数计算题，考察对多次求导的掌握。 解答：首先对原函数f(x)=4x^3-3x去求导，得到f'(x)=12x^2-3。再对f'(x)求导，得到f''(x)=24x。因此，原函数f(x)的二阶导数为 f''(x)=24x。 2. 该题为函数极限计算题，考察对函数极限的求解和极限性质的使用。 解答：首先对给定函数进行变换，令t=1/x。当x趋近于0时，t趋近于无穷大。将原极限转化为t趋近于无穷大时，函数ft的极限。代入 浙江大学2004-2005学年秋冬季学期《微积分》课程期末考试试卷 一?填空题 1.2 1 lim()x x x e x →-= . 2.设()f x 可导,2 (cos ) f x y x =则 d d y x = . 3.ln (0)x y x x = >的值域范围为 . 4. 3121 x x -+=? 5. 设,arcsin x y t ??=? =??则22d d y x = . 6.当0x →时,20cos d 2 x t x e t t x --?与B Ax 等价无穷小,则常数A = ,B = . 二?计算题 1.求 221 d .22x x x x +++? 2.已知(0),(),f a f b π==且()f x ''连续,求[]0 ()()sin d f x f x x x π ''+?. 3. 求 2 +∞? . 4.求曲线sin (0)y x x π=≤≤与x 轴围成的平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周所得的旋转体体积 x V 和y V . 5.在曲线段 2 (08)y x x =≤≤上, 求一点2 (,)P a a 使得过P 点的切线与直线0,8y x ==所围成的三角形的面积最大. 三?求幂级数20 21!n n n x n ∞ =+∑ 的收敛区间以及在收敛区间上的和函数,并求级数0212!n n n n ∞ =+∑的和. 四?证明若2 ,e a b e <<<则22 2 4 ln ln ()b a b a e -> -? 五?已知sin 0()0 x e x x F x x a x ?≠? =??=? 为连续函数.(1)求常数a ; (2)证明()F x 的导函数连续. 85 考试试卷（一） 一、填空 1．设c b a ,,为单位向量，且满足0=++c b a ，则a c c b b a ⋅+⋅+⋅= 2．x x e 10 lim +→= ，x x e 10 lim -→= ，x x e 1 lim →= 3．设2 11)(x x F -= '，且当1=x 时，π2 3)1(=F ，则=)(x F 4．设= )(x f ⎰ dt t x 2sin 0 ，则)(x f '= 5．⎩ ⎨⎧>+≤+=0,0 ,1)(x b ax x e x f x 在x =0处可导，则=a ，=b 二、选择 1．曲线⎩⎨⎧==-0 1 22z y x 绕x 轴旋转一周所得曲面方程为（ ）。 （A ）12222=+-z y x ； （B ）122222=--z y x ； （C ）12222=--z y x ； （D ）122222=+-z y x 2．2 )1 1(lim x x x x -∞→-+=（ ）。 （A ）1 （B ）2 1 e （C ）0 （D ）1-e 3．设函数)(x f 具有连续的导数，则=+'⎰ dx x f x f x )]()([（ ） （A ）c x xf +)(； （B ）c x f x +')(； （C ）c x f x +'+)(； （D ）c x f x ++)( 4．设)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上至少有一点ξ，使得（ ） （A ）0)(='ξf （B ）a b a f b f f --= ') ()()(ξ 86 （C ）0)(=ξf （D ）a b dx x f a b f -=⎰)()(ξ 5．设函数x x a y 3sin 31sin +=在x = 3 π 处取得极值，则=a （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 三、计算题 1． 求与两条直线⎪⎩ ⎪ ⎨⎧+=+==2 11 t z t y x 及112211-= +=+z y x 都平行且过点（3，-2，1）的平面方程。 2．求下列极限 （1）12cos 1lim 21 +-+→x x x x π； （2）1 arctan lim 30--→x x e x x 3．计算下列积分 （1）⎰dx x sin ； （2） ⎰ +dx x sin 21 （3）⎰+dx x x e ln 11 2； （4）⎰--+2/12 /111dx x x 4．求下列导数或微分 （1） 设32 ) 1)(21()2(x x x y +--=，求dy 。 （2）⎩ ⎨⎧+=+-=2 3)1ln(t t y t t x ，求22dx y d 。 （3）x x x y sin )1(+=，求dy 。 （4）设a y x =+ ，求隐函数)(x y y =的二阶导数22dx y d 。 四、设)1,0()(],1,0[)(D x f C x f ∈∈，且1)2 1 (,0)1()0(===f f f ，证明： （1）存在)1,2 1(∈η，使ηη=)(f （2） 对任意实数λ，必存在),0(ηξ∈，使1])([)(=--'ξξλξf f 期末试卷分析（简答） 一、填空题 1.已知极限()e lim x f x →存在，且函数()f x 满足()()e e e ln 1lim e e x x x x f x f x x -→-⎛⎫ = + ⎪-⎝⎭ ，则 ()e lim x f x →= .（2 e e 1 -） 2.设函数()() 2ln 23f x x x =+-，则() ()2n f = .（()()1111!15n n n -⎛⎫ --+ ⎪⎝⎭ ） 3.不定积分 1tan d sin 2x x x +=⎰ .