(新)高数二重积分习题解答

第9章 重积分及其应用

1．用二重积分表示下列立体的体积：

(1) 上半球体：2222{(,,)|;0}x y z x y z R z ++≤≥；

(2) 由抛物面222z x y =--，柱面x 2+y 2=1及xOy 平面所围成的空间立体

解答：(1) 222d ,{(,)|}D

V x y D x y x y R ==+≤；

(2) 2222(2)d d ,{(,)|1}D

V x y x y D x y x y =--=+≤??

所属章节：第九章第一节 难度：一级

2．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：

(1) D σ，其中D 为222x y a +≤；

(2)

(D

b σ??

，其中D 为222,0x y a b a +≤>>

解答：(1)

32

π3

D

a σ=；

(2)

2

32(ππ3D

b a b a σ=-?? 所属章节：第九章第一节

难度：一级

3．一带电薄板位于xOy 平面上，占有闭区域D ，薄板上电荷分布的面密度为(,)x y μμ=，且

(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表示该板上的全部电荷Q ． 解答：(,)d D

Q x y μσ=??

所属章节：第九章第一节 难度：一级

4．将一平面薄板铅直浸没于水中，取x 轴铅直向下，y 轴位于水平面上，并设薄板占有xOy 平面上的闭区域D ，试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力 解答：d D

p g x ρσ=??

所属章节：第九章第一节 难度：一级

5．利用二重积分性质，比较下列各组二重积分的大小

(1) 21()d D

I x y σ=+??与32()d D

I x y σ=+??，其中D 是由x 轴，y 轴及直线x +y =1所围成的区域；

(2) 1ln(1)d D

I x y σ=++??与222ln(1)d D

I x y σ=++??，其中D 是矩形区域：0≤x ≤1，0≤y ≤1；

(3) 21sin ()d D

I x y σ=+??与22()d D

I x y σ=+??，其中D 是任一平面有界闭区域；

(4) 1e d xy D

I σ=??与22e d xy D

I σ=??，其中D 是矩形区域：–1≤x ≤0，0≤y ≤1；

解答：(1) 在区域D 内部，1x y +<，所以I 1>I 2；

(2) 在区域D 内部，22,x x y y <<，故22ln(1)ln(1)x y x y ++<++，所以 I 1>I 2；？ (3) 由于22sin ()()x y x y +<+，所以I 1

(4) 在区域D 内部，0xy <，故2xy xy e e >，所以I 1>I 2 所属章节：第九章第一节 难度：一级

6．利用二重积分性质，估计下列二重积分的值 (1) d ,{(,)|04,08}ln(4)

D

I D x y x y x y σ

==≤≤≤≤++??

；

(2) 2222π3πsin()d ,(,)44D

I x y D x y x y σ?

?=+=≤+≤??????；

(3) 221

d ,{(,)|||||1}100cos cos D

I D x y x y x y

σ==+≤++??

；

(4) 2

2

221e d ,(,)4x

y D

I D x y x y σ+?

?==+≤???

???

解答：(1) 由于{(,)|04,08}D x y x y =≤≤≤≤的面积为32，在其中111

ln16ln(4)ln 4

x y ≤≤++，而等号不恒成立，故

816ln 2ln 2

I <<；

(2) 由于22π3π(,)44D x y x y ?

?=≤+≤????的面积为212π，在其中22sin()12x y ≤+≤，而等号不

恒成立，故22

π42

I <<；

(3) 由于{(,)|||||1}D x y x y =+≤的面积为2，在其中22111

102100

100cos cos x y ≤≤++，而等号不恒成立，故

11

5150

I <<

； 注：原题有误？还是原参考答案有误？如将{(,)|||||1}D x y x y =+≤改为

{(,)|||||10}D x y x y =+≤，则区域面积为200，结论为

100

251

I << (4) 由于221(,)4D x y x y ?

?=+≤???

?的面积为14π，在其中1

2241sin()x y e ≤+≤，而等号不恒成立，

故

14

ππe

44

I <<． 所属章节：第九章第一节 难度：二级

7．设f (x ，y )是连续函数，试求极限：222

2

1

lim (,)d πr x y r f x y r σ+

→+≤??

