高等数学习题详解-第8章-二重积分
习题8-1
1. 设有一平面薄片，在xOy 平面上形成闭区域D ，它在点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y )，且μ(x ,y )在D 连续，试用二重积分表示该薄片的质量. 解：(,)D
m x y d μσ=??.
2. 试比较下列二重积分的大小：
(1) 2()D
x y d σ+??与3()D
x y d σ+??，其中D 由x 轴、y 轴及直线x +y =1围成；
(2) ln()D
x y d σ+??与2
ln()D
x y d σ+??????，其中D 是以A (1,0)，B (1,1)，C (2，0）为顶
点的三角形闭区域.
解：(1)在D 内，()()23
01x y x y x y ≤+≤+≥+，故，23()()D
D
x y d x y d σσ+≥+????.
(2) 在D 内，212ln()1,ln()ln ()x y x y x y x y ≤+≤≤+≤+≥+，故0从而, 2ln()[ln()]D
D
x y d x y d σσ+≥+????
习题8-2
1. 画出积分区域，并计算下列二重积分：
(1) ()D
x y d σ+??，其中D 为矩形闭区域：1,1x y ≤≤；
(2) (32)D
x y d σ+??，其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域；
(3) 2
2()D x
y x d σ+-??,其中D 是由直线y =2,y =x ,y =2x 所围成的闭区域；
(4) 2D
x y d σ??,其中D 是半圆形闭区域:x 2
+y 2
≤4,x ≥0；
(5) ln D
x y d σ??,其中D 为:0≤x ≤4,1≤y ≤e ；
(6)
22D
x d σy ??其中D 是由曲线11,,2xy x y x ===所围成的闭区域. 解：(1) 1
1
1
1
1
1
()()20.D
x y d dx x y dy xdx σ---+=+==????? (2) 2
22
200
(32)(32)[3(2)(2)]x D
x y d dx x y dy x x x dx σ-+=+=-+-????
?
2232022
20[224]4.33
0x x dx x x x =-++=-++=?
(3) 32
2
2
2
2
2
2
002193()()(
)248y
y D
y x y x d dy x y x dx y dy σ+-=+-=-?????
43219113.9686
0y y -= (4) 因为被积函数是关于y 的奇函数，且D 关于x 轴对称，所以20.D
x yd σ=??
(5) 4420104
1ln ln (ln ln )2(1)2110e D
e e e x yd dx x ydy x y y y dx x e σ-==-==-?????.
(6) 1222241113
11
122222
119()()124642
x x D
x x x x x x d dx dy dx x x dx y y y x σ==-=-=-=??
????.
2. 将二重积分(,)D
f x y d σ??化为二次积分（两种次序）其中积分区域D 分别如下：
(1) 以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形；
(2) 由直线y =x 及抛物线y 2
=4x 所围成的闭区域；
(3) 由直线y =x ,x =2及双曲线1
y x
=所围成的闭区域；
(4) 由曲线y =x 2
及y =1所围成的闭区域. 解：(1) 1
2
2120
1
(,)(,)(,).x
x y y
dx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx --+=????
??
(2) 2
441
004
(,)(,).y x y dx f x y dy dy f x y dx =??
??
(3) 12
2
2
2
1111
1
2
(,)(,)(,).x
y
y
x
dy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=??????
(4) 2111
1
(,)(,).x
dx f x y dy dy f x y dx -=???
3. 交换下列二次积分的积分次序：
(1) 10
(,)y
dy f x y dx ??； （2）22
20
(,)y
y
dy f x y dx ??；
(3) ln 10(,)e x
dx f x y dy ??
； (4) 12330
1
(,)(,)y y
dy f x y dx dy f x y dx -+????
.
解：(1) 11
1
(,)(,)y
x
dy f x y dx dx f x y dy =????.
(2) 22240
2(,)(,).y x y
dy f x y dx dx f x y dy =????
(3) ln 1
1
(,)(,)y e x
e
e
dx f x y dy dy f x y dx =??
??
(4) 1
233230
1
2
(,)(,)(,)y
y
x
x
dy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy --+=??
??
??.
4. 求由平面x =0,y =0,x =1,y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体体积.
解：11100037
(623)(62).22
V dx x y dy x dx =--=--=???
5. 求由平面x =0,y =0,x +y =1所围成的柱体被平面z =0及曲面x 2+y 2
=6－z 截得的立体体积.
解：31
11
2
2
2
00
0(1)34
(6)[6(1)(1)).312
x x V dx x y dy x x x dx --=--=----=??
?
