数列在生活中应用技术
河北师范大学汇华学院
本科生毕业论文
（2012 届）
题目:数列在生活中的应用
系别：数学系
专业：数学与应用数学
班级：三班
作者姓名：王海静学号：2008511915
指导教师：张金莲职称：副教授学历：本科论文成绩：
2012 年 5 月
数列在生活中的应用
摘要：
数学是一门源于生活又用于生活的科学，数学研究是亘古以来人类社会生活中不可缺少的一部分。数列知识有着广泛的应用，如生物种群数量变化，银行中的利息计算，人口增长，粮食增长、住房建设等等问题，都会用到高中的数列知识。本文举例说明，有助于学生认识和理解数列知识。数列计算是数学学习中一个十分重要的分支，并且由于数列的研究与计算同社会经济、资源生活有着紧密的联系，使得对于数列研究的重视热情逐渐高涨，加之具有的灵活多变的计算，趣味横生的问题等，都使得对于数列的研究受到越来越多人的关注。
关键词：数列应用分期付款资源利用
Mathematics is a source from life and for life science, mathematics study is the ancient human society is an indispensable part of life. Sequence calculation is in mathematics learning is a very important branch, and as the series of the study and calculation of the social and economic life, resources are closely linked, which makes the series research attention enthusiasm to upsurge gradually, together with the flexible calculation, interesting problems, makes for the series of research by more and more attention.
Key words: application of series installment resource utilization
1, 引言
数列在我们生活中有着广泛的应用，比如资源计算等领域，在解决投资分配、汇率计算、资源利用分配等方面问题中有着无可比拟的优势。本文将在简述数列广泛应用的基础上，具体分析数列在以上几个生活领域中的应用情况
2，主要内容
第一章：等差等比数列在生活中的应用
一、等差数列的应用题
涉及到等差数列的应用问题时，首先应弄清数列的首项和公差，然后用其通项公式和前n项和公式，并借助不等式的性质解决问题。
例1假设某市2005年新建住房面积400平方米，其中有250平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，加50万平方米，那么，到哪一年底，该市历年所建的中低价房的累计面积（以2500年累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？
解；设中低价房面积构成数列{an}，由题意知{an}是等差数列，其中a1=250，d=50，则
Sn=250n+[n(n-1)/2 ]×50=25n2+225n
令25n2+225n≥4750，即n2+9n-190≥0
解得n≥10，或n≤-19（含去）
故到2014年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米。
二、等比数列的应用题
在解决等比数列与应用问题时，首先应明确是解决第n项的问题，还是解决前n项和的问题，然后运用等比数列的性质解决有关问题。
A、B两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和是3的倍数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着掷，第一次由A开始掷，设第n次由A掷的概率为pn，求pn的表达式（用n 表示）
解：由题意可知，第n次由A掷有两种情况：①第n-1次由A掷，第n
次继续由A掷，此时概率为（12/36）Pn-1=（1/3）P n-1，②第n-1次由B掷，第n次由A掷，此时概率为[1-（12/36）]（1- Pn-1）=（2/3）（1- Pn-1）。
由于这两种情况是互斥的，因此所以数列{Pn-（1/2）}是以P1-（1/2）=（1/2）为首项，-（1/3）为公比的等比数列，于是Pn-（1/2）=（1/2）.（-1/3）n-1 ，即：Pn=（1/2）+（1/2）.（-1/3）n-1
三、递推数列的应用
处理递推数列的应用题时，应先抓住第n项与第n-1项之间的联系去构建递推关系，再根据题议要求去解决问题。
例3，某公司全年纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1至n排序，第一位职工得奖金b/n元，然后再将余额以n发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发燕尾服基金。
（1）设ak（1≤k≤n）为第k位职工所得奖所金额，试求a2，a3，并用k,n 和b表示ak（不必证明）
（2）证明ak＞ak+1（k=1,2……n-1）并解释此不等式关于分配原则的实际意义。
（3）发展基金与n和b有关，记为Pn（b），对常数b，当n变化时，求Pn （b）
解：（1）第1位职工的奖金a1=b/n
第2位职工的奖金a2=（1/n）[1-（1/n）]b，
第3位职工的奖金a3=（1/n）[1-（1/n）]2b，……
第k位职工的奖金ak=（1/n）[1-（1/n）]k-1b，……
例1：在植物组织培养过程中，某细胞在培养基中按照1个分裂为2个，2个分裂为4个，依次分裂下去进行增加，而且每15分钟分裂一次。那么，1小时后，这种细胞会增加到多少个？
解析：这是生物学上的一个比较常见的问题（细菌的分裂已是如此）。应用数列知识我们很快就会求得。
显然，a1＝2，q＝2，n＝4，那么a4＝a1 ×qn-1＝2×23=16（个）
一．单利与复利计算方式与数列
在分期付款和银行存款储蓄中，数列主要是用于利息的
计算，根据单利与复利的不同，建立等差数列或者等比数列的
模型。在单利计算中，若本金为a元。每期利率为P，利息与本
息和可按期数排成剪列；第一期末：利息ax P，本息和a×(1+ p)；第二期末：利息gx 2p，本息和ax(1+2p)；第三期末：利息
a×3p，本息和ax(1+3p)；??第n期末：利息axnp，本息和a×
(1+np)。由此可知，在单利的计算中，利息与本息和都是公差
为印的等差数列。
在复利的计算中，假设本金为a元，每期利率为P，利息
与本息和可按期数排成数列：第一期末：利息axP，本息和ax
(1+p)；第二期末：利息ax(1+p)。P，本息和a×(1+p)2；第三期末：利息ax(1+p)2×P，本息和ax(1+p)’．．．?-第n期末：利息
a×(1+p)“×P。本息和ax(1+p)I．由此可知，在复利的计算中，
利息与本息和都是公比为(1+p)的等比数列。
二． 例述数列在生活中的应用
数学不仅仅是我们生活中的工具，更大程度上是我们生活中的必需品，并影响着人们的生活。以生活中的一个常见问题为例：
某公司全年的利润为b 元，其中一部分作为奖金发给n 位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n 排序，第1位职工得奖金n b 元，然后再将余额除以n 发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.
(1)设a k (1≤k ≤n )为第k 位职工所得奖金金额，试求a 2,a 3，并用k 、n 和b 表示a k (不必证明)；
(2)证明a k ＞a k +1(k =1,2,…,n －1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义；
6.解：(1)第1位职工的奖金a 1=
n b ，第2位职工的奖金a 2=n 1(1－n
1)b ，第3位职工的奖金a 3=n 1(1－n 1)2b ，…，第k 位职工的奖金a k =n 1 (1－n
1)k －1b ; (2)a k －a k +1=21n (1－n 1)k －1b ＞0，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”的原则.
(3)设f k (b )表示奖金发给第k 位职工后所剩余数，则f 1(b )=(1－n
1)b ,f 2(b )=(1－n 1)2b ,…,f k (b )=(1－n 1)k b .得P n (b )=f n (b )=(1－n
1)n b , 故e
b b P n n =∞→)(lim .