解答：先用积分中值定理，再利用函数的连续性，即得

222

2

20

01

1

lim (,)lim (,)lim (,)(0,0)r r r x y r f x y d f f f r r

σξησξηππ+

+

+

→→→+≤=?==??

． 所属章节：第九章第一节

难度：二级

8．设f (x ，y )在有界闭区域D 上非负连续，证明： (1) 若f (x ，y )不恒为零，则(,)d 0D

f x y σ>??；

(2) 若(,)d 0D

f x y σ=??，则f (x ，y )≡0

解答：(1) 若f (x ，y )不恒为零，则存在00(,)x y D ∈，00(,)0f x y >，利用连续函数的保号性，存在00(,)x y 的一个邻域1D D ?，在其上恒有(,)0f x y >，于是

1

(,)d 0D f x y σ>??，而

1

(,)d 0D D f x y σ-≥??

，所以

1

1

(,)d (,)d (,)d 0D

D D D f x y f x y f x y σσσ-=+>??????

；

(2) 假若f (x ，y )不恒为零，则由上题知(,)d 0D

f x y σ>??，矛盾，故f (x ，y )≡0．

所属章节：第九章第一节 难度：二级

9．计算下列二重积分： (1) πsin d ,(,)12,02D

x y D x y x y σ?

?

=≤≤≤≤????

??； (2) {}2

2(e )d ,(,)11,01x y D xy

D x y x y σ++=-≤≤≤≤??；

(3) {}2

e d ,(,)01,01xy D

xy D x y x y σ=≤≤≤≤??

； (4) 22πsin()d ,(,)0,022D

x y xy D x y x y σ??=≤≤≤≤??????； (5)

{}2

222d ,(,)2,2D

x D x y x

y x y x σ=+≥+≤??

解答：(1)

2

2

2

1

1

3sin d sin 2

D

x y dx x ydy xdx π

σ===

?????； (2)

2211

1

11

2

222221

1

11(1)(e

)d ()(1)22x y

x y

x y

x

D e xy

dx xy e

dy dx e

dy e e dx e

σ+++----+=+==-=

???????； (3)

2

2

1

1

1

01d )(1)122

xy xy

x D

e

xye dx xye dy e dx σ==-=-????

?； (4)

2

2

2

2

2

2

220

01sin()d sin()(cos 4)216D x

y xy dx x y xy dy x x x dx π

π

π

σ==-=

????

?；

(5)

1

1

1

12

D

xd dy xdx π

σ--===

????

．

所属章节：第九章第二节

难度：一级

10．画出下列各题中给出的区域D ，并将二重积分(,)d D

f x y σ??化为两种次序不同的二次积分：

(1) D 由曲线y =ln x ，直线x =2及x 轴所围成； (2) D 由抛物线y =x 2与直线2x +y =3所围成； (3) D 由y =0及y =sin x (0≤x ≤π)所围成； (4) D 由曲线y =x 3，y =x 所围成；

(5) D 由直线y =0，y =1，y =x ，y =x –2所围成 解答：本题图略，建议画出 (1) 2

ln ln 2

2

1

(,)(,)y x

e

dx f x y dy dy f x y dx =?

?

?

?；

(2)

2

31

3219

23

1

(,)(,)(,)y x

x

dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx ---=+?

????

；

(3) sin 1

arcsin 000arcsin (,)(,)x

y

y

dx f x y dy dy f x y dx π

π-=??

??

；

(4)

3

30

1

1

1

1

(,)(,)(,)(,)x x

y

x

x

y

dx f x y dy dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx --+=+?

?????；

注：原题有误？还是原参考答案有误？如将“D 由曲线y =x 3，y =x 所围成”改为“D 由曲线

3,1,1y x y x ===-所围成”，则答案为原参考答案

31

11

1

1

1

d (,)d d (,)d x

x f x y y y f x y x ---=?

??；

(5)

1

21

3

1

12

1

2

2

d (,)d d (,)d d (,)d d (,)d x y x y

x f x y y x f x y y x f x y y y f x y x +-++=?

?????

??