习题8-3
1. 画出积分区域，把二重积分(,)D
f x y d σ??化为极坐标系下的二次积分,其中积分区域
D 是：
(1) x 2+y 2≤a 2 (a >0)； (2) x 2+y 2
≤2x ；
(3) 1≤x 2+y 2
≤4； (4) 0≤y ≤1－x ,0≤x ≤1.
解：(1) 20
(,)(cos ,sin ).a
D
f x y d d f r r rdr π
σθθθ=????
(2) 2cos 20
2
(,)(cos ,sin ).D
f x y d d f r r rdr π
θ
πσθθθ-=????
(3) 22
1
(,)(cos ,sin ).D
f x y d d f r r rdr πσθθθ=????
(4) 12
cos sin 0
(,)(cos ,sin ).D
f x y d d f r r rdr π
θθ
σθθθ+=????
2. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值： (1) 222200
()a
a y dy x y dx -+??
； (2) 21220
;x
x
dx x y dx +??
解：(1) 22
4422
3
2
()248
a
a y a
a a dy x y dx d r dr π
ππθ-+==?=
??
??
. (2) 22sin 3122244cos 6000
01sin 3cos x x dx x y dx d r dr d π
θπ
θθθθθ
+==????? 2444
66400011cos 111(cos )[(cos )(cos )]33cos cos cos d d d πππθθθθθθ
θ-=-=--??? 532(21)
1cos cos 4().3530
π
θθ--+=--
+= 3. 在极坐标系下计算下列二重积分：
(1)22x y D
e d σ+??,其中D 是圆形闭区域: x 2+y 2
≤1；
(2) 22ln(1)D
x y d σ++??,其中D 是由圆周x 2+y 2
=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭
区域；
(3) arctan
D
y d σx
??，其中D 是由圆周x 2+y 2=1,x 2+y 2
=4及直线y =0,y =x 所围成的在第一象限内的闭区域；
(4) 222D
R x y d σ--其中D 由圆周x 2
+y 2
=Rx (R >0)所围成.
解：(1) 2
2
2
221001
12(1).20
x
y r r D
e d d e rdr e e πσθππ+==?=-????
(2) 23
112
2
22220001ln(1)ln(1)[ln(1)]2201D
r r x y d d r rdr r dr r π
πσθ++=+=+-+?????
2
12
(1)[ln 22](2ln 21)4
4
1r r r dr r ππ+-=-=-+?
.
(3) 222244
010133arctan arctan(tan ).32264D
y d d rdr d rdr x ππππσθθθθ=?==?=??????
(4) 222
D
R x y d σ--3
cos 2
2
222
220
2
2cos 12()230R R d R r rdr R r d π
πθ
ππθθθ-
-=-=--??
? 3
333221(sin )33
R R R d π
ππθθ-=--=?.
4. 求由曲面z =x 2+y 2
与22z x y +所围成的立体体积.
解：两条曲线的交线为x 2+y 2
=1，因此，所围成的立体体积为：
21
222220
[()]().6
D
V x y x y d d r r rdr π
πσθ=++=-=
????
习题8-4
1. 计算反常二重积分()x y D
e dx dy -+??，其中D ：x ≥0,y ≥x .
2. 计算反常二重积分222
()
D
dx dy x y +??
，其中D ：x 2+y 2
≥1.
解：1. 222001()2
a a
a
a
x y
x
x a
a
a x e dx e dy e e
dx e e ---------=-=-+-??? 所以2()
211lim ().22a x y a a a D
e e dxdy e e --+--→+∞-=-+-=??
2. 由232011112()22R d dr r R πθπ=-??，得222211lim 2().2()2R D
dxdy x y R ππ→+∞=-=+??
复习题8
（A ）
1. 将二重积分d d (,)D
f x y x y ??化为二次积分(两种次序都要)，其中积分区域D 是：
(1) ︱x ︱≤1,︱y ︱≤2;
(2) 由直线y =x 及抛物线y 2
=4x 所围成. 解：(1) 1
2
2
1
1
2
2
1
(,)(,).dx f x y dy dy f x y dx ----=????
(2) 242400
4
(,)(,).x
y
y x
dx f x y dy dy f x y dx =??
??
2. 交换下列两次积分的次序： (1)d d 1
0(,)y y
y f x y x ??
;
(2)d d 2
220
(,)a ax x x f x y y -??
;
(3)d d +d d 1
2
20
1
(,)(,)x
x
x f x y y x f x y y -????．
解：(1) 21
1
00
d (,)d d (,)d y x y
x
y f x y x x f x y y =??
??.
(2) 2
22
22
2200
d (,)d d (,)d a
ax x a
a a y a a y x f x y y y f x y x -+---=??
??
