大学物理期末总结

第一章 质点运动学小结

研究对象：质点机械运动的位置随时间的变化规律。

核心问题：运动方程 ()t r r

= 基本概念： a v r r

∆ 定义，性质，作用, 表示.

基本规律： 直线运动: 匀变速直线运动 20002

1

,

,

at t v x x at v v const a ++=+==

匀速直线运动(特例): t v x x v v a 000

,0+===

变速直线运动: ()()()()t x x v a a x a a t a a =⇒

===,

曲线运动:

1.圆周运动:

匀速圆周运动: vt S const v R ==,

,

变速圆周运动:

()

t v v dt a dv dt

a dv dt

dv a const a R v

v t

====

=⎰⎰0

,,

,

ττττ ()t S S dt

ds v =⇒=

2.一般曲线运动，叠加原理 (x 向,y 向 或 法向,切向) 基本问题：两类问题 1. 已知：()t r r = 求: ⇒∆r a v

,,求导.

2. 已知：v or a

: 和初始条件，

求: ()⇒=t r r

积分.

注意积分技术的应用：（常见的几种积分如下）

()⎰⎰-=-====v

v t t t t a v v dv adt dv adt dt dv

a const a 0

000,,,,).1

()()()()()⎰⎰⎰=-====t

t v

v t t dt t a v v dv dt t a dv dt t a dt

dv t a t a a 0

0,

,

,

,

).

2

()()()

()⎰⎰====t

t v

v dt v a dv

dt v a dv

dt

dv v a v a a 0

0,,

,

).

3

()()()()⎰⎰======v

v x x vdv dx x a vdv

dx x a dx

dv

v dt dx dx dv dt dv x a x a a 0

,

,

).