所属章节：第九章第二节 难度：一级

11．计算下列二重积分： (1) 2

2d D x y

σ??

，D 由曲线x =2，y =x ，xy =1所围成； (2) cos()d d D

x x y x y +??，D 由点(0，0)，(π，0)，(π，π)为顶点的三角形区域；

(3) D

σ??

，D

由抛物线y =y =x 2

围成； (4) d d D

xy x y ??

，D 由抛物线y 2

=x 与直线y =x –2所围成； (5)

sin d D

x y σ?? ?????，D 由直线y =x ，y =2和曲线x =y 3

所围成 解答：(1) 22

223122119

()4x x D

x x d dx dy x x dx y y σ==-=?????；

(2)

0003

cos()cos()(sin 2sin )2x

D

x x y dxdy dx x x y dy x x x x dx π

π

+=+=-=-?????；

(3)

2

711

440

026

()355

x

D dx x x dx σ==-=

????； (4)

2

2

22

241

1145(44)28

y y D

xydxdy dy xydx y y y y dx +--==++-=????

?

； (5) 3222113cos1sin1sin 4

sin()sin()(cos1cos )2y y D

x x d dy dx y y y dy y y σ+-==-=?????．

所属章节：第九章第二节

难度：二级

12．画出下列各题中的积分区域，并交换积分次序(假定f (x ，y )在积分区域上连续)：

(1) 1

d (,)d y

y f x y x ?

；

(2) 2

1

220

1

d (,)d d (,)d x x

x f x y y x f x y y -+??

??

；

(3) 21

22d (,)d y

y y f x y x --?

?；

(4)

2

d (,)d x f x y y ?；

(5) 1

1

d (,)d x x f x y y -?

(6)

132

d (,)d y y f x y x -?

解答：本题图略，建议画出 (1) 2

10

(,)x

x dx f x y dy ??

；

(2) 1

2

(,)y dy f x y dx -?

；

(3) 1

4 2

0 1

(,)(,)x

dx f x y dy dx f x y dy -+??

??

；

(4)

1

1 1 2

1 1 0

(,)(,)(,)dy f x y dx dy f x y dx dy f x y dx ++?

?

??

?；

(5) 0

1

1

10

(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx +-+?

?

?；

(6)

2

31

320

1

(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy -+??

??

所属章节：第九章第二节 难度：一级

13．计算下列二次积分：

(1) 1/31

1

0d y

y x ?

?；

(2) 2

3

2

1

1

d e d y x x y --?

?；

(3) ππ220sin d d y

x

y x x

?

?

； (4) 2

2

20

d 2sin()d x

x y xy y ?

?；

(5)

π1

2

arcsin d cos y

y x ?

?

；

(6)

2

421

2ππd d d d 22x

x x x y x y y y

+?

?

解答：

(1)

3

1/1

1

1

1000016

x y dy dx x ===????

?； (2) 222322124110001

(1)2

y y y y x dx e dy dy e dx ye dy e +-----===-?????；

(3) 22

220000sin sin sin 1x y x

x dy dx dx dy xdx x x

ππ

ππ

===?????； (4) 2

222

2220

2sin()2sin()[22cos()]4sin 4y x

dx y xy dy dy y xy dx y y y dy ==-=-?

????；

(5)

1

sin 2

220

arcsin 0

cos cos sin cos x

y

dy dx x ππ

π

==?

???

?

3

2

2

20

11

(1cos )1)3

3

x π

=-+=；

(6)

2

2

42

2

2

3

1

2

1

1

2

84sin

cos

2222

x

y y

x

x

x

dx dy dx dy dy dx y ydy y

y

y

ππππ

π

π

π++==-

=

?

????

．

所属章节：第九章第二节 难度：二级

14．利用积分区域的对称性和被积函数关于x 或y 的奇偶性，计算下列二重积分： (1) 222

||d ,:D

xy D x y R σ+≤??； (2) 2322

(tan 4)d d ,:4D

x x y x y D x y +++≤??； (3) 2

222(1)arcsin d ,:()D

y

x x D x R y R R

σ++-+≤??； (4)

(||||)d d ,:||||1D

x y x y D x y ++≤??