例2：在对某地超市进行统计调查后发现，每天购买甲乙两种蔬菜的人数约为200人，且第一天购买甲种蔬菜的第二天会有20%购买乙种蔬菜，第一天购买乙种蔬菜的第二天会有30%购买甲种蔬菜，则据此推算超市应当如何安排甲乙两种蔬菜的进货量。
解决方案:设第n 天购买甲乙两种蔬菜的人数分别为An 、Bn ，则：
An+1=0.8An+0.3Bn;
Bn+1=0.2An+0.7Bn;
由于An+Bn=200，则可推算得An+1=0.8An+0.3（200-An ）
=60+0.5An；
则An+1-120=0.5（An-120）；
可得，{An-120}是以A1-120为首项，0.5为公比的等比数列；
假设，第一天购买甲种蔬菜的有a人，则
An=0.5^（n-1）*（a-120）+120
当n趋近于无穷时，易得，An趋近于120且与a的值无关。
则可知，购买甲种蔬菜的人数稳定在120人，购买一种蔬菜的人数稳定在80人。
上述例题，以生活中常见的一类问题为原型，通过理论求解达到了解决实际问题的目的，这是数列在生活中应用的冰山一角。
三．数列在银行存款储蓄中的应用
银行存款储蓄业务分活期储蓄和定期储蓄，活期储蓄是
指不确定存期，随时可以存取款且存取金额不限的一种储蓄
方式。定期储蓄是在存款时约定存期，一次或按期分次存入
本金，整笔或分期、分次支取本金或利息的一种储蓄方式。定
期储蓄可分为以下几种类型：整存整取、零存整取、整存零取、
存本取息、定活两便和通知存款，其存取方式因类型不同而有
区别。实际生活用的最多的是活期储蓄、整存整取、零存整取
方式。银行存款储蓄业务都按单利计算利息。
在活期储蓄中，每月按30天，每年按360天，以具体天数计
算利息，计单利。例如王某以活期储蓄形式存入银行5000元，
年利率为3％，存期为5个月，则王某所得利息计算公式为：本
金x年利率×存期天数÷360，利息计62．5元，本息和为5062．5元。整存整取是指约定存期，整笔存入，到期一次支取本息的
一种储蓄，利息计笄方式与活期储蓄相似，在约定存期到期后
利息计算方式为本金×约定年利率×约定月数÷12个月。
零存整取与活期储蓄和整存整取业务不同，它不是一次
性存入，而是在按期分次存入本金，到期一次支取本息。该业
务中每期存入间隔时间相同、金额相同的款项成为年金，利息
依然是以单利计算。例如某人计划每月一日存入银行1000
元，若年利率为2％，一年后他本息共计多少元?在不清楚银
行零存整取计算公式的情况下，可用数列知识计算此人到期
时的本息和。第一次存入的1000元到期时的利息为1000x 2％：
_______第二次存入的lO00元到期时的利息为1000x 2％×11+12；第三次存入的1000元到期时的利息为1000x 2％×10+．'12??第
十二次存入的1000元到期时的利息为1000x 2％x 1-12，由此
可知该数列是一个公差为1000×2％+12的等差数列，由数列
和公式可以很快得知利息和为130元，加上本金12000元，本
息合计12130元。该种计算方式与银行提供的利息计算方式：
利息=月存金额×累计月积数×月利率，累计月积数=(存入
次数+1)+2x存入次数，计算出来的结果相同。需要注意的
是，在实际生活中零存整取利息根据利率的调整，每期存入日
期和最终取出日期的不同，利息会有微小的变化。
通过对银行三种常用储蓄方式的计算与分析，数列知识
能帮助我们清楚地辨别在同等情况下使用哪种储蓄方式收益
更高。数列在生活的应用绝不限于银行储蓄、分期付款、贷款几方面，在保险、租赁贸易企业优化方案的设计等方面也不可或缺。
2 数列在分期付款中的应用
分期付款是数列在生活中应用的一种模型，解决问题的
关键是分清单利、复利问题，即是等差数列模型还是等比数列
模型问题。例如某人年初向银行贷款10万元买房，选择lO年
期偿还，偿还贷款的方式是：分IO次等额归还，每年一次，并
从借后次年的年初开始归还，若lO年期贷款的年利率是4％。
且每年的利息均按复利计算，问每年应还多少元?
分析：该例是等比数列的应用，建立等比数列的模型要抓
住：lO万元历经lO年的本息和_某人10次还款的本息总和这
一等量关系．
解：设每年还款x元，则第1次还款的x元到贷款全部还
清时的本息和是x(1+4％)9元，第2次还款的x元到贷款全部
还清时的本息和是x(1+4哟。元，第3次还款的x元到贷款全
都还清时的本息和是x(1+4％)7元，??第lO次还款的X元到
贷款全部还清时的本息和是X元(无利息)。另一方面：IO万
元在lO年贷款期全部还清时的本息之和是10’·(1“％)”
故有：“l+4％)5}+“1+4％H“l+4％卜??+“1刊1％卜x
=l o，·(1+4％：)Io
由等比数列的求和公式得：10，x 1．041“-x(1．04Io．1M1．04．1) 解得x≈12330(元)
上例谈的是分期付款中被绝大多数人采用的等额本息还
款法，即是将一次计算出来的本金与本金在借款期限内产生
的利息之和，平均分配到各还款期，由此得到每次等额的还款
数额。还有一种是等额本金还款法，即每次所还的本金相同，
但利息不同，这不同的利息怎么计算呢?
依然以上面贷款lO万元分lO年还清为例，每年还一次，
并从借后次年的年初开始归还，lO年期贷款的年利率是4％，
不同的是采用等额本金还款方式，那么每年应还款多少元呢?
还款总额又是多少?
分析：依据题意和等额本金计算公式，此人每年还款金额
=(贷款本金／还款年数)+(本金-已归还本金累计额)×每年利
率，每年应还的本金为10／10=1(万元)。
解：第一年应还总额为lO／lO+lOx 4％ffil．4(万元)
第二年应还总额为10／10+(10-1)×4哆红1．36(万元)
第三年应还总额为lo，lo+(10-2)×4％=1．32(万元)
同理，可计算得第四年的还款额为1．28万元，第五年为
1．24万元，第六年为1．2万元，第七年为1．16万元，第八年为1．12万元，第九年为1．08万元，第十年为1．04万元，十年总计
还款总额为12．2万元。
通过对等额本息还款法与等额本金还款法的计算与分析
可知，在生活中若我们会使用数列的知识，在同样的利率、贷
款额度、还款次数情况下，就能准确计算各种
四。环境资源利用中的数列应用
进入21世纪以来，能源的短缺成为困扰人类社会发展的主要问题之一，尤其是不可再生资源的合理有效利用问题，更是人类社会进一步发展需要解决的首
要问题。在土地资源、森林资源、某些再生资源的利用方面，我们可以运用所学到的数列知识，通过建立合适的数学模型进行分析，实现对资源的合理分配和有效利用。
在不可再生资源的利用方面，通常会遇到年使用量与年开采量之间的数量关系问题等，通过数列中的建模，可形成相应的等比等差数列关系，从而进行相应的数列计算得到需要的解答；在生物保护方面的植物研究，数列中的斐波那契数列对于植物叶序与深层组织结构关系的研究也提供了相应的指导；数列在土地荒漠化治理、河流污染控制、水资源与森林资源的开采与控制等方面都有着不同程度的应用。
据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾达到7.4×108吨，占地562.4平方公里，若环保部门每年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问：
(1)2001年回收废旧物资多少吨？
(2)从1996年至2001年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)？
(3)从1996年至2001年可节约多少平方公里土地？
7.解：设a n 表示第n 年的废旧物资回收量，S n 表示前n 年废旧物资回收总量，则数列{a n }是以10为首项，1+20%为公比的等比数列.
