高等数学习题详解-第8章 二重积分说课讲解
习题8-1
1. 设有一平面薄片,在xOy 平面上形成闭区域D ,它在点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y ),且μ(x ,y )在D 连续,试用二重积分表示该薄片的质量. 解:(,)D
m x y d μσ=??.
2. 试比较下列二重积分的大小:
(1) 2()D
x y d σ+??与3()D
x y d σ+??,其中D 由x 轴、y 轴及直线x +y =1围成;
(2)
ln()D
x y d σ+??与2
ln()D
x y d σ+?
?????,其中D 是以A (1,0),B (1,1),C (2,0)为顶点的三角形闭区域.
解:(1)在D 内,()()23
01x y x y x y ≤+≤+≥+,故,23()()D
D
x y d x y d σσ+≥+????.
(2) 在D 内,212ln()1,ln()ln ()x y x y x y x y ≤+≤≤+≤+≥+,故0从而, 2
ln()[ln()]D
D
x y d x y d σσ+≥+????
习题8-2
1. 画出积分区域,并计算下列二重积分:
(1) ()D
x y d σ+??,其中D 为矩形闭区域:1,1x y ≤≤;
(2) (32)D
x y d σ+??,其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭区域;
(3) 2
2()D x
y x d σ+-??,其中D 是由直线y =2,y =x ,y =2x 所围成的闭区域;
(4) 2D
x y d σ??,其中D 是半圆形闭区域:x 2+y 2≤4,x ≥0;
(5) ln D
x y d σ??,其中D 为:0≤x ≤4,1≤y ≤e ;
(6)
22D
x d σy ??其中D 是由曲线11,,2xy x y x ===所围成的闭区域. 解:(1) 1
1
1
1
1
1
()()20.D
x y d dx x y dy xdx σ---+=+==????? (2) 2
22
200
(32)(32)[3(2)(2)]x D
x y d dx x y dy x x x dx σ-+=+=-+-????
?
2232022
20[224]4.33
0x x dx x x x =-++=-++=?
(3) 32
2
2
2
2
2
2
002193()()(
)248y
y D
y x y x d dy x y x dx y dy σ+-=+-=-?????
43219113.9686
0y y -= (4) 因为被积函数是关于y 的奇函数,且D 关于x 轴对称,所以20.D
x yd σ=??
(5) 4420104
1ln ln (ln ln )2(1)2110e D
e e e x yd dx x ydy x y y y dx x e σ-==-==-?????.
(6) 1222241113
11
122222
119()()124642
x x D
x x x x x x d dx dy dx x x dx y y y x σ==-=-=-=??
????.
2. 将二重积分(,)D
f x y d σ??化为二次积分(两种次序)其中积分区域D 分别如下:
(1) 以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形;
(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成的闭区域;
(3) 由直线y =x ,x =2及双曲线1
y x
=所围成的闭区域;
(4) 由曲线y =x 2及y =1所围成的闭区域. 解:(1) 1
2
2120
1
(,)(,)(,).x
x y y
dx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx --+=????
??
(2) 2
441
004
(,)(,).y x y dx f x y dy dy f x y dx =??
??
(3) 12
2
2
2
1111
1
2
(,)(,)(,).x
y
y
x
dy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=??????
(4) 2111
1
(,)(,).x
dx f x y dy dy f x y dx -=???
3. 交换下列二次积分的积分次序:
(1) 10
(,)y
dy f x y dx ??; (2)22
20
(,)y
y
dy f x y dx ??;
(3) ln 10(,)e x
dx f x y dy ??
; (4) 12330
1
(,)(,)y y
dy f x y dx dy f x y dx -+????
.
解:(1) 11
1
(,)(,)y
x
dy f x y dx dx f x y dy =????.
(2) 22240
2(,)(,).y x y
dy f x y dx dx f x y dy =????
(3) ln 1
1
(,)(,)y e x
e
e
dx f x y dy dy f x y dx =??
??
(4) 1
233230
1
2
(,)(,)(,)y
y
x
x
dy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy --+=??
??
??.
