矩阵思想的形成与发展本科论文

矩阵思想的形成与发展本科论文

目录

1.前言 (1)

2.早期行列式计算中孕育的矩阵思想........................................................................(2) 3.矩阵思想的形成 (2)

3.1矩阵的基本思想 (3)

3.2矩阵运算 (4)

4.矩阵的发展 (7)

4.1特征值与特征向量 (9)

4.2标准形 (10)

4.3方程组的解 (11)

5.结论 (12)

参考文献 (13)

致谢 (14)

摘要

矩阵形式解方程组在中国古代数学著作《九章算术》中已相当成熟，但这部著作并没有建立起独立的矩阵理论，而仅把矩阵看作一种排列形式来解决实际问题。矩阵在中国古代的萌芽，蕴含了丰富的矩阵算法与程序化等思想。矩阵概念产生并发展于19世纪的欧洲，欧洲的社会环境与文化背景为矩阵的早期发展提供了适宜的舞台，一大批矩阵理论的奠基者做了大量的工作，使矩阵从零散的知识发展为系统完善的理论体系，为矩阵理论的形成与发展做出了重要的贡献。从18世纪末到19世纪中叶，这种排列形式在求解线性方程组和行列形式来解决实际问题，本文通过对矩阵理论发展过程中的众多数学家工作的考察，揭示了矩阵思想从萌芽、早期发展到成熟以及进一步完善的全过程。

关键词：矩阵；矩阵发展；凯莱；矩阵思想

Abstract

The matrix form solution of equations in Chinese ancient mathematics" arithmetic in nine sections" has been quite mature, but it hasn't established the independent matrix theory, and only the matrix as an arrangement to solve practical problems. Matrix in ancient China budding, contains rich matrix algorithm and programming ideas. Matrix concept originated from the nineteenth Century in Europe, the European social environment and cultural background for the matrix of early development to provide a suitable stage, a large number of matrix theory of the founders did much work, so that the matrix from a fragmented knowledge development for the system of perfect theory, matrix

theory's formation and the development has made important contribution. From the late eighteenth Century to the middle of the nineteenth Century, this kind of arrangement form in solving linear equations and the ranks of the form to the solution of practical problems, based on the matrix theory in the process of development of many mathematicians work study, reveals the idea of matrix from bud, early development to mature and perfect the whole process.

Key words: Matrix; Matrix development ; Kailai; matrix theory

1引言

矩阵直接产生于线性方程组并运用于其求解，这方面的工作在我国最早出现在《九章算术》（公元前1世纪）中解方程组的“遍乘直除”法，这与19世纪高

斯创立的“高斯消元法”的思想是一致的。矩阵作为一个独立的概念是基于行列式的研究基础上，其基本性质在其概念产生之前就因为行列式的工作建立得很完善了。从逻辑上看，矩阵概念是行列式的前概念，是行列式概念的一般推广，而历史的次序却正好相反。行列式关注一个方阵所确定出来的一个值，而在很多问题中，并不需要确定这个方阵所确定的一个值，而是这个方阵本身的结构，并且方阵可以变成任意的n

m 结构。这样，行列式向矩阵推广就是很自然的了。

“矩阵”这个名词是西尔维斯特给出的(1850)，不过他仅仅是把矩阵用于表达一个行列式。把矩阵作为一个独立的对象进行研究，最早的是凯莱。同样，最初他也是把矩阵作为行列式的推广或者作为线性方程组的表达工具。不过，在《矩阵论的研究报告》（1855）中就开始把矩阵作为一个独立研究对象。他从基本的概念开始，定义矩阵的加法、乘法（包括数乘）、矩阵的逆、转置矩阵、方阵的特征方程和特征根（这一术语最早是柯西给出的，见“行列式的发展”）等。特征方程和特征根的工作被哈密顿、弗罗贝尼乌斯（F.G.Frobenius，1849——1917）等数学家推广了。矩阵的秩概念是弗罗贝尼乌斯提出的（1896），不变因子和初等因子是从西尔维斯特和魏尔斯特拉斯的工作

