高数课后题答案及详解
第一章 函数与极限
习 题 1-1
1．求下列函数的自然定义域：
（1
）2
1
1y x =
- 解：依题意有210
20x x ?-≠?+≥?，则函数定义域{}()|2x 1D x x x =≥-≠±且．
（2
）21arccos
x y -=
解：依题意有221
1360x x x ?-≤??
?-->?
，则函数定义域()D x =?． （3）2ln(32)y x x =-+-；
解：依题意有2320x x -+->，则函数定义域{}()|12D x x x =<<． （4）31
2x x y -=；
解：依题意有30x x -≠，则函数定义域{}()|x 0,1D x x x =-∞<<+∞≠±且．
（5）1sin
1,121;
x y x x ?
≠?=-??=?,
， 解：依题意有定义域{}()|D x x x =-∞<<+∞． （6
）1arctan y x
=解：依题意有0
30x x ≠??
-≥?
，则函数定义域{}()|3x 0D x x x =≤≠且． 2．已知()f x 定义域为[0,1]，求2(), (sin ), (), ()()f x f x f x a f x a f x a +++-
(0a >)的定义域．
解：因为()f x 定义域为[0,1]，所以当201x ≤≤时，得函数2()f x 的定义域为[1,1]-；
当0sin 1x ≤≤时，得函数(sin )f x 定义域为[2π,(21)π]k k +； 当01x a ≤+≤时，得函数()f x a +定义域为[,1]a a --+；
当01
01
x a x a ≤+≤??
≤-≤?时，得函数()()f x a f x a ++-定义域为：（1）若1
2a <，
[],1x a a ∈-；（2）若1
2a =
，12x =；（3）若12
a >，x ∈?． 3
．设
21()1,f x x ??=- ?其中0,a >求函数值(2),(1)f a f ．
解：因为21()1f x x ??=
- ?，则 22
11
(2)142a f a a a a -??=-= ???，20 ,>1,11(1)1 2 ,0<<111a a f a a ???-=-= ?? ?-?
??． 4．设1||1,
()0||1,()21|| 1.x
x f x x g x x ?
，求(())f g x 与(())g f x ，并做出函数图
形．
解：
121(())0211 21
x x x
f g x ??，即10(())001 0x f g x x x
==??->?，
101
2||1(())2||12||1x g f x x x -??，即2||1(())1||11 ||1
2
x g f x x x ?
?
==???>?，函数图形略．
5．设1,0,()1,0,x x f x x +
[()]1, 1.x x f f x x +<-?=?
≥-?
证明：1(),()0[()]1,()0f x f x f f x f x +
≥?，即2,
1,
[()]1,
1
x x f f x x +<-?=?
≥-?，得证． 6．下列各组函数中，()f x 与()g x 是否是同一函数？为什么？ （1
）
))()ln ,()ln 3f x x g x ==- ；
不是，因为定义域和对应法则都不相同． （2
）()()f x g x ==； 是．
（3）22()2,()sec tan f x g x x x ==-； 不是，因为对应法则不同． （4）2()2lg ,()lg f x x g x x ==； 不是，因为定义域不同．
7．确定下列函数在给定区间内的单调性： （1）3ln y x x =+，(0,)x ∈+∞；
解：当(0,)x ∈+∞时，函数13y x =单调递增，2ln y x =也是单调递增，则12y y y =+在(0,)+∞内也是递增的．
（2）1x
y x
-=
-，(,1)x ∈-∞． 解：(1)111111
x x y x x x ---===+---，当(,1)x ∈-∞时，函数11y x =-单调递增，
则21111y y x ==-是单调递减的，故原函数1x y x
-=-是单调递减的．
8. 判定下列函数的奇偶性．
（1）
lg(y x =+；
解：因为
1()lg(lg(lg(()f x x x x f x --=-+==-+=-， 所以
lg(y x =+是奇函数．
（2）0y =；
解：因为()0()f x f x -==，所以0y =是偶函数． （3）22cos sin 1y x x x =++-；
解：因为2()2cos sin 1f x x x x -=+--，()()()()f x f x f x f x -≠-≠-且，所以22cos sin 1y x x x =++-既非奇函数，又非偶函数．
（4）2
x x
a a y -+=
.
解：因为
()()2x x a a f x f x -+==，所以函数2
x x
a a y -+=
是偶函数．
9．设()f x 是定义在[,]l l -上的任意函数，证明：
（1）()()f x f x +-是偶函数，()()f x f x --是奇函数； （2）()f x 可表示成偶函数与奇函数之和的形式. 证明：（1）令()()(),()()()g x f x f x h x f x f x =+-=--，则
()()()(),()()()()g x f x f x g x h x f x f x h x -=-+=-=--=-，所以()()f x f x +-是偶函数，()()f x f x --是奇函数．
（2）任意函数()()()()
()22f x f x f x f x f x +---=+
，由（1）可知()()2
f x f x +-是偶函数，
()()
2
f x f x --是奇函数，所以命题得证． 10．证明：函数在区间I 上有界的充分与必要条件是：函数在I 上既有上界又有下界.
证明：（必要性）若函数()f x 在区间I 上有界，则存在正数M ，使得x I ∈，都有()f x M ≤成立，显然()M f x M -≤≤，即证得函数()f x 在区间I 上既有上界又有下界
（充分性）设函数()f x 在区间I 上既有上界2M ，又有下界1M ，即有12()()f x M f x M ≥≤且，取12max{,}M M M =，则有()f x M ≤，即函数()f x 在区间I 上有界．
11．下列函数是否是周期函数？对于周期函数指出其周期： （1）|sin |y x =；
周期函数，周期为π． （2）1sin πy x =+；
周期函数，周期为2． （3）tan y x x =； 不是周期函数． （4）2cos y x =.