4. 求由平面x =0,y =0,x =1,y =1所围成的柱体被平面z =0及2x +3y +z =6截得的立体体积.
解:11100037
(623)(62).22
V dx x y dy x dx =--=--=???
5. 求由平面x =0,y =0,x +y =1所围成的柱体被平面z =0及曲面x 2+y 2=6-z 截得的立体体积.
解:3111222
000(1)34(6)[6(1)(1)).312x x V dx x y dy x x x dx --=--=----=???
习题8-3
1. 画出积分区域,把二重积分(,)D
f x y d σ??化为极坐标系下的二次积分,其中积分区域D
是:
(1) x 2+y 2≤a 2 (a >0); (2) x 2+y 2≤2x ;
(3) 1≤x 2+y 2≤4; (4) 0≤y ≤1-x ,0≤x ≤1. 解:(1) 20
(,)(cos ,sin ).a
D
f x y d d f r r rdr πσθθθ=??
??
(2) 2cos 20
2
(,)(cos ,sin ).D
f x y d d f r r rdr π
θ
πσθθθ-=??
??
(3) 22
1
(,)(cos ,sin ).D f x y d d f r r rdr πσθθθ=??
??
(4)
12
cos sin 0
(,)(cos ,sin ).D
f x y d d f r r rdr πθθ
σθθθ+=???
?
2. 把下列积分化为极坐标形式,并计算积分值:
(1)
22
220
()a
a y dy x y dx -+?
?
;
(2)
21
220
;x
x
dx x y dx +?
?
解:(1)
22
442
2
3
20
()248a
a y a
a a dy x y dx d r dr πππθ-+==?=
?
???
. (2) 22sin 3122244cos 6000
01sin 3cos x x dx x y dx d r dr d π
θπ
θθθθθ
+==?????
2444
66400011cos 111(cos )[(cos )(cos )]33cos cos cos d d d πππθθθθθθ
θ-=-=--??? 532(21)
1cos cos 4().3530
π
θθ--+=--
+= 3. 在极坐标系下计算下列二重积分:
(1)22
x y D
e d σ+??,其中D 是圆形闭区域: x 2+y 2≤1;
(2) 2
2ln(1)D
x
y d σ++??,其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭
区域;
(3)
arctan
D
y
d σx
??,其中D 是由圆周x 2+y 2=1,x 2+y 2=4及直线y =0,y =x 所围成的在第一象限内的闭区域;
(4)
222D
R x y d σ--其中D 由圆周x 2+y 2=Rx (R >0)所围成.
解:(1) 2
2
2
221001
12(1).20
x
y r r D
e d d e rdr e e πσθππ+==?=-????
(2)
231
12
2
2
22
2
1ln(1)ln(1)[ln(1)]22
1D
r r x
y d d r rdr r dr r
ππσθ++=+=+-+???
?? 2
12
(1)[ln 22](2ln 21)4
4
1r r r dr r
ππ+-=-=-+?. (3) 22224
4010133arctan arctan(tan ).32264D
y d d rdr d rdr x ππππσθθθθ=?==?=??????
(4)
222
D
R x y d σ--3cos 2
2
2
22220
2
2cos 12()230R R d R r rdr R r d π
πθ
ππθθθ--=-=--??
?
3
333221(sin )33
R R R d π
ππθθ-=--=?.
4. 求由曲面z =x 2+y 2与22z x y =+所围成的立体体积.
解:两条曲线的交线为x 2+y 2=1,因此,所围成的立体体积为:
21
222220
[()]().6
D
V x y x y d d r r rdr π
πσθ=++=-=
????
习题8-4
1. 计算反常二重积分()x y D
e dx dy -+??,其中D :x ≥0,y ≥x .
2. 计算反常二重积分222
()
D
dx dy
x y +??
,其中D :x 2+y 2≥1. 解:1.
2220
1()2
a a
a
a
x y
x x a
a
a x
e dx e
dy e
e
dx e e ---------=-=-+-?
??
所以2()
211
lim ().22
a x y a a a D
e e
dxdy e e --+--→+∞-=-+-=??
