仅举三例,可见一斑,不但数形结合的确好,而且同是数形结合,也有不好与好之分,
只有把握住“结合”这一数形结合法的核心,才能把在由数到形这一变换、操作过程中的图形选择的多样性,变成解题的灵活性和创造性.在实际学习中要结合具体问题掌握一些常规的操作策略,例如要画的若是函数图象,那就要设法让要画图象的函数尽可能少含参变量,最好不含参变量,如果一定要含有,也要设法让它在较低次的函数(如一次函数)或在简单函数中含有.只有这样,才能从一个新的层面上去理解、掌握、运用好数形结合法.
【结束语】在数形结合法的学习中,我们还应进一步看到运算、证明的简捷化与严格化是密切相关的,“数学中每一步真正的进步都与更有力的工具和更简单的方法的发展密切联系着,这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的复杂的东西抛到一边.数学科学发展的这种特点是根深蒂固的.”“把证明的严格化与简捷化绝对对立起来是错误的.相反,我们可以通过大量的例子来证实;严格的方法同时也是比较简捷比较容易理解的方法.正是追求严格化的努力驱使我们去寻求更简捷的推理方法”.
数形结合的思想方法(2)---高考题选讲
数形结合思想是一种很重要的数学思想,数与形是事物的两个方面,正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科,才能使人们能够从不同侧面认识事物,华罗庚先生说过:“数与形本是两依倚,焉能分作两边飞.数缺形时少直观,形少数时难入微.”
把数量关系的研究转化为图形性质的研究,或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究,这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略,就是数形结合的思想.数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维与形象思维结合起来.
在使用过程中,由“形”到“数”的转化,往往比较明显,而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识,因此,数形结合思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化.
考试中心对考试大纲的说明中强调:“在高考中,充分利用选择题和填空题的题型特点,为考查数形结合的思想提供了方便,能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识,而在解答题中,考虑到推理论证的严密性,对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法,
解答题中对数形结合思想的考查以由‘形’到‘数’的转化为主.”
1. 注重图形的内涵与拓展,突出对数字直觉能力的考查
【例1】图1有面积关系则由图2有体积关系:_______.
解:
【点评】本题注重考查图形分析能力.思维方式上从平面向空间
拓展,面积与体积类比,直观类比与猜想并举.体现了高考题以能力
立意考查注重素质的命题原则.
【例2】如图所示,已知椭圆=1的左、右焦点分别为
F1,F2,点P在椭圆上,若F1,F2,P是一个直角三角形的三个顶
点,则点P到x轴的距离为().
解:以O为圆心以OF1为半径画圆,可知此圆与椭圆无交点,则△F1F2P中∠PF1F2(或∠PF2F1)为直角,如此求出P点坐标即得yp=±,故选D.
【点评】本题以作图直观判断为突破口,直觉与逻辑推理互动,化解析几何问题为平面几何问题,化计算为判断,在理性的高度认识问题.
【例3】某城市各类土地租价y(万元)与该地段和市中心的距离x(km)关系如图所示.其中l1表示商业用地,l2表示工业用地,l3表示居住用地.要使各类用地租金收入最高,应将工业用地划在().
A. 与市中心距离分别为3km和5km的圆环型区域上
B. 与市中心距离分别为1km和4km的圆环型区域上
C. 与市中心距离为5km的区域外
D. 与市中心距离为5km的区域内
解:由函数y的实际意义知:在区间(1,4)上,即在与市中心距离分别为1km和4km的圆环型区域上,工业用地的租金大于商业用地的租金和居住用地的租金,为了获取最高的租金,因此这个区域应租用给工业,故选B.
【点评】这道题考查的是阅读理解能力,提醒我们在日常的学习中,要注意训练直觉思维,养成整体观察、检索信息、把握问题实质的良好习惯.
2. 注重绘图,突出对动手能力和探究性学习的考查
【例4】设奇函数f(x)定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)图象如下图,则不等式f(x)<0的解集是____.
解:由奇函数的图象关于原点对称,完成f(x)在定义域内的图象,再由f(x)<0找出使f(x)图象在x轴下方的区域,从而得到不等式f(x)<0的解集为(-2,0)∪(2,5].
【点评】用数形结合的方法去分析解决问题除了能读图外,还要能画图.绘制图形既是数形结合方法的需要,也是培养我们动手能力的需要.
【例5】设集合U={(x,y)x∈R,y∈R},A={(x,y)2x-y+m>0},B={(x,y)x+y-n≤0},那么点P(2,3)∈A∩(B)的充要条件是().
A. m>-1,n<5B. m<-1,n<5
C. m<-1,n>5D. m>-1,n>5
解:先假定点P(2,3)在直线2x-y+m=0和直线x+y-n=0上,则m=-1,n=5.再确定两个不等式2x-y-1>0和x+y-5>0所共同确定的区域,平移两直线得到答案A.
【点评】此题考查了集合、二元一次不等式表示的区域、充要条件等知识.以运动、变化、联系的观点考虑问题,变静态思维方式为动态思维方式,强调辨证思维能力.
3. 注重对思维的灵活性和创造性的考查
【例6】已知点P是椭圆上的动点,F1,F2分别是左、右焦点,O为原点,则
的取值范围是().
解:此题的一种解法是:在△PF1F2中,根据中线定理得:PF12+PF22=2OP2+2F1O2,再由椭圆定义,得到(PF1-PF2)2=OP2-16,由2≤OP≤2得答案D.另一种解法是数形结合,根据P点所处
的位置对取值的影响来判断出结论.逐渐移动P点到长轴端点,OP值逐渐增大,
逐渐接近,当移动P点到短轴端点时PF1=PF2,取最
小值0.从而判断出答案为D.