周期函数，周期为π．
12．求下列函数的反函数：
（1）331
x
x y =-；
解：依题意，31x y y =-，则3log 1
y x y =-，所以反函数为
13()log ,(,0)(1,)1
x
f x x x -=∈-∞?+∞-．
（2）()ax b y ad bc cx d
+=≠+；
解：依题意，b dy x cy a -=-，则反函数1()()b dx f x ad bc cx a
--=≠-．
（3
）(lg y x =；
解：依题意，1(1010)2
y y x -=+，所以反函数11()(1010),2
x x f x x R --=+∈．
（4）π
π3cos 2,
4
4y x x ??=-≤≤ ???．
解：依题意，arccos
32
y
x =
，所以反函数1arccos 3(),[0,3]2x f x x -=∈． 13．在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数
分别对应于给定自变量值1x 和2x 的函数值：
（1）212e ,1,0,2u y u x x x ====＋；
（2）2121,e 1,1,1,1v y u u v x x x =+=-=+==-． 解：（1）2
15()e ,(0),(2)x y f x f e f e +====
（2）12()(e 1)1x y f x +==-+，42(0)22f e e =-+，(1)1f -=．
14．在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为r ，高为H ．当倒进溶液后液面的高度为h 时，溶液的体积为V ．试把h 表示为V 的函数，并指出其定义区间．
解：依题意有2πV r h =，则22,[0,π]πV
h V r H r
=
∈． 15．某城市的行政管理部门，在保证居民正常用水需要的前提下，为了节约用水，制定了如下收费方法：每户居民每月用水量不超过4.5吨时，水费按0.64元／吨计算．超过部分每吨以5倍价格收费．试建立每月用水费用与用水数量之间的函数关系．并计算用水量分别为3.5吨、4.5吨、5.5吨的用水费用．
解：依题意有0.64,0 4.5
() 4.50.64( 4.5) 3.2, 4.5x x f x x x ≤≤?=?
?+-?>?
，所以
(3.5) 2.24(4.5) 2.88(5.5) 6.08f f f ===元，元，元．
习 题 1-2
1．设21(1,2,3,)31
n n a n n +==+L ，
（1） 求110100222||,||,||333
a a a ---的值；
（2） 求N ，使当n N >时，不等式42||103
n a --<成立；
（3） 求N ，使当n N >时，不等式2||3
n a ε-<成立．
解：(1) 12321||||,34312a -=-= 1022121||||,331393
a -=-=
100220121||||33013903
a -=-=．
（2） 要使 42||10,3n a --< 即 4113310<（n+1）， 则只要9997,9
n >
取
N ＝99971110,9??=????
故当n>1110时，不等式42
||103n a --<成立． （3）要使2||3n a ε-<成立，13,9n εε-> 取139N εε-??
=????，那么当n N >时， 2
||3
n a ε-<
成立.
2．根据数列极限的定义证明：
（1）1lim 0!
n n →∞=； （2）1n →∞=． 解：（1）0ε?>， 要使111|0|!!n n n ε-<<＝， 只要取1N ε??
=????
， 所以，对任意0ε>，存在1N ε??=????
，当n N >时，总有1|0|!n ε-<，则1lim 0!
n n →∞
=.
(2) 0ε?>,要使
22
1|2n
ε
=<<, 即n >
,只要
取
N =,所以,对任意的ε>0,存在
N =, 当n N >, 总有
|1|ε
<, 则1n →∞=. 3．若lim n n x a →∞=，证明lim ||||n n x a →∞
=．并举例说明：如果数列}{||n x 有极限，但数列}{n x 未必有极限．
证明: 因为lim n n x a →∞
=, 所以0ε?>, 1N ?, 当1n N >时, 有||n x a ε-<.不妨假设a>0, 由收敛数列的保号性可知:2N ?, 当2n N >时, 有0n x >, 取{}12max ,N N N =, 则对0ε?>, N ?, 当n N >时, 有||||||||n n x a x a ε-=-<.故lim ||||n n x a →∞=. 同理可证0a <时, lim ||||n n x a →∞=成立. 反之,如果数列{}||n x 有极限, 但数列{}||n x 未必有极限.如：数列
()1n
n x =-, ||1n x =， 显然lim ||1n n x →∞=, 但lim n n x →∞
不存在．
4．设数列{}n x 有界，又lim 0n n y →∞=．证明：lim 0n n n x y →∞
=． 证明: 依题意,存在M>0, 对一切n 都有||n x M ≤， 又lim 0n n y →∞
=, 对0ε?>, 存在N ,
当
n N
>时,
|0|n y ε
-<, 因为对上述N , 当n N
>时,
|0|||||n n n n n x y x y M y M ε-=≤<,由ε的任意性, 则lim 0n n n x y →∞
=． 5．设数列{}
n x 的一般项(3)π
2n n x +=
，求lim n n x →∞． 解: 因为0
x =, (3)π
|cos |12n +≤, 所以 (3)π02x n +=. 6．对于数列{}n x ，若21()k x A k -→→∞，2()k x A k →→∞，证明：
()n x A n →→∞．
证明: 由于21lim k k x A -→∞
=, 所以, 0ε?>, 10N ?>, 当1>k N 时，有21||k x A ε
--<, 同理, 0ε?>,20N ?>, 当2k N >时, 有2||k x A ε-<．取N =max {}12,N N , 0ε?>, 当n N >时, ||n x A ε-<成立, 故()n x A n →→∞．
习 题 1-3
1．当1x →时，234y x =+→．问δ等于多少，使当|1|x δ-<时，|4|0.01y -<？
解：令 1|1|2
x -<，则35|1|2
2
x <+<，要使
225
|4||34||1||1||1||1|0.012
y x x x x x -=+-=-=-+<
-<， 只要|1|0.004x -<，所以取0.004δ=，使当 |1|x δ-< 时，|4|0.01y -<成立．
2．当x →∞时，
222123
x y x +=→-．问X
等于多少，使当||x X >时，
|2|0.001y -<？
解：要使22221
7
|2||2|3|3|
x y x x +-=-=--<0.001, 只要2|3|7000x ->, 即
237000x ->. 因此,只要||x >,所以取X
3．根据函数极限的定义证明：
（1）3lim(21)5x x →-=； （2）35
lim 31x x x →∞+=-； （3）2
2
4
lim
42
x x x →--=-+；
（4）lim 0x =. 证明:(1) 由于|(21)5|2|3|x x --=-, 任给0ε>,要使|(21)5|x ε--<,只要|3|2
x ε-<．因此取2
εδ=,则当0|3|x δ<-<时, 总有|(21)5|x ε--<,故
3
lim(21)5x x →-=．
(2) 由于358|3|1
|1|x x x +-=
--,任给0ε>, 要使35|3|1
x x ε+-<-,只要
8
|1|
x ε<-,即81x ε
>+或8
1x ε
<-
, 因为0ε>,所以88|1||1|ε
ε
+>-, 取8|1|M ε
=+，
则当||x M >时, 对0ε?>,总有35|3|1
x x ε+-<-,故有35
lim 31
x x x →∞
+=-． (3)由于24|(4)||2|2x x x ---=++,任给0ε>,,要使24
|(4)|2
x x ε---<+,只要
|2|x ε+<,因此取δε=,则当0|(2)|x δ<--<时,总有24
|(4)|2
x x ε---<+,故
224lim 42
x x x →--=-+. (4) 由于0|
-=,任给0ε>,要使0|ε-<,只要
ε<,即21x ε>,因此取21
M ε=,则当x>M 时,总有0|ε-<,故
lim 0
x =. 4．用X ε-或εδ-语言，写出下列各函数极限的定义： （1）lim ()1x f x →-∞=； （2）lim ()x f x a →∞=； （3）lim ()x a f x b +
→=； （4）3lim ()8x f x -
→=-．
解: (1) 0,ε?> 0M ?>, 当x<-M 时, 总有|()1|f x ε-<;
(2) 0,ε?> 0M ?>, 当||x M >, 总有|()|f x a ε-<;
(3) 0,ε?> 0δ?>, 当a x a δ<<+时, 总有|()|f x b ε-<; (4) 0,ε?> 0δ?> 当33x δ-<<时, 总有|()8|f x ε+<． 5．证明:0lim ||0x x →=. 证明: 由于00lim ||lim 0x x x x +
+
→→==, 00lim ||lim()0x x x x -
-
→→=-=,所以0
lim ||0x x →=. 6．证明：若x →+∞及x →-∞时，函数()f x 的极限都存在且都等于A ，则lim ()x f x A →∞
=． 证明: 由于
lim ()x f x A
→+∞
=,则对0ε?>,
10
M ?>,当
1
x M >时,有|()|f x A ε
-<．又
lim ()x f x A
→-∞
=,则20
M ?>,当
2
x M <-,有|()|f x A ε-<.取
{}12max ,M M M =那么对0ε?>,当
||x M
>时,总有
|()|f x A ε
-<,故有
lim ()x f x A →∞
=.