2. 由232011112()22R d dr r R πθπ=-??,得222211lim 2().2()2R D
dxdy x y R ππ→+∞=-=+??
复习题8
(A )
1. 将二重积分d d (,)D
f x y x y ??化为二次积分(两种次序都要),其中积分区域D 是:
(1) ︱x ︱≤1,︱y ︱≤2;
(2) 由直线y =x 及抛物线y 2=4x 所围成. 解:(1) 1
2
2
1
1
2
2
1
(,)(,).dx f x y dy dy f x y dx ----=????
(2) 242400
4
(,)(,).x
y
y x
dx f x y dy dy f x y dx =??
??
2. 交换下列两次积分的次序: (1)d d 1
0(,)y
y
y f x y x ??
;
(2)d d 2
220
(,)a ax x x f x y y -??
;
(3)d d +d d 12
20
1
(,)(,)x
x
x f x y y x f x y y -????.
解:(1) 21
1
d (,)d d (,)d y x y
x
y f x y x x f x y y =?
?
??.
(2) 2
22
22
2200
d (,)d d (,)d a
ax x a
a a y a a y x f x y y y f x y x -+---=??
??
.
(3)
1
2
21
20
1
d (,)d +d (,)d d (,)d x
x
y y
x f x y y x f x y y y f x y x --=?
?????
.
3. 计算下列二重积分:
(1) e d x y D
σ+??, D : ︱x ︱≤1,︱y ︱≤1;
(2) d d 2
D x
y x y ??,D 由直线y =1,x =2及y =x 围成;
(3) d d (1)D
x x y -??,D 由y =x 和y =x
3
围成;
(4) d d 22()D
x y x y +??
,D :︱x ︱+︱y ︱≤1; (5) d 1sin D
y σy ??,D 由22y x π=与y =x 围成; (6)
d (4)D
x y σ--??,D 是圆域x 2+y 2≤R 2;
解: (1) 111
1111
2111
11e d ()()()1
x y x y x x x x D
dx e dy e e dx e e e e σ+++-+----==-=-=--?????.
(2)
532
22
2
42
1
1
121129d d ()()225315
1x
D
x x x
y x y dx x ydy x x dx ==-=-=????
?.
(3) 311
2430011117(1)d d (1)()325460x x D
x x y dx x dy x x x x dx -=-=--+=--+=-?????.
(4)
1122
220
()d d 4()x
D
x y x y dx x y dy -+=+????
33241
20141212
4(2)4()3332333
0x x x x x x dx x =--
+=--+=?. (5) 22
2200sin 12sin d (sin sin )y y D
y y dy dx y y y dy y y πππσπ==-?????
22
2
2
2
2sin (cos )1(cos sin )10
ydy yd y y y y π
ππ
πππ
=+
=+
-=-??
. (6)
3
222
00
(4)d (4cos sin )[2(cos sin )]3
R
D
R x y d r r rdr R d π
πσθθθθθθ--=--=-+???
??
3
2
22[2(sin cos )]430
R R R πθθθπ=--=.
4. 已知反常二重积分e d 2
y D
x σ-??收敛,求其值.其中D 是由曲线y =4x 2与y =9x 2在第一
象限所围成的区域.
解:设22
49(0)a D y x y x y a a ===>是由曲线、和在第一象限所围成.则
2
2
22220
0015555e
d ()236144144144
a
a
a a y y y y a D x dy dx ye dy e d y e σ-----==
?=--=-?????. 所以2
2
5e d lim
e d 144
a
y y
a D
D x x σσ--→+∞
==????. 5. 计算e d 2
x x +∞
--∞
?.
解:由第四节例2以及2
y =e x -
是偶函数,可知2
e d x x +∞
--∞
=?.
6. 求由曲面z =0及z =4-x 2-y 2所围空间立体的体积.
解:曲面z =0和z =4-x 2-y 2的交线为x 2+y 2 =4.因此,所围空间立体的体积为:
22
2220016(4)d d (4)2(8)84D x y x y d r rdr πθππ--=-=-=????.
