数列实际应用举例-教案

《7.4数列实际应用举例》教学设计

高中数学新课程创新教学设计案例等比数列

高中数学新课程创新教学设计案例等比数列文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

47 等比数列教学内容分析这节课是在等差数列的基础上，运用同样的研究方法和研究步骤，研究另一种特殊数列———等比数列．重点是等比数列的定义和通项公式的发现过程及应用，难点是应用．教学目标 1. 熟练掌握等比数列的定义、通项公式等基本知识，并熟练加以运用． 2. 进一步培养学生的类比、推理、抽象、概括、归纳、猜想能力． 3. 感受等比数列丰富的现实背景，进一步培养学生对数学学习的积极情感．任务分析这节内容由于是在等差数列的基础上，运用同样的方法和步骤，研究类似的问题，学生接受起来较为容易，所以应多放手让学生思考，并注意运用类比思想，这样不仅有利于学生分清等差和等比数列的区别，而且可以锻炼学生从多角度、多层次分析和解决问题的能力．另外，与等差数列相比等比数列须要注意的细节较多，如没有零项、ｑ≠0等，在教学中应注意加以比较．教学设计一、问题情景在前面我们学习了等差数列，在现实生活中，我们还会遇到下面的特殊数列： 1. 在现实生活中，经常会遇到下面一类特殊数列．下图是某种细胞分裂的模型．细胞分裂个数可以组成下面的数列： 1，2，4，8，… 2. 一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄，通过电子函件进行传播．如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，函件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推．假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么，在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是 1，20，202，203，…

（3）除了单利，银行还有一种支付利息的方式———复利，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”．按照复利计算本利和的公式是本利和＝本金×（1＋利率）存期例如，现在存入银行10000元钱，年利率是%，那么按照复利，5年内各年末得到的本利和分别是（计算时精确到小数点后2位）：表47-1 时间年初本金（元）年末本利和（元）第1年10000 10000× 第2年10000×10000× 第3年10000×10000× 第4年10000×10000× 第5年10000×10000× 各年末的本利和（单位：元）组成了下面的数列：１００００×１０１９８，１００００×１０１９８２，１００００×１０１９８３，１００００×１０１９８４，１００００×１０１９８５．问题：回忆等差数列的研究方法，我们对这些数列应作如何研究二、建立模型结合等差数列的研究方法，引导学生运用从特殊到一般的思想方法分析和探究，发现这些数列的共同特点，从而归纳出等比数列的定义及符号表示：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示（ｑ≠0）．即［问题］ 1. ｑ可以为0吗有没有既是等差，又是等比的数列 2. 运用类比的思想可以发现，等比数列的定义是把等差数列的定义中的“差”换成了“比”，同样，你能类比得出等比数列的通项公式吗如果能得出，试用以上例子加以检验．对于2，引导学生运用类比的方法：等差数列通项公式为ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ，即ａ１与（ｎ－１）个ｄ的和，等比数列的通项公式应为ａｎ等于ａ１与（ｎ－１）个ｑ的乘积，即ａｎ＝ａ１ｑｎ－１．上面的几个例子都满足通项公式． 3. 你如何论证上述公式的正确性．

数列综合应用(放缩法)教案资料

数列综合应用（1） ————用放缩法证明与数列和有关的不等式一、备考要点数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．二、典例讲解 1．先求和后放缩例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足 12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设1 1+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21

③．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列{}n a 满足：11=a ， )3,2,1()21(1Λ=+=+n a n a n n n ．求证： 112 13-++-≥>n n n n a a ④．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1(Λ-+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a ．（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；（2）令n n n n n a a a a b 11+++=，证明： 32221+<++

