第三章 矩阵的标准形与若干分解形式-2

§5 多项式矩阵的互质性与既约性

一、多项式矩阵的最大公因子

定义3-10 多项式矩阵()λR 称为具有相同列数的两个多项式矩阵()()λλD N ,的一个

右公因子，如果存在多项式矩阵)(λN 和)(λD 使得：

()()()()()()λλλλλλR D D R N N ==,。

类似地可以定义左公因子。

定义3－11 多项式矩阵()λR 称为具有相同列数的两个多项式矩阵()()λλD N ,的一

个最大右公因子（记为gcrd ），如果：

（1）()λR 是()()λλD N ,的右公因子；

（2）()()λλD N ,的任一右公因子()λ1R ，都是()λR 的右乘因子，即存在多项式矩阵

()λW ，使得()()()λλλ1R W R =。

对任意的n n ?与n m ?的多项式矩阵)(λD 与)(λN ，它们的gcrd 都存在。因为

T T T N D R ))(),(()(λλλ=

便是一个。

定理3－13 (gcrd 的构造定理) 对于给定的n n ?和n m ?多项式矩阵()()λλN D ，，如果能找到一个)()(m n m n +?+的单模矩阵()λG ，使得

()()()()()()()()()()?

?

?

???=????????????=??????022211211λλλλλλλλλλR N D G G G G N D G 3-13 则n n ?多项式矩阵()λR ，即为()λN 和()λD 的gcrd 。

证明：（1）证明()λR 是右公因子。

设()()()()()??

????=-λλλλλ222112111F F F F G ，则()()()()()()()()()()()???

???=?

???????????=??????λλλλλλλλλλλR F R F R F F F F N D 2111222112110。

（2）证明()λR 是gcrd 。

设()λ1R 也是()()λλD N ,的右公因子，故有

()()()()()()λλλλλλ1111,R D D R N N ==。由3-13式，

()()()()()

()()()()[]()()()

λλλλλλλλλλλλ111121111211R W R N G D G N G D G R =+=+= □

gcrd 的求法：对矩阵()()()??????=λλλN D M 进行初等行变换，化成()??

?

???0λR 即可。而相应的

初等矩阵的乘积，即是()λG 。

例3-13 设()??

????-+-+=21132

λλλλ

λD ，()()

12,12-+-=λλλN ，求grcd ()λR .

解：

()()??

??

??????--++-++--→??????????+++-++--→????

??????-+-+-+++→??

????????-+--+-+=??????11100110100102101101101001021110100102101101001210102100113222

2322

2322λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ

λλE N D

gcrd 的基本性质：

（1）不唯一性。若()λR 是列数为n 的多项式矩阵()()λλD N ,的gcrd ，而()λW 是任

一单模矩阵，则()()λλR W 也是()()λλD N ,的gcrd 。

（2）若()()λλD N ,的gcrd 是满秩矩阵或单模矩阵，则其它的gcrd 皆为满秩矩阵或

单模矩阵。

（3）对于给定的n n ?和n m ?多项式矩阵()()λλN D ，，当()()n N D rank =??

?

?

??λλ时，它们所有的gcrd 都是满秩矩阵。

（4）若()λR 是n n ?和n m ?多项式矩阵()

()λλN D ，的一个gcrd ，则()λR 可表示为()()()()()λλλλλN Y D X R +=，这里()λX 和()λY 分别是n ×n 和n ×m 多项式矩阵。

注：可以类似建立两个多项式矩阵的最大左公因子（gcld ）的概念。

二、多项式矩阵的互质性

定义3-12 两个具有相同列数的多项式矩阵()()λλN D ，是右（左）互质的，是指它们

的最大右（左）公因子为单模矩阵。

定理3-14（贝佐特（Bezout ）判别准则）两个n n ?和n m ?多项式矩阵()()λλN D ，为

右互质的充分必要条件，是存在两个n n ?和n m ?多项式矩阵()λX 和()λY ，使得下面的贝佐特等式成立：()()()()E N Y D X =+λλλλ。 3-14

证明：（1）必要性：设()λR 是()()λλN D ，的一个gcrd 。由于()()λλN D ，为右互质，

所以()λR 为单模矩阵。在式子()()()()()λλλλλN Y D X R 11+=两端同乘以()λ1-R 即得所证。

（2）充分性：将()()()()()()λλλλλλR D D R N N ==,代入3-14式，得

()()()()[]()E R N Y D X =+λλλλλ，即()λR 是一个单模矩阵。□

定理3-15 两个n n ?和n m ?多项式矩阵()()λλN D ，为右互质的充分必要条件，

是矩阵()()?