(1)a 6=10(1+20%)5=10×1.25=24.8832≈25(万吨)
(2)S 6=2
.016.1101%)201(]1%)201[(1066-?=-+-+=99.2992≈99.3(万吨) ∴从1996年到2000年共节约开采矿石20×99.3≈1986(万吨)
(3）由于从1996年到2001年共减少工业废弃垃圾4×99.3=397.2(万吨)，
∴从1996年到2001年共节约：
一、 84
10
4.7102.3974.562???≈3 平方公里. 二、 第二章 斐波那契数列的应用
斐波那契数列在现实生活中的应用非常广泛，对其进行研究以使其为我们的生活所服务具有很大的意义。
人类很早就从自然界中看到了数学特征：蜜蜂的繁殖规律，树的分枝，钢琴音阶的排列以及花瓣对称排列在花托边缘、整个花朵几乎完美无缺地呈现出辐射对称状……，所有这一切向我们展示了许多美丽的数学模式。而对这些自然、社会以及生活中的许多现象的解释，最后往往都能归结到Fibonacci数列上来。
斐波那契数列在数学理论上有许多有趣的性质，不可思议的是在自然界中也存在着这个性质，似乎完全没有秩序的植物的纸条彼此相隔的距离或叶子的生长凡是，都被斐波那契数列支持着。
2.1 斐波那契数列与花朵的花瓣数
花瓣数是极有特征的。多数情况下，花瓣的数目都是3，5，8，13，21，34，55，…这些数恰好是斐波那契数列的某些项，例如，百合花有3瓣花瓣，至良属的植物有5瓣花瓣；许多翠雀属植物有8瓣花瓣；万寿菊的花瓣有13瓣，更有趣的是，有一位学者细心地数过一朵花的花瓣，发现这朵花的花瓣刚好有157瓣。且他又发现其中有13瓣与其他144瓣有显著的不同，是特别长并卷曲向内，这表明这朵花的花瓣树木是由F1=13和F2=144合成的。
2.2 斐波那契数列与仙人掌的结构
在仙人掌的结构中有这一数列的特征。研究人员分析了仙人掌的形状、叶片厚度和一系列控制仙人掌情况的各种因素，并将所得数据输入电脑，结果发现仙
人掌的Fibonacci数列结构特征能让仙人掌最大限度地减少能量消耗，适应其在干旱沙漠的生长环境。
2.3 斐波那契数列与向日葵种子排列方式
向日葵种子的排列方式，就是一种典型的数学模式。仔细观察向日葵花盘，你就会发现两组螺旋线，一组顺时针方向盘旋，另一组则逆时针方向盘旋，并且彼此相嵌。虽然不同的向日葵品种中，种子顺、逆时针方向和螺旋线的数量有所不同，但往往不会超
出34和55、55和89或者89和144这3组数字，这每组数字就是Fibonacci
数列中相邻的两个数。前一个数字是顺时针盘旋的线数，后一个数字是逆时针盘旋的线数。
2.4 斐波那契数列与台阶问题
只有一个台阶时，只有一种走法，F1=1两个台阶，走法有2种，一阶一阶或者一步上两个台阶，所以F2=2。三个台阶时，走法有一步一阶，2阶再1阶，1阶再2阶，因此，F3=3。四个台阶时，走法有（1，1，1，1），（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1）（，2，2），共5种方法，故F4=5以此类推，有数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，...斐波那契与自然、生活、科学上的联系其实还有很多，但是仅仅从这几个例子上我们就可以看出斐波那契数列的应用的广泛性，由此我们可以看到数学的美其实是无处不在的它是一门科学，同时也是一种语言，一种艺术，它如同盛开的茉莉，洁白淡雅，总而言之，数学与自然、生活相伴相随，共同发展。
2.5 斐波那契数列与蜜蜂的家谱
蜜蜂的“家谱”：蜜蜂的繁殖规律十分有趣。雄蜂只有母亲，没有父亲，因为蜂后所产的卵，受精的孵化为雌蜂（即工蜂或蜂后），未受精的孵化为雄蜂。人们在追溯雄蜂的家谱时，发现1只雄蜂的第n代子孙的数目刚好就是Fibonacci 数列的第n项fn。
2.6 斐波那契数列的其他应用
菠萝果实上的菱形鳞片，一行行排列起来，8行向左倾斜，13行向右倾斜；挪威云杉的球果在一个方向上有3行鳞片，在另一个方向上有5行鳞片；常见的落叶松是一种针叶树，其松果上的鳞片在两个方向上各排成5行和8行；美国松的松果鳞片则在两个方向上各排成3行和5行。
第四章黄金分割的应用
斐波那契数列和黄金比例(也叫黄金分割，Φ，取三位小数是1.618)有密切关系。黄金律，又称黄金分割率，是指把直线段分成两部分，使其中一部分对全部之比等于其余一部分对于这部分之比，即0.618/1=0.382/0.618。0.618是(-l)/2的近似值，一般称之为黄金分割数。这是在公元前6世纪由古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯提出后，又由古希腊著名美学家柏拉图称之为“黄金分割率”的。
4.1 黄金分割的美学应用
欧洲人将此比例广泛用于建筑、生产、生活各个领域，如雅典巴特农神殿巍然屹立的大理石柱，其上、下的比例，以及古埃及胡夫大金字塔的高度和底边长
度之比都符合这个比例。数学家开普勒曾把黄金比值和勾股定理称之为几何学中两大宝藏。被誉为世界艺术珍品的古希腊雕塑、断臂女神“维纳斯”整个体型的比例，以肚脐为界，全身与下身高度的比值恰为1，0.618。我国成人，肩宽和臂宽的平均数均为362毫米，肩峰到臂底的高度为586毫米，躯干的宽度与长度之比为362:586，亦巧合黄金律。尽管世界各族人的形体差异很大，但他们躯干部分的长度与宽度之比却都接近比值。除此之外，一个容貌端庄、五官修整的人，其面部的长、宽比，鼻和唇的宽度与高度之比等，都符合此值，因此人体美是世界最神奇而美妙的艺术造型。
4.2 黄金分割在灾害科学中的应用
（1）当已知一个灾害周期时，很可能还有另外一个较短的周期，它与前者之比符合黄金分割数。例如日、月引起地球的半月高潮往往触发一些灾害，该半月的0.618时段，即9天也是一个易于触发灾害的潮汐周期。这两个周期的拍是前面一个已知周期的1.618倍。
（2）当已知一个灾害周期，但由谷年向峰年的上升时段与由峰年向谷年的下降时段不相等时:它们两者之比往往符合黄金分割数。例如太阳活动的周期为n 年，在其峰年和谷年易产生一些灾害，但由谷年向峰年的上升时段与由峰年到谷年的下降时段是不相等的，上升时段短，约为4.2年，下降时段长，约为6.8年，其比值接近黄金分割数。
（3）造成灾害的物性参数变化往往符合黄金分割数，例如给各种液体加热，其温度由绝对零度增加到临界温度为一区间，在该区间的0.618处或其附近即为
沸点。它是液体状态的重要变化。脆性岩石受力由零值到大破坏时的值为一区间，在该区间的0.38处或其附近岩石内开始产生大量张性小裂缝，此时岩石体积变大，称为扩容，当应力达到该区间的0.618附近时，微破裂频度急剧增加，它是岩石大破坏的一种先兆。在大地震发生前，地壳岩石中横波速度与纵波速度之比有所变化，当它接近或达到0.618时，地震就可能要发生了。另外当岩石中裂缝向完整脆性介质中扩展时其扩展速度由慢变快，达到纵波速度的0.38时地震就发生了。这里所说的速度区间是指广义的形变传播速度，蠕裂的最低速为零，为区间下限。
四、结束语
除了上文中涉及的几个方面外，数列在生活的其他领域都有着广泛的应用。同时，通过对上文数列在生活中应用的几个方面的分析，教师或学生对数列知识在社会生活方面的广泛应用及重要地位也有了初步的了解。只要在以后的学习中，善于学习，善于利用已经学习掌握的知识处理生活中的问题，我们的数学教学就达到了学以致用的目标，数学教学因此也就变得生动而有意义。
致谢语
感谢张金莲老师在论文写作过程中的悉心指导，同时也感谢在论文写作过程中对我帮助的同学.
参考文献：
[1] 徐继光.浅谈数列在金融投资方面的应用[M].浙江绍兴柯桥中学，2007.
[2] 李莉.完善融资租赁合同法律制度的探讨[J].企业技术开发，2007，（15）.
[3] 林志伟.数列在分期付款中应用的教学初探[M].内蒙古：内蒙古师范大学学报，2007.
[4] 王志琴.数列在银行储蓄中的应用[M].南京：中学数学教学参考，2006.
[5] 李乐泉.设备融资租赁巧解电网建设融资难题[J].国家电网，2006，（04）.