中产生的，并被弗罗贝尼乌斯用于矩阵中，进一步合乎逻辑地系统化了不变因子和初等因子在矩阵中的理论（1878）。正交矩阵被赫尔默特（F.R.Helmert，1843——1917）和弗罗贝尼乌斯研究，并引起很多注意。从魏尔斯特拉斯的行列式工作（1868）中可以直接导出相似矩阵的概念及其性质。相似矩阵和特征方程的关系被若尔当（M.E.C.Jordan，1838——1922）拓展了，而弗罗贝尼乌斯则用逆变换处理相似变换，并给出合同矩阵概念。梅茨勒（W.H.Metaler，1863——?）引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式（1892）。矩阵用来表示二次型和双线性密切关系。凯莱提出了把超复数当作矩阵来看待的思想。

行列式和矩阵被推广到了无限阶，并与傅里叶级数相联系，这方面的工作在后来的积分方程理论中展示了广泛的天地。把矩阵和行列式的元素从整数到实数，再到复数是的另一个方向的推广，不过矩阵的性质还与元素的性质相联系，20世纪对矩阵的研究已经完全将元素置于一般的抽象域，并在物理学中发挥了重要作用。

2早期行列式计算中孕育的矩阵思想

从数学史看，优良的数学符号和生动的概念是数学思想产生的动力和钥匙。行列式与矩阵的发明就属于

这和情形。

行列式出现于线性方程组的求解。它的名称最先由柯西使用。现在的两条竖线记法是由凯莱最先给出的（1841）。柯西给出行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理，得到行列式的乘法定理ij ij ij c b a

=?，其中ij a 和ij b 代表n 阶行列式，而∑=k kj

ik ij b a c ，即在乘积的第i 行第j 列的项是ij a 的第i 行和ij

b 的第j 列的对应元素和乘积之和。柯西还改进了拉普拉斯行列式展开定理，并给了一个证明。

行列式理论的另一发展者是英国数学家西尔威斯

特（J.J.Sylvester ，1814——1897）。他改进了从一个n 次的和一个m 次的多项式中消去x 的方法，引入了初等因子概念，还对矩阵理论有所创见。

最先讨论函数行列式的是雅可比。他于1841年给

出函数行列式的求导公式

∑=??=??j

i ij ij ij ij a A t D A a D ,', 其中ij a 是t 的函数，ij A 是ij a 的余子式，D 是行列式。他还

将行列式应用到多重积分的变数替换中，得出某些结果。

矩阵一词是西尔威斯特于1850年首先使用的，但

矩阵理论早已见诸于各种数学论著。中国古代《九章算术》中的方程组解法实质上就是一种南增广矩阵的运算。在行列式的研究中也涉及一些矩阵方法。不过，将矩阵作为一个数学对象来研究是由凯莱开始的，他被认为是矩阵论的创立者。

1855年凯莱引进矩阵以化简线性变换的记号，给出一些基本概念。1858年他双定义了零矩阵、矩阵的和与积等概念，讨论了特征方程与特征值，得到与特征方程有关的凯莱-哈密顿定理等。

弗罗贝尼乌斯于1879年引入了矩阵的秩的概念，还于1878年将行列式中的不变因子和初等因子理论。同时他使用了正交矩阵一词，证明了：如果S表示一对称矩阵，T表示一斜对称矩阵，则正交矩阵总能写成

(T

/(

)

I+

-。他的论述还涉及

T

I

S

/(

)

)

(T

S+

T

-的形式，或简记为)

