第四节条件概率

苏教版九年级上册数学[等可能条件下的概率--知识点整理及重点题型梳理]

苏教版九年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习等可能条件下的概率--知识讲解【学习目标】 1.知道试验的结果具有等可能性的含义； 2.会求等可能条件下的概率； 3.能够运用列表法和树状图法计算简单事件发生的概率. 【要点梳理】要点一、等可能性一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现.如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性. 要点二、等可能条件下的概率 1.等可能条件下的概率一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现时，事件A 发生，那么事件A发生的概率P（A）=m n （其中m是指事件A发生可能出现的结果数，n 是指所有等可能出现的结果数）. 当一个随机事件在一次试验中的所有可能出现的结果是有限个，且具有等可能性时，只需列出一次试验可能出现的所有结果，就可以求出某个事件发生的概率. 2.等可能条件下的概率的求法一般地，等可能性条件下的概率计算方法和步骤是：（1）列出所有可能的结果，并判定每个结果发生的可能性都相等；（2）确定所有可能发生的结果的个数n和其中出现所求事件的结果个数m；（3）计算所求事件发生的可能性：P（所求事件）=m n . 要点三、用列举法计算概率常用的列举法有两种：列表法和画树状图法. 1.列表法当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点诠释：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 2.树状图当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.

概率密度估计

1、概率密度函数在分类器设计过程中（尤其是贝叶斯分类器），需要在类的先验概率和类条件概率密度均已知的情况下，按照一定的决策规则确定判别函数和决策面。但是，在实际应用中，类条件概率密度通常是未知的。那么，当先验概率和类条件概率密度都未知或者其中之一未知的情况下，该如何来进行类别判断呢？其实，只要我们能收集到一定数量的样本，根据统计学的知识，可以从样本集来推断总体概率分布。这种估计方法，通常称之为概率密度估计。它是机器学习的基本问题之一，其目的是根据训练样本来确定x（随机变量总体）的概率分布。密度估计分为参数估计和非参数估计两种。 2、参数估计参数估计：根据对问题的一般性认识，假设随机变量服从某种分布（例如，正态分布），分布函数的参数可以通过训练数据来估计。参数估计可以分为监督参数估计和非监督参数估计两种。参数估计当中最常用的两种方法是最大似然估计法和贝叶斯估计法。监督参数估计：样本所属类别及条件总体概率密度的形式已知，表征概率密度的某些参数是未知的。非监督参数估计：已知样本所属的类别，但未知总体概率密度函数的形式，要求推断出概率密度本身。 3、非参数估计非参数估计：已知样本所属的类别，但未知总体概率密度函数的形式，要求我们直接推断概率密度函数本身。即，不用模型，只利用训练数据本身来对概率密度做估计。非参数估计常用的有直方图法和核方法两种；其中，核方法又分为Pazen窗法和KN近领法两种。

概率密度估计--参数估计与非参数估计我们观测世界，得到了一些数据，我们要从这些数据里面去找出规律来认识世界，一般来说，在概率上我们有一个一般性的操作步骤 1. 观测样本的存在 2. 每个样本之间是独立的 3. 所有样本符合一个概率模型我们最终想要得到的是一个概率密度的模型，有了概率密度模型以后，我们就可以统计预测等非常有用的地方，因此，首要任务是找出一些概率分布的概率密度模型。我们来分析一下上面的三个步骤，第一第二都很好解决，关于第三点，我们可以有不同的处理方式如果我们已经对观测的对象有了一些认识，对观测的现象属于那种类型的概率密度分布已经了解了，只是需要确定其中的参数而已，这种情况就是属于参数估计问题。如果我们研究观测的对象，也很难说这些观测的数据符合什么模型，参数估计的方法就失效了，我们只有用非参数估计的办法去估计真实数据符合的概率密度模型了。因此，本文主要讨论参数估计和非参数估计问题