7. 已知曲线y =ln x 及过此曲线上点(e ,1)的切线e
y x 1
=.
(1) 求由曲线y =ln x ,直线e
y x 1
=和y =0所围成的平面图形D 的面积;
(2) 求以平面图形D 为底,以曲面z =e y 为顶的曲顶柱体的体积.
解:(1) 1ln (ln )1222
1e e e e
e S xdx x x x =-=--=-?.
(2) 221
1
20
013()()222
0y y e y
y
y
y y y
e e V dy e dx e ye dy ye e ==-=-+=-??
?.
(B )
1. 交换积分次序:
(1) 31
1
(,)x
x
dx f x y dy -??; (2)0
11
2
(,)y dy f x y dx --??
;
(3) 2
2
4(,)x x f x y dy -?
;
(4) 1
10
(,)dx f x y dy ?.
解:
(1) 31
1
1
(,)(,)x x
y
dx f x y dy dy f x y dx -=???.
(2) 0110
1
2
2
1(,)(,)y
x
dy f x y dx dx f x y dy ---=??
??
.
(3) 2
2
42402
(,)(,)(,)x x f x y dy dy f x y dx dy f x y dx -=+???.
(4) 2
1
112
1
(,)(,)(,)y dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx =+???
?.
2. 计算积分2
1
2
2
x x
x
dx dy x y +??.
解:222
sin sin 144cos cos 222
0000cos cos x
x
x r dx dy d rdr d dr x y r πθπθ
θθθθθθ==+?????? 40
sin ln 2
4(ln cos )cos 2
d ππ
θθθθ==-=?. 3. 计算积分1
12
2
01y
y dy dx x y ++??
.
解:111
114cos 4cos cos 22
22
000sin sin [sin ]111y
y r dy dx d rdr d dr dr x y r r ππθ
θθθθθθθ==-++++??
??
??? 4
4001ln 21(tan sin arctan )arctan (cos )cos 2cos d d π
π
θθθθθθ=-?=+??
令cos t θ=,则
原式211ln 21ln 21ln 211(arctan ln(12222
dt dt t t t t t =+=+=+++
ln 213ln 213ln ln 22242224
ππ=
+--=-. 4. 设函数f (x )在区间0,1????上连续,且1
()f x dx A =?,求1
1
()()x
dx f x f y dy ??. 解:设1
'()()()(1)(0)F x f x f x dx F F A ==-=?,则.
1
1
1
1
1
()()()[(1)()](1)()()(())x
dx f x f y dy f x F F x dx F f x dx F x d F x =-=-?
????
21()111
(1)(1)[(1)(0)][(1)(0)](1)(1)(0)22220F x F A F A F F F F F A AF AF =-=--+=--
2
1[(1)(0)]22
A A F F =-=. 5. 计算2D
x y d σ??,其中D 是由直线y =0,y =1及双曲线x 2-y 2=1所围成的闭区域.
解:1
1
2
220
22(13D
x yd dy ydx y y σ==
+????
35
122222011122(1)(1)(1)1)33515
0y d y y =++=?+=?. 6. 计算2
22
y x
dx e dy ??.
解:2222222240000211
(1)220y y y y y x dx e dy dy e dx ye dy e e ====-?????.
7. 证明211()()d ()()d 1b x b
n n a a a
dx x y f y y b y f y y n ---=--???,其中n 为大于1的正整数. 证:22()()d ()()b x b b
n n a
a
a
y
dx x y f y y dy x y f y dx ---=-????
1
1
()()1
b
n b y
a
x y f y dy n -=--?
11()()d 1b
n a
b y f y y n -=
--?