4

()()⎰

=-x

x dx x a v v 0

2022

1

基本方法：运用叠加原理处理曲线运动。

第二章 质点动力学

研究对象：质点运动的内在原因

因果律——确定论

∵ 有这样的动力 ∴产生这样的运动 研究方法：矢量叠加、微积分 研究内容： 一、基本概念 二、基本规律

三、动能定理、功能原理、机械能守恒定

律

四、动量定理、动量守恒定律

本章以牛顿三定律为依据，通过数学演释的方法，得到动能、动量、角动量的概念和质点运动的有关定理及其守恒定律，这一切构成动力学内容。 一、基本概念：力

1．定义：物体之间的相互作用 2．三要素：大小、方向、作用点

3．性质：1）矢量性 F

2）瞬时性：const F =

，

)(t F F =，)(x F F =，)(v F F

=

3）独立性（叠加性）：∑

=i F F 一个力⇒n 个相互独立的分力

4．作用：1）产生加速度 （质点力学） 2）产生形变 （弹性力学） 5．常见力：

1）重力（万有引力、非接触） 2）弹性力（接触、形变）

3）摩擦力（接触、相对运动或相对运动趋势）

二、基本规律：牛顿三定律 1.内容：

牛一律：惯性定律

牛二律：a m F

= 核心 （力的可操作定义）

矢量性：n n ma F = t t ma F = x x ma F = y y ma F = z z ma F =

瞬时性：const F = const a =

a m F

= 代数方程

)(t F F = )(x F F = )(v F F

=

dt v

d m F = 22dt

r d m F = 微分方程

牛三律：作用反作用定律 2.应用： a m F

= 原则上可解决一切质点的动力学问题

方法：隔离体法

动力学两类问题：

1） 已知运动状态（a v t r r

,),(=）,求力

⇒F

求导

2） 已知力F ，求运动状态（v a

, or

)(t r r

=）⇒积分

加速度是联结运动学和动力学的桥梁与纽带。

通过例题体会解题的基本方法，基本步骤，两类问题的解法

例：已知：m ，j bt i kt r +=2 求F

解：j b i kt dt

r

d v +==2

i k dt v d a 2==

i km a m F

2==

运动结果 → 运动原因 求导

以上属第一类问题，下面通过例子，讨论第二类问题

例：kg m 2= j t i F

2244-= 0=t ，

00=v ，00=x 00=y ， 求运动方程

分析：已知F ，求)(t r r

= 第二类问题

步骤：1.取隔离体： m

2.选坐标系：直角坐标系

3.受力分析

4.理论依据 ①a m F

= ②

⎪⎩

⎪⎨⎧=

=dt dx v dt dv a ③叠加原理

5.写分量式

6.积分求解

7.讨论结果

解：dt

v

d m

F = dt v d a m F == j t i a 2122-=

dt

dv a x

x ==2 ⎰

⎰=t v x dt dv x 002 t v x 2= dt

dv t a y

y =-=2

12 ⎰

⎰-=t v y dt t dv y 02012 34t v y -= dt dx v x = dt

dx

t =2 ⎰

⎰=t x tdt dx 002 2t x =

dt dy v y =dt

dy t =

-3

4 ⎰

⎰-=t y dt t dy 0304 4t y -=

运动方程：⎩⎨⎧-==42t

y t x j t i t r

42-=

讨论：轨迹方程 2x y -= y

速度公式 ⎩⎨⎧-==342t v t v y

x

o x 加速度公式 ⎩⎨⎧-==2122t

a a y x

3．范围

宏观、低速、惯性系（牛顿定律成立的坐

标系） 强调：矢量性（分量式）、微积分应

用

地面： 小球 静止 ∑

=0F 0=a

惯

性系

车厢: 小球 运动 ∑

=0F 0≠a

非惯性系 相对惯性系作加速运动的参照系—非惯性系 在非惯性系中牛二律不成立。要使用牛二律须加惯性力 惯性力 ma F -=

大小：ma

方向：a

-

作用点：质心

惯性力 →假想力，没有施力者

三．动能定理、功能原理、机械能守恒定律

1．动能定理：1）功

①定义： 恒力的功：

r F r F A ∆=∆⋅=θcos F

θ

Δr

元功：dr F r d F dA θcos =⋅=

功：⎰⎰⎰

=⋅==b a dr F r d F dA A θcos

②说明： ⅰ功是标量，只有大小，无方向 功有正负，决定于θ 2πθ 0 A F 做正功

2

π

θ= 0=A F 做功为零（或不做功）

2

π

θ 0 A F 做负功 a ⅱ.功是过程量，与路径有关

N

b

M f

m mg M F

摩擦力做功可正、可负

ⅲ合力的功=分力的功之代数和

+++=321F F F F

⎰⎰⋅++=⋅=r d F F F r d F A )(32

⎰⎰

++=+⋅+⋅=

2121A A r d F r d F

∑=

i

A A

iv.作用力的功≠反作用力的功

m ： 受力 mg 位移 h mgh M ：受力 mg 位移 0 0

2）动能：22

1mv E K =

①定义：因运动（平动）而具有的作功的本领。

（能量的一种形式） ②说明：

ⅰ 动能是标量 v m ,相同，K E 相同， v 有相对性，K E 有相对性 ⅱ 动能是状态量，态函数

③功与动能区别（A 与K E ） K E A

态函数 过程量（保守力例外）

做功的本领 能量变化的量度 3） 质点动能定理：力的空间累积效应

dt v

d m F =

dx

dv

mv dt dx dx dv m dt dv m F x x x x x ===

⎪⎭

⎫ ⎝⎛==2

2

1x x x x mv d dv mv dx F

同理: ⎪⎭

⎫

⎝⎛=221y y mv d dy F

⎪⎭

⎫

⎝⎛=22

1z z mv d dz F

即 K dE mv d r d F ==)2

1(2

微分形式 ⎰

-=

⋅2

1222

121mv mv r d F

积分形式 说明：①合外力的功=动能增量

功↗， K E ∆↗；反之亦然

②空间累积效应，只与始末状态有关，与中间细节无关

2.保守力的功、势能 1）重力的功：

2）弹力的功： 3）引力的功：

非保守力：做功与路径有关 保守力特点：做功与路径无关

4）势能（位能）

①定义：由具有相互作用的物体之间的相对位置所确定的作功的本领

重力、弹力、引力、静电力、分子力均为保守力，相关势能为：重力势能、弹力势能、引力势能、电势能等等。 ②说明：

ⅰ属于系统 ⅱ相对量 零点选取

形式：mgh

2

2

1kx 2r Mm G -

零点：0=h 0=x ∞→r ⅲ )(22P P E E A --=保

保守力的功 = 相关势能增量的负值 ⅳ势能——态函数 做功的本领，能量的概念比力的概念更为基本和普适。

3．质点系的功能原理：

12K K E E A

A -=+∑∑内

外 ∑∑∑+

=非保内

保内

内

A

A A

)(12P P E E A

--=∑保内

)