数列的综合应用

数列的综合应用导学目标： 1.通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简单的实际问题.2.对数列与其他知识综合性的考查也高于考试说明的要求，另外还要注重数列在生产、生活中的应用．自主梳理 1．数列的综合应用数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题．解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会． (1)数列是一种特殊的函数，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法． (2)转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题． (3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想．已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的． (4)分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对公比进行讨论；由S n 求a n 时，要对______________进行分类讨论． 2．数列的实际应用数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数学模型． (1)建立数学模型时，应明确是等差数列模型、等比数列模型，还是递推数列模型，是求a n 还是求S n . (2)分期付款中的有关规定 ①在分期付款中，每月的利息均按复利计算； ②在分期付款中规定每期所付款额相同； ③在分期付款时，商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增值； ④各期付款连同在最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买时到最后一次付款的利息之和．自我检测 1．(原创题)若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 3＝10，则S 11的值为 ( ) A ．12 B ．18 C ．22 D ．44 2．(2017·汕头模拟)在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 6 a 16 等于 ( ) A.23 B.32 C ．－16 D ．－56 3．若{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，把{a n }的每一项都减去2后，得到一个新数列{b n }，设{b n }的前n 项和为S n ，对于任意的n ∈N *，下列结论正确的是 ( ) A ．b n ＋1＝3b n ，且S n ＝1 2(3n －1) B ．b n ＋1＝3b n －2，且S n ＝1 2(3n －1) C ．b n ＋1＝3b n ＋4，且S n ＝1 2(3n －1)－2n D ．b n ＋1＝3b n －4，且S n ＝1 2 (3n －1)－2n

高中数学必修五数列全套教案(知识讲解+经典例题+巩固练习+答案)

数列的概念与简单表示法【学习目标】 1.掌握数列的概念与简单表示方法，能处理简单的数列问题. 2.掌握数列及通项公式的概念，理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系. 3.了解数列的通项公式的意义并能根据通项公式写出数列的任一项. 4.理解数列的顺序性、感受数列是刻画自然规律的数学模型，体会数列之间的变量依赖关系. 【学习策略】数列是自变量为正整数的一类特殊的离散函数，因此，学习数列，可类比函数来理解。关于数列的一些问题也常通过函数的相关知识和方法来解决. 【要点梳理】要点一、数列的概念数列概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列. 要点诠释： ⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.其中数列的第1项也叫作首项. 要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号. 类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质：（1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的；（2）可重复性：数列中的数可以重复；（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的. 数列的一般形式：数列的一般形式可以写成： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a .其中n a 是数列的第n 项. 要点诠释：{}n a 与n a 的含义完全不同，{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项. 要点二、数列的分类根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 要点三、数列的通项公式与前n 项和数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式()n a f n =来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.

高中数学数列教学课件

高中数学数列教学课件高中数学数列教学课件一、教材分析 1、教材的地位和作用：数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面，数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面，学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。 2、教学目标根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标 a在知识上：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入"数学建模"的思想方法并能运用。 b在能力上：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 c在情感上：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于

发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 3、教学重点和难点根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为： ①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式的推导过程及应用。由于学生第一次接触不完全归纳法，对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。同时，学生对"数学建模"的思想方法较为陌生，因此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点。二、学情教法分析：对于三中的高一学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。三、学法指导：在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的

数列的综合应用教案

数列的综合应用教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

11 =+

1、等差数列{}n a 中,若124a a +=, 91036a a +=,则10S =______. 2. 设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若 11a =,21179 d -<<-, 则当n S 取最大值时,n 的值为_ __. 3.在等差数列{}n a 中，S n 是它的前n 项的和，且8776,S S S S ><，给出下列命题：①此数列公差0

7.5数列综合应用[复习+提高]教案

7.5数列综合应用【知识要点回顾】一、数列综合问题中应用的数学思想 1．用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在自然数集上的函数； 2．用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程； 3．用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列的研究； 4．数列综合问题常常应用分类讨论思想，特殊与一般思想，类比联想思想，归纳猜想思想等。二、解决问题的主要思路有 1．把综合问题分解成几个简单的问题 2．把综合问题转化为熟悉的数学问题 3．通过观察，探索问题的一般规律性 4．建立数列模型，使用模型解决问题三、实际问题的数列模型依据实际问题的递推、等差、等比情境，将问题转换为递推数列、等差数列和等比数列，建立数列模型探究和解决实际应用问题。四、注意（1）直接用公式求和时，要注意公式的应用范围和公式的推导过程。（2）求一般数列的前n 项和，无通法可循，为此平时要注意掌握某些特殊数列前n 项和的求法。（3）数列求和时，要注意观察它的特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。【课前小练】 1、某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，6小时后细胞成活的个数是（ B ） A ．63 B ．65 C ．67 D ．71 65 6122)1(1125361 1121==+=∴?-=-∴-===-+a n a a a a a a a n n n n n n 时，，，解： 2、根据市场调查结果、预测某种家用商品从年初开始的几个月内积累的需求量n S （万件）近似的满足：），，，，1221()521(90 2 =--= n n n n S n 按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（ C ） A ．5月，6月 B ．6月，7月