【点评】解法二是采用极端性原则变静态思维方式为动态思维方式,把数与形分别视为运动事物在某一瞬间的取值或某一瞬间的相对位置.运用动态思维方式处理、研究问题,揭示了问题的本质,体现了思维的灵活性.
4. 注重方法的通用性、应用性,突出能力考查
【例7】电信局为了满足客户的不同需求,制定了A,B两种话费计算方案.这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如下图所示(MN∥CD).
(1)若通话时间为2小时,按方案A,B各付话费多少元?
(2)方案B从500钟以后,每分钟收费多少元?
(3)通话时间在什么范围内方案B才会比方案A优惠?
解:由M(60,98),C(500,168),N(500,230).
∵MN∥CD.
设这两方案的应付话费与通话时间的函数关系式分别为f A(x),f B(x),
(1)通话两小时的费用分别是116元和168元.
(2)由f B(n+1)-f B(n)=0.3(n>500)或由直线CD的斜率的实际意义知方案B从500分钟以后每分钟收费0.3元.
(3)由图知:当0≤x≤60时f A(x)500时f A(x)>f B(x);当60f B (x)得x>,即通话时间为(,+∞)时方案B较优惠.
【评析】此题在实际问题中融入函数,直线等知识,考查了阅读理解能力,体现了在知识应用过程中对能力的考查.
下面就高考中出现的一些相关题进行点评
【例8】. 若方程lg(-x2+3x-m)=lg(3-x)在x∈(0,3)内有唯一解,求实数m的取值范围。
【分析】将对数方程进行等价变形,转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题,再利用二次函数的图像进行解决。
【解】 原方程变形为 30332->-+-=-???
x x x m x 即:30212->-=-???
x x m () 设曲线y 1=(x -2)2 , x ∈(0,3)和直线y 2=1-m ,图像如图所示。由图可知:
① 当1-m =0时,有唯一解,m =1;
②当1≤1-m<4时,有唯一解,即-3∴ m =1或-3此题也可设曲线y 1=-(x -2)2+1 , x ∈(0,3)和直线y 2=m 后画出图像求解。
【注】 一般地,方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时,可以借助于函数的图像直观解决,简单明了。此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况,还可用分离参数法来求(也注意结合图像分析只一个x 值)。
【例9】. 直线L 的方程为:x =-p 2 (p>0),椭圆中心D(2+p 2
,0),焦点在x 轴上,长半轴为2,短半轴为1,它的左顶点为A 。问p 在什么范围内取值,椭圆上有四个不同的点,它们中每一个点到点A 的距离等于该点到直线L 的距离?
【分析】 由抛物线定义,可将问题转化成:p 为何值时,以A 为焦点、L 为准线的抛物线与椭圆有四个交点,再联立方程组转化成代数问题(研究方程组解的情况)。
【解】 由已知得:a =2,b =1, A(p 2
,0),设椭圆与双曲线方程并联立有: y px x p y 22222241=-++=?????
??[()],消y 得:x 2-(4-7p)x +(2p +p 24)=0 所以△=16-64p +48p 2>0,即6p 2-8p +2>0,解得:p<13
或p>1。 结合范围(p 2,4+p 2
)内两根,设f(x)=x 2-(4-7p)x +(2p +p 24), 所以
p 2<472-p <4+p 2即p<12,且f(p 2)>0、f(4+p 2
)>0即p>-4+32。 结合以上,所以-4+32
【例10】. 设a 、b 是两个实数,A ={(x,y)|x =n ,y =na +b} (n ∈Z ),B ={(x,y)|x =m ,y =3m 2
+15} (m ∈Z),C ={(x,y)|x 2+y 2≤144},讨论是否,使得A ∩B ≠φ与(a,b)∈C 同时成立。
【分析】集合A、B都是不连续的点集,“存在a、b,使得A∩B≠φ”的含意就是“存在a、b使得na+b=3n2+15(n∈Z)有解(A∩B时x=n=m)。再抓住主参数a、b,则此问题的几何意义是:动点(a,b)在直线L:nx+y=3n2+15上,且直线与圆x2+y2=144有公共点,但原点到直线L的距离≥12。
【解】由A∩B≠φ得:na+b=3n2+15 ;
设动点(a,b)在直线L:nx+y=3n2+15上,且直线与圆x2+y2=144有公共点,
所以圆心到直线距离d=||
315
1
2
2
n
n
+
+
=3(n21
++
4
1
2
n+
)≥12
∵ n为整数∴上式不能取等号,故a、b不存在。
【注】集合转化为点集(即曲线),而用几何方法进行研究。此题也属探索性问题用数形结合法解,其中还体现了主元思想、方程思想,并体现了对有公共点问题的恰当处理方法。
本题直接运用代数方法进行解答的思路是:
由A∩B≠φ得:na+b=3n2+15 ,即b=3n2+15-an (①式);
由(a,b)∈C得,a2+b2≤144 (②式);
把①式代入②式,得关于a的不等式:
(1+n2)a2-2n(3n2+15)a+(3n2+15)2-144≤0 (③式),
它的判别式△=4n2(3n2+15)2-4(1+n2)[(3n2+15)2-144]=-36(n2-3)2
因为n是整数,所以n2-3≠0,因而△<0,又因为1+n2>0,故③式不可能有实数解。
所以不存在a、b,使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立
【例11】已知f(x)=ax+b,2a2+6b2=3,证明对任意x∈[-1,1]恒有f(x)≤.