()(1122P K P K E E E E A

A +-+=+∑∑非保内

外

P K E E E += 机械能

12E E A

A -=+∑∑非保内

外

功能原理

说明：①适于系统

②实质：质点系动能定理+势能概念

4．机械能守恒定律

条件：

0=+∑∑非保内

外

A

A

（从始至终， 时时为零。） 结论：const E E ==12 注意与中学区别。

例：求M 从C B →, 重A 弹A 、动c E 解：研究对象：m

受力分析：

确定系统：（m +k + earth ） 势能零点：B 、0l l 0

o B θ k m l

f C mg

)(12P P E E A --=保

θθsin )0sin (mgl mgl A =---=重

2020)(2

1

)0)(21(l l k l l k A --=---=弹

0 弹A why ？

理论依据：A 外+A 非保内=0 E=const 初态：000111=+=+=P K E E E 末态：222P K E E E +=

202)(2

1

sin 21l l k mgl mv -+-=θ

202)(2

1

sin 21l l k mgl mv E C K

--==θ 四． 动量定理、动量守恒定律：

力的瞬时对应效应：

dt

v

d m F =

力的时间累积效应：

122

1

v m v m v md dt F v v -==

⎰

⎰

冲量 动量 1．冲量和动量

1）冲量 ⎰

⋅dt F

矢量

2）动量 v m

物体在一定运动状态下所具有的运动量，反映了物体运动所能产生的机械效果 v m

矢量 相对性

2．动量定理： ()v m d v md dt F

== 微分形式

12v m v m dt F

-=⎰

积分形式

1）矢量式：

分量式：⎪⎪

⎩⎪

⎪⎨⎧-=-=-=⎰

⎰⎰12121

2z z z

y y y x

x x mv mv dt F mv mv dt F mv mv dt F

3．动量守恒定律：

∑

=0F

const v m i i =∑

内力>>外力 外力忽略不计

注意使用条件：

①0=∑F

②∑=0x

F

const v

m ix

i =∑

刚体定轴转动小结(与质点类比)

运动学描述

质点(一维): 刚体(定轴):

22,,,dt x

d dt dv a dt dx v x x ===∆线量

22,,,dt

d dt d dt d θ

ωβθωθθ===∆角量

矢量.一维用正负表示方向. 轴矢量.定轴用正负表示方向.

运动方程:

()t x x =

运动方程: ()t θθ=

线量和角量的关系:

θ∆=∆r S

r ωr v = r 是连接二者的

βr a t = 桥梁和纽带. r

v a n 2

=

动力学原因

质点

刚体

瞬时效应: 22

dt x d m dt dv m ma F === 22dt

d J dt d J J M θωβ=== 空间累积: 21222121mv mv Fdx -=⎰

2

1222121ωωθJ J Md -=⎰ 功 平动动能

功 转动动能 质

点系

统

质点,刚体系统

const

E E E A A K P =+==+,

0非保内外

机械能守恒定律

时间累积: 12mv mv Fdt -=⎰

12ωωθJ J Md -=⎰

冲量 动量 冲量矩 动量矩(角动量)

∑∑==const v

m F

i

i 0

外

∑==const J M

ω0

外

质点与刚体的概念类比

质点 刚体 ★ F

★ F r M

⨯= m ∑

∆=2i i r m J

⎰dt F

⎰dt M

⎰⋅r d F

⎰

θMd

v m P = C v M P =

ωωJ mr mvr L v m r L ===⨯=2 ()

∑∑∑===i i i i i i L r v m r m J ωω2 2

21mv ()()∑∑==222221

212

1i i i i v m r m J ωω 22

1C Mv mgh

C Mgh

质点与刚体的规律类比

★ 质点

★ 刚体

()dt P

d dt v m d dt v d m

a m F ==== ()dt

dL

dt J d dt d J J M ====ωωβ

⎰-=

⋅2022

121mv mv dx F ⎰-=2

022121ωωθJ J Md 系统的 const

E E E A A K P =+==+0

非保内外

0v m v m dt F -=⎰

0ωω J J dt M -=⎰ ∑∑==const v m F i i

,0外

∑∑==0,

0ωJ M

外

狭义相对论

一、狭义相对论的基本原理：

(1) 相对性原理: 一切物理定律在所有惯

性系中都是相同的,即所有惯性参考系都是等价的，没有一个至高无上的惯性系光速不变原理: 在所有惯性系中，光速等于恒定C ，它不依赖于惯性系之间的运动，也与光源、观察者的运动无关 二、洛伦兹变换

逆变换：2

2222

11x ut x u c

y y

z z

u t x

c

t u c -⎧'

=⎪⎪-⎪⎪'=⎪

'⎨=⎪⎪-⎪'=⎪⎪-⎩

2

2

222

11x ut x u c y y z z u t x c

t u c ''+⎧=⎪⎪-⎪⎪'

=⎪

'

⎨=⎪

⎪''