数列教案、考点、经典例题_练习

澳瀚教育学习是一个不断积累的过程，不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海，在学习中一定要持之以恒，相信自己，你一定可以获得成功！高中数学一、定义 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） 2．等差数列的通项公式： d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+) 3．有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d = 11--n a a n ③ d =m n a a m n -- 定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项如数列：1，3，5，7，9，11，13…中 5是3和7的等差中项，1和9的等差中项 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项看来，73645142,a a a a a a a a +=++=+ 性质1：在等差数列{}n a 中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 二．例题讲解。一.基本问题例1：在等差数列{}n a 中 111111(1)(1)2()2, (1)(1)2()2, .m n p q m n p q a a a m d a n d a n m d d a a a p d a q d a p q d d a a a a +=+-++-=++-+=+-++-=++-∴+=+证明：

高中数学精讲教案-数列求和、数列的综合应用

高中数学-数列求和、数列的综合应用考点一数列求和知识点数列的求和方法 (1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 ①等差数列的前n 项和公式： S n ＝ n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1) 2 d . ②等比数列的前n 项和公式： S n ＝????? na 1 ，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. ③常见数列的前n 项和公式： a ．1＋2＋3＋…＋n ＝ n (n ＋1) 2 ； b ．2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n ； c ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2； d ．12＋22＋32＋…＋n 2＝ n (n ＋1)(2n ＋1) 6 ； e ．13＋23＋33＋…＋n 3＝????n (n ＋1)22. (2)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的． (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的裂项公式有： ①1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1； ②1n (n ＋2)＝12??? ?1 n －1n ＋2； ③1(2n －1)(2n ＋1)＝12??? ?1 2n －1－12n ＋1； ④ 1n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n . (4)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的． (5)分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分

等比数列概念优秀教案

等比数列的概念教案教学目标 1．理解等比数列的定义，并能以方程思想作指导，理解和运用它的通项公式． 2．逐步体会类比、归纳的思想，进一步培养学生概括、抽象思维等能力． 3．培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展．教学重点和难点重点：等比数列要领的形成及通项公式的应用．难点：对要领的深刻理解．教学过程设计 (一)引入新课师：前面我们已经研究了一类特殊的数列──等差数列，今天我们一起研究第二类新的数列──等比数列． (板书)三等比数列 (二)讲解新课师：等比数列与等差数列在名字上非常类似，只有一字之差，一个是差，一个是比，你能否仿照等差数列，举列说明你对等比数列的理解． (要求学生能主动的用类比思想，通过具体例子说明对概念的理解) 生：数列1，3，9，27，… 师：你为什么认为它是等比数列呢？生：因为这个数列相邻两项的比都是相等的，所以是等比数列． (先引导学生用自己的语言描述等比数列的特征，但暂时不作评论，以防限制其他学生的思维) 师：这是你对等比数列的理解，不过这个例子中的项是一项比一项大，能否再举一个一项比一项小的．

师：你对等比数列的理解呢？生：数列中每一项与前一项的比都是同一个常数．师：他们对等比数列理解基本相同的，能否再换个样子，举一个例子． (若理解没有什么变化，就不必让学生再重复了) 师：下面再举例子又增加点要求，既然要去研究它，说明它一定有实际应用价值，那么能否再举一个生活中的等比数列例子．生：如生物学中细胞分裂问题：1个细胞经过一次分裂变为2个细胞，这两个细胞再继续分裂成为4个细胞．这样分裂继续下去，细胞个数从1到2到4到8，把每次分裂后所得细胞个数排列好可形成一个数列1，2，4，8，16，…这个数列就是等比数列．师：这个例子举得很好，不仅能够发现生活中的数学问题，还能把数学知识应用在其它学科，其实等比数列的应用是非常广泛的，说明它确有很高的研究价值．说了这么多，也发现了等比数列的特征，能否试着给等比数列下个定义呢？生：如果一个数列的每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．师：作为定义这种叙述还有一点不足，为保证这样比都作得出来，这每一项应从数列的第二项起，否则第一项没有前一项，也就做不出这个比，调整之后，再找一位同学准确描述一下等比数列．生：如果一个数列，从第二项起．每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列叫做等比数列．师：好，就把它作为等比数列的定义记录下来． (板书)1．定义如果一个数列，从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，记作q．