.
(3) 1
2
21
20
1
d (,)d +d (,)d d (,)d x
x
y y
x f x y y x f x y y y f x y x --=??????
.
3. 计算下列二重积分：
(1) e d x y D
σ+??， D : ︱x ︱≤1,︱y ︱≤1;
(2) d d 2
D x
y x y ??,D 由直线y =1,x =2及y =x 围成；
(3) d d (1)D
x x y -??,D 由y =x 和y =x ３
围成；
(4) d d 2
2()D
x
y x y +??，D :︱x ︱+︱y ︱≤1;
(5) d 1sin D
y σy ??，D 由22y x π=与y =x 围成； (6)
d (4)D
x y σ--??，D 是圆域x 2＋y 2≤R 2
；
解: (1) 111
111121
1
1
11
e d ()()
()1
x y x y x x x x D
dx e dy e e dx e e e e σ+++-+----==-=-=--?????.
(2) 5322
224211121129d d ()()2253151x D
x x x y x y dx x ydy x x dx ==-=-=?????.
(3) 311
2430011117(1)d d (1)()325460x x D
x x y dx x dy x x x x dx -=-=--+=--+=-?????.
D
33241
2
0141212
4(2)4()3332333
0x x x x x x dx x =--+=--+=?.
(5) 22
2200sin 12sin d (sin sin )y y D
y y dy dx y y y dy y y πππσπ==-????? 22
2
2
2
2sin (cos )1(cos sin )10
ydy yd y y y y π
ππ
πππ
=+
=+
-=-??
. (6) 3
222
(4)d (4cos sin )[2(cos sin )]3
R D
R x y d r r rdr R d π
πσθθθθθθ--=--=-+?????
3
2
22[2(sin cos )]430
R R R πθθθπ=--=.
4. 已知反常二重积分e d 2
y D
x σ-??收敛，求其值．其中D 是由曲线y =4x 2与y =9x 2
在第一
象限所围成的区域．
解：设22
49(0)a D y x y x y a a ===>是由曲线、和在第一象限所围成.则
2
2
22220
0015555e
d ()236144144144
a
a
a a y y y y a D x dy dx ye dy e d y e σ-----==
?=--=-?????. 所以2
2
5e d lim
e d 144
a
y y
a D
D x x σσ--→+∞
==????. 5. 计算e d 2
x x +∞
--∞
?．
解：由第四节例2以及2
y =e x -
是偶函数，可知2
e d x x +∞
--∞
=?.
6. 求由曲面z =0及z =4-x 2-y 2
所围空间立体的体积．
解：曲面z =0和z =4-x 2-y 2的交线为x 2+y 2
=4.因此，所围空间立体的体积为：
22
2220016(4)d d (4)2(8)84D x y x y d r rdr πθππ--=-=-=????.
7. 已知曲线y =ln x 及过此曲线上点(e ，1）的切线e
y x 1
=．
(1) 求由曲线y =ln x ，直线e
y x 1
=和y =0所围成的平面图形D 的面积；
(2) 求以平面图形D 为底，以曲面z =e y
为顶的曲顶柱体的体积．
解：(1) 1ln (ln )12221e e e e
e S xdx x x x =-=--=-?.
(2) 221120013()(
)222
0y y
e y y y y y y e e V dy e dx e ye dy ye e ==-=-+=-???.
（B ）
1. 交换积分次序：
(1) 31
1
(,)x
x
dx f x y dy -??； （2）0
11
2
(,)y dy f x y dx --??
；
(3) 2
2
4(,)x x f x y dy -?
；
(4) 1
10
(,)dx f x y dy ?.
解：
(1) 31
1
1
(,)(,)x
x
y
dx f x y dy dy f x y dx -=???.
(3) 2
2
4240
2
(,)(,)(,)x x f x y dy dy f x y dx dy f x y dx -=+???.
(4) 2
1
112
1
(,)(,)(,)y dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx =+???
?.
2. 计算积分2
1
22
x x
x
dx dy x y
+??. 解：222
sin sin 144cos cos 2220
0000cos cos x
x
x r dx dy d rdr d dr x y r
π
θ
πθ
θθθθθθ==+?????? 40
sin ln 2
4(ln cos )cos 2
d ππ
θθθθ==-=?. 3. 计算积分1
122
01y
y dy dx x y ++??
.
解：111
114cos 4cos cos 22
2
20
000sin sin [sin ]111y
y r dy dx d rdr d dr dr x y r r ππθ
θθθθθθθ==-++++??
??
??? 4
4001ln 21(tan sin arctan )arctan (cos )cos 2cos d d π
π
θθθθθθ=-?=+??