解答：(1) 设2221:,0,0D x y R x y +≤≥≥，则

1

4

3

20

||4||4sin cos 2

R

D

D R xy d xy d d r dr π

σσθθθ===?????

?

； (2)

23(tan 4)416D

D

x x y dxdy dxdy π++==????； (3) 由于积分区域关于x 对称，被积函数是关于y 的奇函数，故2(1)arcsin

d 0D

y

x x R

σ++=??；

(4) 设1:1,0,0D x y x y +≤≥≥，则

1

110

4(||||)2||883

x

D

D

D x y dxdy x dxdy xdxdy dx xdy -+====

????????

． 所属章节：第九章第二节 难度：二级

15．利用极坐标化二重积分(,)d D

f x y σ??为二次积分，其中积分区域D 为：

(1) 22:,(0)D x y ax a +≤>； (2) 22:14D x y ≤+≤； (3) :01,01D x y x ≤≤≤≤-； (4) 22:2()D x y x y +≤+ (5) 22:24D x x y ≤+≤ 解答：(1)

πcos 2π0

2

d (cos ,sin )d a f r r r r θ

θθθ-?

?

；

(2) 2π

2

1

d (cos ,sin )d f r r r r θθθ?

?；

(3) π12cos sin 0

d (cos ,sin )d f r r r r θθθθθ+?

?

；

(4)

3π2(cos sin )

4π0

4

d (cos ,sin )d f r r r r θθθθθ+-??；

(5)

π3π2

2

22ππ2cos 0

2

2

d (cos ,sin )d d (cos ,sin )d f r r r r f r r r r θ

θθθθθθ-+?

?

??

所属章节：第九章第二节 难度：一级

16．利用极坐标计算下列二重积分：

(1) 22d ,:D

x y D x y Rx +≤；

(2) 22222222()d d ,:()()D

x y x y D x y a x y ++≤-??； (3)

22arctan

d d ,:14,0,D

y

x y D x y y y x x

≤+≤≥≤??；

(4)

2222

d d ,:2,2D

x x y D x y x y x +≥+≤??；

(5) arctan

22,:14,y

x

D

D x y x y σ≤+≤≤≤

(6)

22

()d d D

x y x y +??

，D ：第一象限中由圆22222,4x y y x y y +=+=

及直线,x y ==所围成．

解答：

(1)

cos 333220

2

2

114

d (1sin )()333R D

x y d R d R π

π

θ

ππθθθπ--==-=-??

?；

(2)

22

3424440

()4cos 28

D

x y dxdy d dr a d a π

π

π

θθθ+===

?????；

(3) 2

24013arctan d d 64D

y x y d rdr x ππ

θθ==????；

(4)2cos 24444

4

8cos (cos cos )332D

xdxdy d r dr d π

π

θπππθθθθθ--==-=????；

注：本小题与第9大题第（5）小题相同．

(5)

arctan

2

3

341

4

y

x

D

d e dr e e π

ππ

θ

πσθ==-??；

(6)

4sin 2

2

3

4332sin 6

6

15

()d d 60sin (28

D

x y x y d r dr d π

π

θ

ππθ

θθθπ+===

????

?． 所属章节：第九章第二节 难度：二级

17．设r ，θ为极坐标，在下列积分中交换积分次序： (1) πcos 2π0

2

d (,)d (0)a f r r a θ

θθ->??

；

(2) π200

d (,)d (0)f r r a θθ>?

?

；

(3) 0

d (,)d (02π)a

f r r a θ

θθ<

?；

(4)

π4cos 0

d (,)d (0)a f r r a θθθ>?

?

；

解答：(1)

arccos

arccos

d (,)d r a

a r

a r f r θθ-??

；

(2) 2222πarcsin 210

arcsin 2d (,)d r a

a r a

r f r θθ

?

?

；

(3) 0

d (,)d a

a r

r f r θθ?

?；

(4)

ππ44

arccos

d (,)d d (,)d a

a r

r f r r f r θθθθ+??

?

．

所属章节：第九章第二节 难度：一级

18．计算下列二次积分：

(1) 2

2

1

d d x

y x y +?

；

(2) 0

d d y

y

y x x

；

(3) 2

0d x y ?