[6] 柴中林.关于植物叶序规律的斐波那契[J].中国计量学，2005,13（3）：210-213. 7林志伟数列在分期付款中应用的教学初探【刀内蒙古师范大学学报9晰(B)．8黄富研究性学习课题：数列在分期付款中的应用——分期付款中还获方
式的选择我
数列的实际应用问题
(II )如果将该商品每月都投放市场 (II )要保持每个月都满足供应，则每月投放市场的商品数 P (万 件)应 f (n) 即 1 Pn n(n 1)(35 2n), P 150 1 150 (n 1)(35 2n) 丄(n 2 更n 更) 75 2 2 N ，当n 8时, 1)(35 2n)的最大值为1.14万件即P 至少为1.14万件 练习：听P82例2 例2 ?某外商到一开发区投资 72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费 12万美兀, 出售该厂；②纯利润总和最大时，以 16万元出售该厂，问哪种方案最合算? 解答：由题意知，每年的经费是以 12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关 系为 f (n)，则 f (n) 50n [12n (1 )纯利润就是要求 f(n) 0 , 血 U 4] 72 2n 2 40n 72 2 2n 2 40n 72 (2)①年平均利润 f(n) n 40 2(n 笑)16当且仅当n = 6时取等 口 号。 数列的实际应用问题 例1 .某地区预计从2005年初的前n 个月内，对某种商品的需求总量 f(n)(万件)与月 1 份 n 的近似关系为 f( n) n(n 1)(35 2n)(n N , n 12) 150 (I)求2005年第n 个月的需求量g(n)(万件)与月份 n 的函数关系式，并求出哪个月份 的需求量超过1.4万件。 P 万件，要保持每月都满足供应，则P 至少为多少万件? 以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入 50 万美兀。设f (n)表示前n 年的纯收入 (f (n)前n 年的总收入一前n 年的总支出一投资额) (1)从第几年开始获取纯利润？ (2 )若干年后，外商为开始新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以 48万美元 解得2 n 18。由n N 知从第三年开始获利 解答： (I ) 由题意知， g 1 f (1) g(n) f(n) f (n 1): 1 n(n 150 1 150 n[(n 1)(35 2n) (n 1)(37 1 11 又一 1 (12 1) 25 g(1), 25 由丄 n(12 n) 14 得：n 2 12n 25 即6月份的需求量超过 1.4 万件 1 、11 「 当 2时， 1 2 3- n 150 2n)— 150 25 1)(35 (n 1) n[35 2(n 1)] 2n)] 1 n(1 2 25 n) 1 g(n ) n (12 25 n)(n N , n 12) 35 0, 5 n 7,又n N , n 6
高考数学题型全归纳：数列在生活中的应用(含答案)
数列在生活中的应用 在实际生活和经济活动中、很多问题都与数列密切相关。如分期付款、个人投资理财以及人口问题、资源问题等都可运用所学数列知识进行分析、从而予以解决。与此同时,数列在艺术创作上也有突出的作用! 数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、日用之繁、无处不用数学。这是对数学与生活关系的精彩描述。 首先, 我重点分析等差数列、等比数列在实际生活和经济活动中的应用。 （一）按揭货款中的数列问题 随着中央推行积极的财政政策、购置房地产按揭货款（公积金贷款）制度的推出、极大地刺激了人们的消费欲望、扩大了内需、有效地拉动了经济增长。 众所周知、按揭货款（公积金贷款）中都实行按月等额还本付息。这个等额数是如何得来的、此外若干月后、还应归还银行多少本金、这些人们往往很难做到心中有数。下面就来寻求这一问题的解决办法。 若贷款数额a0元,贷款月利率为p,还款方式每月等额还本付息a元.设第n月还款后的本金为an,那么有: a1=a0(1+p)-a, a2=a1(1+p)-a, a3=a2(1+p)-a, ...... an+1=an(1+p)-a,.........................(*) 将（*）变形、得（an+1-a/p）/（an-a/p）=1+p. 由此可见、{an-a/p}是一个以a1-a/p为首项、1+p为公比的等比数列。日常生活中一切有关按揭货款的问题、均可根据此式计算。 （二）有关数列的其他经济应用问题 数列知识除在个人投资理财方面有较为广泛的应用外、在企业经营管理上也是不可或缺的。一定做过大量的应用题吧！虽然这些应用题是从实际生活中抽象出的略高于生活的问题、但他们是数学习题中最能反映数学知识与实际生活密切关系的一类问题。因此、解答应用问题有助于我们对数学在日常生活中广泛应用的理解和认识。 (三)数列在艺术中的广泛应用
数列的实际应用
数列的实际应用 一、要点·疑点·考点 1.复利公式 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=a(1+r)x 2.产值模型 原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y=N(1+p) x 3.单利公式 利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=a(1+xr) 二、课前热身 1.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个，2小时后分裂成8个，3小时后分裂成16个…，按此规律，6小时后细胞的个数是( ) (A)63 (B)64 (C)127 (D)128 2.一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2KB，工作时3分钟自身复制一次（即复制后所占内存是原来的2倍），那么，开机后_______分钟，该病毒占据64MB （1MB=210KB） 3.某产品的成本每年降低q%，若三年后成本是a元，则现在的成本是( ) (A)a(1+q%)3元(B)a(1-q%)3元 (C)a(1-q%)-3元(D)a(1+q%)-3元 4.某人到银行存了10000元，利息按单利计算，年利率为5%，则他在10年后的为____元 三、例题分析 1. 等差数列模型 例1.一梯形的上、下底长分别是12cm，22cm，若将梯形的一腰10等分，过每一个分点作平行于底边的直线，求这些直线夹在两腰之间的线段的长度的和. 2. 等比数列模型 例2.某市2003年共有1万辆燃油型公交车，有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： （1）该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？ （2）到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的 1/3？3. 等差、等比数列综合问题模型 例3. 在一次人才招聘上，有A，B两家公司分别开出他们的工资标准：A公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元； B公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年月工资基础上递增5%，设某人年初被A，B两家公司同时录取，试问： （1）若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资收入分别是多少？（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不记其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？ 4.递推数列模型 例4.某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b设an为n 年后该地区森林木材存量。 （1）求an的表达式； （2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于7/9a, 如果b=19/72a,那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需经过几年？ 变式练习：某下岗职工准备开办一个商店，要向银行贷款若干，这笔贷款按复利计算(即本年利息计入下一年的本金生息)，利率为q(0＜q＜1).据他估算，贷款后每年可偿还A元，30年后还清. ①求贷款金额； ②若贷款后前7年暂不偿还，从第8年开始，每年偿还A元，仍然在贷款后30年还清，试问：这样一来，贷款金额比原贷款金额要少多少元?
数学方法在物理学中的应用一)
数学方法在物理学中的应用（一） 物理学中的数学方法是物理思维和数学思维高度融合的产物,借助数学方法可使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性,能达到打通关卡、快速简捷地解决问题的目的。高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用,借助物理知识渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题。可以说任何物理试题的求解过程实质上都是一个将物理问题转化为数学问题,然后经过求解再次还原为物理结论的过程。复习中应加强基本的运算能力的培养,同时要注意三角函数的运用,对于图象的运用要重视从图象中获取信息能力的培养与训练。在解决带电粒子运动的问题时,要注意几何知识、参数方程等数学方法的应用。在解决力学问题时,要注意极值法、微元法、数列法、分类讨论法等数学方法的应用。 一、极值法 数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等。 1．利用三角函数求极值 y ＝acos θ＋bsin θ ＝ ( + ) 令sin φ＝ ，cos φ＝ 则有：y ＝ (sin φcos θ＋cos φsin θ) ＝sin (φ＋θ) 所以当φ＋θ＝π2 时，y 有最大值，且y max ＝． 典例：在倾角θ= 30°的斜面上,放置一个重量为200 N 的物体,物体与斜面间的动摩擦因数为μ= 3 3,要使物体沿斜面匀速向上移动,所加的力至少要多大?方向如何?