矩阵的相似变换，合同矩阵或同步矩阵的概念等。

现代行列式与矩阵的研究从形式上已推广到无限阶，从内容上已有属于抽象域的元素的矩阵，这些理论都在继续发展之中。

3矩阵思想的形成

矩阵思想其实很早就有了，至少可以追溯到汉代中国学者在解线性方程时的应用，《九章算术》中有许多例子，我们举一例。

例1 今有五羊、四犬、三鸡、二兔，直钱一千四

百九十六；四羊、二犬、六鸡、三兔，直钱一千一百七十五；三羊、一犬、七鸡、五兔，直钱九百五十八；二羊、三犬、五鸡、一兔，直钱八百六十一。问羊、犬、鸡、兔价各几何？

答曰：羊价一百七十七；犬价一百二十一；鸡价

二十三；兔价二十九。

术曰：如方程，以正负术入之。

861958117514961

5325

7633

1242345

用左列第一行数遍乘行中各数，由所得新数减去

右列适当倍数，以消去头数为止。同样的方法消去右边各列头数。然后消去第二行数，如此下去求得兔价。其实和今天列方程解是一样的。

今解：设羊、狗、鸡、兔每只钱各为x 、y 、z 、u ，则依据题设条件列方程：

???????=+++=+++=+++=+++861532958

5731175362414962345u z y x u z y x u z y x u z y x

得???????====2923

121177u z y x

在18世纪或者更早些时候，数的方阵的行列式已

被计算和使用了通常是在解线性方程组时使用。尽管在当时阵列本身并没有单独引起注意。19世纪的其他工作导致阵列更加形式的计算，并在19世纪中叶导致了矩阵概念的定义以及矩阵代数的发展。除了这些形式化的工作，还有矩阵论发展中深刻的一面，即从高斯二次型的研究中发展出来的成果，并最终引起了相似、对角化和标准型的矩阵分类。

3.1矩阵的基本思想

高斯在他的次型理论中讨论到了可以把一个形式转化成另一个形式的线性变换的思想，如果222cy bxy ax F ++=，那么变换???'+'='+'=y x y y x x δγβα把F 变成一个新的形式F '，它的系数依赖于F 的系数和变换本身，高斯特别指

出如果F '通过另外一个变换???''+''='''+''='y x y y x x θηξε变成F ''，这两个变

换的复合就把F 变成F ''的一个新变换：

???''++''+=''++''+=.)()(,)()(y x y y x x δθγηδηγεβθαξβηαε

在他研究的三元二次型2

22222Fz Eyz Dxz Cy Bxy Ax +++++时的计算过程，实际上就是33?矩阵的相乘法则。但高斯并没有明确指出这种复合的思想就是乘法。

在1815年，柯西发表了一篇关于行列式理论的基础性文章。在这篇文章中他不仅用这个名字代替了几

个旧的术语，而且用缩写的记号),(1

n a 代表他称之为“对称组”的矩阵：

nn n n n n a a a a a a a a a

2122121

11211

与它有一个相关的行列式。尽管关于行列式计算的许多基本结论很早就已经知道了，是柯西第一次在他的论文中给出了它们的完整论述，包括一个给定的矩阵伴随余子式的思想以及通过展开任何行或者列来计算行列式的步骤，继而在设若之后明确地认识到复合两个组),(1n a 和()n b ,1可以得到一个新的组()n m ,1

的思想。后者是通过熟知的乘法律定义的：

∑==n k j

k k i j i b a m 1,,,

之后，他证明了新组的行列式是原来两个组的行列式的乘积。

高斯的一位于1843年到爱尔兰拜访过哈密顿的学生弗尔迪南·奇特候德·爱森斯坦（1823——1852）用明确的符号T S ?来表示两个变换S 和T 的复合。这些内容写在1844年他的一篇讨论三次型的论文中，也许是从高斯的行列式简洁定理中得到启发。关于这个记号，爱森斯坦写道：“顺便地，在它的基础上可以建立一个

算法，其中包括把乘、除法以及乘幂的一般去处规则应用到两个线性方程的符号方程上。正确的符号方程总是可以得到，它思考的中心问题是因子的顺序，即，方程组的复合的顺序往往不可以改变。”推测一下这个乘法不可交换的代数体系是否与爱森斯坦在1843年和哈密顿的讨论有关次非常有趣，但可能永远也得不到答案。

3.2矩阵运算

爱森斯坦没能充分发展他的变换的代数的思想是因为他在39岁时就去世了，这方面的进展是由英国的亚瑟·凯莱和詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特（1814——1897）在19世纪90年代做出的。