习 题 1-4
1．根据定义证明：
（1）21
1
x y x -=+为当1x →时的无穷小；
（2）1sin y x x
=为当x →∞时的无穷小；
（3）13x
y x
+=为当0x →时的无穷大．
证明:
(1) 0ε?>,因为21
|0||1|1
x x x --=-+,取δε
=,则当0|1|x δ<-<时, 总有
0x ≠,故 211lim 01
x x x →-=+．
(2) 0ε?>,因为111
|sin 0||sin |||||
x x x
x x -=
≤,取1M ε
=, 则当||x M >时,
总有
1|sin |1
|sin 0|||||
x x x x x ε-=≤<, 故1
lim sin 0x x x
→∞
=.
(3) 0M ?>, 1
3
M δ?=+,当0||x δ<<时,总有1311
|||3|3||
x M x
x x +=+>
->,
所以
013lim
x x
x
→+=∞. 2．函数sin y x x =在(0,)+∞内是否有界？该函数是否为x →+∞时的无穷大？
解答: 取2πn x n =,则0n y =,因此当2πn x n =()n →∞时, ()0n n y x →→+∞故函数
sin y x x = 当x →+∞时,不是无穷大量．
下证该函数在()0,+∞内是无界的.
M ?>,
π2π2
n x n ?=+
且
()n x n →+∞→∞,
πππ2πsin 2π2π222n y n n n ?
???=++=+ ? ??
???，取[]01
N M =+, 00π2π(0,)2
x N ?=+∈+∞,有
0π
2π2
n y N M =+≥，所以sin y x x =是无界的.
3．证明：函数11cos y x
x
=在区间(0,1]上无界，但这函数不是0x +→时
的无穷大．
证明: 令1t x
=,类似第2题可得．
习 题 1-5
1．求下列极限：
（1）23231
lim 41n n n n n →∞+++-； （2）111lim 1223(1)n n n →∞
?
?
+++????+??
L ； （3）22212lim n n n n n →∞??+++ ??
?L ； （4）11
32lim 32n n
n n n ++→∞+-； （5）2211
lim 54
x x x x →--+； （6）3221
lim 53
x x x x →+-+； （7
）lim x →+∞
-；
（8）2221
lim 53
x x x x →∞+++； （9）33
0()lim
h x h x h
→+-；
（10）212
1lim 11x x x →??- ?--??
； （11）23lim 531
x x x
x x →∞+-+； （12
）x → （13）3
lim 21
x x x →∞+； （14）3lim(236)x x x →∞
-+．
解:
(1) 2
3231lim 41n n n n n →∞+++- = 23
3
311lim 041
1n n n n n n
→∞++=+-． (2) 111lim 1223(1)n n n →∞??+++????+??
L = 11
1111lim ()()()12231n n n →∞??-+-++-??+??L = 1
lim(1)11
n n →∞
-
=+． (3) 22212lim n n n n n →∞??+++ ???
L =21
(1)
12lim 2n n n n →∞+=． (4) 1132lim 32n n
n n n ++→∞+-=21()13lim 2332()3n n n →∞+=-?． (5) 2211lim 54x x x x →--+=1(1)(1)lim (1)(4)x x x x x →-+--=112
lim 43
x x x →+=-
-．
(6) 3221lim 53x x x x →+-+=3221
32523
+=--?+．
(7) lim x →+∞
=
lim
x
=lim x
1
11lim 2
x -=．
(8) 2
221
lim
53x x x x →∞
+++=2
2
12lim 2531x x x x
→∞+
=++． (9) 33
0()lim h x h x h →+-=32233
0(33)lim
h x x h xh h x h
→+++-=3220lim(33)3h x xh h x →++=． (10) 2121lim 11x x x →??- ?--??=212(1)lim 1x x x →-+??
?-??
=1(1)lim (1)(1)x x x x →--+ =111lim 12
x x →=+． (11) 2
3lim 531x x x x x →∞+-+=223
11lim 031
5x x x x x
→∞+=-+．
(12) x →
=x →
=1
x →
．
(13) 3
lim 21x x x →∞+=2lim
1
2x x x
→∞=+∞+
． (14) 3lim(236)x x x →∞-+=32336
lim (2)x x x x
→∞-+=∞． 2．设
e ,
0,
()2,
0.
x x f x x a x ?<=?
+≥? 问当a 为何值时，极限0
lim ()x f x →存在． 解：因为
lim ()lim e 1,lim ()lim(2)x x x x x f x f x x a a --++
→→→→===+=，所以，当
00
lim ()lim ()x x f x f x -
+
→→=，即1a =时，0
lim ()x f x →存在．
3．求当x 1→时，函数1
211e 1
x x x ---的极限．
解：因为1
1
211
111lim e lim(1)e 0,1x x x x x x x --
--→→-=+=- 11
211111lim e lim(1)e ,1x x x x x x x ++
--→→-=+=+∞- 所以1
2111lim e 1
x x x x -→--不存在。
4
．已知lim (51x x →+∞
=，其中,,a b c 为常数，求a 和b 的值．
解：因为 lim
(5 lim
x x x →+∞
-=
2
(25)= lim lim 1x x c a x b -+-
==，
所以250
1a -=??=，则2510a b =??=?．
5．计算下列极限：
（1）01lim sin 0x x x →?=； （2）sin 1lim lim sin
0x x x x x
x
→∞→∞
==;
（3）11
lim sin 0x x x
→∞=； （4）
arctan 1lim lim arctan 0x x x x x
x →∞→∞==．
6．试问函数2
15sin ,0,10,0,()5,
0.x x x x f x x x ?