【点拨】从等式2a2+6b2=3联想到几何图形:椭圆.于是一个好解法出现了.
这
是本题的一个优美解,从等式的外形联想到构造一个几何图形,思维在数和形的天地里驰骋.
【例12】设p=(log 2x )2+(t-2)log 2x+1-t ,当t ∈[-2,2]时恒有p>0,求x 的范围.
【点拨】初读,无论如何与图形挂不起钩来,但t 的范围不是确定了吗?而且发现p 是关于t 的一次函数.这个发现好极了,一次函数的图象太简单了,于是按t 降幂排列:p=f (t )=(log 2x-1)t+log 22x-2log 2x+1, ∵ t ∈[-2,2]时p>0恒成立(如图2),
∴ f (-2)>0且f (2)>0,
∴ x>8或0简捷吧?数与形和谐地统一,使得问题真正化繁为简了.
【例13】设x≥1,求点A(x+,x-)与点B(1,0)之间的距离的最小值.
【点拨】A是个动点,这个动点在坐标平面上的轨迹图形是什么呢?
令z=x+,y=x-,
则y 2-z 2=-4(z≥2).
这个表达式太熟悉了,它的图象是双曲线的一支.
用不着画出图形来,在脑子里做想像,我们准确地判断ABmin=1.
【点拨】机敏的读者一下子发现了一个熟悉的图形:椭圆.这样,思路纳入了解析几何的轨道,下面的解法,当然与解析几何紧密地联系在一起了.
如图3所示,设椭圆的长轴为2a ,焦距为2c ,
丰富的想像,是数向形转化的前提,外形的启发,是构造图象的直接提示.数形结合,既有它的优越性又有其局限性,它决非放之四海而皆准,只有那些因为数形结合而使得解答简捷的问题,我们才选用.
【例14】
【例15】
2016届高考数学经典例题集锦:数列(含答案)
数列题目精选精编 【典型例题】 (一)研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. (1)求32,a a ; (2)证明: 312n n a -= . 解:(1)2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . (2)证明:由已知1 13 --=-n n n a a ,故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= , 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)等差数列{}n b 的各项为正,其前n 项和为n T ,且315T =,又112233,,a b a b a b +++成等比数列,求n T . 解:(Ⅰ)由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥, 两式相减得:112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥, 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1,公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= (Ⅱ)设{}n b 的公差为d ,由315T =得,可得12315b b b ++=,可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+,又1231,3,9a a a ===, 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+,解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正,∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同,且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立,数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; ⑵是否存在N k * ∈,使得(0,1)k k b a -∈,请说明理由. 点拨:(1)2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式,可以联想到已知n S 求n a 的方法,当2n ≥时,1n n n S S a --=. (2)把k k a b -看作一个函数,利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解:(1)已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N )① 2n ≥时,212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N )②
高中数学典型例题详解和练习- 求分段函数的导数
求分段函数的导数 例 求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导数 分析:当0=x 时因为)0(f '存在,所以应当用导数定义求)0(f ',当 0≠x 时,)(x f 的关系式是初等函数x x 1 sin 2,可以按各种求导法同求它的导数. 解:当0=x 时,01sin lim 1 sin lim ) 0()(lim )0(0200 ===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当 ≠x 时, x x x x x x x x x x x x x x x f 1 cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明:如果一个函数)(x g 在点0x 连续,则有)(lim )(0 0x g x g x x →=,但如 果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续,不能认为 )(lim )0(0 x f f x →='. 指出函数的复合关系 例 指出下列函数的复合关系. 1.m n bx a y )(+=;2.32ln +=x e y ; 3.)32(log 322+-=x x y ;4.)1sin(x x y +=。 分析:由复合函数的定义可知,中间变量的选择应是基本函数的结构,解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次,一般是从最外层开始,由外及里,一层一层地分析,把复合函数分解成若干个常
见的基本函数,逐步确定复合过程. 解:函数的复合关系分别是 1.n m bx a u u y +==,; 2.2,3,ln +===x e v v u u y ; 3.32,log ,322+-===x x v v u y u ; 4..1,sin ,3x x v v u u y +=== 说明:分不清复合函数的复合关系,忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式,而最内层可以是关于自变量x 的基本函数,也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数,导致陷入解题误区,达不到预期的效果. 求函数的导数 例 求下列函数的导数. 1.43)12(x x x y +-=;2.2 211x y -= ; 3.)3 2(sin 2π +=x y ;4.21x x y +=。 分析:选择中间变量是复合函数求导的关键.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的复合关系.要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体,这个暂时的整体,就是中间变量.求导时需要记住中间变量,注意逐层求导,不遗漏,而其中特别要注意中间变量的系数.求导数后,要把中间变量转换成自变量的函数.