（()1 ln tan tan 2 x x C ++） 4.定积分 π sin 2sin cos 0 3d 33x x x x = +⎰ .（π 4） 二、选择题 5.曲线3 2 33131t x t t y t ⎧ =⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ ()1t ≠-的斜渐近线方程为 [ ]. A .1y x =-- B .1y x =- C .1y x =-+ D .1y x =+ A 6.曲线22162y x x =-上点()2,0P 处曲率K = [ ]. A .0 B .16 C . 1 16 D .4 B 7.设()f x 为(),-∞+∞内连续的偶函数，()()F x f x '=，则原函数()F x [ ]. A .均为奇函数 B .均为偶函数 C .中只一个是奇函数 D .既非奇函数也非偶函数 C 8.设1s 为曲线sin y x =上相应于02πx ≤≤的一段弧长，2s 为椭圆22 22x y +=的周长， 则 [ ]. A .12πs s -= B .12s s > C .12s s < D .12s s = 三、解答题 9.求极限302cos 1 3lim x x x x →+⎛⎫- ⎪⎝⎭. 解1 2cos ln 33330002cos 2cos 1ln e 133lim lim lim x x x x x x x x x x x x +→→→+⎛⎫+- ⎪-⎝⎭== 0sin 1 2cos lim .26 x x x x →-+==- 解2 32002cos 2cos 2cos sin 1ln 13332cos lim lim . 36 x x x x x x x x x x x →→+++-⎛⎫⎛⎫ ⎡⎤ -+ ⎪ ⎪ ⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦==- 10.设()f x 是(),-∞+∞内的连续的奇函数，且() lim 2x f x x + →=，证明()f x 在0x =处可导并求()0f '. 解 由条件得()00.f = 又由于 ()f x x ()f x 是奇函数，所以() f x x 为偶函数，所以 ()()()()() 0000lim lim lim lim 2.x x x x f x f x f x f x f x x x x +-+ →→→→-==== 11.求定积分 []{}2 1 max 1,e d x x x --⎰，其中[]x 表示不超过x 的最大整数. ()e ,100, 01,1,1 2. x x f x x x -⎧--≤<⎪=≤<⎨⎪≤<⎩ 则[]{}20 2 1 1 1 max 1,e d e d d 2 e.x x x x x x ----=-+=-⎰⎰⎰ 12.判定反常积分 2 e ln 1 d x x x +∞ -⎰ 的收敛性，如果收敛，求出其值. 解 ()+22e e e e ln 11ln 111d ln 1d d .e x x x x x x x x x ∞ +∞ +∞+∞--⎡⎤ =--=-+=⎢⎥⎣⎦⎰ ⎰⎰ 四、证明：对每个正整数n ，有 2 3 n +< 一、 选择题 (选出每小题的正确选项，每小题２分,共计10分） 1．1 lim 2x x - →=_________。 （A ） —∞ （B ） +∞ （C ） 0 （D ） 不存在 2．当0x →时，()x x f x x += 的极限为 _________。 (A ） 0 (B ） 1 （C ）2 （D) 不存在 ３． 下列极限存在，则成立的是_________。 0()()() lim ()x f a x f a A f a x - ∆→+∆-'=∆0()(0) ()lim (0) x f tx f B tf x →-'= 0000()()()lim 2()t f x t f x t C f x t →+--'= 0()() ()lim ()x f x f a D f a a x →-'=- ４． 设f （x ）有二阶连续导数，且()0 () (0)0,lim 1,0()_______x f x f f f x x →'''==则是的。 （A ） 极小值 （B ）极大值（ C )拐点 （D) 不是极值点也不是拐点 5．若()(),f x g x ''=则下列各式 成立。 ()()()0A f x x φ-=()()()B f x x C φ-= () ()()C d f x d x φ=⎰⎰ () ()()d d D f x dx x dx dx dx φ=⎰⎰ 二、 填空题（每小题3分，共18分） 1. 设0 (2) ()0(0)0,lim 1sin x f x f x x f x →===-在处可导，且,那么曲线()y f x =在原点处的切线方程是__________。 ２．函数()f x =[0,3］上满足罗尔定理，则定理中的ξ= 。 3．设1 (),()ln f x f x dx x '=⎰的一个原函数是 那么 . 4．设(),x f x xe -=那么2阶导函数 ()___f x x ''=在点取得极_____值。 5．设某商品的需求量Ｑ是价格Ｐ的函数5Q =-，那么在Ｐ＝４的水平上,若价格 下降1%,需求量将 。 6．若,1 1),(+-= =x x u u f y 且,1)('u u f =dy dx = 。 三、计算题（每小题6分，共42分）： 1、 求 11ln (ln ) lim x x e x -→ 经济数学--微积分期末测试 第一学期期末考试试题 ( B ) 一.选择题（每小题只有一个正确答案，请把正确答案前的字母填入括号，每题2分，共30分） 1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤-=4 393 9)(22x x x x x f 的定义域是（A ）； (A) )4,3[- (B) )4,3(- (C) ]4,3(- (D) )4,4(- 2. 