->???==???+
在？当0x →时，()f x 的极限是否存在？
解：20
lim ()lim(5)5x x f x x -
-
→→=+=，0
1lim ()lim(5sin )5x x f x x x
+
+
→→=+=，因为
(0)(0)f f -+=，
所以0lim ()5x f x →=．
习 题 1-6
1． 计算下列极限：
（1）1
lim 12x
x x -→??+ ???；
（2）22lim 1x
x x →∞??
- ??
?；
（3）5lim 5x
x x x →∞+??
?-??
；
（4）1
2
2lim 2x x x -→?? ???
． 解：（1）1211
()22
00lim(1)lim(1)e 22x x x x x x -?--→→+=+=．（2）(4)
242022lim(1)lim(1)e x x x x x x
-?--→∞→-=+=-． （3）5
1051051010lim()lim (1)(1)555x x x x x x x x -?→∞→∞??
+=+?+??---?
?
510510
101010lim(1)lim(1)e 55
x x x x x -?→∞→∞=+?+=--． （4）1211
222
2222lim()lim(1)e 22
x x x x x x ?--
→→-=+=． 2．计算下列极限：
（1）0lim cot x x x →； (2) 0sin 2lim
3x x x
→； （3）0cos cos3lim 5x x x
x →-； （4）30
2
cos 1lim
x x x
+
→-；
（5）1
lim sin x x x
→∞?； （6）lim2sin
(2n n
n x
x →∞
为不等于零的常数）． 解：
00cos (1)lim cot lim
1sin x x x x x x x →→==．00sin 22sin cos 2
(2)lim lim 333
x x x x x x x →→==． 00cos cos32sin 2sin (3)lim lim 055x x x x x x x x
→→--==
223300022
2sin sin cos 122(4)lim lim 02x x x x x x x x x
+→→→?-?
-===? ???
． 1sin 1(5)lim sin lim 11
x x x x x x →∞→∞==．sin 2(6)lim 2sin lim 22n
n n n n n x x x x x →∞→∞==． 3．利用极限存在准则证明：
（1
L 的极限存在；
证明：先用数学归纳法证明数列{}n x 单调递增。由
于210x x =>。假设10n n x x ->>
成立，则1n n x x +=，所以数列{}n x 单调递增．
下证有界性
11x =+
1n x <
11n x +=
故01n x <<+即数列{}n x 有界
根据单调有界准则知lim n n x →∞存在．不妨设lim n n x A →∞=
，则有A =
解得1A =
，2A （舍去）
，即有lim n n x →∞
=
（2
）1n =；
证明：因为
3
11n
≤
+，又3lim1lim 11n n n →∞→∞??
=+= ??
?
，
所以1n =．
(3) 22
1lim 3n →∞
??+=L ；
2
2
2
2
......n
n
k
k
≤
++
≤
∑∑，
又2
2
1
3
n
n
n n k
k
==
∑∑，所以原式成立． (4) 0
1lim 1x x x +
→??
=????
． 证明：对任一x R ∈，有[]1x x x -≤≤，则当0x ≠时，有111
1x
x x
??-≤≤????
．
于是
（1）当0x >时，111(1)x x x x
x x
??-≤≤????
g ，由夹逼准则得0
1lim 1x x x +
→??
=????
． （2）当0x <时，111(1)x x x x
x x
??≤≤-????
g ，同样有0
1lim 1x x x +
→??=????
．
习 题 1-7
1． 当0x →时，22x x -与2332x x -相比，哪一个是高阶无穷小？
解：因为23
2032lim 02x x x x x
→-=-，所以2332x x -是比22x x -高阶无穷小． 2．
证明：当0x →时，2
sec 12
x x -:
．
证明：因为2220001
1
sec 11cos 1cos lim lim lim cos 222
x x x x x x x x x x →→→---==g ，又
2(1cos )2x x -:，则20sec 1lim 12
x x x →-=，故2
sec 12
x
x -:
．
3． 利用等价无穷小的性质，求下列极限：
（1）0tan lim (,sin x nx
n m mx →为正整数）； （2
）0x →；
（3）2
0ln(123)lim
x x x →+-； （4）sin 3
0e
1
lim
x x →-； （5）0lim x →；
（6）0x →；
（7）2330357lim
42tan x x x x x x →+-+；
（8）220sin tan3lim sin52x x x x
x x
→+++； （9）3
lim 2x
x
x
x a
b →?
?
+ ???
,其中0,0a b >>,均为常数. 解：00tan()(1)lim lim sin x x nx nx n
mx mx m
→→==． 2001
(2)1
2lim 36
x x x x x →→+==． 22
00ln(123)231(3)lim lim 44
2
x x x x x x x x →→
+--==．
sin 300sin 113(4)lim lim arctan 3
x
x x x e x x →→-==． 20000112(5)lim lim lim 12
2x x x x x
x x +++→→→→===g g ． 220012
lim
(3)x x x x x
x →→→→==?
11872
=
=
． 233000357333
(7)lim lim lim 42tan 2tan 22
x x x x x x x x x x x x →→→+-===+． 2200sin tan344
(8)lim lim sin5255
x x x x x x x x x →→++==+．22(sin tan34,sin525)x x x x x x x +++::因为． 3
2
3ln(
1)3
2lim
lim ln()
2
0(9)lim()2
x x x x x
x x a b a
b x
x
x
x x a b e e →→+-++→+==003(2)3(1)(1)
2lim lim 2x x
x x x x a b a b x
x
e
e
→→+--+-?==
3
3(ln ln )2
2
()
a b e
ab +==．
４．当0x →时，若124
(1)1ax
--与sin x x 是等价无穷小，试求a ．
解：依题意有124
(1)1
lim
1sin x ax
x x
→--=， 因为
14
122
24
1
(1)11()1()4
ax ax ax ??--=+--?-??:
，sin x x :，则 1
224
2001
()
(1)14lim lim 1sin 4
x x ax ax a x x x →→?---==-=，故4a =-．
习 题 1-8
1．研究下列函数的连续性： （1）,
||1,()1,
||1;
x x f x x ≤?=?