；

(4)

1

223/201d )d x x x y y --+?

．

解答：

(1)

22

2

1

1

22

1(1)

24

x y r e e dx dy d e rdr d ππ

πθθ+--===?

???；

(2)

2

124

20

00011264

y

y dy dx d rdr d x ππ

θθθθπ===???；

(3)

2

2cos 2

3220

0816

cos 39

dx d r dr d π

π

θ

θθθ===?

??

?；

(4)

1

1

223/2

2

221

10

sin cos )

(sin cos 1)22

x

dx x y dy d r dr d π

π

θθ

π

θθθθ---++==+-=-

?

??

?

所属章节：第九章第二节 难度：二级

19．计算下列二重积分： (1)

2

2max(,)

e d d ,:{(,)|01,01}x y D

x y D x y x y ≤≤≤≤??；

(2) 2222|4|d d ,:{(,)|9}D

x y x y D x y x y +-+≤??； (3) ππ

|cos()|d d ,:{(,)|0,0}22

D

x y x y D x y x y +≤≤

≤≤??；

(4)

d ,:{(,)|11,02}D

x y D x y x y -≤≤≤≤．

解答：(1)

222

2

11max(,)

1x

y

x y x y D e

dxdy dx e dy dy e dx e =+=-??????；

(2)

22

23

2

2

2

2

2

21

|4|(4)(4)2

D

x y dxdy d r rdr d r rdr π

π

θθπ+-=-+-=??????； (3)

22220

2|cos()|cos()cos()2x

x

D

x y dxdy dx x y dy dx x y dy ππ

ππ

ππ--+=+-+=-???

???；

(4)

2

1

11

52223

x x

D

dx dx π

=+=

+??

?? 所属章节：第九章第二节 难度：三级

20．选择适当坐标计算下列各题： (1)

2

2d D

x y

σ??

，其中D 是由双曲线xy =1与直线y =x ，x =2围成；

(2) D

σ，其中22{(,)|1,0,0}D x y x y x y =+≤≥≥； (3) 22()d d D

x y x y +??，其中D 是直线y =x ，y =x +a ，y =a ，y =3a (a >0)围成； (4)

d d D

xy x y ??

，其中2222

{(,)|0,1,2}D x y y x y x y x =≥+≥+≤． 解答：(1) 22

223122119

()4x x D

x x d dx dy x x dx y y σ==-=?????；

注：本小题与第11大题第（1）小题重复．

(2)

22

20(2)28D D

x d d y ππππσσθ-===?????； (3)

32

2

2220

()()14a x

x a

D

x y dxdy dy x y dx a ++=+=????

；

(4)

2cos 3

5330

1

019

sin cos (4cos sin sin cos )416

D

xydxdy d r dr d π

π

θ

θθθθθθθθ==-=????

?．

所属章节：第九章第二节

难度：二级

21．用适当的变量变换，计算下列二重积分： (1) 22

sin(94)d d D

x y x y +??

，中D 是椭圆形闭区域22941x y +≤位于第一象限内的部分； (2)

22

d d D

x y x y ??，D 是由双曲线xy =1，xy =2与直线x =y ，x =4y 所围成的在第一象限内的闭区域；

(3) 22

22()d d D

x y x y a b +??，D 是椭圆形闭区域22221x y a b +≤；

(4) e d d x y

D

x y +??，D 是闭区域|x |+|y |≤1； (5)

32

()cos ()d d D

x y x y x y +-??，其中D 是以(π，0)，(3π，2π)，(2π，3π)，(0，π)为顶点的平行

四边形； 参考答案：(1)

π(1cos1)24-(提示：作变换11

cos ,sin 32x r y r θθ==)； (2) 7ln 23(提示：作变换,y

xy u v x ==)；

(3) 1

π2ab (提示：作变换cos ,sin x ar y br θθ==)；

(4) 1e e --(提示：作变换,x y u x y v +=-=)； (5) 78π5(提示：作变换,x y u x y v +=-=)

解答：(1) 作变换11cos ,sin 32x r y r θθ==，则1

6

J r =，

1

2

2

22

01sin(94)d d sin (1cos1)624D

x y x y d r rdr π

πθ+=?=-????； (2) 作变换,

y xy u v x ==，则12J v

=， 2

1

222

11

4

17

d d ln 223

D

x y x y du u dv v ==????； (3) 作变换cos ,sin x ar y br θθ==，则J abr =，

22213

22001()d d 2D

x y x y d abr dr ab a b πθπ+==????；

(4) 作变换,x y u x y v +=-=，则12

J =

， 1

1

11

11e

d d 2

x y

u

D

x y du e dv e e +---==-????