函数2 1 4y x = -的渐近线有（Ａ）； 3（A ）条 （B ）2条 （C ）1条 （D ）0条 3. 设函数)1,0()1(log 2≠>++=a a x x y a ,则该函数是(A ) (A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 既奇又偶函数 4. 下列函数中，与3y x =关于直线y x =对称的函数是（A ）； 33()()()()A y B x C y x D x y = ==-=- 5. 若()f x =，则点2x =是函数()f x 的（Ｂ）； ()A 左连续点 ()B 右连续点 ()C 驻点 ()D 极值点 6. 已知点（1，3）是曲线23bx ax y +=的驻点，则b a ,的值是（B ） （A ） 9,3=-=b a （B ） 9,6=-=b a （C ） 3,3=-=b a （D ） 3,6=-=b a 7. 当0x →时，下列函数极限不存在的是（C ）； 1s i n 1 1() ()s i n ()()t a n 1 x x A B x C D x x x e + 8. 极限 =-→x x x 1ln lim 0 （C ）； ()1()0()1()A B C D -不存在 9.下列函数中在［－３，３］上满足罗尔定理条件的是（C ）； 22 2 1 ()() ()2()(3)A x B C x D x x -+ 10．若函数()f x 在点0x 处可导，则极限x x x f x x f x x ∆∆--∆+→2) 2()2(lim 000 ＝（C ）； 0 0001 () 4() ()3( ) ()2( )()( ) 2 A f x B f x C f x D f x '''' 11. 0x →时，下列函数中，与x 不是等价无穷小量的函数是（C ） (A) x tan (B) )1ln(x + (c) x x sin - (D) x sin 12.下列极限中，极限值为e 的是（Ｄ）； 1 1 00 1()lim (1) ()lim (1) ()lim(1) ()lim (1) x x x x x x x x A x B x C D x x +→∞ →∞ →→++++ 13. 若ln x y x = ，则dy ＝（D ）； 2 2 2 ln 11ln ln 1 1ln ()() () () x x x x A B C dx D dx x x x x ---- 14.函数2()f x x =，在区间[０，１]内，满足拉格朗日中值定理的条件，其中ξ＝（Ｄ）； 1 121() () () () 4 3 3 2 A B C D 15.若函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，则2 ()x f x dx '⎡⎤=⎣⎦ ⎰（Ｄ）． 2222()[2()()]()2()() ()()()() A xf x x f x dx B xf x x f x C x f x dx D x f x ''++ 二.计算题（每小题7分，共56分） 1.x e x x y -+-=11 2 1，求y ' 解：)11 ( )1(1)()1(112 2112 '-+'-+-='+'-='--x e x x x e x x y x x 2112 2112 22 )1(1)1(1221x e x x e x x x x x --+ -=--+ --+ -=-- ２分 7分 一、选择题。在题后括号内，填上正确答案代号。（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 设函数()f x 处处连续，且在1x x =处有1()0f x '=，在2x x =处不可导， 那么有（ ） （A ）1x x =与2x x =都不是()f x 的极值点；（B ）只有1x x =是()f x 的极值点； （C ）只有2x x =是()f x 的极值点；（D ）1x x =与2x x =都有可能是()f x 的极值点； 2. 下列哪一个函数在给定区间上满足罗尔（Rolle ）中值定理的所有条件 （ ） （A ）()[0,3]f x x =∈; （B ）2 3 (),[1,1]f x x x =∈-; （C ）4 (),[1,2]f x x x =∈; （D ）21,01 (),[0,1]1, 1x x f x x x +≤<⎧=∈⎨=⎩ . 3. 在下列等式中，正确的结果是（ ） （A ）()()f x dx f x '=⎰; （B ）()()df x f x =⎰; （C ）()()d f x dx f x dx =⎰; （D ）()()d f x dx f x =⎰. 4. 若()f x 的导函数是sin x ，则()f x 有一个原函数为（ ） （A ）1sin x +; （B ）1sin x -; （C ）1cos x +; （D ）1cos x -. 5. 设()f x 连续， 已知 1 2 (2)()n xf x dx tf t dt =⎰ ⎰，则n 应等于（ ） （A ）2; （B ）1; （C ）4; （D ）1 4 . 6. 已知 [2()-1]()1x f t dt f x =-⎰ ，则(0)f '=（ ） （A ）2; （B ）21e -; （C ）1; （D ）1e -. 二、填空题。在题中“ ”处填上答案。（本大题共8小题， 每题3分，总计24分） 1. 2 2 lim x x x →⎰ = . 一、填空题 1．2 1 lim()x x x e x →-= . 2．设()f x 可导，2 (cos ) f x y x =则 dy dx = . 3．ln (0)x y x x = >的值域范围为 . 4 ．3 1 21x -+=⎰ 5 ．设22arcsin d y x dx y t ⎧⎪==⎨ =⎪⎩则 . 6．