>? （2）1,
,
()0,
.
c x Q f x x Q ∈?=?
∈? 解答：（1）在(),1-∞-和()1,-+∞内连续，1x =-为跳跃间断点； （2）()f x 在R 上处处不连续。
2．讨论下列函数的间断点，并指出其类型．如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使其连续． （1）1,
3,
()4,
3.
x x f x x x +≥?=?
-
()sin
1
f x x =-； 解：()f x 在(,1)-∞和(1,)+∞内连续，1x =为第二类向断点； （3）11()1x
f x e
=
+；
解：()f x 在(),0-∞和()0,+∞内连续，0x =为跳跃间断点． （4）
1sin ,0,()0,
0;
x x f x x
x ?
≠?=??=?
解：()f x 在R 上是连续的； （5）
22
1
()32
x f x x x -=-+；
解：()f x 在（-∞，1），（1，2）和（2，+∞）内连续，x=1为可去向断点，若令(1)2f =-,则()f x 在x=1连续；x=2为第二类向断点． （6）
22()||(1)
x x f x x x -=-；
解：()f x 在(,1)-∞-，（－1，0），（0，1）和(1,)+∞内连续；x=1-是第二类间断点；x=0是跳跃间断点；x=1是可去间断点，若令
1
(1)2
f =
，则()f x 在x=1处连续．
3．讨论下列函数的连续性，若有间断点，判别其类型． （1）1
()lim
(0)1n
n f x x x →∞=≥+； 解：1,01,1
()1,2,0, 1.
x f x x x ?≤
??>?
1x =为跳跃间断点；
（2）22(1)()lim 1n n
n x x
f x x →∞-=+． 解：,||1
()0,||1,||1x x f x x x x ?
11x x ==-和为跳跃间断点．
4．设函数2sin 2,0,(),0.
x
x f x x
x a x ?
=??+≥?试确定a 的值，使函数()f x 在0x =处连续．
解：因为20
00sin 2lim ()lim 2,lim ()lim (),x x x x x
f x f x x a a x
-
-
++
→→→→===+=(0),f a =所以，依题意有a =2.
5．设函数
ln(13)
,0,()sin 1,
x x f x ax
bx x +?>?
=??+≤?在点0x =处连续，求a 和b 的值．
解：因为0000ln(13)3lim ()lim(1)1,lim ()lim sin x x x x x f x bx f x ax
a
-
-
+
+
→→→→+=+===，(0)1,f =依题意
有3,a b =为任意实数．
习 题 1-9
1．研究下列函数的连续性： （1）2()cos e x f x x x =+；
解答：因为2()cos x f x x x e =+在(),-∞+∞上是初等函数，所以()f x 在
(),-∞+∞上连续．
（2）33
()27
x f x x -=
-； 解答：显然当3x =时，()f x 无意义，但33
31
lim
2727
x x x →-=
-，则3x =是函
数3
3
()27
x f x x -=
-的可去间断点． （3
）()f x =
解答：当2120x x --+≥时，即[]4,3x ∈-时，()f x 连续．
２．求下列极限： （1
）1
limsin x →?
?；
解：1
limsin(sin 1;2
x π
→== （2
）)lim
arcsin x x
→+∞；
解：lim )x x →+∞lim arcsin
x →+∞
=
＝
1π
lim arcsin
26
x →+∞
==； （3）11
ln(2)2lim π3arctan 4
x x x →+--
；
解：111ln(2)ln(21)
122lim ;
πππ3arctan 3arctan144
x x x →+-+-==--
（4）()10lim 14x x
x x -→-； 解：()10lim 14x x
x x -→-=11(4)40
lim[1(4)]
x x x x
x x --
?-?→+-4e -=；
（5）()2
0lim[1ln 1]x
x x →++； 解：12ln(1)
2ln(1)00
lim[1ln(1)]
lim[1ln(1)]
x x x
x
x x x x +?
+→→++=++=2e ；
（6）1
21cos 0
lim(1e
)
x x
x x -→+；
解：221
1
2221cos 1cos 00
lim(1)lim(1)
;x
x
x e x x x
x
x e x x x e
x e e ??--→→+=+=
（7
）0x →；
解：x →
=
x →=
20(tan sin )lim sin x x x x x x →→-=??
20tan (1cos )lim
sin x x x x x
→-=?22012lim 2x x x x x →?
==? ；
（8）2
cot 0
lim(cos )x x x →； 解：2cot 0
lim(cos )
x
x x →21cos 1
1cos 1tan 2
lim(1cos 1)
x x x
x x e
-?
--→=+-= ；
（9）lim [ln ln(2)]n n n n →∞-+． 解：lim [ln ln(2)]n n n n →∞-+2
lim ln
lim ln(1)22
n n n n n n n →∞
→∞==-++ 2limln(1)2
n
n n →∞=-+222222limln(1)ln 22n n n n e n +-??
? ?--+??→∞-=+
==-+ ；
3．设函数()f x 与()g x 在点0x 连续，证明函数
}{()max (),()x f x g x ?=，}{()min (),()x f x g x ψ=
在点0x 也连续．
证明：略．
4．若函数
2,0,()sin , 0a bx x f x bx x x
?+≤?
=?>??在(,)
-∞+∞内连续，则a 和b 的关系是
（ ）．
A ．a b =．
B ．a b >．
C ．a b <．
D ．不能确定．
解答：因为20000sin lim ()lim(),lim ()lim ,
x x x x bx f x a bx a f x b x
-
-
+
+
→→→→=+===(0),f a =依题意
有a b =．
5．设2lim 8x
x x a x a →∞
+??
= ?-??