(完整版)数形结合思想例题分析(可编辑修改word版)
(1- a )2 + b 2 a 2 + (1- b )2 (1- a )2 + (1- b )2 (1- a )2 + b 2 a 2 + (1- b )2 (1- a )2 + (1- b )2 y r x 数形结合思想例题分析 一、构造几何图形解决代数与三角问题: 1、证明恒等式: 例 1 已知 x 、 y 、 z 、 r 均为正数,且 x 2 + y 2 = z 2 , z ? = x 2 求证: rz = xy . C A B z 分析:由 x 2 + y 2 = z 2 , 自然联想到勾股定理。由 z ? = x 2 . 可以联想到 射影定理。从而可以作出符合题设条件的图形(如图)。对照图形,由直角三角形面积的两种 算法,结论的正确性一目了然。 证明:(略) 小结:涉及到与平方有关的恒等式证明问题,可构造出与之对应的直角三角形或圆,然后利用图形的几何性质去解决恒等式的证明问题。 2、证明不等式: 例 2 已知:0< a <1,0< b <1. 求证 + + + ≥ 2 2. 证明:如图,作边长为 1 的正方形 ABCD ,在 AB 上取点 E ,使 AE= a ;在 AD 上取点 G ,使 AG= b , 过 E 、G 分别作 EF//AD 交 CD 于 F ;作 GH//AB 交 BC 于 H 。设 EF 与 GH 交于点 O ,连接 AO 、BO 、CO 、DO 、AC 、BD. 由题设及作图知△ AOG 、△ BOE 、△ COF 、△ DOG 均为直角三角形,因此 OA = OB = OC = OD = 且 AC = BD = 由于 OA + OC ≥ AC , OB + OD ≥ BD . 所以: + + + ≥ 2 2. x 2 - r 2 x 2 - r 2 a 2 + b 2 a 2 + b 2 (1- a )2 + b 2 (1- a )2 + (1- b )2 a 2 + (1- b )2 2 a 2 + b 2
数形结合的思想
数形结合的思想 中学数学的基本知识分三类:一类是纯粹数的知识,如实数、代数式、方程(组)、不等式(组)、函数等;一类是关于纯粹形的知识,如平面几何、立体几何等;一类是关于数形结合的知识,主要体现是解析几何。数形结合是一个数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。恩格斯曾说过:“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几何直观,使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起,充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题化难为易、化繁为简,从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾,宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过:数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休。数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意
义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围。数学中的知识,有的本身就可以看作是数形的结合。如:锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的;任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
高一数学平面向量知识点及典型例题解析
高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一.【要点精讲】 1.向量的概念 ①向量:既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模(长度),记作|AB u u u r |.即向量的大小,记作|a |。向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,规定0r 平行于任何向量。(与0的区别) ③单位向量| a |=1。④平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量,记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2.向量的运算(1)向量加法:求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图,已知向量a ,b ,在平面内任 取一点A ,作AB u u u r a ,BC u u u r b ,则向量AC 叫做a 与b 的和,记作a+b ,即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况: a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加: AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ,但这时必须“首尾相连”。②向量减法: 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”(1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量。(2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.(3)实数与向量的积 3.两个向量共线定理:向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ,使得b =a 。 二.【典例解 析】 题型一: 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
高中数学经典例题错题详解
高中数学经典例题、错 题详解
【例1】设M={1、2、3},N={e、g、h},从M至N的四种对应方式,其中是从M到N的映射是() M N A M N B M N C M N D 映射的概念:设A、B是两个集合,如果按照某一个确定的对应关系f,是对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有一个确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射。 函数的概念:一般的设A、B是两个非空数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,这样的对应叫集合A到集合B的一个函数。(函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应) 映射与函数的区别与联系: 函数是建立在两个非空数集上的特殊对应;而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应;函数是特殊的映射,是数集到数集的映射,映射是函数概念的扩展,映射不一定是函数,映射与函数都是特殊的对应。 映射与函数(特殊对应)的共同特点:○1可以是“一对一”;○2可以是“多对一”;○3不能“一对多”;○4A中不能有剩余元素;○5B中可以有剩余元素。 映射的特点:(1)多元性:映射中的两个非空集合A、B,可以是点集、数集或由图形组成的集合等;(2)方向性:映射是有方向的,A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射;(3)映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象,不要求B中的每一个元素都有原象;(4)唯一性:映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的;(5)一一映射是一种特殊的映射方向性 上题答案应选 C 【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”,所以A、B、D都错误;只有C完全满足映射与函数(特殊对应)的全部5个特点。 本题是考查映射的概念和特点,应在完全掌握概念的基础上,灵活掌握变型题。 【例2】已知集合A=R,B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx:→(x+1、x2),(1)求2在B 中的对应元素;(2)(2、1)在A中的对应元素 【分析】(1)将x=2代入对应关系,可得其在B中的对应元素为(2+1、1);(2)由题意得:x+1=2,x2=1 得出x=1,即(2、1)在A中的对应元素为1 【例3】设集合A={a、b},B={c、d、e},求:(1)可建立从A到B的映射个数();(2)可建立从B到A的映射个数() 【分析】如果集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则集合A到集合B的映射共有n m 个;集合B到集合A的映射共有m n个,所以答案为23=9;32=8 【例4】若函数f(x)为奇函数,且当x﹥0时,f(x)=x-1,则当x﹤0时,有() A、f(x) ﹥0 B、f(x) ﹤0 C、f(x)·f(-x)≤0 D、f(x)-f(-x) ﹥0 奇函数性质: 1、图象关于原点对称;? 2、满足f(-x) = - f(x)?; 3、关于原点对称的区间上单调性一致;? 4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f(0)=0;? 5、定义域关于原点对称(奇偶函数共有的)