当0x →时，20cos 2 x t x e tdt x --⎰与B Ax 等价无穷小，则常数A = ___ ，B = ____ . 二、计算题 1.求 221 .22x dx x x +++⎰ 2．已知(0),(),f a f b π==且()f x ''连续，求[]0 ()()sin f x f x xdx π ''+⎰. 3 ．求 2 +∞⎰ . 4．求曲线sin (0)y x x π=≤≤与x 轴围成的平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周所得的旋转体体积x V 和y V . 5．在曲线段 2(08)y x x =≤≤上, 求一点2 (,)P a a 使得过P 点切线与直线0,8y x ==所围成的三角形的面积最大． 三、求幂级数2021!n n n x n ∞ =+∑的收敛区间以及在收敛区间上的和函数，并求级数0 212!n n n n ∞ =+∑的和． 四、证明若2 ,e a b e <<<则22 2 4 ln ln ()b a b a e -> -⋅ 五、已知sin 0()0 x e x x F x x a x ⎧≠⎪ =⎨⎪=⎩ 为连续函数 1）求常数a ； 2）证明()F x 的导函数连续． 一、填空题 1．12 e ， 2.22(cos ) (cos )[2(cos )sin ln ]f x f x x f x x x x -⋅， 3．(1,]e -∞， 4.8π， 5. 6.1,412-． 二、计算题 1.2 ln(22)arctan(1)x x x C ++-++ 2.a b + 3.6π 4.22 π, 2 2π 5.16 3 a = 时，三角形的面积最大． 三、222 021(21)!n x n n x e x n ∞ =+=+∑；20 2125!n n n e n ∞ =+=∑． 四、1)222ln ln ln 2, b a e a b e b a ξ ξξ -=<<<<- . 2)令2ln 1ln (),()0()x x x x e x x x ϕϕ-'= =<<,故()x ϕ单调下降 得222(),()x e x e e ϕ><<,得22 24ln ln ()b a b a e ->-. 五、1）因为 0sin lim 1x x e x x →=，所以1a = 2）200sin 1 sin (0)lim lim 1x x x x e x e x x x F x x →→--'===.而 2 (sin cos )sin ,0;()1,0.x x x x e x e x e x x F x x x ⎧+-≠⎪ '=⎨⎪=⎩ 2 0s i n c o s s i n l i m x x x x x e x x e x e x x →+-02c o s l i m 12x x x e x x →==， 故()F x '是连续的． 一、计算下列各题：（每小题4分，共36分） 1．求极限)0(21lim 1>++++∞→p n n p p p p n 。 2．求2cos ()x t x f x e dt =⎰ 的导数。 3．求由曲线3y x =-，1x =，2x =，0y =所围成的图形面积。 4．计算广义积分20x x e dx +∞-⎰ 。 厦门大学《微积分I 》课程期末试卷 试卷类型：（理工类A 卷） 考试日期 2015.1.21 5．计算定积分 120sin 2x x dx π⎡⎤⎛⎫⎢ ⎪⎢⎝⎭⎢⎣⎰。 6．求方程2x y dy dx +=的通解。 7．求不定积分2(1)(1)x dx x x ++⎰。 8．求方程1y y x x '- =的通解。 9．已知11y =，21y x =+，231y x =+都是微分方程2222x y xy y '''-+=的解，求此方程的通解。 二、计算下列各题：（每小题5分，共30分） 1． 求极限20)(02sin lim x dt e x x t x x ⎰-→⋅。 2. 计算22sin 2cos x x dx x ππ-⎤⎥+⎦ ⎰。 3．设函数)(x y y =由方程1cos 020322=+⎰⎰dt t dt e x y t 决定，求dx dy 。 4. 求微分方程32y y ''=满足初始条件00|1,|1x x y y =='==的特解。 5．求曲线⎰ =x t t x f 0d sin )(相应于π≤≤x 0的一段弧的长度。 6. 设物体作直线运动，已知其瞬时速度2()(/)v t t =米秒，其受到与运动方向相反的阻力()5()F t v t =（牛顿），求物体在时间间隔[]0,1（单位秒）内克服阻力所作的功。 三、计算下列各题：（每小题6分，共24分） 1．求微分方程32()()1dy x x y x x y dx ++-+=-的通解。 微积分期末试卷 选择题6×２ 1~6 DDBDBD 一、 填空题 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2log ,(0,1),1x y R x =-; 40,0 5解：原式=11(1)() 1m lim lim 2(1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 二、 判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小 2、 若fX 在0x 处取得极值,则必有fx 在0x 处连续不可导 3、 设函数ｆx 在[]0,1上二阶 可导且'()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、 计算题 1用洛必达法则求极限2 1 20lim x x x e → 解：原式=22211 1 330002 (2) lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解： 3 2 4 0lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ⎰ 6arctan x xdx ⎰求 四、 证明题; 1、 证明方程310x x +-=有且仅有一正实根; 证明：设3()1f x x x =+- 2、arcsin arccos 1x 12x x π+=-≤≤证明（） 五、 应用题 1、 描绘下列函数的图形 3. 