高中数学等比数列教案(完整版).doc

天津职业技术师范大学人教A版数学必修5第48-52页 2.4等比数列理学院数学0801 刘瑞平

等比数列教案一、课题：等比数列二、课型：新授课三、教材分析等比数列的学习在本章中占很大的比重。在日常生活中，人们经常遇到的像存款利息等问题，都需要用有关等比数列的知识来解决。本节内容可以类比等差数列进行教学。四、学情分析学生已经已经有了必要的数学知识储备和一定的数学思维能力，在学完等差数列的基础上，也已经具有了必要的与数列相关的知识。因此，可以通过生活中的例子引入等比数列的概念；然后，再类比等差通项的迭加思想引导学生用迭乘的思想推导等比数列的通项公式。这样，学生既学习了知识又培养了能力。五、教学目标： 1) 知识目标：使学生理解等比数列的概念；学会利用等比数列的定义判断一个数列是否为等比数列；利用通向公式求项。 2) 能力目标：让学生感知数学与生活的普遍联系，培养学生类比的思想方法，掌握迭乘的思想，调动学生积极观察思考。 3) 情感目标：使学生体验数学活动充满着探索，感受数学思维的严谨性，提高学生数学思维的情趣。 4) 教学重点与教学难点教学重点：等比数列的概念教学难点：等比数列通项的推导，有关等比数列的证明。六、教学方法：讲授法，讨论法七、教学过程： 1、导入，设问激疑设问激疑引出课题巩固定义严谨思维类比等差推导通项证明等比揭示内涵设问思考积极探索反思小结培养能力

师：上课之前，先问大家一个问题：一张报纸（厚度大约为0.1mm ），将它对折50次会有多厚？如果拿它做云梯能到哪？（师生互动，一起来分析这道题目）报纸厚度为初始 0.1mm 折叠1次 0.1?2 = 0.1?21 折叠2次 0.1?2?2 = 0.1?22 折叠3次 0.1?2?2?2 = 0.1?23 折叠4次 0.1?2?2?2?2 = 0.1?24 …… 可以猜想得出，折叠50次之后，报纸厚度为 0.1?250 。lg 250 ≈15.05 ，也就是说250 是一个15位整数，2 50 ?0.1mm=1000 10001 .0250??km ，这个数字我们不知道他确切的值是多少，但可以知道它是一个八位数。而地球到月球的距离仅有 385400km （六位数）。（让学生感受事实与想象之间的差距） 2、新课引入回过头来，再次分析报纸的折叠问题。将报纸每次折叠后的厚度，看成是一个数列。初始 0.1mm 折叠1次 0.1?2 = 0.1?21 折叠2次 0.1?2?2 = 0.1?22 折叠3次 0.1?2?2?2 = 0.1?23 折叠4次 0.1?2?2?2?2 = 0.1?24 ……

6.3.4等比数列应用举例(银行贷款计算)

教学内容 §6.3.4等比数列应用举例课时拟1课时第1课时授课时间 15 周 4 节教学目标了解贷款问题，会利用公式计算贷款后每月还款金额重点利用等比数列知识计算还贷问题难点等比数列的应用。教具多媒体板书设计 §6.3.4等比数列应用举例教师活动学生活动备注 *巩固知识典型例题【问题】例7 银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息．小王从银行贷款20万元，贷款期限为5年，年利率为5.76% （2）如果每年一期，分5期等额本息还款（每期以相等的额度平均偿还本息），那么小王每年偿还银行多少钱？【分析】银行借钱出去，为的是得到利息，无论采用什么方式还款，5年后都要受到 55 1.05762026.462886=?=a ．即小王应偿还银行26.462886万元．分期还款是指将有多次还款，偿还的本金和利息被分摊到每期的还款中。在现实生活中有两种还款方法：一种是等本还款，一种是等额还款。等本还款的意思是，贷款人将本金20万分5期，每期还本金4万元。那么第一期实际偿还金额是观察思考主动求解观察思考求解通过例题进一步领会