数形结合思想例题选讲
数形结合思想例题选讲 数形结合思想是“数”与“形”结合,相互渗透,把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合,使代数问题、几何问题相互转化,使抽象思维和形象思维有机结合。 应用数形结合的思想,应注意以下数与形的转化 (1)集合的运算及韦恩图 (2)函数及其图象 (3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象 (4)方程(多指二元方程)及方程的曲线 以形助数常用的有 借助数轴;借助函数图象;借助单位圆;借助数式的结构特征;借助于解析几何方 法; 以数助形常用的有 借助于几何轨迹所遵循的数量关系;借助于运算结果与几何定理的结合。 例题选讲 类型一:集合的运算及韦恩图 利用数形结合的思想解决集合问题,常用的方法有数轴法、韦恩图法等。当所给问题的数量关系比较复杂,且没有学容斥原理前,不好找线索时,用韦恩图法能达到事半功倍的效果。 例1.如图,I 是全集,M 、P 、S 是I 的3个子集,则阴影部分所表示的集合是( ) ().A M P S B 。()M P S ().I C M P S e ().I D M P S e 解:阴影部分是M 与P 的公共部分(转化为集合语言就是M P ),且在 S 的外部(转化为集合语言就是C I S ),故选C 。通过上述例子,我们知道:当应用题中牵 涉到集合的交集、并集、补集时,用韦恩图比用数轴法简便。 类型二:图表信息题 此类题目都有图形(或图表)作为已知条件,须联系函数的性质分析求解,解 决问题的关键是从已知图形(图表)中挖掘信息. 例2.直角梯形ABCD 如图(1),动点P 从B 点出发,由A D C B →→→沿边运动,设点P 运动的路 程为x ,ABP ?的面积为 )(x f .如果函数)(x f y =的图象如图(2),则ABC ?的面积为( ) A .10 B .16 C . 解:由)(x f y = 图象可知,当04()0x f x →由时由由4=x 及9=x 时)(x f 不变,说明P 点在DC 上,即所以AD=14-9=5,过D 作DG AB ⊥ 则DG=BC=4 3=∴AG ,由此可求出AB=3+5=8. 16482 1 21=??=?=?BC DB S ABC 选B 例3.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据: 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是 A .y =2x -2 B.y = 21(x 2 -1) C.y =log 2x D.y =log 2 1x A B C D P 图(1)
高中数学圆的方程典型例题及详细解答
新课标高中数学圆的方程典型例题 类型一:圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系. 分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点P 与圆的位置关系,只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆上;若距离小于半径,则点在圆内. 解法一:(待定系数法) 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-. ∵圆心在0=y 上,故0=b . ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-. 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点. ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得:1-=a ,202 =r . 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x . 解法二:(直接求出圆心坐标和半径) 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点,所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上,又因为 13 12 4-=--= AB k ,故l 的斜率为1,又AB 的中点为)3,2(,故AB 的垂直平分线l 的方程为:23-=-x y 即01=+-y x . 又知圆心在直线0=y 上,故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r . 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x . 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22. ∴点P 在圆外. 说明:本题利用两种方法求解了圆的方程,都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量,然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢?
高中数学经典题型50道(另附详细答案)
高中数学习题库(50道题另附答案) 1.求下列函数的值域: 解法2 令t=sin x,则f(t)=-t2+t+1,∵|sin x|≤1, ∴|t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[-1,1]上的最值. 本例题(2)解法2通过换元,将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题,从而达到解决问题的目的,这就是转换的思想.善于从不同角度去观察问题,沟通数学各学科之间的内在联系,是实现转换的关键,转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉,由复杂化简单,一句话:由难化易.可见化归是转换的目的,而转换是实现化归段手段。
2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行,地球恰好位于椭圆轨道 的焦点处,当此慧星离地球相距m 万千米和m 3 4 万千米时,经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32 π π和,求该慧星与地球 的最近距离。 解:建立如下图所示直角坐标系,设地球位于焦点)0,(c F -处,椭圆的 方程为122 22=+b y a x (图见教材P132页例1)。 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π 时,由椭圆的几何 意义可知,彗星A 只能满足)3 (3/π π=∠=∠xFA xFA 或。作 m FA FB Ox AB 3 2 21B ==⊥,则于 故由椭圆第二定义可知得????? ??+-=-=)32(34)(2 2 m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,2 3)4(21.2,3 2 31 c c c m c a m a c m =-==∴?=代入第一式得 .3 2.32m c c a m c ==-∴=∴ 答:彗星与地球的最近距离为m 3 2 万千米。 说明:(1)在天体运行中,彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆,而恒星正是它的一个焦点,该椭圆的两个焦点,一个是近地点,另一个则是远地点,这两点到恒星的距离一个是c a -,另一个是.c a + (2)以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的,以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外,数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题,善于挖掘隐含条件,有意识
最新小学数学六年级下册《数形结合解决问题》
小学数学六年级下册《数形结合解决问 题》
青岛版小学数学六年级下册《数形结合解决问题》精品教案 【教学内容】: 义务教育课程标准实验教科书青岛版小学数学六年级下册116——117页。【教学目标】: 在回顾整理的过程中,加深对数形结合思想方法的认识,使学生充分感受数形结合在小学数学学习中的应用。 【教学重点】: 通过一些数形结合的实例,使学生体会数形结合思想的优越性,并能帮助学生建立思路解决问题。 【教学过程】; 一、谈话引入。 师:同学们,在我们的数学学习中,除了研究各种数以外,还经常要用到各种各样的图形。利用图形来研究问题,会使问题变得更加简单明了。请同学们回忆所学的知识,你能举一些这样的例子吗? 学生思考后举例。 【设计意图】教师给学生一定的思考时间,可以使学生对所学过的用图形来研究问题的有关知识进行初步的梳理,从而为本节课的学习做好铺垫。 二、自主探究。 1、教师出示某电脑公司2008年各种电脑销售情况的具体数据及条形统计图、扇形统计图和某电脑公司2004-2008最畅销的两种电脑销量折线统计图。 师:仔细观察这些数据和统计图,你有什么发现?