概率发展中的经典例子

1.分赌本问题 A、B 二人赌博，各出注金a 元，每局个人获胜概率都是2/1，约定：谁先胜S 局，即赢得全部注金a 2元，现进行到A 胜1S 局、B 胜2S 局(1S 与2S 都小于S )时赌博因故停止，问此时注金a 2应如何分配给A 和B 才算公平？此问题文字上最早见于1494年帕西奥利的一本著作，是对6=S ，51=S 和22=S 的情况。由于对“公平分配”一词的意义没有一个公认的正确理解，在早期文献中出现过关于此问题的种种不同的解法，如今看来都不正确。例如，帕西奥利本人提出按2:S S 1的比例分配。塔泰格利亚则在1556年怀疑找到一种数学解法的可能性，他认为这是一个应由法官来解决的问题，但他也提出了如下的解法：若2S S 1>，则A 取回自己下的注a ,并取走B 下的注的S S S 1/)(2-，这等于按)(:)(22S S S S S S 11+--+的比例瓜分注金。法雷斯泰尼在1603年根据某种理由，提出按)12(:)12(22S S S S S S 11+---+-的比例分配。卡丹诺在其1539年的著作中，通过较深的推理提出了一种解法：记1S S r -=1，22S S r -=。把注金按)1(22+r r ：)1(11+r r 之比分给A 和B。他这个解法如今看来虽然仍不正确，但有一个重要之点，即他注意到起作用的是1S ,2S 与S 的差距，而不在其本身。这个问题的症结在于：他关乎各人在当时状况下的期望值。从以上这些五花八门的解法，似乎可以认为，这些作者已多少意识到这一点，但未能明确期望与概率的关系。而此处有关的是：假定赌博继续进行下去，各人最终取胜的概率。循着这个想法问题很易解决：至多再赌121-+=r r r 局，即能分出胜负。为A 获胜，他在这r 局中至少须胜1r 局。因此按二项分布，A 取胜的概率为 r r r i A i r p -=∑???? ??=21，而B 取胜的概率为1B A p p =-。注金按B A p p :之比分配给A 和B，因A ap 2和B ap 2是A、B 在当时状态下的期望值。这个解是巴斯噶（B.Pascal,1623～1662）在1654年提出的。他用了两种方法，其一是递推公式法，其二是用“巴斯噶三角”（即杨辉三角）。1710年，蒙特姆特在一封信中给出了我们在前面写出的解法，且不必规定二人的获胜概率相同。后来他又把此问题推广到多个赌徒的情形。分赌本问题在概率史上起的作用，在于通过这个在当时来说较复杂的问题的探索，对数学期望及其与概率的关系，有了启示。有的解法，特别是巴斯噶的解法，使用或隐含了若干直到现在还广为使用的计算概率的工具。如组合法、递推公式、条件概率和全概率公式等。可以说，通过对这个问题的研究，概率计算从初期简单计数步入较为精细的阶段。巴斯噶与费尔马(P.de Fermat，1601～1665)的名字，对学习过中学以上数学的人来说，想必不陌生。巴斯噶三角，在我国称杨辉三角，中学教科书中已有提及。至于费尔马，因其 “费尔马大定理”(不存在整数0,,,≠xyx z y x 和整数3≥n ，使n n n z y x =+)于近年得到证明，名声更远播数学圈子之外。费尔马在数学上的名声主要因其数论方面的工作，其在概率史上占到一席地位，多少有些出乎偶然——由于他与巴斯噶在1654年7～10月间来往的7封信件，其中巴致费的有3封。这几封信全是讨论具体的赌博问题。与前人一样，他们用计算等可能的有利与不利情况数，作为计算“机遇数”即概率的方法(他们没有使用概率这个名称。与前人相比，他们在方法的精细和复杂性方面大大前进了。他们广泛使用组合工具和递推公式，初等概率一些基本规律也都用上了。他们引进了赌博的值(value)的概念，值等于赌注乘以获胜概率。3年后，惠更斯改“值”为“期望”(expectation)这就是概率论的最重要概念之一——(数学)期望的形成和命名过程。前文已指出：此概念在更早的作者中已酝酿了一段时间。这些通信中讨论的一个重要问题之一是分赌本问题，还讨论了更复杂的输光问题：甲、乙二人各有赌本a 和b 元(a、b 为正整数)，每局输赢1元，要计算各人输光的概率。这个问题拿现

概率论与数理统计(1-3章重点梳理)

《概率论与数理统计》知识梳理第一章随机事件和概率 (一)考试内容随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验(二)考试要求 1．了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算。 2．理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式，以及贝叶斯(Bayes)公式。3．理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。 (三)知识点一、关系与运算 1、样本空间试验每一可能结果——样本点ω 所有样本点集合——样本空间Ω 2、随机事件样本空间子集——随机事件（一般用大写A，B，C表示） Ω——必然事件Φ——不可能事件【随机试验→(结果)→样本点→(集合化)→样本空间→(子集)→随机事件】 3、事件关系及运算 (1)事件间关系：包含，相等，互斥，对立，完备事件组，独立 ①包含 A B 事件A发生一定导致B发生【小推大】 ②相等 A B且B A A=B 【等价=相等】 ③互斥 AB=Φ A、B不能同时发生 ④对立 A、B在一次试验中必然发生且只能发生一个 ⑤完全事件组且(1≤i≠j≤n)，称是一个完全事件组 (2)事件间运算(三种)：并(和)，交(积)，逆(差) ①A、B和事件A∪B 或A+B A、B至少有一个发生 ②A、B积事件A∩B 或A B A、B同时发生