且0a ≠，求常数a 的值． 解：因为333233lim()lim(1)lim(1)x a ax
x x a a x
a
x x x x a a a e x a x a x a
-?-→∞→∞→∞+=+=+=---，则38a e =，所以ln2a =．
习 题 1-10
1. 证明方程ln 2x x =在(1,)e 内至少有一实根．
证明：令()ln 2f x x x =-，则()f x 在[1,e]上连续，又(1)20f =-<，
()20,f e e =->根据零点定理，
()ln 2f x x x =-在开区间(1,)e 内至少有一点ξ使()0f ξ=，即ln 2x x =在(1,)e 内至少有一实根．
2．证明方程51x x +=有正实根．
证明：令5()1f x x x =+-，则()f x 在(,)-∞+∞内连续，又(0)10f =-<，(1)10f =>，
根据零点定理，5()1f x x x =+-在(0,1)内至少有一点ξ，使()0f ξ=，即51x x +=有正实根．
3．设函数()f x 对于闭区间[,]a b 上的任意两点x 、y ，恒有()()f x f y L x y -≤-，其中L 为正常数，且()()0f a f b ?<．证明：至少有一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ=．
证明：任取(,)x a b ∈，取x ?，使(,)x x a b +?∈，依题意有0()()f x x f x L x ≤+?-≤?，则0lim ()()0x f x x f x ?→+?-=，即0
lim ()()x f x x f x ?→+?=，由x 的任意性，可知()f x 在(,)a b 内连续，同理可证()f x 在点a 右连续，点b
左连续，那么，()f x 在[,]a b 上连续。而且()()0f a f b ?<，根据零点定理，至少有一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ=．
4．若()f x 在[,]a b 上连续，12n a x x x b <<<< ()n f x f x f x f n ξ+++= L ． 证明：因为()f x 在[,]a b 上连续，所以()f x 在[,]a b 上有最小值m ，最大值M ，使得1()m f x M ≤≤,2()m f x M ≤≤，...，()n m f x M ≤≤，因此 12()()...() n f x f x f x m M n +++≤ ≤， 由介值定理得，在1(,)n x x 内至少有一点ξ，使12()()() ()n f x f x f x f n ξ+++= L . ５．若()f x 在[,]a b 上连续，[,],0(1,2,3,,)i i x a b t i n ∈>=L ，且0 1n i i t ==∑．试 证至少 存在一点ξ(,)a b ∈使得1122()()()()n n f t f x t f x t f x ξ=+++L ． 证明：因为()f x 在[,]a b 上连续，所以()f x 在[,]a b 上有最小值m ，最大值M ，使得1()m f x M ≤≤,2()m f x M ≤≤，...，()n m f x M ≤≤，那么 1111t t ()t m f x M ≤≤，2222t t ()t m f x M ≤≤，n n n ...t t ()t n m f x M ≤≤，即1 1 1 ()n n n i i i i i i m t t f i M t ===≤≤∑∑∑，又1 1n i i t ==∑，故1 ()n i i m t f i M =≤≤∑，由介值定理可知， 至少存在一点(,)a b ε∈使得 1122()()()()n n f t f x t f x t f x ξ=+++L ． 6．证明：若()f x 在(,)-∞+∞内连续，且lim ()x f x →∞ 存在，则()f x 必在(,)-∞+∞内有界． 证明：因为lim ()x f x →∞ 存在，则必有0X >，使得当x X >时，对任意的 ε ，有()f x a ε-<，因此，()f x 在区间(,)X -∞-及区间(,)X +∞上有界，即当(,)(,)x X X ∈-∞-+∞U ，存在10M >，有1()f x M ≤，同时，()f x 在[,]X X -上连续，有由有界性定理知，存在20M >，当2[,],()x X X f x M ∈-≤，取12max{,}M M M =，则当(,)x ∈-∞+∞时，总有()f x M ≤，即()f x 在(,)-∞+∞内有界． 习 题 1-11 1.（贷款购房）解：（1）依题意有100y u =，20%u x =，则20y x =. （2）2040008y =?=0000元。 2. 解：设每吨的运费为y ，x 表示路程，则6,200; 4,200500;3,500.x x y x x x x ≤??=<≤??>? 3. 解：设个人所得税为 y ， x 表示稿酬收入，则 (800)14%4000, ()(120%)14%4000.x x f x x x -?≤?=? -?>? ；1209.6元． 总习题一（A ） 第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质 知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++?? 习题7.7 3.指出下列方程所表示的曲线. （1）???==++;3, 25222x z y x （2）???==++;1,3694222y z y x （3）???-==+-;3, 254222x z y x （4）???==+-+.4,08422y x z y 【解】 （1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ； （2）表示平面1=y 上的椭圆19 32322 2=+z x ； （3）表示平面3-=x 上的双曲线14 162 2=-y z ； （4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z . 4.求() () ?????=++=++Γ2, 21, :2 22 2 222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 （一）（1）、（2）联立消去z 得 2224 3R y x = + 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为 ?????==+.0, 4 322 2z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得 R z 2 1 = 所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤ ?? ? ??== （三）（1）、（2）联立消去x 得 R z 21 = 所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为 .23.0, 21R y x R z ≤ ????? == 6.求由球面224y x z --= ①和锥面() 223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域. 【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为 ? ??==+.0, 122z y x 所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D . 习题7.8 2.设空间曲线C 的向量函数为(){} t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与 20=t 相应的点处的单位切向量. 【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为 (){}2,4,42='r . C 相应20=t 的点处的单位切向量为 (){}.31,32,322,4,4612? ?????±=± =' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为 《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -? 高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中 高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5 D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4 283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ； 微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=， 2018年湖南省怀化市中考物理试卷 一、选择区 1. 下图中符合安全用电原则的是（） A. 雷雨时在大树下躲雨 B. 在高压线下钓鱼 C. 在同一插座上同时使用多个大功率用电器 D. 发现有人触电时立即切断电源 【答案】D 【解析】A、雷雨时，不可以在大树下避雨，要注意防雷电，故A错误； B、高压线下钓鱼，鱼线很容易接触到高压线，容易发生触电事故，故B错误； C、在同一个插座上同时使用了多个大功率的用电器，由可得，会使干路中的电流过大，容易发生电路火灾，故C错误； D、当发现有人触电时，应该立即采取的措施是：迅速切断电源或用绝缘体挑开电线，因为人体是导体，不能用手拉开电线和触电的人，故D正确。 故选：D。 点睛：本题考查日常安全用电常识，关键是了解安全用电的基本原则“不接触低压带电体，不靠近高压带电体。” 2. 在北京8分钟的节目中，憨态可掬的大熊猫令人忍俊不禁。这只大熊猫是用一种特制的铝合金材料制成的，它的高度为2.35m，质量却只有10kg，它利用了铝合金的哪一种性质（） A. 质量小 B. 密度小 C. 比热容小 D. 导热性能好 【答案】B 【解析】解：由题知，大熊猫是用一种特殊的铝合金材料制成的，它的高为2.35m，质量却只有10kg，也就是说它的体积很大，质量很小，根据ρ=可知，材料的体积相同时，质量越小，密度越小。