学生各抒己见,发表自己的看法。 师引导学生总结:图形描述数据更加直观、有效。条形统计图能清楚看出数量的多少,扇形统计图能清楚看出个部分同总数之间的关系,折线统计图能清楚看出数量增长情况。 【设计意图】将原始数据和统计图同时呈现,可以给学生造成视觉上的冲击。原始数据杂乱无章而统计图简单明了,能够帮助阅读的人有效的提取信息。对于用图形描述数据的优越性,学生一目了然。 2、师:图形不仅在描述数据方面有优越性,在其他方面同样能体现出优势。你还能举例说明数形结合在其他方面的应用吗?(生独立思考)下面请同学们以小组为单位交流自己的想法。交流过程中,要注意倾听他人的想法。 集体交流。 教师在学生交流的基础上引导学生发现:画图可以帮助我们理解计算方法、图形可以更加形象的反映成正比例关系的两种量的变化情况、在平面内确定物体的位置也利用了数形结合。 3、小结 师:通过刚才的交流,我们发现实际上许多问题的解决都利用了数形结合,你能谈一谈自己的体会吗? 【设计意图】学生个人的想法可能是粗浅的、片面的,而通过小组交流,倾听他人的想法和意见,可以进一步完善自己的想法。教师在学生交流的基础上运用多媒体呈现相关的例子,通过这些数形结合的直观的例子,让学生充分感受数形结合在数学学习中的应用。 三、拓展延伸。
高中数学典型例题分析
高中数学典型例题分析 第八章 平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、知识导学1.模(长度):向量的大小,记作||。长度为0的向量称为零向量,长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量。 2.平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,又叫做共线向量。 3.相等向量:长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量:我们把与向量a 长度相等,方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 5.向量的加法:求两个向量和的运算。 已知a ,b 。在平面内任取一点,作AB =a ,BC =b ,则向量AC 叫做a 与b 的和。 记作a +b 。 6. 向量的减法:求两个向量差的运算。 已知a ,b 。在平面内任取一点O ,作OA =a ,OB =b ,则向量BA 叫做a 与b 的差。 记作a -b 。 7.实数与向量的积: (1)定义: 实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa ,并规定: ①λa 的长度|λa |=|λ|·|a |; ②当λ>0时,λa 的方向与a 的方向相同; 当λ<0时,λa 的方向与a 的方向相反; 当λ=0时,λa =0 (2)实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数,则 ①λ(μa )=(λμ) a ②(λ+μ) a =λa +μa ③λ(a +)=λa +λ 8.向量共线的充分条件:向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b =λa 。 另外,设a =(x 1 ,y 1), b = (x 2,y 2),则a //b x 1y 2-x 2y 1=0 9.平面向量基本定理: 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1、λ 2 使 a =λ11e +λ22e ,其中不共线向量1e 、2e 叫做表示这一
中考数学专题复习_数形结合思想
中考数学专题复习——数形结合思想 一、知识梳理 数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索,使抽象思维和形象思维相结合,通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化,抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质。另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷,从而起到优化计算的目的。 华罗庚先生曾指出:“数与形本是相倚依,焉能分作两边飞;数缺形时少直觉,形少数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万事休。”这充分说明了数形结合在数学学习中的重要性,是中考数学的一个最重要数学思想。 二、典型例题 (一)在数与式中的应用 例1、实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简2 ||a a b +-=_________。 (二)在方程、不等式中的应用 例2、已知关于x 的不等式组0 20x a x ->?? ->? 的整数解共有2个,则a 的取值范围是____________。 例3、用图象法解某二元一次方程组时,在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所示),则所解的二元一次方程组是( ) A .203210x y x y +-=??--=?, B .2103210x y x y --=??--=? , C .2103250x y x y --=?? +-=? , D .20210x y x y +-=?? --=? , (三)在锐角三角函数中的应用 例4、画△ABC ,使cosA=2 1 ,AB =2cm ,∠A 的对边可以在长为1cm 、2cm 、3cm 中任选,这 样的三角形可以画_______个。 (四)在函数中的应用 例5、如图为二次函数2y ax bx c =++的图象,在下列说法中: ①0ac <;②方程20ax bx c ++=的根为11x =-,23x =; ③0a b c ++>;④当1x >时,y 随着x 的增大而增大. a b 0 · P (1,1) 1 1 2 2 3 3 -1 -1 O x y x y O 3 -1
高一数学必修三知识点总结及典型例题解析
新课标必修3概率部分知识点总结及典型例题解析 ◆ 事件:随机事件( random event ),确定性事件: 必然事件( certain event )和不 可能事件( impossible event ) ? 随机事件的概率(统计定义):一般的,如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次,当实验的次数n 很大时,我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈ 说明:① 一个随机事件发生于具有随机性,但又存在统计的规律性,在进行大量的重复事件时某个事件是否发生,具有频率的稳定性 ,而频率的稳定性又是必然的,因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这个摆动的幅度越来越小,而这个接近的某个常数,我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果,讲的是一种大的整体的趋势,而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值 ? 概率必须满足三个基本要求:① 对任意的一个随机事件A ,有()10≤≤A P ② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用③如果事件 ()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和 ? 古典概率(Classical probability model ):① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ,则每一个基本事件发生的概率都是n 1,如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件,则事件A 发生的概率为 ()n m A P = ? 几何概型(geomegtric probability model ):一般地,一个几何区域D 中随机地取一点, 记事件“改点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ,则事件A 发生的概率为 ()的侧度 的侧度D d A P = ( 这里要求D 的侧度不为0,其中侧度的意义由D 确定,一般地,线段的侧度为该线段的长度;平面多变形的侧度为该图形的面积;立体图像的侧度为其体积 ) 几何概型的基本特点:① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多 颜老师说明:为了便于研究互斥事件,我们所研究的区域都是指的开区域,即不含边界,在区域D 内随机地取点,指的是该点落在区域D 内任何一处都是等可能的,落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比,而与其形状无关。 互斥事件(exclusive events):不能同时发生的两个事件称为互斥事件