?

?

?

??λλN D 的Smith 标准形是??????0E ；而两个m m ?和n m ?多项式矩阵()()λλB A ，为左互质的充分必要条件，是矩阵()()()λλB A ,的Smith 标准形是()0,E 。

证明：（1）必要性：设()

()λλN D ，为右互质的。则由构造定理，存在单模矩阵()λG ，使得

()()()()()λλλλλR E R N D G ??

????=?

?????=??????00， 且()λR 也是单模矩阵。于是有

()()()()?

?

?

???=??????-01E R N D G λλλλ。 3-20

（2）充分性：由3-20式成立，即得()()()()???

???=??????0λλλλR N D G 。

三、多项式矩阵的既约性

多项式矩阵的行次数和列次数：设()()

()

q

p ij m M ?=λλ，则()λM 的第i 行次数是

()(){}λij q

j ri m K deg max 1≤≤=，记为()λδM ri ；第j 列次数是()(){}λij p

i cj m K deg max 1≤≤=，记为

()λδM cj 。

例3－14 若???

???-+++++=423

65224)(3

22λλλλλλλλλM ，则有

21=r K ，32=r K ；21=c K ，32=c K ，13=c K 。

()λM 的列次表示式：()()()λλλlc c kc M H M M +=，

这里(){

}cq

c c K K K c diag H λ

λλ

λ,,,21

=，kc M

为

q p ?的数字矩阵，称为列次系数矩阵。

它的第j 列为()λM 的第j 列中相应于cj

K λ的系数组成的列；()λlc M 为低次剩余多项式矩

阵，满足()()q j K M cj lc cj ,,2,1 =<λδ。

例3－15 设()???

???+-++++=13243

42143

22λλλλλλλλλM ， 则其列次表示式为

??????-+++????

??

?

?

?

???????=1234214340101)(2

3

2

λλλ

λλλλλM

注：()λM 的行列式表示：()∑

=cj

K kc M M λλ＋次数低于

∑cj

K

的各项。

()λM 的行次表示式：()()()λλλlr kr r M M H M +=，

这里(){

}rp

r r K K K r diag H λ

λλ

λ,,,21

=，hr

M

为q p ?的数字矩阵，称为行次系数矩阵。

它的第i 行为()λM 的第i 行中相应于ri

K λ

的系数组成的行；()λlr M 为低次剩余多项式矩

阵，满足()()p i K M ri lr ri ,,2,1 =<λδ。

注：()λM 的行列式表示：()∑

=ri

K kr M M λλ＋次数低于

∑ri

K

的各项。

定义3－13 设()λM 为满秩p 阶多项式矩阵，如果

()()∑∑====p

j cj p j cj K M M 1

1

deg λδλ，

则称()λM 是列既约的；如果()()∑∑====p

i ri p

i ri

K M M 1

1

deg λδ

λ，则称()λM 是行既约的。

例3－16 设有满秩多项式矩阵

()???

???-+++=λλλλλλλ73

422322M

则有3|)(|deg =λM ，∑====2

1

213,

1,2j cj

c c K

K K ，4,2,22

1

21===∑=i ri r r K K K

因此这个多项式矩阵是列既约的，但不是行既约的。 定理3－16 若()λM 为满秩p 阶多项式矩阵，则 （1）()λM 是列既约的充分必要条件是kc M 为满秩的； （2）()λM 是行既约的充分必要条件是kr M 为满秩的。

证明 由于+∑

?=cj

K kc M M λλ|||)(|低次项

故当且仅当0|)(|≠λM 即kc M 为满秩时，始有∑=cj

K

M |)(|deg λ，

亦即)(λM 为列既约的。因而（1）得证。同理可证（2）。

例3－17 对于例3－16的矩阵)(λM ，可求得其列次表示及行次表示为：

列次表示??

????-+????

????????=0342007123)(2

λλλλλM ； 行次表示??

?

???-++??????????

??=λλλλλλλ7342201030

0)(22

M

因此有??????=7123kc M ，??

?

???=0103kr M

故由kc M 满秩知)(λM 是列既约的，但因kr M 不是满秩的，故)(λM 不是行既约的。 注：利用初等变换的方法，即右乘或左乘一个单模矩阵，可以将非既约多项式矩阵化

成既约的。

例3－18 设()??

?

?

??+++-++=30)3()2()3()2(22

2λλλλλλM ，

则)(λM 满秩但非既约。

取单模矩阵??