14200.0576 5.152a =+?=（万元）这是本金变少了，利息重新计算，那么第二期实际偿还的金额是 24(204)0.0576 4.9216a =+-?=（万元）如此类推。等额还款的意思是，每期实际偿还相同的金额x 万元，这笔钱包括这期所产生的利息，减去利息后的数字才是所还的本金。由于还款后所欠贷款数不断减少，因此利息也不断减少，相应的本金不断增大，如何计算出每期的还款金额呢？直接求不出来，用方程的思想：设A 为贷款本金，n 为还款期数，i 为期利率，每期还款a 第一期还款a ，其中利息为Ai,则本金还了：a-Ai 还款后剩余本金为：A-（a-Ai ）=A(1+i)-a 第二期还款a ，其中利息为[A(1+i)-a]i 则本金还了：a-[A(1+i)-a]i= a(1+i)-Ai(1+i) 贷款余额为：[A(1+i)-a]-[ a(1+i)-Ai(1+i)] = A(1+i)2-a- a(1+i) 第三期还款a ，其中利息为[A(1+i)2-a- a(1+i)]i 则本金还了：a-[ A(1+i)2-a- a(1+i)]i = ()()2 2 11a i Ai i +-+ 贷款余额为：[ A(1+i)2-a- a(1+i)]- 领会思考求解

人教版高中数学全套教案数列

第三章数列第一教时教材：数列、数列的通项公式目的：要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。过程：一、从实例引入（P110） 1．堆放的钢管 4,5,6,7,8,9,10 2．正整数的倒数 5 1,41,31,21,1 3．，，，，的不足近似值，，精确到414.141.14.11001.01.012 4． -1的正整数次幂：-1,1,-1,1,… 5．无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,… 二、提出课题：数列 1．数列的定义：按一定次序排列的一列数（数列的有序性） 2．名称：项，序号，一般公式n a a a ,,,21 ，表示法{}n a 3．通项公式：n a 与n 之间的函数关系式如数列1： 3+=n a n 数列2：n a n 1= 数列4：*,)1(N n a n n ∈-= 4．分类：递增数列、递减数列；常数列；摆动数列；有穷数列、无穷数列。 5．实质：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*（或它的有限子集{1，2，…，n }）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。 6．用图象表示：— 是一群孤立的点例一（P111 例一略）三、关于数列的通项公式 1．不是每一个数列都能写出其通项公式（如数列3） 2．数列的通项公式不唯一如数列4可写成 n n a )1(-=和

???-=1 1n a *,2*,12N k k n N k k n ∈=∈-= 3．已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要例二（P111 例二）略四、补充例题：写出下面数列的一个通项公式，使它的前n 项分别是下列各数： 1．1，0，1， 0 *,2 )1(11 N n a n n ∈-+=+ 2．32-，83，154-，24 5，356- 1)1(1)1(2-++?-=n n a n n 3．7，77，777，7777 )110(9 7-?=n n a 4．-1，7，-13，19，-25，31 )56()1(--=n a n n 5．23，45，169，25617 122 12-+=n n n a 五、小结： 1．数列的有关概念 2．观察法求数列的通项公式六、作业：练习 P112 习题 3．1（P114）1、2 《课课练》中例题推荐2 练习 7、8 第二教时教材：数列的递推关系目的：要求学生进一步熟悉数列及其通项公式的概念；了解数列递推公式的意义，会根据给出的递推公式写出数列的前n 项。过程：一、复习：数列的定义，数列的通项公式的意义（从函数观点出发去刻划）二、例一：若记数列{}n a 的前n 项之和为S n 试证明：???-=-1 1S S S a n n n )1()2(=≥n n 证：显然1=n 时，11S a = 当1≠n 即2≥n 时 n n a a a S +++= 21