高中数学的数形结合思想方法-全(讲解+例题+巩固+测试)
数形结合的思想方法(1)---讲解篇 一、知识要点概述 数与形是数学中两个最古老、最基本的元素,是数学大厦深处的两块基石,所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的:每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系,而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此,在解决数学问题时,常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,将数的问题利用形来观察,提示其几何意义;而形的问题也常借助数去思考,分析其代数含义,如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来,并充分利用这种“结合”,寻找解题思路,使问题得到解决的方法,简言之,就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法,称之为数形结合的思想方法。 数形结合是一个数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。 数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围。 二、解题方法指导 1.转换数与形的三条途径: ①通过坐标系的建立,引入数量化静为动,以动求解。 ②转化,通过分析数与式的结构特点,把问题转化到另一个角度来考虑,如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。 ③构造,比如构造一个几何图形,构造一个函数,构造一个图表等。 2.运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法: ①“由形化数”:就是借助所给的图形,仔细观察研究,提示出图形中蕴含的数量关系,反映几何图形内在的属性。 ②“由数化形”:就是根据题设条件正确绘制相应的图形,使图形能充分反映出它们相应的数量关系,提示出数与式的本质特征。 ③“数形转换”:就是根据“数”与“形”既对立,又统一的特征,观察图形的形状,分析数与式 的结构,引起联想,适时将它们相互转换,化抽象为直观并提示隐含的数量关系。 三、数形结合的思想方法的应用 (一)解析几何中的数形结合 解析几何问题往往综合许多知识点,在知识网络的交汇处命题,备受出题者的青睐,求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来,达到研究、解决问题的目的. 1. 与斜率有关的问题 【例1】已知:有向线段PQ的起点P与终点Q坐标分别为P(-1,1),Q(2,2).若直线l∶x+my+m=0
高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案
高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 (1)对于函数)(x f y =,我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 (2)方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程0)(=x f 是否有实数根,有几个实数根。函数零点的求法:解方程0)(=x f ,所得实数根就是()f x 的零点 (3)变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线,则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根; 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根; 0?)(x f y =无零点?0)(=x f 无实根;对于二次函数在区间[],a b 上的零点个数,要结合 图像进行确定. 1、二分法
高中数学典型题型与解析
高中数学典型题型与解析 一、选择题 1.设,21,a b R a b +∈+=、则2224ab a b --有( ) A .最大值 1 4 B .最小值14 C .最大值 212 - D .最小值54- 2. 某校有6间不同的电脑室,每天晚上至少开放2间,欲求不同安排方案的种数,现有四 位同学分别给出下列四个结果:①2 6C ;②6 65 64 63 62C C C C +++;③726 -;④2 6A .其中 正确的结论是( ) A .仅有① B .仅有② C .②和③ D .仅有③ 3. 将函数y =2x 的图像按向量a →平移后得到函数y =2x +6的图像,给出以下四个命题:① a →的坐标可以是(-3.0);②a →的坐标可以是(0,6);③a →的坐标可以是(-3,0)或(0, 6);④a →的坐标可以有无数种情况,其中真命题的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4. 不等式组? ??>->-a x a x 2412,有解,则实数a 的取值范围是( ) A .(-1,3) B .(-3,1) C .(-∞,1) (3,+∞) D .(-∞,-3) (1,+∞) 5. 设a >0,c bx ax x f ++=2 )(,曲线y =f (x )在点P (0x ,f (0x ))处切线的倾斜角 的取值范围为[0,4π ],则P 到曲线y =f (x )对称轴距离的取值范围为( ) A .[0,]1a B .0[,]21a C .0[,|]2|a b D .0[,|]21 |a b - 6. 已知)(x f 奇函数且对任意正实数1x ,2x (1x ≠2x )恒有 0) ()(2 121>--x x x f x f 则一定正确的是( ) A .)5()3(->f f B .)5()3(-<-f f C .)3()5(f f >- D .)5()3(->-f f 7. 将半径为R 的球加热,若球的半径增加R ?,则球的体积增加≈?V ( ) A . R R ?3 π3 4 B .R R ?2π4 C .2π4R D .R R ?π4 8. 等边△ABC 的边长为a ,将它沿平行于BC 的线段PQ 折起,使平面APQ ⊥平面BPQC ,若折叠后AB 的长为d ,则d 的最小值为( ) A . a 43 B .a 45 C .4 3a D . a 410 9. 锐角α、β满足β α βα2424sin cos cos sin +=1,则下列结论中正确的是( ) A .2π≠ +βα B .2π<+βα C .2π>+βα D .2 π=+βα
2020中考数学 数形结合思想专题练习(含答案)
2020中考数学 数形结合思想专题练习 1.已知直线y 1=2x -1和y 2=-x -1的图象如图X5-1所示,根据图象填空. (1)当x ______时,y 1>y 2;当x ______时,y 1=y 2;当x ______时,y 1<y 2; (2)方程组的解集是____________. 图X5-1 图X5-2 2.已知二次函数y 1=ax 2+bx +c (a ≠0)与一次函数y 2=kx +m (k ≠0)的图象相交于点A (-2,4),B (8,2)(如图X5-2所示),则能使y 1>y 2成立的x 的取值范围是____________. 3.如图X5-3,正三角形ABC 的边长为3 cm ,动点P 从点A 出发,以每秒1 cm 的速度,沿A →B →C 的方向运动,到达点C 时停止.设运动时间为x (单位:秒),y =PC 2,则y 关于x 的函数的图象大致为( ) 图X5-3 A B C D 4.如图X5-4,半径为2的圆内接等腰梯形ABCD ,它的下底AB 是圆的直径,上底CD 的端点在圆周上,则该梯形周长的最大值是______. 图X5-4 21, 1y x y x =-?? =-- ?