； (5) 作变换,x y u x y v +=-=，则12

J =

5232325

1()cos ()d d cos 392D

x y x y x y du u v dv πππππ+-=?=????． （原参考答案有误？）

所属章节：第九章第二节 难度：三级

22．利用二重积分求下列平面区域的面积： (1) D 由曲线e ,e x x y y -==及x =1围成； (2) D 由曲线y =x +1，y 2= –x –1围成； (3) D 由双纽线22222()4()x y x y +=-围成； (4) {(cos ,sin )|24sin }D r r r θθθ=≤≤； (5) 1

{(cos ,sin )|

1cos }2

D r r r θθθ=≤≤+； (6) D 由曲线2223()2(0)x y ax a +=>围成；

(7) D 由曲线y =x 3，y =4x 3，x =y 3，x =4y 3所围成的第一象限部分

参考答案：(1) 1e e 2-+-；(2)

16；(3) 4；(4) 4π3+；(5) 5π6+；(6) 25π8a ；(7) 18

解答：(1) 1

1

10

()2x

x e x x e

D

A dxdy dx dy e e dx e e ---===-=+-?????；

(2) 20

10

21

1

1

1

()6

y y D

A dxdy dy dx y y dx -----===--=

????

?； (3) 双纽线22222()4()x y x y +=-用极坐标表示24cos2r θ=，

440

48cos24D

A dxdy d d π

π

θθθ====????

?；

(4) 4sin 222

6

6

2(48cos2)D

A dxdy d rdr d π

π

θ

ππθθθ===-=

????

?4π

3

+；

(5) 221cos 331

2

5

2(4cos cos2)2

D

A dxdy d rdr d ππ

θ

θθθθ+===++=???

?

?5π6+ (6) 曲线2223()2(0)x y ax a +=>用极坐标表示32cos r a θ=，

32cos 2

6220

24cos a D

A dxdy d rdr a

d π

π

θ

θθθ====

????

?

2

5π8

a ； (7)

4sin 222

6

6

2(48cos2)D

A dxdy d rdr d π

π

θ

ππθθθ===-=

????

?18

？

所属章节：第九章第二节 难度：二级

23．利用二重积分求下列各题中的立体Ω的体积：

(1) Ω为第一象限中由圆柱面y 2+z 2=4与平面x =2y ，x =0，z =0所围成；（注：象限应为卦限？） (2) Ω由平面y =0，z =0，y =x 及6x +2y +3z =6围成；

(3) 22{(,,)|1x y z x y z Ω=+≤≤； (4) 222{(,,)|1,11x y z x y z z Ω=+≤+-≤≤； 参考答案：(1)

163；(2) 14；(3) 7π6；(4) 8π3

解答：

(1) 2

22

16

23

D

V dy ====

??

?； (2) 21(22)34

D

V x y dxdy =--

=??；

(3) 21

2220

7[(1()](1)6

D

V x y dxdy d r rdr π

π

θ=-+=+=

????；

(4) 220

8

22423

xy

D V d rdr πππθπ=?-=-=???

所属章节：第九章第二节 难度：二级

24．设f (x )在[0，1]上连续，D 由点(0，0)、(1，0)、(0，1)为顶点的三角形区域，证明：

1

()d ()d D

f x y uf u u σ+=???

解答：将二重积分化为二次积分，再用积分变换u =x +y ，然后交换积分顺序

111111

()d ()()()()d x

u x

D

f x y dx f x y dy dx f u du du f u dx uf u u σ-+=+===??

??

?????．

所属章节：第九章第二节 难度：三级

25．设f (x )

连续，证明：

221

()d d (x y f x y x y f u u +≤+=??