4.补充点7179(2,).(,).(1,2).(2,)2222 --- 50lim (),()0x f x f x x →=∞∴=有铅直渐近线 6如图所示： 2.讨论函数22()f x x Inx =-的单调区间并求极值 由上表可知fx 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-和 单调递增区间为(1,0)1-+∞和（，） 且fx 的极小值为f-1=f1=1 大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0 x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 ππ-⎰的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241(sin )x x x dx -+=⎰ . 3. （3分） 201lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求20ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设2,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰ 4. （6分）求3 0(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩ 5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰ 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭ 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--⎰⎰ 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →⋅= 5分 5 3= 1分 2 解 22ln ln ln(1),12x y x x ==-++ 2分 221 2[]121x y x x '∴=-++ 4分 3 解 原式221 ln(1)(1)2x d x =++⎰ 3分 22221 2[(1)ln(1)(1)]21x x x x dx x =++-+⋅+⎰ 2分 大一高等数学期末考试试卷 一、选择题共12分 1. 3分若2,0,(),0 x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为 . A1 B2 C3 D-1 2. 3分已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为 . A1 B3 C-1 D 12 3. 3 分定积分22 ππ-⎰的值为 . A0 B-2 C1 D2 4. 3分若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处 . A 必不可导 B 一定可导 C 可能可导 D 必无极限 二、填空题共12分 1．3分 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. 3分 1 241(sin )x x x dx -+=⎰ . 3. 3分 201lim sin x x x →= . 4. 3分 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题共42分 1. 6分求20ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. 6 分设2,1 y x =+求.y ' 3. 6分求不定积分2ln(1).x x dx +⎰ 4. 6分求3 0(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩ 5. 6分设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy 6. 6分设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰ 7. 6分求极限3lim 1.2n n n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 四、解答题共28分 1. 7分设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. 7分求由曲线cos 2 2y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. 7分求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. 7 分求函数y x =[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题6分 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →⋅= 5分 53 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分 3 解 原式221ln(1)(1)2 x d x =++⎰ 3分2015-2016第一学期微积分IV期末试卷答案(A卷)
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