在1850年西尔维斯特创造了矩阵一词来表示“一项由m 行n 列元素组成的矩形排列，”因为由那个排列，“我们能形成各种行列式组。”（矩阵的英语愿意是指可以引起其他事物的源头。）他当时并没有用这个术语，是他的朋友凯莱在1855年和1858年的论文中用到了该词，在1855年的那篇论文中凯莱注意到线性方程组中使用矩阵是非常方便的。因而他用：

()()

,,,,,,,,,,,,,,z y x ??????? ??'''''''''=γβαγβαγβαζηξ

来表示方程组

.

,

,,

+++=+''+''+''=+'+'+'=+++=z y x z y x z y x γβαζγβαηγβαξ

继而，他把方程组的解来矩阵的逆来表示：

()().,,,,,,,,,,,,,,1 ζηξγβαγβαγβα-??????? ??'''''''''=z y x

这种表示法是把矩阵方程与只含一个变量的简单方程类比而得来的。但是，凯莱在知道了克莱姆的法则之后，把逆矩阵的元素用含有适当的行列式的分数来表示。在1858年，凯莱用了单个的字母表示矩阵，并给出了矩阵相乘、相加以及相减的规则：

1）设有两个n m ?阶矩阵

????????????=????????????=mn m m n n mn m m n n b b b b b b b b b B a a a a a a a a a A 212222111211212222111211,

称B A ,所对应元素的和（或差）构成的n m ?阶矩阵

????????????±±±±±±±±±=mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a C 221122222221211112121111

为B A ,的和（或差）记为()B A C B A C -=+=或。

例2 ,70152321,07634221??

????-=??????=B A 则 ()().775221407007165324322211,777865027007165324322211??????---=??????---------=-??

????=??????++++++-++=+B A B A

2）若k 是一个数矩阵????????????=mn m m n n a a a a a a a a a A 2122221

11211，将A 的每一个元

素都乘以数k ，得到的矩阵称为书k 与矩阵A 的乘积，记为kA ，即()n

m ij ka kA ?=。 3）设A 是m 行r 列矩阵，B 是r 行n 列矩阵

????????????=????????????=mn m m n n mn m m n n b b b b b b b b b B a a a a a a a a a A 2122221

11211212222111211,

则有元素

()

m j m i b a b a b a b a C r k kj ik rj ir j i j i ij ,,2,1;,,2,112211 ===+++=∑=

所构成的m 行n 列矩阵

????????????=mn m m n n c c c c c c c c c C 2122221

11211

叫矩阵A 与B 的乘积，记为AB C =。

之后，凯莱继续挖掘他的思想，不断地利用一般的代数运算和矩阵运算之间的相似性，并仔细留意这

种相似性不成立的情况。因而利用了33?矩阵的逆的公式，他写道：“当行列式变成0的时候，逆矩阵的概念就没有了，这种矩阵称为不定的，0矩阵是不定的，只有当两个矩阵中的一个或两个都是不定时，它们的乘积才可能是0.”

大概是由于凯用了单个的符号来表示矩阵才推出

了所谓的凯莱-哈密顿定理。对22?矩阵???? ??=d c b a M ，凯莱

把他的结果明确地写成

0det =???? ??--M d c b M a

凯莱首先是在1857年11月份一封给西尔维斯的信中表述这个“非凡”的定理的。他只简单地给出()()0012=-++-M bc ad M d a M （0

M 指单位矩阵）就证明了上述结论。其叙述在本质上是现代形式的一般结论，即M 满足λ的特征方程，()0det =-I M λ。凯莱注意到他已验证了33?矩阵的情形，进一步他写道：“我认为没有必要去验证一般的任意阶的矩阵满足这个定理了。”由乔治·弗罗贝乌斯（1849——1917）利用凯莱新符号在20年之后给出完整证明。