高数不定积分例题
不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-,则=)(x f ( ) A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析:因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案:B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(,则=)(x f ( ) A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析:对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=,所以= )(x f x x cos 答案:C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析:利用基本积分公式积分运算性质进行积分,注意在计算时,对被积函数要进行适当的变形 解:1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分
1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析:注意到这几个被积函数都是复合函数,对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法,在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=,设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解:1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析:注意到这些积分都不能用换元积分法,所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及u ,v '的选择可以参照下列步骤①凑微分,从被积函数中选择恰当的部分作为dx v ',即dv dx v =',使积分变为?udv ;②代公式,?udv ?-=vdu uv ,计算出dx u du '=;③计算积分?vdu 解:?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (
二重积分学习总结
高等数学论文 《二重积分学习总结》 姓名:徐琛豪 班级:安全工程02班 学号:1201050221 完成时间:2013年6月2日
二重积分 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质,了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系,会用性质比较二重积分的大小,估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限,如何改换二次积分的积分次序,并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法,会求由曲面围成的空间区域的体积。 1 二重积分的概念与性质 1.二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义,必须首先引入二重积分的两个“原型”,一个是几何的“原型”-曲顶柱体的体积如何计算,另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发,对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。 在二重积分的定义中,必须要特别注意其中的两个“任意”,一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ??? 的分法要任意,二是在每个小区域i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”,如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限,才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2.明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0,则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底,以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地,当(,)f x y =1时,(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。
高等数学知识点总结 (1)
高等数学(下)知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1) 椭圆锥面:2 2 222z b y a x =+ 2) 椭球面:122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面:1222222=++c z a y a x 3) 单叶双曲面:122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面:1222222=--c z b y a x 4) 椭圆抛物面:z b y a x =+2222 双曲抛物面(马鞍面):z b y a x =-22 22 5) 椭圆柱面:1222 2=+b y a x 双曲柱面:122 22=-b y a x 6) 抛物柱面: ay x =2 (二) 平面及其方程 1、 点法式方程: 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量:),,(C B A n =ρ ,过点),,(000z y x 2、 一般式方程: 0=+++D Cz By Ax 截距式方程: 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角:),,(1111C B A n =ρ,),,(2222C B A n =ρ, ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ;?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离: (三) 空间直线及其方程 1、 一般式方程:?????=+++=+++0 022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式(点向式)方程: p z z n y y m x x 0 00-=-=-
完整word版,高等数学考研辅导练习题不定积分定积分及常微分方程
《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1. 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2. 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+,求()01f x x <<。 3. 设 2 ()f x dx x C =+?,则2(1)xf x dx -=? 。 4. 计算 3。 5。 计算。 6. 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8. 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10. 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11. 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12. 设()arcsin xf x dx x C =+? ,则 1 () dx f x =? 。 13. 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-,且(())ln f x x ?=,求()x dx ??。 14. 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15. 计算x 。 16. 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17. 计算ln t tdt α ? 。 18. 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1.设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??,求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2. 设1 ()2()f x x f x dx =+? ,则()f x = 。 3. 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4. 已知()f x 连续,且满足()()1f x f x -=,则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?= 。