+⎪=⎪⎪-⎩

三、(1)同时的相对性 22

1221u t x c t t t u c

∆-∆'''∆=-=- 在一个惯性系的不同地点同时发生的两个

事件，在另一个惯性系是不同时的。

(2)长度的相对性 2201l l u c =-

(3)时间间隔的相对性 022=

1u

c ττ- (4) 一维洛仑兹速度变换式

四、狭义相对论动力学 1、相对论质量 0

2

2

1m m u c =

-

2、相对论动能 220K E mc m c =-

3、粒子的相对论总能量 2

E mc = 粒子的静止能量 200E m c = 4、质能守恒定律

2

20()i

i

iK

i E mc E

m c ==+=∑∑∑恒量

振动与波动对比小结

振动—波动的基础 波动—振动的传播 谐振动 平面谐波 一、 方程： 一. 方程：

1.形式： 1.形式： ()φω+⋅=t A y cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=φωu x t A y cos 一个质点的振动规律（少体） 一条波线上各点的振动规律（多体）

2.建立： 2.建立： 1).判据 1).由波线上已知点的振动方程和波速， kx F -= 建立波动方程

022

2

=+x dt

x d ω y u

()φω+⋅=t A y cos

o A P x

2).求特征量:ωφ,,A A:()φω+⋅=t A y A cos m

k =

ω P: ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=φωu l x t A y P cos φ,A 由初始条件定 2).已知一点的振动曲线和

2

2

020

ωv y A += 波速,求波动方程

00y v tg ⋅-=ωφ

3).已知某时刻波形曲线和波速.

由旋转矢量法或振动曲线定

求波动方程

3.位相： 3.位相：

φω+⋅t 初相:φ

λ

π

φωx t 2-+⋅

运动的时间周期性:T t = 时间周期性：T,波形重复出现 同位相:πφk 2=∆ 空间周期性：λ位相重复出现

反位相:()πφ12+=∆k

位相是x,t 的函数，位相传播 二.图象： 二.图象： y (1).x=const,y=y(t),振动图 o t (2).t=const,y=y(x),波形图 y u

y-t 曲线 振动图 o x

获取： ()2,,,πφνω-=T A y-x 曲线 波形图 t=0 振动方程:()φω+⋅=t A y cos 获取: ()ωλνλ,,,,T u A =

O 点: 2πφ=

波动方程:⎪⎭⎫ ⎝⎛-

+⋅=x t A y λπφω2cos 三.能量 三.能量

===+=A W const KA E E E K P K ρ222121 ()=+⋅==A W t KA Kx E P P ρφω222221cos 2121 ()=+⋅==A W t A m mv E K ωρφωω2

2222sin 2

121 不守恒

⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θπθ2cos sin 能量密度：222

1ωρA W =

P E 与K E 位相差2

π,不同步调

P K W W , 同步调变化

能流密度：u A u W I

222

1ωρ==

四.叠加：

四.叠加： 1.同向同频谐振动叠加

1.相干波叠加—干涉现象

()111cos φω+⋅=t A x

相干条件：同频同向相差恒定

()222cos φω+⋅=t A x

干涉加强减弱条件

()()

1221212cos ()x x x A t r r πωφψφφλ=+=⋅+∆=--- 相差恒定

()πψφφk A A A A A 2cos 212212

221=∆-++= 加强

21122A A A k +==-πφφ

()πψ12+=∆k 减弱 ()211212A A A k -=+=-πφφ 2

221λδk r r =-= 加强 2

2112211

cos cos sin sin φφφφφA A A A tg ++=

()21221λδ+=-=k r r 减弱 2.同向、近频谐振动叠加 2.驻波 拍:()t A A = t x A y ⋅=ωλπcos 2cos 2

拍频 21ννν-= 1).()x A A x A A '='='λπ2cos 2

()()x A A x A A '=''='min max

波腹 波节

2). t ⋅ω不传播，两波节间各点 同位相，一波节两边各点反位相

波动光学小结

光的波动性光的衍射光的干涉⎭

⎬⎫

光的偏振 光的横波性

三个方面：⎪⎩

⎪

⎨⎧条纹特点原理基本公式装置实验现象)()( 一条线索：计算光程差

n 不同⇒光程不同，2

λ损失⇒光程不同

一、光的干涉

1．理解二个基本概念 1）相干光：

什么是相干光？

如何获得相干光？分波面、分振幅 2）光程：

什么叫光程？nr 光程的物理意义？

光程差概念

2．掌握二类干涉规律： 1）双缝干涉 ①实验现象 ②基本公式：

⎪⎩

⎪⎨

⎧-====-=2)