令cos t θ=,则
原式211ln 21ln 21ln 211(arctan ln(12222
dt dt t t t t t =+=+=+++
ln 213ln 213ln ln 22242224
ππ=
+--=-. 4. 设函数f (x )在区间0,1????上连续，且1
()f x dx A =?，求1
1
()()x
dx f x f y dy ??. 解：设1
'()()()(1)(0)F x f x f x dx F F A ==-=?，则.
1
1111
()()()[(1)()](1)()()(())x
dx f x f y dy f x F F x dx F f x dx F x d F x =-=-?
????
21()111
(1)(1)[(1)(0)][(1)(0)](1)(1)(0)22220F x F A F A F F F F F A AF AF =-=--+=--
2
1[(1)(0)]22
A A F F =
-=. 5. 计算2D
x y d σ??，其中D 是由直线y =0,y =1及双曲线x 2－y 2
=1所围成的闭区域.
解：1
1
2
220
22(13D
x yd dy ydx y y σ==
+????
35
122222011122(1)(1)(1)1)33515
0y d y y =++=?+=?. 6. 计算2
22
y x
dx e dy ??.
解：2222222240000211
(1)22
0y y y y y x dx e dy dy e dx ye dy e e ====-?????.
7. 证明211()()d ()()d 1b x b
n n a a a
dx x y f y y b y f y y n ---=--???，其中n 为大于1的正整数. 证：22()()d ()()b x b b
n n a
a
a
y
dx x y f y y dy x y f y dx ---=-????
二重积分学习总结
高等数学论文 《二重积分学习总结》 姓名：徐琛豪 班级：安全工程02班 学号：1201050221 完成时间：2013年6月2日
二重积分 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 1 二重积分的概念与性质 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。 在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ??? 的分法要任意，二是在每个小区域i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。
高等数学知识点总结 (1)
高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （三） 空间直线及其方程 1、 一般式方程：?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=-
高等数学积分公式大全
常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +? ＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5．d () x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +? ＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2 d ()x x ax b +? ＝ 211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10．x C + 11．x ?＝2 2(3215ax b C a -+ 12．x x ?＝2223 2 (15128105a x abx b C a -+ 13．x ＝22 (23ax b C a - 14．2x ＝2223 2(34815a x abx b C a -+
15 ． ＝(0) (0) C b C b ?+>< 16 ． 2a b - 17 ．x ＝b +18 ．x ＝2a x -+ （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 20．22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21．22 d x x a -? =1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2(0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23．2 d x x ax b +? ＝2 1ln 2ax b C a ++ 24．22d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? 25．2d ()x x ax b +?＝2 2 1ln 2x C b ax b ++ 26．22d ()x x ax b +? ＝21d a x bx b ax b --+?
高等数学二重积分总结
第九章二重积分 【本章逻辑框架】 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。
在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ??? 的分法要任意，二是在每个小区域i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。 (2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d D f x y σ??的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D f x y σ??表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 (即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数 (,)f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小 值，再应用估值不等式得到取值范围。