????+=1301

)(λλG ，??????+=10)2(1)(2λλF 而使得

??

?

???++++-=3)3()3()2(0

)()(2

2λλλλλλG M

及

()??

?

?

?

?+++=300)3()2()(2

2λλλλλM F 都是列既约的。

§6 有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解

1．有理分式矩阵（简称为分式矩阵）：矩阵()()()

n

m ij g G ?=λλ的元素都是有理分式，

即

()()()

n j m i b a g ij ij ij ,,2,1,,,2,1, ===

λλλ

其中)(λij a 与)(λij b 都是λ的多项式。

注：有理分式组成的空间对于四则运算封闭，所以可以类似于数字矩阵那样定义有理分式矩阵的各种运算及概念。在这里矩阵可逆与矩阵满秩就是等价的概念。 2．有理分式矩阵的标准形

定理3－17 设有理分式矩阵()()()

0≠=?n

m ij g G λλ的秩为r (≥1)，则存在m m ?及

n n ?单模多项式矩阵()λP 及()λQ ，使得

()()()()()???

??

?==0λλλλλT M Q G P ， 其中()()()

()()????

??=λλ?λλ?λr r t t T ,,diag 11 ，()()λλ?i i t ,都是首一多项式，且满足条件： 1）()λi t 和()λ?i 互质；2）()()λ?λ?1|+i i ；3）()()λλi i t t |1+。

注：()λM 叫做()λG 的史密斯—麦克米伦（Smith-Mcmillan ）标准形。它的意义在于

为系统分析，特别是分析多变量系统的极点和零点提供了一种重要的工具。

证明：1）的证明：

（1）用()λG 各元素的分母多项式的最小公倍式()λb 乘以矩阵，得到多项式矩阵

()()λλG b 。

（2）()()λλG b 的秩为r ，所以存在m m ?及n n ?单模多项式矩阵()λP 及()λQ ，可

把()()λλG b 化为Smith 标准形：

()()()()()()???

??

?=01

λλλλλT Q G b P ， 这里()()()()λλλr d d diag T ,,11 =，而且()()λλ1|+i i d d 。于是

()()()()()

?

??????

?=01λλλλλb T Q G P 。 （3）把

()()λλb T 1中的每个分式()()()r i b d i ,,1 =λλ化成既约分式()()

()r i t i i ,,1 =λλ?，且

()λ?i 和()λi t 都是首一多项式，即得

()()()???

??

?=0)(λλλλT Q G P 。

（2）及（3）的证明源于()λ?i 和()λi t 的构造方式。□

说明：若有理分式的分子和分母没有公因子，则称这个有理分式是既约的。

例3－19 求有理分式矩阵的标准形

()??

??

?

?

?

?

?

???

?

???+-++++-

+++++-=11)

1(1111111

111)1(12λλλλλλλλλλλλλ

λλλλG 。 解：将)(λG 乘以其元素分母多项式的最小公倍式()1+λλ后，再化为Simith 标准形，

得

()()????

??????+?????????

??-+--=)1(1112222

λλλλλλλλ

λλλλλλG b 。 于是，()???

????

?????

?

??

?++?111)1(1

λλλλG 。 3．有理分式矩阵的分解

定义3－14 设()λG 是n m ?有理分式矩阵。如果存在m m ?满秩（多项式）矩阵()

λ1P 和n m ?多项式矩阵()λ1Q ，使得

()()()λλλ111Q P G -= 3－26

则式3－26称为()λG 的一个左分解，或()λG 的一个左矩阵分式描述。当()λ1P 和

()λ1Q 为左互质时，式3－26称为()λG 的一个左既约分解。

如果存在n n ?满秩（多项式）矩阵()λ2P 和n m ?多项式矩阵()λ2Q ，使得

()()()λλλ122-=P Q G 3－27

则3－27式称为()λG 的一个右分解，或()λG 的一个右矩阵分式描述。当()λ2P 和()λ2Q 为右互质时，3－27式称为()λG 的一个右既约分解。 注意 这里的)(11λ-P 与1

2-P 是指有理分式范围内的逆。

定理3－18 任何n m ?有理分式矩阵()λG 都存在左分解、右分解、左既约分解及右

既约分解。

证明 证法一 思路源于定理3－17中()λG 的标准形的构造过程。

()()()()()()()()λλ?λλλλλλ101

1100-----???????????