【解析】设所加的外力F 与斜面夹角为α,物体受力情况如图所示。 由于物体做匀速直线运动,根据共点力的平衡条件,有 F cos α- mg sin θ-f = 0 N +F sin α - mg cos θ = 0 而f =μN 解得:F =α μαθμθsin cos cos (sin ++mg 因为θ已知,故分子为定值,分母是变量为α的三角函数 y=cos + = ( cos + sin ) = (sin cos + cos sin ) = sin(+ ) 其中 sin = ，cos = ，即 tan = 。 当+ = 90 时，即 = 90 - 时，y 取最大值 。 F 最小值为 ,由于 = ，即 tan = ，所以 = 60。 带入数据得 Fmin = 100 N,此时 = 30 。 【名师点睛】根据对物体的受力情况分析,然后根据物理规律写出相关物理量的方程,解出所求量的表达式,进而结合三角函数的公式求极值,这是利用三角函数求极值的常用方法,这也是数学中方程思想和函数思想在物理解题中的重要应用。 2．利用二次函数求极值 二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b a x ＋b 24a 2)＋c －b 24a ＝a (x ＋b 2a )2＋4ac －b 2 4a (其中a 、b 、c 为实常数)，当x ＝－b 2a 时，有极值y m ＝4ac －b 24a (若二次项系数a >0，y 有极小值；若a <0，y 有极大值)。 典例：在“十”字交叉互通的两条水平直行道路上,分别有甲、乙两辆汽车运动,以“十”字中心为原点,沿直道建立xOy 坐标系。在t = 0 时刻,甲车坐标为(1,0),以速度v 0=k m/s 沿 -x 轴方向做匀速直线运
数列在生活中的应用
数列在生活中的应用 摘要： 数学是一门源于生活又用于生活的科学，数学研究是亘古以来人类社会生活中不可缺少的一部分。数列计算是数学学习中一个十分重要的分支，并且由于数列的研究与计算同社会经济、资源生活有着紧密的联系，使得对于数列研究的重视热情逐渐高涨，加之具有的灵活多变的计算，趣味横生的问题等，都使得对于数列的研究受到越来越多人的关注。 关键词：数列应用分期付款资源利用 众所周知，数列是数学知识中的一个重要环节，以具体问题为基础，进行答案的解析是数列学习中的一个重要部分，这就注定了数列是以解决实际问题为目的而存在的。数列在经济生活和资源计算等领域，有着广泛的使用，在解决投资分配、汇率计算、资源利用分配等方面问题中有着无可比拟的优势。本文将在简述数列广泛应用的基础上，具体分析数列在以上几个生活领域中的应用情况。 一、例述数列在生活中的应用 数学不仅仅是我们生活中的工具，更大程度上是我们生活中的必需品，并影响着人们的生活。以生活中的一个常见问题为例： 在对某地超市进行统计调查后发现，每天购买甲乙两种蔬菜的人数约为200人，且第一天购买甲种蔬菜的第二天会有20%购买乙种蔬菜，第一天购买乙种蔬菜的第二天会有30%购买甲种蔬菜，则据此推算超市应当如何安排甲乙两种蔬菜的进货量。 解决方案:设第n天购买甲乙两种蔬菜的人数分别为An、Bn，则： An+1=0.8An+0.3Bn; Bn+1=0.2An+0.7Bn; 由于An+Bn=200，则可推算得An+1=0.8An+0.3（200-An）
=60+0.5An； 则An+1-120=0.5（An-120）； 可得，{An-120}是以A1-120为首项，0.5为公比的等比数列； 假设，第一天购买甲种蔬菜的有a人，则 An=0.5^（n-1）*（a-120）+120 当n趋近于无穷时，易得，An趋近于120且与a的值无关。 则可知，购买甲种蔬菜的人数稳定在120人，购买一种蔬菜的人数稳定在80人。 上述例题，以生活中常见的一类问题为原型，通过理论求解达到了解决实际问题的目的，这是数列在生活中应用的冰山一角。 二、银行储蓄与分期付款中的数列应用 储蓄与贷款与国计民生、社会生活发展息息相关，大到支援国家建设，小到个人家庭的财政支出管理，处处都嵌套着数列的应用。 在人们日常的生活规划中，为未来进行资金储备的零存整取的存储模式是银行储蓄中常见的一种金融计算方式。下面将以某一常见模式为例，进行数列在储蓄领域应用的解析。 设储户每期存入银行的金额为M，利率设为p，储户连续存入n期，那么到第n期期末时，本金数额为nM，在这个过程中，第一期存款利率为pMn，第二期的存款利率为PM(n-1)以此类推，到了第（n-1）期时存款利率为2pM，第n 期存款利率为pM。对上述各阶段的利息求和可得： Sn=Mp+2Mp+……+Mp(n-1)+Mpn =Mp(1+2+……+n-1+n) =1/2n(n+1)Mp 期间，纳税金额为：1/2n(n+1)Mp*20%=1/10n(n+1)Mp 最后，实际取出金额为：nA*1/2n(n+1)Mp-1/10n(n+1)Mp =M[n+2/5n(n+1)p] 这是学生在练习中接触到的一种银行金融储蓄计算方式，是数列应用深入生活，影响生活方面的直接体现。随着社会经济的发展，人们的理财观念也渐渐发生了转变，小额贷款成为了社会生活中的一个热门话题。这就是数列在生活中的
(完整版)案例三数列在购房问题中的应用
《数列的应用举例》 一、知识与技能 1、使学生掌握等差数列与等比数列在购物付款方式中的应用； 2、培养学生搜集、选择、处理信息的能力，发展学生独立探究和解决问题的能力，提高学生的应用意识； 二、教学重点难点 重点：抓住分期付款问题的本质分析问题； 难点：建立数学模型，理解分期付款的合理性。 三、过程与方法 通过创设情境、讲授法、讨论法、直观演示法、练习法提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。 四、情感态度与价值观 通过学生之间，师生之间的交流与配合培养学生的合作意识和团队精神，通过独立运用数学知识解决实际问题，使学生体会学习数学知识的重要性，增强他们对数学学习的兴趣和对数学的情感。 五、实验与教具 多媒体 六、教学过程 创设情境 题型一、等差数列模型（单利问题） 例1、某家庭预购置一套40万元的商品房，要求购房当天首付40% （即16万元），欠款24万元需贷款，贷款期限10年（120个月），每月还欠款2000元，并每月加付欠款利息，月利率为0.4%，购买后下一月当天开始付款，以后每月付款一次，问购买这套商品房实际总价多少元？ 解：按等额本金还款方式，设每月还欠款加所欠款产生的利息为数列a n，贝U： 第一月还欠款以及所欠款产生的利息为：a12000 240000 0.4%， 第二月还欠款以及所欠款产生的利息为：a22000 (240000 2000) 0.4%， 第三月还欠款以及所欠款产生的利息为：a32000 (240000 2000 2) 0.4%， 以此类推： 第n月还欠款以及所欠款产生的利息为：a n2000 [240000 2000 (n 1)] 0.4% ???各月还欠款以及所欠款产生的利息成等差数列 ???10 年还清欠款总额为：S120 120（2960 2008） 298080 （元）2 购买这套商品房实际总价为：S 298080 160000 458080 （元） 答：该家庭购买这套商品房实际总价为458080元。 题后感悟：等额本金还款法，等差数列问题 题型二、等比数列模型（复利问题） 例2、某家庭预购置一套40万元的商品房，要求购房当天首付16万元，欠款24万元需贷款，贷款期限10年（120个月），按分期付款的方式偿还欠款，每月等额还款，月利率为
数列的实际应用举例 教学设计
数列的实际应用举例 清远工贸职业技术学校 班级：13春工学计机3班 蔡健星 【学习目标】 1．掌握以数列知识为数学本质的实际应用问题，涉及增长率问题、复利计算问题等． 2．培养学生用数列知识解决实际问题的能力,提高学生对数学的学习兴趣． 一、复习 1、本单元我们学习了两种数列，分别是：等差数列和等比数列 例如：1,3,5,7,9… 2,5,8,11,14… 2,4,8,16，32… 1,3,9,27,81… 2、两种数列共有八条公式，分别是： 等差数列 等比数列 通项公式： 中项公式： 求和公式： 二、新课讲授 1．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数是（ ） A.9 B.10 C.19 D.20 【解析】设堆成n 层，由题意得1＋2＋3＋…＋n ≤200，即n(n ＋1)≤400成立的最大正整数n 代入检验知n ＝19 2．一套共7册的书计划每2年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这套书的年份是（ ） A.1997 B.1999 C.2001 D.2003 d n a a n )1(1-+=11-=n n q a a 2b a A +=ab G ±=2)(1n n a a n S +=d n n na S n 2)1(1-+=q q a S n n --=1)1(1q q a a S n n --=11