高等数学微积分总结
积 分 整个高数课本,我们一共学习了不定积分,定积分,重积分(二重,三重),曲线积分(两类),曲面积分(两类).在此,我们对 积分总结,比较,以期同学们对积分有一个整体的认识. 一、不定积分 不定积分是微分的逆运算,其计算方法、各种技巧是我们后面各种积分计算的基础，希望同学们熟记积分公式，及各种 方法(两类换元,分部积分,有理函数积分等) 二、定积分 1.定义式: ()b a f x dx ? 2.定义域:一维区间,例如[,]a b 3.性质:见课本P 229-P 232 特殊:若 1f =,则()b a f x dx b a =-?,即区间长度. 4.积分技巧:奇偶对称性. 注意:定积分中积分变量可以任意替换即()()b b a a f x dx f y dy =? ?,而不定积分不具有这种性质. 5.积分方法:与不定积分的方法相同. 6.几何应用: 定积分的几何意义: ()b a f x dx ? 表示以()f x 为顶与x 轴所夹区域面积的代数和(注意如()0f x <,则面积为负); 其他应用:如 ()f x 表示截面积,则积分为体积;平面弧长 (b a f x ? 等. 三、二重积分 1.定义式: (,)xy D f x y d σ ?? 2.定义域:二维平面区域 3.性质:见下册课本P 77 特殊: 若 1f =,则(,)xy D f x y dxdy S =?? ,即S 为xy D 的面积. 4.坐标系: ①直角坐标系: X 型区域,Y 型区域 ②极坐标系:适用范围为圆域或扇形区域,注意坐标转换后不要漏掉r ,积分时一般先确定θ的范围,再确定r 的范围. 5.积分技巧:奇偶对称性(见后),质心; 6.几何应用: 二重积分的几何意义:若(,)0f x y ≥,则(,)xy D f x y dxdy ?? 表示以(,)f x y 为顶以xy D 为底的曲顶柱体体积; 其他应用:求曲面(,)z z x y =的面积xy D ?? 四、三重积分 1.定义式 (,,)f x y z dv Ω??? 2.定义域:三维空间区域; 3.性质:与二重积分类似; 特殊: 若 1f =,则(,,)f x y z dv V Ω =???,其中V 表示Ω的体积. 4.坐标系: ①直角坐标系:投影法,截面法(一般被积函数有一个自变量,而当该变量固定时所得截面 积易求时采用) ②柱坐标系:积分区域为柱形区域,锥形区域,抛物面所围区域时可采用; ③球坐标系:积分区域为球域或与球面相关的区域时,确定自变量范围时,先θ,后?,最后 r . 5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性(见后),质心等. 6.应用: (,,)f x y z 表示密度,则(,,)f x y z dv Ω ???为物体质量.(不考虑几何意义) 五、第一类曲线积分
高等数学习题详解-第8章二重积分
习题8-1 1. 设有一平面薄片，在xOy 平面上形成闭区域D ，它在点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y )，且μ(x ,y )在D 连续，试用二重积分表示该薄片的质量. 解：(,)D m x y d μσ=??. 2. 试比较下列二重积分的大小： (1) 2()D x y d σ+??与3()D x y d σ+??，其中D 由x 轴、y 轴及直线x +y =1 围成； (2) ln()D x y d σ+??与2 ln()D x y d σ+??????，其中D 是以A (1,0)，B (1,1)， C (2，0）为顶点的三角形闭区域. 解：(1)在D 内，()()2301x y x y x y ≤+≤+≥+，故，23()()D D x y d x y d σσ+≥+????. (2) 在D 内，212ln()1,ln()ln ()x y x y x y x y ≤+≤≤+≤+≥+，故0从而, 2 ln()[ln()]D D x y d x y d σσ+≥+???? 习题8-2 1. 画出积分区域，并计算下列二重积分： (1) ()D x y d σ+??，其中D 为矩形闭区域：1,1x y ≤≤； (2) (32)D x y d σ+??，其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭
区域； (3) 22()D x y x d σ+-??,其中D 是由直线y =2,y =x ,y =2x 所围成的闭区 域； (4) 2 D x y d σ??,其中D 是半圆形闭区域:x 2+y 2≤4,x ≥0； (5) ln D x y d σ??,其中D 为:0≤x ≤4,1≤y ≤e ； (6) 22D x d σy ??其中D 是由曲线11,,2 xy x y x ===所围成的闭区域. 解：(1) 111 111()()20.D x y d dx x y dy xdx σ---+=+==????? (2) 222 200 (32)(32)[3(2)(2)]x D x y d dx x y dy x x x dx σ-+=+=-+-????? 2232022 20[224]4.33 0x x dx x x x =-++=-++=? (3) 32 2 2 2 2 2 2 002193()()()248y y D y x y x d dy x y x dx y dy σ+-=+-=-????? 43219113 .9686 0y y -= (4) 因为被积函数是关于y 的奇函数，且D 关于x 轴对称， 所以20.D x yd σ=?? (5) 44 201041ln ln (ln ln )2(1)2110 e D e e e x yd dx x ydy x y y y dx x e σ-==-==-?????.