?=??????=Q E T P Q T P G r m 其中()()()()

λλλ11

10,,--=r t t diag T ，()()()()

λ?λ?λ?r diag ,,1 =。取

()()()λλλP E T P r m ?????

?=--101，()()()λλ?λ1

10-??????=Q Q ， 就得到()λG 的一个左分解()()()λλλ11

1Q P G -=。

进一步地，令()λR 是()λ1P 和()λ1Q 的最大左公因式，则有

()()()()()()λλλλλλQ R Q P R P ==11,。

即有()λP 和()λQ 是左互质的。由于()λR 可逆，得()()()()()λλλλλQ P Q P G 111

1--==。

□ 有理分式矩阵的左、右分解是不唯一的。 说明左、右分解的存在性可使用下列证法。

证法二 对n m ?有理分式矩阵)(λG ，记第i 行分母的最小公倍式为)(λi b ，则

0)(≠λi b （m i ,,2,1 =）。取)}(,),({)(11λλλm b b diag

P =，则)(1λP 满秩，)()()(11λλλG P Q =为多项式矩阵，从而有)()()(111λλλQ P G -=为一个左分解。

同理，可证右分解的存在性。 例3-20 求传递函数矩阵

()????

?

?

???

??

?

+-

++-++++=2222

2)3()3(1)3()3()2(1s s s s s s s s s s G 的一个右分解及一个左分解。 解 容易求出)(s G 的列最小公分母依次为

221)3()2()(++=s s s d c ，22)3()(+=s s d c

因此得)(s G 的一个右分解

()()()()()()1

22

22

2332211-?

?

?

??

?+++?????

?

-++-+=s s s s s s s s s G 又)(s G 的行的最小公分母为

221)3()2()(++=s s s d r ，22)3()(+=s s d r

所以)(s G 的一个左分解为

()()()()()??

?

?

??-+-++????

??+++=-s s s s s s s s s G 121332)(2

1

22

2

§8 舒尔定理和矩阵的QR 分解

一、舒尔定理

定理3－19（舒尔定理）对于n

n C

A ?∈，存在酉矩阵U ，使得T AU U

H

=。这里T 是

上三角矩阵，且对角线上的元素都是A 的特征值。 证明：设A 的特征值为n λλλ,,,21 。

（1）设1ε为A 的属于特征值1λ的单位特征向量。把1ε扩充为n

C 的一组标准正交基

n ηηε,,,21 ，并设酉矩阵),,,(211n U ηηε =。则

()??

????=??

????

????????=11

21121110*,,,A A A AU U n T n T

T H

ληηεληηε 。 由于相似矩阵具有相同的特征值，所以1A 的特征值是n λλ,,2 。

（2）设12-∈n C ε为1A 的属于特征值2λ的单位特征向量。重复（1）的步骤，可得，

存在1-n 阶酉矩阵2V ，使得

??

?

?

??=22

2120*A V A V H

λ。 令??

?

?

?

?=221V U ，则2U 和21U U 都是n 阶酉矩阵，并且 ????

?

??

??

?=22

1

2112*A U AU U U H H λλ。

（3）继续重复过程（2）3-n 次，可以依次得到)2,,3,2(-=-n k k n 阶的酉矩阵k

V 及相应的n 阶酉矩阵k U ，并令11-=n U U U ，即得所证。□

注1 若A 是实矩阵，且A 的特征值恰好全为实数时，则特征向量可选为实向量，而

上述步骤可以在实数域内进行，因而U 可选为（实）正交矩阵。 注2 舒尔定理可概括为任一复方阵可酉相似于上三角矩阵。类似地有，任一复方阵可酉相似于下三角矩阵。 注3 定理中的酉矩阵和上三角矩阵不是唯一的。这是因为单位特征向量的选择不唯一。

定理3－20 0>?ε，对于n

n C A ?∈，存在可逆矩阵P ，使得

?????

?

??????=-n n n b b b AP P λλλ 22112110，

而且∑=

j i ij

b ,ε。

证明：由舒尔定理，知存在酉矩阵Q ，使得

????

?

????

?

?

?=-n n n AQ Q λρλρρλ

2211211

0。 令()

n r r r F ,,,diag 2 =，其中r 为非零常数。取QF T =，即有

????

?

?

?

??

?????=????

??????

?