【解析】设出第四册的年份为x 由题意得(x －6)＋(x －4)＋(x －2)＋x ＋(x ＋2)＋(x ＋4)＋(x ＋6)＝13979 即7x ＝13979，∴x ＝1997 ∴x ＋6＝2003 3．夏季高山的温度从山脚起每升高100 m ，降低0.7 ℃，已知山顶温度是14.8 ℃，山脚温度是26 ℃，则山的相对高度是 m ． 【解析】从山脚到山顶温度降低了26 ℃－14.8 ℃＝11.2 ℃ 而每降0.7 ℃，升高100米 11.2 / 0.7 =16 ∴共升高16×100=1600 m ． 4、某林厂年初有森林木材存量S 立方米，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x 立方米，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x 的值是( ) A. B. C. D. 【解析】一次砍伐后木材的存量为：S(1＋25%)－x 二次砍伐后木材存量为［S(1＋25%)－x ］(1＋25%)－x 由题意知%)501(45)45(2+=--S x x S 解得x ＝36S 5、银行有一种储蓄业务叫做零存整取，即每月定时存入一笔相同数目的现金，到约定日期可以取出全部本利和。若某人每月初存入100元，月利率为0.3%，问到第12个月末整取时本利和时多少？ 【分析】本利=本金+利息。第1个月计利12个月，到期本利时100+100×0.3%×12， 第2个月计利11个月，到期本利时100+100×0.3%×11，… 第12个月计利1个月，到期本利时100+100×0.3%×1， 由此可知，每月存入的100元到期本利构成一个等差数列，其和就是所求的1232S 34S 36S 38S
数学在物理中的应用
数学在物理中的应用 陈益尖 前言 物理要创新，不仅仅光靠物理实验，还要有数学做为理论基础。象著名的物理学家——牛顿，谁都可能看到苹果落地，也可想到引力作用，你推导不出规律，而他可以推导出万有引力定律，正因为他有深厚的数学功底，并且会运用数学解决物理问题，而一般人没有。象著名的物理学家——爱因斯坦，由于他有高深莫测数学理论，导出了质能能方程，提出了相对论。他们既是物理学家，又是数学家。 然而，在我们教的学生中，有很多这样学生，数学很好，物理很差，反之，物理很好，数学很差。如何做到两者并进呢？就必须有这样一本指导性的书，让他们学好数学，用好物理，因此，今天，我将自已的《数学与物理》一书，提供给大家，希望喜欢。 目录 第一章、几何与矢量 一、平面几何与矢量 二、解析几何与物理 三、立体几何在物理中的应用
第二章、方程与物理 一、方程与物理 二、判别式的应用 第三章、函数的应用 一、函数图像的应用 二、性质的应用 第四章、三角与物理 第五章、数列与物理 第一章、几何与物理 一、三角形与矢量 矢量，因有三角形而精彩，三角形，因有矢量而实用。在矢量的合成和分解中，我们应用平行四边形定则进行运算，其实在运算过程中，主要是运用三角形性质，解决问题。那么，三角形在矢量中，除了直角三角形（其他资料上，讲的比较多，不再讲）外，其他任意三角形，有哪些应用？ 两个三角形相似比的应用 例1如图所示，绳与杆均不计重力，所承受弹力的最大值一定，A点正上方（滑轮大小及摩擦均可忽略），B端吊一重物
P。现施拉力T将B端缓慢上拉（绳、杆均未断），在杆达到竖直前，下列说法中正确的是 A、绳子越来越容易断 B、绳子越来越不容易断 C、杆越来越容易断 D、杆越来越不容易断 分析：OB绳子的拉、物体的重力、AB杆的弹力共点在B 点，设OB=S（变小），AO=H（定量），AB=L（定量）。滑轮大小不计，对B点受力分析，如图可知△AB O∽△PCB，得出对应边成比例，则 T/G=S/H 即 T=SG/H 变小 N/G=L/H 即 N=LG/H=恒量 可得：B答案正确。 余弦定理的应用 例2、物体受到夹角为120°的两个共点力作用，它们的大小分别为10N、20N，则物体合力的大小为多少？ 分析：根据平行四边形定则，合外力平分的两个三角形，不可能是直角三角形，只能运用余弦定理求解，这两个三角形
数学方法在物理中的应用
数学方法在物理中的应用 方法概述 数学是解决物理问题的重要工具，借助数学方法可使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性，能达到打通关卡、长驱直入地解决问题的目的．中学物理《考试大纲》中对学生应用数学方法解决物理问题的能力作出了明确的要求，要求考生有“应用数学处理物理问题”的能力．对这一能力的考查在历年高考试题中也层出不穷，如2009年高考北京理综卷第20题、宁夏理综卷第18题、江苏物理卷第15题；2008年高考四川理综卷第24题、延考区理综卷第25题、上海物理卷第23题、北京理综卷第24题等． 所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测．可以说，任何物理问题的分析、处理过程，都是数学方法的运用过程．本专题中所指的数学方法，都是一些特殊、典型的方法，常用的有极值法、几何法、图象法、数学归纳推理法、微元法、等差(比)数列求和法等． 一、极值法 数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等． 1．利用三角函数求极值 y ＝a cos θ＋b sin θ＝a 2＋b 2( a a 2＋ b 2cos θ＋b a 2＋b 2sin θ) 令sin φ＝a a 2＋b 2，cos φ＝b a 2＋b 2 则有：y ＝a 2＋b 2(sin φcos θ＋cos φsin θ)＝a 2＋b 2sin (φ＋θ) 所以当φ＋θ＝π2 时，y 有最大值，且y max ＝a 2＋b 2． 2．利用二次函数求极值 二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2 ＋b a x ＋b 24a 2)＋c －b 24a ＝a (x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a (其中a 、b 、c 为实常数)，当x ＝－b 2a 时，有极值y m ＝4ac －b 2 4a (若二次项系数a >0，y 有极小值；若a <0，y 有极大值)． 3．均值不等式 对于两个大于零的变量a 、b ，若其和a ＋b 为一定值p ，则当a ＝b 时，其积ab 取得极大值 p 2 4 ；对于三个大于零的变量a 、b 、c ，若其和a ＋b ＋c 为一定值q ，则当a ＝b ＝c 时，其积abc 取得极大值 q 3 27 ． 二、几何法 利用几何方法求解物理问题时，常用到的有“对称点的性质”、“两点间直线距离最短”、“直角三角形中斜边大于直角边”以及“全等、相似三角形的特性”等相关知识，如：带电粒子在有界磁场中的运动类问题，物体的变力分析时经常要用到相似三角形法、作图法等．与圆有关的几何知识在力学部分和电学部分的解题中均有应用，
第10讲 数列的实际应用
数列的实际应用 主讲教师：庄肃钦 【知识概述】 数列是反映自然规律的重要数学模型，日常生活中的大量实际问题都可以转化为数列问题解决，如增长率、减少率、银行信贷、工厂的生产量、浓度匹配、养老保险、存款利息、出租车收费、校园网问题、放射性物质的衰变等。通过这节课的学习，希望同学们能够掌握数列作为生活工具的应用方法，解决问题。 实际应用题常见的数列模型： 1．储蓄的复利公式：本金为a元，每期利率为r，存期为n期，则本利和y =a(1+r)n. 2．总产值模型：基数为N，平均增长率为p，期数为n，则总产值y = N (1 + p)n. 3．递推猜证型：递推型有a n+1 = f (a n)与S n+1 = f (S n)或S n = f (a n)类，猜证型主要是写出前若干项，猜测结论，并用数学归纳法加以证明. 【学前诊断】 1．[难度] 易 某种细菌在培养过程中每20分钟分裂一次（一次分裂两个），经过3小时，这种细菌由一个可以繁殖为（） A．511个B．512个C．1023 D．1024个 2．[难度] 易 某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价_______. 3．[难度] 中 某工厂连续数年的产值月平均增长率为p%，则它的年平均增长率为_______.