解答：作变量变换11(),()22x u v y u v =-=+，则1

2

J =，

22221

211()()()(22x y u v f x y dxdy f u dudv f u dv f u +≤+≤+===????． 所属章节：第九章第二节 难度：三级

26．设f (x )在[a ，b ]上连续，证明：

()2

2()d ()()d b

b

a

a

f x x

b a f x x ≤-?

?

解答：设区域{(,)|,}D x y a x b a y b =≤≤≤≤，则

2

(())()()()()b

b

b

b

b a

a

a

a

a

f x dx f x dx f x dx f x dx f y dy =?=??????()()D

f x f y dxdy =??

2222()()11

()()222D

D D

f x f y dxdy f x dxdy f y dxdy +≤=+??

????

2

2

2()()()()b

b

b

a

a

a

D

f x dxdy dx f x dy b a f x dx ===-?????．

所属章节：第九章第二节

难度：三级

27．设f (x )在[a ，b ]上连续，f (x )>0，证明：21

()d d ()()

b

b a a

f x x x b a f x ≥-??

解答：设区域{(,)|,}D x y a x b a y b =≤≤≤≤，则

11()()()()()()b

b

b b a

a

a a D f x f x dx dx f x dx dy dxdy f x f y f y ==??????，

11()()()()()()b b

b b a a

a a D

f y f x dx dx f y dy dx dxdy f x f x f x ==?

?

????，

所以211()()()()()()2()()b

b

a

a

D D

f x f x f x dx dx dxdy dxdy b a f x f y f y =+≥=-??

????． 所属章节：第九章第二节

难度：三级

28．在曲线族y =c (1–x 2)(c>0)中试选一条曲线，使这条曲线和它在(–1，0)及(1，0)两点处的法线所围成的图形面积最小

解答：曲线在(1，0)处的法线为11

22y x c c

=-，由对称性知所围图形面积为

21

(1)1

1

02241232c x x c c

A dx dy c c

--==+??，

令

0dA

dc

=

，得唯一驻点c =（负值舍去）

又由于该实际问题的最小值存在，故当c =

所属章节：第九章第二节

难度：三级

29．设f (x )是连续函数，区域D 由y =x 3，y =1，x = –1围成，计算二重积分

22

[1()]d d D

x yf x y x y ++?? 解答：将D 分成两块，记为

{

}

{}

3312(,)1,(,),10D x y x y D x y x y x x =≤

≤≤=≤≤--≤≤，

则由函数的奇偶性与积分区域的对称性得

1

2

222222

[1()][1()][1()]D

D D x yf x y dxdy x yf x y dxdy x yf x y dxdy ++=+++++??????

3

2

1

2

25

x D xdxdy dx xdy --===-????

．

所属章节：第九章第二节 难度：三级

30．设f (x )、g (x )在[0，1]上连续且都是单调减少的，试证：

1

11

()()d ()d ()d f x g x x f x x g x x ≥?

??

解答：设{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，则

1

1

1

()()()()()()()()D

D

I f x g x dx f x dx g x dx f x g x dxdy f x g y dxdy =-=-???????

()[()()]D

f x

g x g y dxdy =-??，

类似地有()[()()]D

I f y g y g x dxdy =-??，两式相加，并利用条件f (x )、g (x )在[0，1]上连续且都

是单调减少的，就有

2[()()][()()]0D

I f x f y g x g y dxdy =--≥??，

所以0I ≥，即111

()()d ()d ()d f x g x x f x x g x x ≥???．

所属章节：第九章第二节 难度：三级

31．设f (x )在[0，1]上连续，并设1

()d f x x A =?，求1

1

d ()()d x

x f x f y y ??

解答：设{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，则

1

1110

()()()()()()y x

x

dx f x f y dy dy f x f y dx dx f x f y dy ==?

?????

1

110

001[()()()()]2x x dx f x f y dy dx f x f y dy =+????