高等数学积分公式大全
常 用 高 数 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝ 1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +?＝1 1() (1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝ 2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2 d x x ax b +? ＝ 22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d () x x ax b +? ＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +? ＝2 1ln a ax b C bx b x +- ++ 7．2 d () x x ax b +? ＝2 1(ln )b ax b C a ax b ++ ++ 8．2 2 d () x x ax b +? ＝ 2 3 1(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+- ++ 9．2 d () x x ax b +? ＝ 2 11ln () ax b C b ax b b x +- ++ 的积分 10．x ? C 11．x ?＝2 2 (3215ax b C a -+ 12．x x ?＝ 2 2 2 3 2(15128105a x abx b C a -+ 13．x ? ＝ 2 2(23ax b C a -+
14 ．2 x ? ＝ 222 3 2(34815a x abx b C a -++ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>?的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ? +>? ? ? +< 23．2 d x x ax b +? ＝ 2 1ln 2ax b C a ++
(完整)高等数学常用积分公式查询表
导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高等数学积分公式大全
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2 d () x x ax b +? ＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++
9． 2 d () x x ax b +? ＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 ． x ? C + 11 ．x ? ＝2 2 (3215ax b C a - 12 ．x x ? ＝2223 2(15128105a x abx b C a -++ 13 ． x ? ＝22 (23ax b C a - 14 ． 2x ? ＝222 3 2(34815a x abx b C a -++ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? ＝2a bx b -- 17 ． x ? ＝b ?18． 2d x x ? ＝2a + （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a +
高数二重积分习题解答
第9章 重积分及其应用 1．用二重积分表示下列立体的体积： (1) 上半球体：2222{(,,)|;0}x y z x y z R z ++≤≥； (2) 由抛物面222z x y =--，柱面x 2+y 2=1及xOy 平面所围成的空间立体 解答：(1) 222d ,{(,)|}D V x y D x y x y R ==+≤； (2) 2222(2)d d ,{(,)|1}D V x y x y D x y x y =--=+≤?? 所属章节：第九章第一节 难度：一级 2．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： (1) D σ，其中D 为222x y a +≤； (2) (D b σ??，其中D 为222,0x y a b a +≤>> 解答：(1) 32 π3D a σ=； (2) 232 (ππ3D b a b a σ=-?? 所属章节：第九章第一节 难度：一级 3．一带电薄板位于xOy 平面上，占有闭区域D ，薄板上电荷分布的面密度为(,)x y μμ=，且 (,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表示该板上的全部电荷Q ． 解答：(,)d D Q x y μσ=?? 所属章节：第九章第一节 难度：一级 4．将一平面薄板铅直浸没于水中，取x 轴铅直向下，y 轴位于水平面上，并设薄板占有xOy
平面上的闭区域D ，试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力 解答：d D p g x ρσ=?? 所属章节：第九章第一节 难度：一级 5．利用二重积分性质，比较下列各组二重积分的大小 (1) 21()d D I x y σ=+??与32()d D I x y σ=+??，其中D 是由x 轴，y 轴及直线x +y =1所围成的区域； (2) 1ln(1)d D I x y σ=++??与222ln(1)d D I x y σ=++??，其中D 是矩形区域：0≤x ≤1，0≤y ≤1； (3) 21sin ()d D I x y σ=+??与22()d D I x y σ=+??，其中D 是任一平面有界闭区域； (4) 1e d xy D I σ=??与22e d xy D I σ=??，其中D 是矩形区域：–1≤x ≤0，0≤y ≤1； 解答：(1) 在区域D 内部，1x y +<，所以I 1>I 2； (2) 在区域D 内部，22,x x y y <<，故22ln(1)ln(1)x y x y ++<++，所以 I 1>I 2；？ (3) 由于22sin ()()x y x y +<+，所以I 1，所以I 1>I 2 所属章节：第九章第一节 难度：一级 6．利用二重积分性质，估计下列二重积分的值 (1) d ,{(,)|04,08}ln(4) D I D x y x y x y σ ==≤≤≤≤++?? ； (2) 2222π3πsin()d ,(,)44D I x y D x y x y σ? ?=+=≤+≤??????； (3) 22 1 d ,{(,)|||||1}100cos cos D I D x y x y x y σ==+≤++?? ； (4) 2 2 221e d ,(,)4x y D I D x y x y σ+? ?==+≤??? ???
高等数学(二重积分与微分练习)
一、 微分学计算题 1、设二元函数)ln(y x x z +=，则y x z ???2=_________. 2、函数y x z =在点(2, 1)处的全微分d z =____________________. 3、三元函数zx yz xy u ++=的全微分为 。 4、设),(t s f 可微，),(2322y x y x f u -=，求x u ??、y u ??。 5、设),(y x f z =由方程y z z x ln =所确定,求偏导数.,y z x z ???? 6、设)(22xy x y z ?+=，?为可微的函数，求证02322=+??-??y y z xy x z x 7、求函数x y x y x z 9332233-++-=的极值。 8、已知 2242(3),x y Z Z Z x y x y +??=+??设求 和 二、积分学计算题 1、交换二次积分??x x dy y x f dx 2),(10的顺序，??x x dy y x f dx 2 ),(10= 2、二次积分的顺序，??-=x dy y x f dx 1010),( 3、计算二重积分dxdy y x D ??22，其中D 是曲线x y =、1=xy 及2=x 围成。 4、计算2d d D xy x y ??，其中D 是由直线y =x , x =1及y =0围成的区域． 5、求由曲线轴轴和及 3,4,2y x x y x y ===围成的平面图形的面积. 6、求抛物线y x 22=与直线4-=y x 所围成的平面图形的面积。 7、已知生产某产品x 单位的边际收入为x x R 2100)(-='（元/单位），求生产40单位时的总收入及平均收入，并求再多生产10单位时所增加的总收入。 三、1、求方程2/5)1(12+=+-x x y dx dy 的通解及满足条件00==x y 的特解.