?=----n n n n n n n n r r r F F

AT T λρλρρλλρλρρλ

21211121221121

110

0。 选取适当地r ，即得定理的结论。□

二、矩阵的正交三角（QR ）分解

定理3－21（QR 分解定理）设A 为n 阶复数矩阵，则存在酉矩阵Q 及上三角矩阵R ，

使得QR A =。

证明：得到矩阵A 的QR 分解的方法，类似于施密特正交化过程。 （1）设()n A ααα,,,21 =。

若01=α，则取01=β；若01≠α，则取1

1

1ααβ=

。 ()11222,ββααγ-=。若02=γ，则取02=β；若02≠γ，则取2

2

2γγβ=

。 ()()22311333,,ββαββααγ--=。若03=γ，则取03=β；若03≠β，则取3

3

3γγβ=。 ………………………………………………

()∑-=-=1

1

,n i i i n n n ββααγ。若0=n γ，则取0=n β；若0≠n γ，则取n

n

n γγβ=

。

n βββ,,,21 两两正交，并且或者为单位向量，或者为零向量。

（2）反过来，有

1111βαr =，

当01=α时，011=r ；当01≠α时，111α=r 。

2221122ββαr r +=，

当01=β时，012=r ；当02=β时，022=r ；当02≠β时，222β=

r 。

………………………………………………

n nn n n n r r r βββα+++= 2211，

当0=i β时，()1,,1,0-==n i r in ；当0=n β时，0=nn r ；当0≠n β时，n nn r β=

。

于是

()()R Q r r r r r r A nn n n n n 1

222

11211

2121,,,,,,=??

???

????

?

?

?== βββααα。

（3）取出1Q 中的所有非零列向量s i i i βββ,,,21 ，将其扩充为n

C 中的一组标准正交

基s n i i i s -ηηβββ,,,,,,121 。将()s n i i -=,,1 η取代1Q 中出现的第i 个零列向量，产生矩阵Q ，则Q 是酉矩阵。注意到若0=i β，则R 中第i 个行向量为0，所以R Q QR 1=。定理得证。□ 注：当A 是可逆矩阵时，R 的对角线上的元素都是正的。此时的Q 和R 是唯一的。

§9 矩阵的奇异值分解

定理1 设n

m C

A ?∈，则存在酉矩阵P 和Q ，使得

?

?

?

???=000D AQ P H 。

这里()r d d d diag D ,,,21 =，且021>≥≥≥r d d d 。()r i d i ,,2,1 =是A A H

的正

特征值的平方根，称为A 的奇异值。而

H

Q D P A ?

?

????=000 称为A 的奇异值分解。 证明：（1）矩阵A A B H

=是Hermite 矩阵，且特征值非负。

设x 是A A H

的属于特征值λ的特征向量，则()0,≥==x x Ax A x Ax Ax H H H λ，而

()0,>=x x x x H ，所以0≥λ。

（2）寻找Q

设A A H

的特征值为22221,,,n

d d d ，其中021>≥≥≥r d d d ，其余皆为零。

由于A A H

是Hermite 矩阵，所以存在n 阶酉矩阵Q ，使得

(

)

???

?

??

??=00

02

D Q A A Q

H

H

。 （1） 将Q 分块为[]21Q Q Q =，()r n n r

n r n r C Q C Q -?-?∈∈21,。将（1）式写成 (

)

???

?

??

??=00

02

D Q Q A A H

， 则有0,22

11==AQ A D Q AQ A H H 。

（2） 注意到r H E Q Q =

1

1，所以有2

1

1D AQ A Q H

H =，或写成(

)()r H

E

D AQ D

AQ =--1

1

11。

由（2）中的第二式，得022=AQ A Q H

H ，即02=AQ 。

（3）寻找P

令111-=D AQ P ，则r H

E P P =11，即1P

的r 个列是两两正交的单位向量，记做()r p p p P ,,,211 =。将r p p p ,,,21 扩充为m C

的标准正交基，记增添的向量为m r p p ,,1 +，构造矩阵()m r p p P ,,12 +=，则()21P P P =是m 阶酉矩阵，于是可得

()()??????=????????==0000,12121D D P P P AQ AQ P AQ P H H H

H

。□

注：A 的奇异值由A 唯一确定，但P 和Q 一般不是唯一的。

例 求矩阵????

?

?????=000110101A 的奇异值分解。

解 A A B H

=的特征值为3，1，0，对应的特征向量分别为????

?

?????-????

?

?????-??

??

?

?????111,011,211。 2Rank =A ，???

??

?=13D 。

????

???

?????

???

?

--

=310

6

2312161312161Q 。 ??

?

????????????

?

-==-00

212121211

11D

AQ P ，??????????=1002P ，???????

??????

??

?

-

=100

02

1210212

1P 。