凯莱提出凯莱-哈密顿定理的动机就是想证明：“任何矩阵都会满足一个与它同阶的代数方程，”并由此而得到“矩阵的任何有理整函数可以表示成阶不超

过矩阵的阶的一个有理整函数。”凯莱甚至继续证明这个结论适用于非有理函数。特别地，他给出了如何计算M L =，这里的M 是上述22?的矩阵。结论是形如

?????? ??++X Y d X c X b X Y a 的矩阵。其中bc ad d a X -++=2，bc ad Y -=，但凯莱没能给

出这个结论的使用范围。对仅依赖于符号运算的类似的讨论，由于没有考虑到运算不成立的特殊情况，凯莱得出所有的与M 可交换的矩阵L 的错误特征描述，也正是同样的问题使约10年之后通过今天被称作的约当标准型而把矩阵进行了基本分类。

4矩阵的发展

4.1特征值与特征向量

约当的分类不是基于矩阵的形式运算，而是谱理论，即围绕着特征值的概念的结果。在现代术语中，矩阵的特征值是矩阵方程X AX λ=的一个解λ，这里A 是一个n n ?矩阵，X 是一个1?n 矩阵，或者X AX λ=，这里A 是一个n n ?矩阵，X 是一个n ?1矩阵，特征向量是与λ对应的那个满足同一方程向量X 。自始至终，这些概念都是独立于矩阵理论自身，它们从不同思想的研究发展而来，并最终包含在理论之中。因此，在18世纪常系数的线性微分方程组解的问题最早引起特征值的问题。在达

朗贝尔的从1743年到1758年的著作中，由于考察了承载有限质量的运动而受启发，考察了下述方程组（为简单起见，把有限元的个数定义为3个）：

03122=+∑=k k ik i y a dt y d .3,2,1=i

对以上方程分别乘上一个常量i v ，然后相加得：

.031,3122=+∑∑==k i k ik i i i i y a v dt y d v

如果所选的i

v 使得 031

=+∑=i k ik i v a

v λ ,3,2,1=k 即，如果()321,,v v v 是矩阵()ik

a A =相应于λ的特征向量，那么变换332211y v y v y v ++=μ就把方程化简成单个的微分方程

.022=+u dt u d λ

通过欧拉在微分方程上所作的研究，解出该方程的三个i

y ，通过对该方程的研究得到λ是由一个有三个根的三次方程决定，从达朗贝尔对这个解的物理意义的研究中得到，要解有意义则需当+∞→t ，它们必须有界，即，只有当三个λ是相异的正实数时才有意义。

柯西首先解决了特殊情况下通过矩阵本身的属性来确定特征值的属性的问题。总的说来，他没有受到达朗贝尔的关于微分方程的研究的影响，而是通过二次曲面的研究受到启发。这门课作为解析几何的重要

部分，柯西从1815年开始就在综合工科学校讲授了，一个中心在原点的二次曲面由一个方程()k z y x f =,,给出，这里f 是一个二次型，为弄清这种曲面，柯西找到一个坐标变换使f 变成一个只含平方项的形式。后来柯西把这个问题推广到了有n 个变量的二次型中，其系数可写成一个对称矩阵。柯西后来的目的是要找到一个变量的线性变换，使矩阵在这个线性变换的作用下是对角化的。这个目标在1829年的一篇文章中达到了，由于一般情形下的细节有些复杂，而且柯西的证明实质在2个变量的情形下已很明显，因而我们在此只看到两个变量的情形。

为了找到一个把()2

22,cy bxy ax y x f ++=转化成平方和的形式的线性变换，只须找到()y x f ,在1

22=+y x 的条件下的最大值和最小值，使f 取极值的单位圆上的点同时也在由方程()k y x f =,所确定的某椭圆（或双曲线）的某个轴的顶点上。如果把原点到这个点的直线取作一个轴，与之垂直的直线取作另一个轴的话，在这个坐标系下，这个方程就只包含平方顶了。由拉格朗日的乘数法，极值只有当

y f x f y x 22=成立时才取得，让两边等于λ，得到两个方程

,,λλ=+=+y cy bx x by ax