【经典例题】 例1. 银行按规定每经过一定时间结算存（贷）款的利息一次，结息后即将利息并入本 金，这种计算利息的方法叫复利，现在有某企业进行技术改造，有两种方案： 甲方案——一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一 年增加30%的利润； 乙方案——每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年多获 利5千元. 两方案使用贷款期限均为10年，到期一次性归还本息.若银行贷款利息均按 年息10%的复利计算，试比较两种方案哪个获利更多？（计算结果精确到千元， 参考数据：10101.1 2.594,1.313.768==） 例2． 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产 业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15 ，本年度当地旅游业估计收入为400万元，由于该项目建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14 。 （1） 设n 年内（本年度为第一年）总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元，写 出,n n a b 的表达式； （2） 至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ 例3. 某城市2009年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？ 例4. 【本课总结】 对于数列应用题的考查，主要考查学生运用观察、归纳、猜想等手段，建立有关等差(比)数列、递推数列的数学模型，再综合其他相关知识来解决问题的能力.解答数列应用性问题，既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析与解决问题的能力. 解题方法 1.主要模型： （1） 等差数列模型(增加的量或减少的量相同)； （2） 等比数列模型(增长率相同或减少率相同)； （3） 等差数列与等比数列综合模型； （4） 递推数列模型等等.
2020-2021学年苏教版必修五 数列在生活中的应用 学案
2020-2021学年苏教版必修五数列在生活中的应用学案 在实际生活和经济活动中，很多问题都与数列密切相关。如分期付款、个人投资理财以及人口问题、资源问题等都可运用所学数列知识进行分析，从而予以解决。与此同时,数列在艺术创作上也有突出的作用! 数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。这是对数学与生活关系的精彩描述。 首先, 我重点分析等差数列、等比数列在实际生活和经济活动中的应用。 （一）按揭货款中的数列问题 随着中央推行积极的财政政策，购置房地产按揭货款（公积金贷款）制度的推出，极大地刺激了人们的消费欲望，扩大了内需，有效地拉动了经济增长。 众所周知，按揭货款（公积金贷款）中都实行按月等额还本付息。这个等额数是如何得来的，此外若干月后，还应归还银行多少本金，这些人们往往很难做到心中有数。下面就来寻求这一问题的解决办法。 若贷款数额a0元,贷款月利率为p,还款方式每月等额还本付息a元.设第n月还款后的本金为an,那么有: a1=a0(1+p)-a, a2=a1(1+p)-a, a3=a2(1+p)-a, ...... an+1=an(1+p)-a,.........................(*) 将（*）变形，得（an+1-a/p）/（an-a/p）=1+p. 由此可见，{an-a/p}是一个以a1-a/p为首项，1+p为公比的等比数列。日常生活中一切有关按揭货款的问题，均可根据此式计算。 （二）有关数列的其他经济应用问题 数列知识除在个人投资理财方面有较为广泛的应用外，在企业经营管理上也是不可或缺的。一定做过大量的应用题吧！虽然这些应用题是从实际生活中抽象出的略高于生活的问题，但他们是数学习题中最能反映数学知识与实际生活密切关系的一类问题。因此，解答应用问题有助于我们对数学在日常生活中广泛应用的理解和认识。 (三)数列在艺术中的广泛应用
斐波拉契数列在股市中的运用
斐波纳契数列（FibonacciSequence），又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2) （n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果。该数列如今被广泛的应用到了金融投资领域。如江恩时间窗理论。 第一种用法：时间周期这是最简单也最常用的方法。这些数字中，8、13、21、55、144等都是比较重要的短、中期时间。尤其是55，是目前很多股票分析师分析大盘和个股的时候最常说的数字，因为该数字是股价到底（顶）的关键时间点。需要学会使用行情软件。如图：工具>画线工具找到里面的斐波拉契线，从某个股或大盘的最近的阶段最低点或最高点位起点，在工具栏上点击一下“斐波拉契线”然后放在该位置即可出来一系列的竖线。 这个周期只能给投资者在持有时间上一个参考，并不能在操作上给于很大的帮助。但在关键的位置还是有一定的指导意义（尤其是21、55日）。第二种用法：设置均线系统关于均线的设置，很多人都有不同的设置方法，常见的如5、10、30、60、120、250；我们通过多年来的操作和分析经验，认为用斐波拉契数列的数字设置均线在短中线交易中非常有用。如何设置？就是把均线设置成3、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610。 这样全部设置可能太多，在图上看起来很乱，我们可以简化设置关键的数字。我们通常用到的有：3、8、21、55、144、233、377就可以了。如果做短线可以使用3、8、13，其中13日均线是重要位置；如果做中线可以使用8、21、55、144，其中21、55是关键位置；如果做中长线可以使用21、55、144、233，其中144是关键位置。其实只要把这些均线设置出来，就基本可以看出一个股票目前的基本走势了。尤其是55、144日均线，是一个股票能否走出底部或形成头部的生命线。 如下图：
浅析数列在日常生活中的应用
浅析数列在日常生活中的应用 在实际生活和经济活动中, 很多问题都与数列密切相关.如分期付款、个人投资理财以及人口问题、资源问题等都可运用所学数列知识进行分析,从而予以解决. 与此同时,数列在艺术创作上也有突出的作用. 数学家华罗庚曾经说过:"宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,日用之繁,无处不用数学. " 这是对数学与生活关系的精彩描述. 下面笔者将举几个生活中的小例子来浅谈一下数列在日常生活中的运用. 一、在生产生活中 在给各种产品的尺寸划分级别时, 当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时, 常按照等差数列进行分级. 若为等差数列, 且有an=m,am=n. 则a(m+n)=0. 其实等差数列生活中处处可见, 关键是发现它, 并用以解决实际问题. 在路灯的排列、银行的按揭贷款、银行的利息结算等等. 例如1 台电脑售价为1 万元, 如果采取分期付款, 在1 年内将款全部还清的前提下,商家还提供下表所示的几种付款方案(月利率为1%). 假定你的父母为给你创建更好的学习条件,打算买台电脑,除一次性付款外商家还提供三种分期付款方式. 你能帮他们参谋选择一下吗? 方案分几次付清付款方法每期所付款额
方案1.分6 次付清. 购买后2 个月第1次付款, 再过2 个月第2 次付款……购买后12 个月第6 次付款 方案2.分12 次付清. 购买后1 个月第1次付款, 再过1 个月第2 次付款……购买后12 个月第12 次付款方案3.分3 次付清. 购买后4 个月第1次付款,再过4 个月第2 次付款,再过4 个月第3 次付款 分析: 思路1: 本题可通过逐月计算欠款来处理,根据题意,到期还清即第12 个月的欠款数为0 元.设每次应付x 元,则: 二、细胞分裂中的数列 自然界是由许许多多的细胞组成的,细胞分裂产生新的生命, 人的孕育也是由细胞分裂开始的. 以某种细胞为例我们一起来分析一下细胞是如何分裂的.某种细胞每过30 分钟便由 1 个分裂成 2 个,经过 5 小时,这种细胞由 1 个分裂成几个?经过N 小时,细胞由1 个能分裂成几个? 该细胞分裂数是公比为2 的等比数列方式增加. 显然不用减去那最初的一个母细胞了,因为题目问的是:"经过5 小时, 这种细胞由一个分裂成几个,"当然是1024 了,又不是问由一个分裂"出"几个,那就要减去最初的母细胞了. 显然N 时后,该细胞会由一个分裂"成"2(k-1)个(k
