微积分期末测试题(卷)与答案解析

一 单项选择题(每小题3分,共15分)

1.设lim ()x a

f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ).

①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0

()(2)

lim

h f a h f a h h

→+--=( ).

①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1

()3

f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ⎡⎤

-

⎢⎥⎣

⎦ ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2

()()

lim

1()

x a

f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0

lim ()0x x f x →=及( ),则0

lim ()()0x x f x g x →=.

①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0

lim ()0x x g x →=时 ④仅当0

lim ()x x g x →存在时

二 填空题(每小题5分,共15分)

1.sin lim

sin x x x

x x

→∞-=+____________.

2.3

1lim(1)x x x

+→∞+=____________.

3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.1

11

lim(

)ln 1

x x x →-- 2.t t

x e y te

⎧=⎨=⎩,求22d y dx

3.ln(y x =,求dy 和22d y

dx

.

4.由方程0x y

e

xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求

dy dx

. 5.设1

11

1,11n n n x x x x --==+

+,求lim n x x →∞.

6.lim(32x x →∞

=,求常数a ,b .

四 证明题(每小题10分,共30分) 1.设f (x )在(-∞,+∞)上连续,且()()

lim

lim 0x x f x f x x x

→+∞

→-∞==,证明:存在(,)ξ∈-∞+∞,使 ()0f ξξ+= .

2.若函数f (x )在[a ,+∞]上可导,对任意x ∈(a,+∞),有()f x M '≤,M 是常数,则2

()

lim 0x f x x →+∞

=. 3.证明函数1

sin y x

=在(c ,1)内一致连续,但在(0,1)内非一致连续.

答案

一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.④ 2.① 3.④ 4.③ 5.② 二 填空题(每小题5分,共15分)

1.sin lim

sin x x x

x x

→∞-=+__1_ .

2.3

1lim(1)x x x

+→∞+= __e_.

3.()f x =那么左导数(0)f -'=__-1__,右导数(0)f +'=__1__. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分)

1

1111111

1,lim(

)ln 1

1

111(1)ln 1:lim()lim lim lim (1)ln 1(1)ln ln 1ln 1

lim ln 11

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x →→→→→→---

----===----+-

==∞+-解

2.t t

x e y te ⎧=⎨=⎩,求22d y dx 2

21

()(1)()1

t t t t

dy dy dt e te t dx dt dx e d dy d y dt dx dx dx e dt

=⋅=+⋅=+==解:

3.ln(y x =,求dy 和22d y

dx

.

22:ln(()

,

122dy d x x dx d dx d y d x dx dx ==

+=+====-=解

4.由方程0x y

e

xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求

dy

dx

. :()0,(),x y x y x y x y

x y

d e xy de dxy e dx dy ydx xdy dy y e dx e x

+++++-==+=+-=-解方程两边求微分得即所以

5.设1

11

1,11n n n x x x x --==+

+,求lim n x x →∞.

211111

111111

1

1(1)1)11(1)(1)0,(1)(1)(1)(1)

12,1lim n k k k k k k k k k k k k k k n k k k k n n n n x x x n k x x x x

n k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --+-------->=>=+-=+-++++-+-=

=>++++=+

≤+证明： 先证{}单调增加.显然，设时成立，即，当时，（所以{}单调增加；

显然所以由单调增加有界数列必有极限得{}收敛.

令0

10000

lim ,lim lim(1)111lim 111,().122

n

n

n n n n n n n n

n x x x a x x x a a a a a →+→→→→==+=+++=+

==+则即 得

6.lim(32x x →∞

=,求常数a ,b

.

:0,lim(3lim 293,90,2,9, 3.

x x x x a x x ax b x

a a

b b

→∞

→∞→∞>-====---

+-====--解显然所以得 四 证明题(每小题10分,共30分) 1.设f (x )在(-∞,+∞)上连续,且()()

lim

lim 0x x f x f x x x

→+∞

→-∞==,证明:存在(,)ξ∈-∞+∞,使 ()0f ξξ+= .

()

:lim

0,1,0,,()

,(),(1)()(1)0,,()0,()0.0,()0.()(,),[,],()()[,](x f x X x X x

f x x f x x x

x f x x x b X x b f x x f b a f a f x a b F x f x x a b F εεεεεε→+∞

=<>><-<<-+<-<-<>≥-<<<>-∞+∞=-证明因为所以对0<存在使得当时有成立即故取所以当时有特别的同理可得存在使得而在上连续所以在闭区间连续从而在上连续,而)0,()0,()(,),()()0.

a F

b F f ξξξξ<>∈-∞+∞=+=所以由闭区间上连续函数性质零点存在定理得存在使得

2.若函数f (x )在[a ,+∞]上可导,对任意x ∈(a,+∞),有()f x M '≤,M 是常数,则2

()

lim

0x f x x →+∞

=. 121212222

:()(,)(),,,(,),()().,(,),()().()()()()

lim

0,lim 0,lim 0.

,0,()()x x x f x a f x M x x a f x f x M x x b a x a f x f b M x b f b f x f x f b x x x x b f x f b x ε→+∞→+∞→+∞'+∞≤∈+∞-≤->∈+∞-≤--===>>-证明因为在区间满足所以满足李普希兹条件即:对任意的有令则有成立我们知故要证只需证时对任意给定的要使

2222

2

2

()()222,max{,},

()()

,

()()

lim 0,.x f x f b M x b Mx Mb M x x x x M M

x X b f x f b x X x f x f b x εεε

ε→+∞--+=≤≤<<>=-><-=只需即可令则当时成立

即所以得证

3.证明函数1

sin y x =在(c ,1)内一致连续,但在(0,1)内非一致连续.

0000

0000

2

0002

2

0200:0,0,111111sin

sin 2cos()sin()22222cos(

)sin()2,222,,

0,0,,

111

sin sin ,sin (,1)(0)c x x x x x x x x x x x x x x x x xx xx xx c

x x c c c x x y c c x x x

εεεδεεδεδε<<>-=+--+--=≤<<-<=>=>-<-<=>证明设<1,对任意的要使只需令所以 对任意的存在当时有成立故上是在一致连续的.

2

2211

,,,

222211sin sin 1(1)2

0,()44

20,,,11

sin

sin n

n

n n n

n n n n n

x x n n n x x x x n n x x x x π

π

ππππ

πεδδε'''==+

-

-=--=''''''-=→→∞-

'''>-<-<'''为正整数所以对小于的任意不能找到一致连续定义中的使得当时