12(sin 12λλφφδk k D x a

atg a r r 明纹 λa

D k x = ,2,1,0=k

暗纹2

)12(λa D k x += ,2,1=k

③条纹特点：（等间距） 干涉级： k

间距（宽度）：λa

D x x k k =-+1

2）薄膜干涉：

①实验现象： ②基本公式：

22

22212cos 2

2sin 2

n e e n n i λδγλ=+

=-+

（321n n n 或321n n n 附加

2λ） （123n n n 或123n n n 不附加2

λ

）

⎪⎩⎪⎨⎧+=暗明2)12(λλ

δk k

两种特例：

ⅰ：等倾干涉 const e = )(i δδ= ⅱ：等厚干涉 const i = )(e δδ=

劈尖：0=i 2

2λ

δ+=ne

③条纹特点：

ⅰ：=∆e n

e e k k 21λ=

-+

ⅱ：n

l 2sin λθ=

ⅲ：棱边明暗纹取决于n

二、光的衍射

1．理解一个基本原理： 惠更斯——菲涅尔原理 基本点：子波相干 2．掌握两类衍射规律： 1）夫朗和费单缝衍射 ①实验现象 ②基本公式：

波带法：计算光程差 单缝边沿两点的光程差 ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=+===a k k a k k a 2)12(sin 2)12(sin 2

2sin λφλλφλ

φδ明暗 ③条纹特点：

条纹位置：φφsin f ftg x ==

暗纹：a

f k x λ=

明纹：a

f k x 2)12(λ+=

间距：a

f x x x k k λ=-=∆+1

中央明纹宽度：x ∆2 2）光栅衍射：

①实验现象：条纹明亮、暗区宽广 ②基本公式：

λφk b a =+sin )( 明纹 k a

b a k '+= 缺级

)sin (衍射暗级λφk a '=

三、光的偏振： 1．理解三个概念 1）自然光 2）部分偏振光 3）线偏振光 2．理解二条定律：

1）马吕斯定律 α20cos I I =

2）布儒斯特定律：

1

20

n n tgi = 2

0π=+r i

几个概念：光程 波带 缺级

气体动理论小结

1、理想气体状态方程：在平衡态下

RT M

PV μ

=

nkT P =

普适气体常数 R=8.31J/mol 〃K

阿佛伽德罗数 N A =6.023×1023

/mol

玻耳兹曼常数 K=R/N A =1.38×10-23

J/K 2、理想气体压强公式 22

132v m n p =

3、温度的统计意义 22

123v m kT = 4、能量均分定理 平均每个分子每个自由度的能量为kT 2

1。

每一个分子的平均能量为kT i 2

1mol

理想气体的内能RT i

2

M 千克理想气体的

内能 RT i

M 2

μ （:i 分子自由度）

5、速率分布率

N

dv v f N N dN

dv v f Ndv dN v f v v ∆==

=

⎰2

1

)()()(

N

N

dv v f v v ∆=

⎰

)(2

1

三种速率

最可几速率 μ

RT

m kT v p 22=

= 平均速率 πμ

πRT

m kT v 88=

=

方均根速率 μ

RT

m kT v 332=

=

热力学基础小结

内容提要

1、热力学第一定律：

1）平衡过程（准静态过程）：过程进行的每一时刻，系统的状态都是平衡态

2）平衡过程系统对外做的功为PdV dA =

⎰=

2

1

v v PdV

A

3）热量：系统与外界或两个物体之间由于温度不同而交换的热运动能量。 热容量 dT

dQ

C =

定压热容量 P P dT dQ C ⎪⎭⎫

⎝⎛= 定容热容量 V

V dT dQ C ⎪⎭⎫

⎝⎛= 理想气体摩尔热容量

R i

C V 2= R i C P 2

2+=

迈耶公式 R C C V P += 比热容之比 i

i C C r V P 2

+==

4）热力学第一定律：

A E E Q +-=12 PdV dE dQ +=

2、热力学第二定律

1）不可逆过程、可逆过程

各种实际宏观过程都是不可逆的，而且它们的不可逆性又是相互沟通的。

功热转换、热传导、气体自由膨胀等都是不可逆过程

无摩擦的准静态过程是可逆过程 2）热力学第二定律

克劳修斯表述：热不能自动地从低温物体传到高温物体

开尔文表述：热不能自动地全部变成功（从单一热源取热对外做功，而不引起其他变化是不可能的）

应用热力学第一定律解题的基本公式和步骤：

1. 熟悉各理想气体过程的特征

2. 抓住三个基本公式 Q E A =∆+

⎰=2

1

v v P d V A

21()m M

Q c T T μ

=

-

3. 联立M

pV RT μ

=

或过程方程