数列在现实生活中中的应用及其求解策略
数列在现实生活中得应用及其求解策略 云南会泽县第一中学 郭兴甫 唐孝敬 邮编：654200 数列就是特殊得函数，其与方程、不等式联系紧密，在现实生活中应用广泛，在利用数列解决现实中得问题时，首先要认真审题，深刻理解问题得实际背景，弄清蕴含在问题中得数学关系，把应用问题转化为数学中得等差数列、等比数列问题，然后求解。本文举例说明数列在现实生活中得应用及其求解策略，以期对同学们得学习有所帮助！ 一、方案设计型 例1、某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加%30得利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两次方案得使用期都就是10年，到期一次性归还本息。若银行两种形式得贷款都按年息%5得复利计算，试比较两种方案中，那种获利更多？ （参考数据6.555.1,7.133.1,6.105.1101010≈≈≈） 分析：这就是一道比较常见得数列应用问题，方案选择，由于本息与利润就是熟知得概念，对甲方案，每年得获利满足等比数列；对乙方案，每年获利构成等差数列，因此只需建立通项公式，求与公式，并运用所学过得公式求解即可． 解：对甲种方案获利为：9 2%)301(%)301(%)301(1+++++++Λ 3.423.013.110≈-=（万元） 银行贷款本息与：16%)51(1010≈+?（万元） 故甲种方案纯利：3.26163.42=-（万元） 对乙种方案获利：)5.091()5.021()5.01(1?+++?++++Λ 万元）(5.325.02 910110=??+?= 银行贷款本息与：]%)51(%)51(%)51(1[05.192+++++++?Λ
高中物理解题方法例话：20数列法
6数列法 数列是高中数学的一个重要知识点，近几年高考物理中涉及数列的题目几乎年年出现，而且分量较重。涉及的数列主要有等比数列和等差数列。这类问题都是多次发生作用或有多个过程，某一物理量不断发生变化，但它的变化是有一定规律的。有的是一个等比数列，有的是一个等差数列，只要找出公比或公差，就可以写出它的通式。从而使复杂的变化过程简化。下面分别举例说明。 （1）等比数列类 [例题1]（07年全国卷Ⅰ理综第24题）如图所示,质量为 m 的由绝缘材料制成的球与质量为 M = 19m 的金属球并排悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成θ= 60°的位置自由释放,下摆后在最低点处与金属球发生弹性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离 竖直方向的最大角度将小于 45°。 解析：设在第n 次碰撞前绝缘球的速度为v n －1，碰撞后绝缘 球和金属球的速度分别为v n 和V n 。由于碰撞过程中动量守恒、碰撞前后动能相等，设速度向左为正， 则 m v n -1=MV n －m v n ① 222 1111222 n n n mv MV mv -=+ ② 由①、②两式及M=19m 解得 第n 次碰撞后绝缘球的速度19 10 n n v v -= ③ 即9.010 9 1=== -n n v v q ④ 所以碰撞后绝缘球的速度为以公比9.0=q 的等比数列，所以它速度的通项式 ()09.0v v n n = 第n 次碰撞后绝缘球的动能为 02 0202)81.0(2 1)81.0(])9.0[(2121E mv v m mv E n n n n n ==== ⑤ E 0为第1次碰撞前的动能，即初始能量。 所以第n 次碰撞后绝缘球的动能n E 也是一个等比数列，公比81.0=q
数列在生活中应用技术
河北师范大学汇华学院 本科生毕业论文 （2012 届） 题目:数列在生活中的应用 系别：数学系 专业：数学与应用数学 班级：三班 作者姓名：王海静学号：2008511915 指导教师：张金莲职称：副教授学历：本科论文成绩： 2012 年 5 月
数列在生活中的应用 摘要： 数学是一门源于生活又用于生活的科学，数学研究是亘古以来人类社会生活中不可缺少的一部分。数列知识有着广泛的应用，如生物种群数量变化，银行中的利息计算，人口增长，粮食增长、住房建设等等问题，都会用到高中的数列知识。本文举例说明，有助于学生认识和理解数列知识。数列计算是数学学习中一个十分重要的分支，并且由于数列的研究与计算同社会经济、资源生活有着紧密的联系，使得对于数列研究的重视热情逐渐高涨，加之具有的灵活多变的计算，趣味横生的问题等，都使得对于数列的研究受到越来越多人的关注。 关键词：数列应用分期付款资源利用 Mathematics is a source from life and for life science, mathematics study is the ancient human society is an indispensable part of life. Sequence calculation is in mathematics learning is a very important branch, and as the series of the study and calculation of the social and economic life, resources are closely linked, which makes the series research attention enthusiasm to upsurge gradually, together with the flexible calculation, interesting problems, makes for the series of research by more and more attention. Key words: application of series installment resource utilization 1, 引言 数列在我们生活中有着广泛的应用，比如资源计算等领域，在解决投资分配、汇率计算、资源利用分配等方面问题中有着无可比拟的优势。本文将在简述数列广泛应用的基础上，具体分析数列在以上几个生活领域中的应用情况 2，主要内容 第一章：等差等比数列在生活中的应用 一、等差数列的应用题 涉及到等差数列的应用问题时，首先应弄清数列的首项和公差，然后用其通项公式和前n项和公式，并借助不等式的性质解决问题。
对数在物理中的应用
1对数在物理中的应用 物理学是一门精确的科学，与数学有着密 切的关系。在应用物理知识解决实际问题时， 一般来说都要涉及数学运算、数学推理，处理的 问题愈复杂，应用的数学知识一般也愈高深。 物理学中运用的数学方法最常见的有比例 法、方程(组)法、数列法、函数法、几何(图形辅 助)法、图象法等。有一类物理情景为周期性的 多过程问题，涉及的相关物理量间关系的递推 式为指数或密函数，这类问题的求解一般来说 必须借助对数知识。还有，一些物理实验的结 果处理或误差分析也常常要利用对数知识。1.应用对数知识求解指数方程 有些问题的相关物理量间成指数函数或密 函数，例如a一扩或“一扩，其中a、b为常数，x 为未知，为求解x则必须取对数。 〔例1〕在原子反应堆中，用石墨(碳)作减 速剂使中子减速。已知碳核的质量是中子的12 倍，假设中子与碳核的碰撞是弹性正碰，而且碰 前的碳核都是静止的。设碰撞前中子的动能为 E0，问至少经过多少次碰撞，中子的动能才能小 于10一‘E0(1913=1.114，1911=1.041)?解析:设中子的质量为m，
碳核的质量为 M。碰撞前中子的速度为v0，碰撞后中子的速 度为v，碳核的速度为V。根据动量守恒和机械 能守恒 m跳一mv+MV1 上式为关于碰撞次数n的指数方程，取对数得: 解得:n一41.1 所以至少要碰撞42次，10一6E0。中子的动能才小于[例2〕容积为V0一SL的容器内盛有理 想气体。若用最大容积为△V一。.11，的活塞式 抽气筒抽气，在温度保持不变的情况下抽气多 少次，容器内剩余气体质量是原来的一半?(192 一0.3010，195=0.6989，195.1=0.7075) 解析:设容器中原有气体的质量为俩，压 强P0，抽气一次，整个气体分成V0、△V两部分， 压强由P0变到PI，以容器中原有的气体为研究 对象，由玻意耳定律P。V0一P，(V0+△V)解得: 第二次抽气，