所以它利用 了铝合金密度小的性质。故ACD错误，B正确。 故选：B。 点睛：密度是物质的一种特性，不同物质密度一般不同，常用密度来鉴别物质。解答本题时，要紧扣大熊猫高度大，质量小的特点进行分析。 3. 下列事例中不是利用大气压工作的是（） A. 用塑料吸管吸饮料 B. 用抽水机抽水 C. 用注射器将药液注入病人体内 D. 钢笔吸墨水 【答案】C 【解析】解：A、用吸管吸饮料时，吸管内的气压小于外界大气压，饮料在外界大气压的作用下，被压入口腔内。利用了大气压。故A不合题意； B、抽水机抽水，通过活塞上移或叶轮转动使抽水机内水面上方的气压减小，水在外界大气压的作用下，被压上来，利用了大气压，故B不合题意。 C、用注射器将药液注入病人体内是利用人的压力将药液注入人体肌肉的，不是利用大气压来工作的，故C 符合题意。 D、用力一按橡皮囊，排出了里面的空气，当其恢复原状时，橡皮囊内部气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下，墨水被压入钢笔内，利用了大气压。故D不合题意。 故选：C。 点睛：本题考查了大气压的应用，此类问题有一个共性：通过某种方法，使设备内部的气压小于外界大气压，在外界大气压的作用下出现了这种现象。 4. 自然界中有些能源一旦消耗就很难再生，因此我们要节约能源。在下列能源中，属于不可再生的能源的是 A. 水能 B. 风能 C. 太阳能 D. 煤炭 【答案】D D、煤炭属于化石燃料，不能短时期内从自然界得到补充，属于不可再生能源，故D符合题意。 大学数学A （1）课后复习题 第一章 一、选择题 1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（ ） A .2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == B .0 )(,1)(x x g x f == C .1)(,11)(2-=-?+= x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f == 2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（ ）. A .)1ln()(2++=x x x f B .| |)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1 sin )1()(2--= x x x x f 3.极限??? ? ?+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 1 D ．∞ 4.极限x x x x sin lim +∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．∞ 5.当0→x 时，下列各项中与 2 3 x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（ ） A ．)1(3-x e x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=x x f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（ ）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小 7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（ ） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要 8.设函数?? ? ??<≤--<≤≤≤-=01,110, 21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（ ） 习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ+?? 与2[ln()]d D x y σ+??的大小，其中： （1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有 图10-1 12x y ≤+≤ < 从而 0ln()1x y ≤+< 故有 2 ln()[ln()]x y x y +≥+ 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ+≥+?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥. 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 ln()[ln()]x y x y +<+ | 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ +<+?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1）4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤??; （2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ= =≤≤≤≤?? ; 解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤ 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤》 故 2d D D σσσ≤≤?? ?? ?? 即2d d D D σσσ≤≤???? 而 d D σσ=?? （σ为区域D 的面积） ，由σ=4 得 8σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 220sin sin 1x y ≤≤ 故 220d sin sin d 1d D D D x y σσσ≤≤?? ???? 即220sin sin d d D D x y σσσ≤ ≤=???? ~ 而2 πσ= 所以2220sin sin d πD x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 229d (49)d 25d D D D x y σσσ≤++≤?? ???? 即 229(49)d 25D x y σσσ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 2236π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? … 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： 2019年广西满分作文：毕业前的最后一堂课时光飞逝，白马过隙。2019高考如约而至，距离我的那年高考也已有二十岁的年份。烈日的阳光，斑驳的光影，仿佛又把我拉进了在宽窄巷子的学堂里最后冲刺的时光。 高中即将毕业，意味着每个人将为人生方向的开启选好时光的阀门，单纯的学历生涯即将告一段落。课堂上朗朗整齐的晨读和起立，行礼的流程将渐行远去。它是青春懵懂的里程，也是最为单纯的诗书礼仪，课桌黑板走廊都将记录这里每个人在经历人生的最后一课，无论是同学还是老师。 记得1999年炙热的炎夏，当年的二十八中还隐藏在老成都皇城宽窄巷子里面，距离高考还有一周，同学们已经不再像之前那样紧张忙碌的复习节奏，三三两两，甚至结伴到学校周围看看能不能捡到老皇城留下的一砖半瓦，为自己这里的高中学涯留点念想。 还记得是用过学校食堂的午餐，在最后一节考前动员课上完以后，大家就会各自回到家中，为最后到来的大考最最后的准备。课堂的气氛很是轻松，甚至我和我的同桌还在讨论中午学校食堂红椒肉丝的白糖是否搁多了，随着班主任走进教室，踏上讲台，一如既往地喊道：上课！接着就是值日生的“起立敬礼老师好”的三重奏，最后一节课的师生礼仪完毕后，班主任转身在黑板上用粉笔撰写了四个大字“勇往直前”，语重心长的寄语和感慨在此不表，大家彼此默契的拿出早已准备好的记事本开始彼此留言签名，数言珍语，寥寥几笔都赫然纸上。 人生最后一堂课，没有习题的讲解和紧张备考的威严氛围。三年同窗，彼此单纯的朝夕相处和课桌校园间的点滴生活早已让这个班级凝成了一片经脉。“聚是一团火，散是满天星，不求桃李满天下，只愿每人福满多。”班主任最后这句话至今印刻脑海。二十载已过，当时班主任的心境早已能够理解，也希望每年高考时，同学志愿看天下！ 高等数学习题及答案 一、填空题（每小题3分，共21分） 1．设b a by ax y x f ,,),(其中+=为常数，则=)),(,(y x f xy f .y b abx axy 2 ++ 2．函数2 2y x z +=在点)2,1(处，沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的 方向导数是 .321+ 3．设有向量场k xz j xy i y A ρρρρ++=2 ，则=A div ρ . x 2 4．二重积分??2 1 ),(x dy y x f dx 交换积分次序后为 .??1 1 ),(y dx y x f dy 5．幂级数∑∞ =-1 3)3(n n n n x 的收敛域为 . [0,6) 6．已知y x e z 2-=，而3 ,sin t y t x ==，则 =dt dz 3sin 22(cos 6)t t e t t -- 7．三重积分 =???Ω dv 3 ， 其中Ω是由3,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的立体. 二、计算题（一）（每小题7分，共21分） 1．设b a b a ρρρρ与,5,2==的夹角为π3 2 ，向量b a n b a m ρρρρρρ-=+=317与λ相互垂直，求λ. 解：由25173 2 cos 52)51(1217)51(3022?-???-+=-?-+=?=πλλλλb b a a n m ρρρρρρ 得.40=λ 2．求过点)1,2,1(-且与直线?? ?=--+=-+-0 4230 532z y x z y x 垂直的平面方程. 