5.某市实施“农业立市,工业强市,旅游兴市”计划后,2009年全市荔枝种植面积为24万亩.调查分析结果显示,从2009年开始,该市荔枝种植面积y(单位:万亩)随着时间x(单位:年)逐年成直线上升,y与x之间的函数关系如图X5-5. (1)求y与x之间的函数关系式(不必注明自变量x的取值范围); (2)该市2012年荔枝种植面积为多少万亩? 图X5-5 6.某公司推销一种产品,设x(单位:件)是推销产品的数量,y(单位:元)是推销费,图X5-6表示该公司每月付给推销员推销费的两种方案,看图解答下列问题: (1)求y1与y2的函数解析式; (2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的? (3)如果你是推销员,应如何选择付费方案? 图X5-6
数形结合思想在小学数学中的应用讲解
德宏师范高等专科学校 毕 业 论 文 系部:数学系 姓名:李宏 学号:20130732103 班级:2013级初等教育理科1班
目录 【摘要】 (1) 【关键词】数形结合;小学数学;教学应用 (1) 引言 (1) 1数学结合思想的简要概述 (1) 1.1数形结合思想的涵义 (2) 1.2数形结合在数学中的应用范围 (2) 2数形结合在小学数学中的意义和价值 (2) 2.1数形结合是开启数学大门的金钥匙 (2) 2.1.1数形结合是形成概念的好帮手 (2) 2.1.2数形结合深化课堂知识目标化解难点 (3) 2.2数形结合有助于知识的理解和记忆 (4) 2.3数学结合有利于培养小学生的数学能力 (5) 2.3.1 “数形结合形”发展学生的空间观念,培养学生初步的逻辑思维能力 (5) 2.3 . 2数形结合提高了小学生学习数学的趣味性 (5) 2.3.3能够增强学生学习数学的自信心 (7) 3数形结合在小学数学中的应用 (7) 3.1巧用数形结合,形成概念教学 (7) 3.2巧用数形结合,突破几何难点 (9) 3.3巧用数形结合,解决实际问题 (9) 4在运用数形结合教学中,应注意的问题 (10) 4.1教师应更新教学观念 (10) 4.2要培养学生运用数形结合思想的学习习惯 (11) 4.3充分发挥多媒体技术的作用 (11) 【参考文献】 (12)
数形结合思想在小学数学教学中的应用 【摘要】数形结合思想是一种重要的数学思想,数形结合在数学中应用广泛,新教材也在结合数形结合思想来编写。本文主要研究了四个方面的问题:一是数学结合思想的简要概述;二是数形结合在小学数学中的意义和价值;三是数形结合在小学数学中的应用;四是在运用数形结合教学中,应注意的问题。 【关键词】数形结合;小学数学;教学应用 引言:小学数学教学的根本任务是全面提高学生素质,其中最重要的是思维素质,而数学思想方法是增强学生数学观念、形成良好思维素质的关键。随着小学数学教学改革的不断深入,小学数学的教学模式更加多样化,传统的教学模式已经逐渐被取代。在多媒体教学的加入下,小学数学中的抽象概念变得形象,生动学生的数学逻辑思维能力以及创新能力也是显著提升。数形结合思想在数学中得到了充分的重视。运用数形结合的方法,可以直现感知抽象的理论及概念,避免机械记忆,使枯燥的名词真正地活起来,看得见,更有助于学生掌握知识。新课程标准修改后,将“双基”改为了“四基”,即基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验⑴,说明人们已经意识到数学思想方法的重要性。这一转变并不是偶然,而是纵观小学数学学习内容和小学生的认知特点而决定的。常用的数学思想方法:对应思想、假设思想、比较思想、符号化思想、类比思想、转化思想、分类思想、集合思想及数形结合思想等。本文就数形结合思想进行讨论。 1数学结合思想的简要概述 我国数学家张广厚曾说过:“抽象思维如果脱离直观,一般是很有限度的。同样,在抽象中如果看不出直观,一般说明还没有把握住问题的实质。”这句话深刻阐明了“数形结合”的思想[2]。依据《数学课程标准》中“变注重知识获得的结果为知识获得的过程”的教育理念,我以学生发展为立足点,以自主探索为主线,以求异创新为宗旨,采用多媒体辅助教学,运用设疑激趣直观演示,实际操作等教学方法,引导学生动手操作、观察辨析、自主探究,让学生全面、全程地参与到每个教学环节中,充分调动学生学习的积极性,培养学生的自主学习、合