数列在日常经济生活中的应用教案

§1.4数列在日常经济生活中的应用一、教学目标 1. 知识与技能：（1）掌握等差、等比数列的左义、通项公式、前n项和公式及其应用：（2）了解银行存款的种类及存款计息方式；（3）体会“零存整取”、“宦期自动转存”等日常经济生活中的实际问题：（4）了解"教冇储蓄”. 2. 过程与方法:通过温故、设问、思考、讨论、推导等具体的问题情境，发现并建立等差数列这个数学模型，会利用它解决一些存款汁息问题，感受等差数列的广泛应用. 3. 情感态度与价值观:通过本丹的学习，使学生对等差、等比数列的进一步理解，体会等差、等比数列与日常经济生活紧密相关，引导学生学会思考、交流、讨论、推导与归纳，学会调査学习，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，提髙学生学习数学新知识的兴趣和信心. 二、教学重点：建立“零存整取模型”、“泄期自动转存模型”，并用于解决实际问题；难点：在实际的问题情境中，利用等差、等比数列数学模型，发现并建立“零存整取模型” 与“泄期自动转存模型”；关键：结合例题，分析弄淸“零存整取”与“沱期自动转存”的储蓄方式?“零存整取”是每月存入相同的x元，到期所获的利息组成一等差数列："泄期自动转存”是下期的利息计算以上期的本利和为本金. 三、教法与学法：学生通过对具体问题情境，主动思考，互相交流，共同讨论，总结概括, 发现并建立等差、等比数列这个数学模型，会利用它解决一些存款问题，感受等差、等比数列的广泛应用，从而更好地完成本节课的教学目标. 四、教学过程： 1. 创设情境： ①温故知新：等差数列：等比数列；泄义；通项公式；前n项和公式 ②等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型?例如，存款、贷款、购物（房、车）分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关. 师：同学们，你们经历过存款吗？你们知道储蓄有哪些业务种类？存款有利息吗？ 2. 探索新知：（1）储蓄业务种类①活期储蓄②泄期储蓄（整存整取定期储蓄、零存整取定期储蓄、整存零取左期储蓄、存本取息左期储蓄、左活两便储蓄） ③教育储蓄④个人通知存款⑤单位协定存款

人教版高中数学必修5数列教案

m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a m n n n m n n n n --=--= --=-+=-+==-+1; )1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系：必修5 数列二、等差数列知识要点 1．数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系 ∑==++++=n i i n n a a a a a S 1321 ?? ?≥-==-2 1 1 1 n S S n S a n n n 2．递推关系与通项公式 () 1(),(), ,n n a dn a d a f n kn b k b =+-==+特征：即：为常数 (),,n a kn b k b =+为常数?数列{}n a 成等差数列． 3．等差中项：若c b a ,,成等差数列，则b 叫做c a 与的等差中项，且2 c a b +=；c b a ,,是等差数列?c a b +=2． 4．前n 项和公式：2)(1n a a S n n += ； 2 )1(1d n n na S n -+= 221(),()22 n n d d S n a n S f n An Bn = +-==+特征：即 2,(,)n S An Bn A B =+为常数?数列{}n a 成等差数列． 5．等差数列{}n a 的基本性质),,,(* ∈N q p n m 其中 ⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若，反之不成立； ⑵d m n a a m n )(-=-； ⑶m n m n n a a a +-+=2； ⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列． 6．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：( )( )1n n a a d n N * +-=∈常数 ?{}n a 是等差数列

高三数学一轮复习精品教案1：数列的综合应用教学设计

6.5数列的综合应用考点一等差数列与等比数列的综合问题『典例』 (2011·江苏高考)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．『解析』因为a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，又a 1＝1，所以a 3＝q ，a 5＝q 2，a 7＝q 3.因为a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，所以a 4＝a 2＋1，a 6＝a 2＋2. 法一：因为1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，所以???? ? 1≤a 2≤a 3≤a 4，a 4≤a 5≤a 6， a 7≥a 6，即???? ? a 2 ≤q ≤a 2 ＋1， a 2 ＋1≤q 2 ≤a 2 ＋2，解得 33≤q ≤ 3，故q 的最小值为 3 3. q 3 ≥a 2 ＋2，法二： a 6＝a 2＋2≥3，即a 6的最小值为3.又a 6≤a 7，所以a 7的最小值为3即q 3≥3，解得a ≥ 3 3.故q 的最小值为3 3. 『答案』 33 『备课札记』『类题通法』解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．『针对训练』在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1>1，公比q >0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0. (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n . 解：(1)证明：∵b n ＝log 2a n ，