解：直线的方向向量为{}11,7,52 13132 =--=k j i s ρρρρ 取平面的法向量为s n ρ ρ=，则平面方程为0)1(11)2(7)1(5=++-+-z y x 即.081175=-++z y x 3．曲面32=xyz 上哪一点处的法线平行于向量}1,8,2{=S ρ ？并求出此法线方程. 解：设曲面在点),,(z y x M 处的法线平行于s ρ ，令32-=xyz F 则在点),,(z y x M 处曲面的法向量为.1 82,}.,,{},,{xy xz yz s n xy xz yz F F F n z y x ====故有 由于ρ ρρ由此解得 y z y x 8,4==，代入曲面方程，解得),,(z y x M 的坐标为)8,1,4(，用点向式即得所求法线 方程为1 8 8124-= -=-z y x 三、计算题（二）（每小题7分，共21分） 1．设)(x y xF xy z +=，其中)(u F 为可导函数，求.y z y x z x ??+?? 解： ),()(u F x y u F y x z '-+=?? )(u F x y z '+=?? xy z xF xy y z y x z x +=+=??+??2 2．将函数??? ? ??-=x e dx d x f x 1)(展成x 的幂级数，并求∑∞ =+1)!1(n n n 的和. 解：???++???++=--1! 1 !2111n x x n x x e 习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ? (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ? 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ? (3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4? 第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) ? 思路: 被积函数5 2 x -=，由积分表中的公式（2）可解。 解：5 322 23x dx x C --==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +?（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34 134（-+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（-+-）2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++?? ★★ (9) 思路 =？ 11172488x x ++==，直接积分。 解 ：7 15888.15 x dx x C ==+?? ★★(10) 221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解：222222111111()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)211 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ? 思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然33x x x e e = （）。 第8章第1节向量及其线性运算 习题8—1 11,12,15,17,18 第8章第2节数量积、向量积、混合积习题8—2 3,4,6,7,9,10 第8章第3节曲面及其方程 习题8—3 2,5,7,9, 10(1)(2)(3)(4) 第8章第4节空间曲线及其方程 习题8—4 3,4,7,8 第8章第5节平面及其方程 习题8—5 1,2,3,5,9 第8章第6节空间直线及其方程 习题8—6 1,2,3,4,5,8,9,10(1)(2),12, 13,15 第8章总复习题 总复习题八 1,7,8,10,11,12,13,14(1)(2), 15,17,19,20 第9章第1节多元函数基本概念 习题9—1 2,5(1)(2),6(1)(2)(4)(5),7(1),8 第9章第2节偏导数 习题9—2 1(3)(4)(5) (6)(7),4,6(2), 9(1) 第9章第3节全微分 习题9—3 1(1)(2)(4),2,3,5 第9章第4节多元复合函数的求导法则习题9—4 2,4,6,7,8(1)(2),10,11, 12(1)(4) 第9章第5节隐函数的求导公式 习题9—5 1,2,4,5,6,8,9,10(1)(3) 第9章第6节多元函数微分学的几何应用习题9—6 3,4,6,7,9,10,12 第9章第7节方向导数与梯度 习题9—7 2,3,5,7,8,10 第9章第8节多元函数的极值及其求法习题9—8 1,2,5,6,7,9,11 第9章第9节二元函数泰勒公式 习题9—9 1,3 第9章总复习题 总复习题九 1,2,3,5,6,8,9, 12,15,16,17,20 第10章第1节二重积分的概念与性质 习题10—1 2,4,5 第10章第2节二重积分的计算法 习题10—2 1(1)(3),2(3)(4),4(1)(3),6(4)(5)(6),7,89,12(1)(2)(3),14(1)(2),15(1)(2)(3),16 第10章第3节三重积分 习题10—3 1(1)(2),2,4,5,7,8,9(1)(2),10(1)(2),11(1) 第10章第4节重积分的应用 习题10—4 1,2,5,6,8,10,14 第10章总复习题 总复习题十 1,2(1) (3),3(1)(2) 6,8(1)(2),10,11,12 第11章第1节对弧长的曲线积分 习题11—1 1,3(3)(4)(5)(7),4 第11章第2节对坐标的曲线积分 习题11—2 3(1) (2)(3) (5) (6)(7), 4(1)(2)(3),7(1)(2),8 第11章第3节格林公式及其应用 第一章函数 历年试题模拟试题课后习题（含答案解析）[单选题] 1、 设函数，则f(x)=（） A、x(x+1) B、x(x-1) C、(x+1)(x-2) D、(x-1)(x+2) 【正确答案】B 【答案解析】 本题考察函数解析式求解. ，故 [单选题] 2、 已知函数f(x)的定义域为[0，4]，函数g(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域是（）. A、[1，3] B、[-1，5] C、[-1，3] D、[1，5] 【正确答案】A 【答案解析】x是函数g(x)中的定义域中的点，当且仅当x满足0≤x+1≤4且0≤x-1≤4 即-1≤x≤3且1≤x≤5也即1≤x≤3，由此可知函数g(x)的定义域D(g)={x|1≤x≤3}=[1,3]. [单选题] 3、 设函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数f（x2）的定义域为（）. A、[0，2] B、[0，16] C、[-16，16] D、[-2，2] 【正确答案】D 【答案解析】根据f(x)的定义域，可知中应该满足： [单选题] 4、 函数的定义域为（）. A、[-1,1] B、[-1,3] C、(-1,1) D、(-1,3) 【正确答案】B 【答案解析】 根据根号函数的性质，应该满足： 即 [单选题] 写出函数的定义域及函数值（）. A、 B、 C、 D、 【正确答案】C 【答案解析】 分段函数的定义域为各个分段区间定义域的并集， 故D=(－∞，-1]∪（-1，＋∞）. [单选题] 6、 设函数,则对所有的x，则f(-x)=（）. A、 B、 C、 D、 【正确答案】A 【答案解析】本题考察三角函数公式。 . [单选题] 7、 设则=（）. A、 B、 同济六版高等数学课后答案全集 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A\B 及A\(A\B)的表达式. 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B)C =AC ?BC . . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f(A ?B)=f(A)?f(B); (2)f(A ?B)?f(A)?f(B). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中IX 、IY 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有IX x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有IY y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 5. 设映射f : X →Y , A ?X . 证明: (1)f -1(f(A))?A ; (2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;. (2)211x y -=; (3)211x x y --=;(4)241x y -=;(5)x y sin =; (6) y =tan(x +1);(7) y =arcsin(x -3); (8)x x y 1 arctan 3+-=;. (9) y =ln(x +1); (10) x e y 1 =. 7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x ; (2) f(x)=x , g(x)=2x ; (3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g . (4)f(x)=1, g(x)=sec2x -tan2x . 8. 设 ???? ?≥<=3|| 03|| |sin |)(ππ?x x x x , 求)6(π?, )4(π?, ) 4(π?-, ?(-2), 并作出函数y =?(x)微积分课后题答案第九章习题详解
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