高等数学二重积分总结
第九章二重积分 【本章逻辑框架】 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质,了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系,会用性质比较二重积分的大小,估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限,如何改换二次积分的积分次序,并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法,会求由曲面围成的空间区域的体积。 9.1 二重积分的概念与性质 【学习方法导引】 1.二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义,必须首先引入二重积分的两个“原型”,一个是几何的“原型”-曲顶柱体的体积如何计算,另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发,对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。
在二重积分的定义中,必须要特别注意其中的两个“任意”,一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ??? 的分法要任意,二是在每个小区域i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”,如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限,才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2.明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0,则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底,以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地,当(,)f x y =1时,(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。 (2) 若在D 上(,)f x y ≤0,则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方,二重积分(,)d D f x y σ??的值是负的,其绝对值为该曲顶柱体的体积 (3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的,在D 的另一些子区域上为负的,则(,)d D f x y σ??表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和 (即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积). 3.二重积分的性质,即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个二重积分的大小,估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围,在用估值不等式对一个二重积分估值的时候,一般情形须按求函数 (,)f x y 在闭区域D 上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小 值,再应用估值不等式得到取值范围。
高等数学微积分总结
积 分 整个高数课本,我们一共学习了不定积分,定积分,重积分(二重,三重),曲线积分(两类),曲面积分(两类).在此,我们对 积分总结,比较,以期同学们对积分有一个整体的认识. 一、不定积分 不定积分是微分的逆运算,其计算方法、各种技巧是我们后面各种积分计算的基础,希望同学们熟记积分公式,及各种 方法(两类换元,分部积分,有理函数积分等) 二、定积分 1.定义式: ()b a f x dx ? 2.定义域:一维区间,例如[,]a b 3.性质:见课本P 229-P 232 特殊:若 1f =,则()b a f x dx b a =-?,即区间长度. 4.积分技巧:奇偶对称性. 注意:定积分中积分变量可以任意替换即()()b b a a f x dx f y dy =? ?,而不定积分不具有这种性质. 5.积分方法:与不定积分的方法相同. 6.几何应用: 定积分的几何意义: ()b a f x dx ? 表示以()f x 为顶与x 轴所夹区域面积的代数和(注意如()0f x <,则面积为负); 其他应用:如 ()f x 表示截面积,则积分为体积;平面弧长 (b a f x ? 等. 三、二重积分 1.定义式: (,)xy D f x y d σ ?? 2.定义域:二维平面区域 3.性质:见下册课本P 77 特殊: 若 1f =,则(,)xy D f x y dxdy S =?? ,即S 为xy D 的面积. 4.坐标系: ①直角坐标系: X 型区域,Y 型区域 ②极坐标系:适用范围为圆域或扇形区域,注意坐标转换后不要漏掉r ,积分时一般先确定θ的范围,再确定r 的范围. 5.积分技巧:奇偶对称性(见后),质心; 6.几何应用: 二重积分的几何意义:若(,)0f x y ≥,则(,)xy D f x y dxdy ?? 表示以(,)f x y 为顶以xy D 为底的曲顶柱体体积; 其他应用:求曲面(,)z z x y =的面积xy D ?? 四、三重积分 1.定义式 (,,)f x y z dv Ω??? 2.定义域:三维空间区域; 3.性质:与二重积分类似; 特殊: 若 1f =,则(,,)f x y z dv V Ω =???,其中V 表示Ω的体积. 4.坐标系: ①直角坐标系:投影法,截面法(一般被积函数有一个自变量,而当该变量固定时所得截面 积易求时采用) ②柱坐标系:积分区域为柱形区域,锥形区域,抛物面所围区域时可采用; ③球坐标系:积分区域为球域或与球面相关的区域时,确定自变量范围时,先θ,后?,最后 r . 5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性(见后),质心等. 6.应用: (,,)f x y z 表示密度,则(,,)f x y z dv Ω ???为物体质量.(不考虑几何意义) 五、第一类曲线积分
高等数学不定积分习题
第四章 不 定 积 分 § 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1.若在区间上)()(x f x F =',则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。 2.F(x)是)(x f 的一个原函数,则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3.因为 dx x x d 2 11)(arcsin -= ,所以arcsinx 是______的一个原函数。 4.若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3 x 成正比例,并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________?。 二.是非判断题 1. 若f ()x 的某个原函数为常数,则f ()x ≡0. [ ] 2. 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3. ()()()??'='dx x f dx x f . [ ] 4. 若f ()x 在某一区间内不连续,则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5. =y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ] 三.单项选择题 1.c 为任意常数,且)('x F =f(x),下式成立的有 。 (A )?=dx x F )('f(x)+c; (B )?dx x f )(=F(x)+c; (C )? =dx x F )()('x F +c; (D) ?dx x f )('=F(x)+c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数,f(x)≠0,则下式成立的有 。 (A )F(x)=cG(x); (B )F(x)= G(x)+c; (C )F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ?=c. 3.下列各式中 是| |sin )(x x f =的原函数。 (A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D) y={ . 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 4.)()(x f x F =',f(x) 为可导函数,且f(0)=1,又2 )()(x x xf x F +=,则f(x)=______.