常用微积分公式大全
常用微积分公式大全 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
常用微积分公式 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.
公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数） 例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以 （为任意常数） 例3 求不定积分.
高等数学重积分总结
第九章 二重积分 【本章逻辑框架】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。 在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ???的分法要任意，二是在每个小区域i σ?上的点 (,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各 小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。
(1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以(,)f x y 为曲 顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ??表示平面区域D 的面积。 (2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分 (,)d D f x y σ??的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d D f x y σ??表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy 平面之上 的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积). 3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数(,)f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小值，再应用估值不等式得到取值范围。 【主要概念梳理】 1.二重积分的定义 设二元函数f(x,y)在闭区域D 上有定义且有界. 分割 用任意两组曲线分割D 成n 个小区域12,,,n σσσ???，同时用i σ?表示它们的面积，1,2,,.i n =其中任意两小块i σ?和()j i j σ?≠除边界外无公共点。 i σ?既表示第i 小块,又表示第i 小块的面积. 近似、求和 对任意点(,)i i i ξησ∈? ,作和式1 (,).n i i i i f ξησ=?∑ 取极限 若i λ为i σ?的直径，记12max{,,,}n λλλλ=,若极限0 1 lim (,)n i i i i f λξησ→=?∑ 存在，且它不依赖于区域D 的分法，也不依赖于点(,)i i ξη的取法，称此极限为f (x,y )在D 上的二重积分. 记为
高等数学二重积分总结.讲解学习
高等数学二重积分总 结.
第九章二重积分 【本章逻辑框架】 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的
质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。 在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12, , , n σσσ??? 的分法要任意，二是在每个 小区域i σ?上的点(, i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”， 如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(, f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1 若在D 上(, f x y ≥0，则(, d D f x y σ??表示以区域D 为底，以 (, f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(, f x y ＝1时，(, d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。 (2 若在D 上(, f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(, d D f x y σ??的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3若(, f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(, d D f x y σ??表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 (即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积.
高等数学一微积分考试必过归纳总结要点重点
全书内容可粗分为以下三大部分：第一部分函数极限与连续（包括级数） 第二部分导数及其应用（包括多元函数） 第三部分积分计算及其应用（包括二重积分和方程） 第一部分函数极限与连续 一、关于函数概念及特性的常见考试题型： 1、求函数的自然定义域。 2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。 3、求反函数。 4、求复合函数的表达式。 二、极限与连续 常见考试题型： 1、求函数或数列的极限。 2、考察分段函数在分段点处极限是否存在，函数是否连续。 3、函数的连续与间断。 4、求函数的渐进线。 5、级数的性质及等比级数。 6、零点定理。 每年必有的考点 第三部分导数微分及其应用 常见考试题型： 1、导数的几何意义； 2、讨论分段函数分段点的连续性与可导性。 3、求函数的导数：复合函数求导，隐含数求导，参数方程求导； 4、讨论函数的单调性和凹凸性，求曲线的拐点； 5、求闭区间上连续函数的最值； 6、实际问题求最值。 每年必有的考点 第四部分积分计算及应用 考试常见题型 1、不定积分的概念与计算； 2、定积分的计算； 3、定积分计算平面图形的面积； 4、定积分计算旋转体的体积； 5、无穷限反常积分 6、二重积分 7、微分方程 最近几年考题中，积分计算的题目较多，而且也有一定的难度。
第一部分 函数极限与连续 一、关于函数概念及特性的常见考试题型： 1、求函数的自然定义域。 2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。 3、求反函数。 4、求复合函数的表达式。 例1..函数 ___________. 知识点：定义域 约定函数的定义域是使函数的解析表达式有意义的一切实数所构成的数集。 解 要使根式函数有意义必须满足23log log 0x ≥， 要使23log log 0x ≥成立， 只有3log 1x ≥，即3x ≥. 注：我们所求定义域的函数一般都是初等函数，而初等函数：由基本初等函数，经过有限次的 ＋－×÷运算及有限次的复合得到的函数称为初等函数。这就需要我们把基本初等函数的定义域、值域等搞清楚。 基本初等函数的性质与图形如下表所示(T 表周期)：
最全高等数学导数和积分公式汇总表