高中数学高二上册《数列》全套教案

沪教版高中数学高二上册《数列》教案目录 ?7.1 数列（数列的递推公式） (1) ?7.1 数列（数列的递推公式） (7) ?数列的递推关系 (12) ?7.1 (1)数列（数列及通项） (15) ?第三章数列 (23) ?用构造法求数列的通项公式 (25) ?等差数列（二） (31) ?7.2(1)等差数列 (35) ?等差数列 (38) ?等差数列 (40) ?7.2（4）等差数列的通项公式和前 (46) ?7．3（3）等比数列的前n项和（1） (53) ?7.3(4)等比数列的前n项和（2） (59) ?等比数列的前 (64) ?7.4 数学归纳法 (66) ?7.5数学归纳法的应用 (78) ?7．6 归纳—猜想—论证 (85) ?7.7 (2)极限的运算法则 (89) ?数列极限的定义 (99)

?7.8（1）无穷等比数列的各项和（1） (101) ?7.8 (2) 无穷等比数列的各项和（2） (108) ?课题:无穷等比数列各项的和（1） (113) ?无穷等比数列各项的和 (117)

7.1 数列（数列的递推公式）一、教学内容分析本节课是数列的第二课时，教学内容是“数列的递推公式”，学生对数列已有的认知程度：数列的有关概念和数列的通项公式. 二、教学目标设计 1、知道递推公式也是给出数列的一种方法； 2、理解数列通项公式的意义，观察数列项与项之间的内在联系，逐步形成学生的观察能力； 3、通过阅读框图，正确理解算法程序，掌握建立递推关系式的方法，形成数学阅读能力. 三、教学重点及难点重点：理解数列通项公式的意义，利用递推关系式，揭示数列项与项之间的内在联系. 难点：阅读算法程序框图，建立递推关系式. 四、教学用具准备多媒体设备五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入 1．观察 3、6、9、12、15、18、21. ① 2．思考

2019-2020年高考数学专题复习数列的综合应用教案文

2019-2020年高考数学专题复习数列的综合应用教案文 1.数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题. 2.数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、分期付款、合理定价等. 3.解答数列应用题的基本步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意. (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征. (3)求解——求出该问题的数学解. (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中. 4.数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差. (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比. (3)分期付款模型：设贷款总额为a，年利率为r，等额还款数为b，分n期还完，则b ＝r＋r n ＋r n－1 a. [难点正本疑点清源] 1.用函数的观点理解等差数列、等比数列 (1)对于等差数列，由a n＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，a n是关于n的一次函数，对应的点(n，a n)是位于直线上的若干个离散的点.当d>0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常函数，对应的数列是常数列；d<0时，函数是减函数，对应的数列是递减数列. 若等差数列的前n项和为S n，则S n＝pn2＋qn (p、q∈R).当p＝0时，{a n}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题. (2)对于等比数列：a n＝a1q n－1.可用指数函数的性质来理解. ①当a1>0，q>1或a1<0,00,01时，等比数列{a n}是递减数列.

(完整版)高中数学等差数列教案

等差数列教学目的： 1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式教学难点：等差数列的性质教学过程：引入：① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2985，… 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等-----应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列二、讲解新课： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） ⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N + ，则此数列是等差数列，d 为公差 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：d a a =-12即：d a a +=12 d a a =-23即：d a d a a 2123+=+= d a a =-34即：d a d a a 3134+=+= …… 由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+= ∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项a 如数列①1，2，3，4，5，6； n n a n =?-+=1)1(1（1≤n ≤6）数列②10，8，6，4，2，…； n n a n 212)2()1(10-=-?-+=（n ≥1）数列③ ;,1,54 ;53,52;51Λ 5 51)1(51n n a n =?-+=（n ≥1）由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+= 即：d m a a m )1(1--= 则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+-- 即的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=n m a a n m -- 如：d a d a d a d a a 43212345+=+=+=+= 三、例题讲解例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项 ⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？