(完整版)定积分测试题
题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 (8小题,共26分) 得分 阅卷人 1. 4)(2 x dt t f x =? ,则=?dx x f x 40)(1( ) A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2.设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续,则函数 dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有( )个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3. =+? dx x x 3 1 ( ) A .18 B . 3 8 C . 1 D .0 4.设 )(x ?''在[b a ,]上连续,且a b =')(?,b a =')(?,则 ?='''b a dx x x )()(??( ) (A )b a - (B )21(b a -) (C ))(2 1 22b a + (D ))(2 122 b a - 5. 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --? 6.sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ,上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7.2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 . 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数,且已知,,则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2 二、填空 (2小题,共5分) 得分 阅卷人
高等数学不定积分例题思路和答案超全
高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 :求下列不定积分1.知识点:。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析:!利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数,由积分表中的公式(2)可解。 解: (2)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (3)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。:解. (4)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (5)思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解: (6)★★思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解: (8)★思路:分项积分。 解: (9)★★思路:?看到,直接积分。 解: (10)★★思路: 裂项分项积分。解: (11)★解: (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然。 解: (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解: (14)★★思路:被积函数,积分没困难。 解: (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。 解: (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。 解: () 17★思路:不难,关键知道“”。 :解. ()18★思路:同上题方法,应用“”,分项积分。 解: ()19★★思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。 解: ()20★★思路:注意到被积函数,则积分易得。 解: 、设,求。2★知识点:。考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析::。即可1直接利用不定积分的性质解::等式两边对求导数得 、,。求的原函数全体设的导函数为3★知识点:。仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析:。连续两次求不定积分即可解:,由题意可知:。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点:。考查原函数(不定积分)与被积函数的关系思路分析:。只需验证即可解:,而、,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为,由题意可知:,; 又点在曲线上,适合方程,有, 所以曲线的方程为 、,:问6一物体由静止开始运动,经秒后的速度是★★(1)在秒后物体离开出发点的距离是多少?
高等数学习题详解-第8章二重积分
习题8-1 1. 设有一平面薄片,在xOy 平面上形成闭区域D ,它在点(x ,y )处的面密度为μ(x ,y ),且μ(x ,y )在D 连续,试用二重积分表示该薄片的质量. 解:(,)D m x y d μσ=??. 2. 试比较下列二重积分的大小: (1) 2()D x y d σ+??与3()D x y d σ+??,其中D 由x 轴、y 轴及直线x +y =1 围成; (2) ln()D x y d σ+??与2 ln()D x y d σ+??????,其中D 是以A (1,0),B (1,1), C (2,0)为顶点的三角形闭区域. 解:(1)在D 内,()()2301x y x y x y ≤+≤+≥+,故,23()()D D x y d x y d σσ+≥+????. (2) 在D 内,212ln()1,ln()ln ()x y x y x y x y ≤+≤≤+≤+≥+,故0从而, 2 ln()[ln()]D D x y d x y d σσ+≥+???? 习题8-2 1. 画出积分区域,并计算下列二重积分: (1) ()D x y d σ+??,其中D 为矩形闭区域:1,1x y ≤≤; (2) (32)D x y d σ+??,其中D 是由两坐标轴及直线x +y =2所围成的闭
区域; (3) 22()D x y x d σ+-??,其中D 是由直线y =2,y =x ,y =2x 所围成的闭区 域; (4) 2 D x y d σ??,其中D 是半圆形闭区域:x 2+y 2≤4,x ≥0; (5) ln D x y d σ??,其中D 为:0≤x ≤4,1≤y ≤e ; (6) 22D x d σy ??其中D 是由曲线11,,2 xy x y x ===所围成的闭区域. 解:(1) 111 111()()20.D x y d dx x y dy xdx σ---+=+==????? (2) 222 200 (32)(32)[3(2)(2)]x D x y d dx x y dy x x x dx σ-+=+=-+-????? 2232022 20[224]4.33 0x x dx x x x =-++=-++=? (3) 32 2 2 2 2 2 2 002193()()()248y y D y x y x d dy x y x dx y dy σ+-=+-=-????? 43219113 .9686 0y y -= (4) 因为被积函数是关于y 的奇函数,且D 关于x 轴对称, 所以20.D x yd σ=?? (5) 44 201041ln ln (ln ln )2(1)2110 e D e e e x yd dx x ydy x y y y dx x e σ-==-==-?????.