高等数学导数及积分公式汇总表 一、导数公式 1．幂函数 0='c 1)(-='n n nu u 2．指数函数 a a a u u ln )(=' e e e u u ln )(=' 3．对数函数 a u a u ln 1 )(log =' u u 1)(ln = ' 4．三角函数 u u cos )(sin =' u u sin )(cos -=' u u 2sec )(tan =' u u 2csc )(cot -=' u u u tan sec )(sec =' u u u cot csc )(csc -=' 5．反三角函数 2 11)(arcsin u u -= ' 2 11)(arccos u u -- =' 11)(arctan u u +=' 11)cot (u u arc +-=' 6．其他 1='u 2 11)(u u -=' u u 21)(= ' 2 3 21 1 )( u u - =' 2 2 )(22a u u a u ±= '± 二、积分公式 1．幂函数 C du =?0 C u du u n n n += ++?11 1 2．指数函数 C e du e u u +=? C du a a a u u += ?ln 3．有关对数 C u du +=? ln 4．三角函数 C u udu +-=?cos sin C u udu +=?sin cos C u udu +=?tan sec 2 C u udu +-=?cot csc 2 C u udu u +=?sec tan sec C u udu u +-=?csc cot csc C u udu +-=?cos ln tan C u udu +=?sin ln cot C u u udu ++=?tan sec ln sec C u u udu +-=?cot csc ln csc 5．反三角函数 C a u u a u du +±+=? ±22ln 2 2 C a u u a du +=?-arcsin 2 2 C u a u a a u a du += -+-?ln 212 2 C a u a u a du +=? +arctan 12 2 6．其他 C u u du +-=? 12 C u du u +=? 23 3 2 C u du u +=? 2 1 21 C u u udu +-=? -222 2 C u u udu ++=? +2 2111ln 2
高等数学常用积分公式查询表
导数公式： 基本积分表： 1．d x ax b +?＝1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝21(ln )ax b b ax b C a +-++ 5．d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2d ()x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 10 ．x C 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 21．22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ 23．2d x x ax b +?＝21ln 2ax b C a ++ 24．2 2d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? a x x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22='='?-='?='-='='222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x x x x x +-='+='--='-='
31． 1arsh x C a +＝ln(x C + 32． ＝C + 33． x ＝C 34． x ＝C + 35．2 x ＝2ln(2a x C -++ 39． x 2 ln(2a x C +++ 43．x a C + 44．2d x x ?＝ln(x C +++ 47． x ＝C 53．x 2 ln 2 a x C 57．x ＝arccos a a C x + 59． arcsin x C a + 61． x ＝C
高数积分公式大全
12. （一）含有ax b 的积分（a 1 . dx 1 ax b a =-In ax b 2. 3. 4. 5. 6. 7. 9. 10. 11. 13. 常用积分公式 0) 1 (ax b) dx = a( 1) x 1 dx = -^(ax b ax b a 丄dx =丄 ax b a 3 (ax bln b)2 b) ax b) C 2b(ax b) b 2ln ax b dx x( ax b) dx x 2(ax b) x 2dx (ax b) 2 (^dx 1ln b 1 bx ax ax b 1 = -r(ln a ax b ax b ) 2bln ax b b 2 ax b ) C dx 2 x(ax b) b(ax b) 含有.ax b 的积分 1 2 In b 2 ax b Tax~ dx = — T(ax~b)3 3a x 、、ax bdx = -^(3ax 2b 15a x 2 . ax bdx = ^^(15a 2x 2 12abx 8b 2) ., (ax b)3 C 105a ).(ax b)3 C x 2 - d x = -- 2 (ax 2b)、ax b C ，ax b 3a 2
2 15a 3 dx x ￥ ax b dx x 21 ax b ax b. dx = (3a 2x 2 4abx 8b 2)、、ax b ■, ax b 、. ； b .ax b .b A C (b (b 0) 0) bx 2b x 丫 ax b 2 ax b dx x, ax b ax b , 2 dx = x a dx 2 x 、ax b 14. 15. 16. 17. 18. (三) 19. 20. 21 . (四) 22. 23.
高数微积分公式大全
高等数学微积分公式大全 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μ μμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿( )1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= + ⒃()2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ '=二、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 三、高阶导数的运算法则 （1）()()() () () ()()n n n u x v x u x v x ±=±???? （2）()() ()()n n cu x cu x =???? （3）()()() ()n n n u ax b a u ax b +=+???? （4）()()() ()()()()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=????∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）() () !n n x n = （2）() () n ax b n ax b e a e ++=? (3)() () ln n x x n a a a = (4)()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ?? (5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ????? (6)() () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +??? =- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1 d x x dx μ μμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2 tan sec d x xdx = ⑹()2 cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =? ⑻()csc csc cot d x x xdx =-?