112001()()()()2D

f x f y dxdy f x dx f y dy A =

=?=????． 所属章节：第九章第二节

难度：三级

32．至少利用三种不同的积分次序计算三重积分2()d x yz v Ω

+???，其中Ω=[0，2]×[–3，0]×[–1，

1]

解答：2

1

2

2

22220

3

1

3

()()2616x yz dv dx dy x yz dz dx x dy x dx Ω

---+=+===?????????，

类似021

2

23

1

()()16x yz dv dy dx x yz dz Ω

--+=+=??????，

1

2

22

130

()()16x yz dv dz dy x yz dx Ω

--+=+=??????．

所属章节：第九章第三节 难度：一级

33．将三重积分(,,)d f x y z v Ω

???化为累次积分(三次积分)，其中积分区域Ω分别是：

(1) 2222:,0x y z R z Ω++≤≥；

(2) Ω由x 2+y 2=4，z =0，z =x +y +10所围成； (3) 22222:2,x y z z x y Ω++≤≥+

(4) Ω：由双曲抛物面z =xy 及平面x +y –1=0，z =0所围成的闭区域 解答：(1) 22

222

220

d d (,,)d R

R x R x y R

R x x y f x y z z ------?

?

?

；

(2) 2

2

2

410

240

d d (,,)d x x y x x y f x y z z -++---?

?

?；

(3) 2

22

2

2

2

1

1211d d (,,)d x x y x x y x y f x y z z ------+??

?；

(4)

1

10

d d (,,)d x

xy x y f x y z z -?

?

?

双曲抛物面

所属章节：第九章第三节 难度：二级

34．计算下列三重积分： (1)

d y v Ω

???

，其中Ω是在平面z =x +2y 下放，xOy 平面上由y =x 2

、y =0及x =1围成的平面区域上方的立体； (2) e d x y z v Ω

++???

，其中Ω是在平面x +y +z =1与三个坐标面围成； (3)

sin()d d d x y z x y z Ω

+???，其中 π

{(,,)|0,0}2

x y z x y z y Ω=≤≤≤≤

- (4) d z v Ω

???，其中Ω是第一象限中由曲面y 2+z 2=9与平面x =0、y =3x 和z =0所围成的空间立体；

(5) 222d d d 1xyz x y z x y z

Ω+++???，其中222

{(,,)|0,0,1}x y z x z x y z Ω=≥≥++≤； (6)

d d d x x y z Ω

???，其中Ω是由抛物面x =4y 2+4z 2与平面x =4围成 参考答案：(1) 528；(2) e 12-；(3) π142-；(4) 278；(5) 0；(6) 16

π3

解答：(1) 5

28

； (2)

e

12

-；

(3)

π142-； (4) 278；

(5) 0；

(6) 16π3

所属章节：第九章第三节 难度：二级

35．用截面法(先算二重积分后算单积分)解下列三重积分问题： (1) 计算三重积分sin d z v Ω

???，其中Ω

是由锥面z =和平面z =π围成；

(2) 设Ω是由单叶双曲面x 2+y 2–z 2=R 2和平面z =0，z =H 围成，试求其体积；

(3) 已知物体Ω的底面是xOy 平面上的区域222{(,)|}D x y x y R =+≤，当垂直于x 轴的平面与Ω相交时，截得的都是正三角形，物体的体密度函数为(,,)1x

x y z R

ρ=+

，试求其质量； (4) 试求立体22

22(,,)1x y x y z z a b Ω??=+≤≤????

的形心坐标

参考答案：(1) π2–4π；(2) 231ππ3R H H +；

(3) 3；(4)

20,0,3?

? ??

?

解答：(1)

230

sin d sin sin 4z

D z v zdz dxdy z z dz π

π

Ω

πππ==?=-???????；与原参考答案不同

(2) 2223001

()3z

H

H

D V dv dz dxdy R z dz R H H πππΩ===+=+???????；

(3) 223(,,)(1)(1))x

R R R R D x x m x y z dv dx dydz R x dx R R ρ--Ω==+=+-=???????；

(4) 由对称性，0x y ==，

11001

2z

D V dv dz dxdy abzdz ab ππΩ====???????，

112

0011123z

D z zdv zdz dxdy abz dz V V V πΩ=

===???????，即所求形心坐标为20,0,3?? ???． 所属章节：第九章第三节

难度：二级