③A、B差事件 A发生且B不发生【即=A(1-B)】(※差事件可以转化积事件) 【小技巧：“∪”看成“+”，“∩”看成“”，“”化成乘积形式】 (3)运算四律：交换律，结合律，分配律，对偶律 ①交换律A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A ②结合律A∪(B∪C)＝(A∪B)∪C A∩(B∩C)＝(A∩B)∩C ③分配律A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C) ④德摩根律(对偶律) 【小技巧：“∪”看成“+”，“∩”看成“”】 (4)关系运算10类（熟练掌握）设A、B、C是三个随机事件 ①恰好A发生A ②A和B发生而C不发生A ③A、B、C全发生A B C ④A、B、C不全发生 ⑤A、B、C全不发生 ⑥A、B、C至少有一个发生A+B+C ⑦至少有两个事件发生AB+BC+CA ⑧至多有一个事件发生 ⑨恰有一个事件发生+ + ⑩恰有两个事件发生+ + 二、概率性质及两大基本概型和五大公式 1、概念 (1)概率——P(A) 满足三条公理公理1（非负性）0≤P(A)≤1 公理2（规范性）P(Ω)＝1 公理3（可列可加性）两两互斥，则P ()＝ (2)条件概率——P(B∣A)＝ P(AB)＝P(A)P(B∣A)P(B)P(A∣B)

概率与数理统计典型例题

《概率与数理统计》第一章随机事件与概率典型例题一、利用概率的性质、事件间的关系和运算律进行求解 1.设,,A B C 为三个事件，且()0.9,()0.97P A B P A B C ==U U U ，则()________.P AB C -= 2.设,A B 为两个任意事件，证明：1|()()()|.4 P AB P A P B -≤ 二、古典概型与几何概型的概率计算 1.袋中有a 个红球，b 个白球，现从袋中每次任取一球，取后不放回，试求第k 次取到红球的概率.（a a b +） 2.从数字1,2,,9L 中可重复地任取n 次，试求所取的n 个数的乘积能被10整除的概率.（58419n n n n +--） 3.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，从而成为不合格品，试求10个部件都是合格品的概率.（19591960 ） 4.掷n 颗骰子，求出现最大的点数为5的概率. 5.（配对问题）某人写了n 封信给不同的n 个人，并在n 个信封上写好了各人的地址，现在每个信封里随意地塞进一封信，试求至少有一封信放对了信封的概率. （01(1)! n k k k =-∑）

6.在线段AD上任取两点,B C，在,B C处折断而得三条线段，求“这三条线段能构成三角形”的概率.（0.25） 7.从(0,1)中任取两个数，试求这两个数之和小于1，且其积小于 3 16 的概率. （13 ln3 416 +）三、事件独立性 1.设事件A与B独立，且两个事件仅发生一个的概率都是 3 16 ，试求() P A. 2.甲、乙两人轮流投篮，甲先投，且甲每轮只投一次，而乙每轮可投两次，先投中者为胜.已知甲、乙每次投篮的命中率分别为p和1 3 .（1）求甲取胜的概率；（2）p求何值时，甲、乙两人的胜负概率相同？（ 95 ; 5414 p p p = + ）四、条件概率与积事件概率的计算 1.已知10件产品中有2件次品，现从中取产品两次，每次取一件，去后不放回，求下列事件的概率：（1）两次均取到正品；（2）在第一次取到正品的条件下第二次取到正品；（3）第二次取到正品；（4）两次中恰有一次取到正品；（5）两次中至少有一次取到正品.（28741644 ;;;; 45954545 ） 2.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的数字不再重复，试求下列事件的概率：（1）拨号不超过3次而接通电话；（2）第3次拨号才接通电话.（0.3；0.1）五、全概率公式和贝叶斯公式概型 1.假设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件为一等品；第二箱内装30件，其中18件为一等品，现从两箱中随意挑选出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），试求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率.（2690 ; 51421 ） 2.有100个零件，其中90个一等品，10个二等品，随机地取2个,安装在一台设备上，若2个零件中有i个（0,1,2 i=）二等品，则该设备的使用寿命服从参

高三数学概率专题复习：事件与概率条件概率古典概率几何概率

高考数学专题复习事件与概率专项突破真题精选汇编（理，分章节）及详细解答答案第一部分第十三章概率与统计第一节事件与概率一、选择题 1．(2008年广州模拟)下列说法： ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小； ②做n 次随机试验，事件A 发生m 次，则事件A 发生的频率m n 就是事件的概率； ③百分率是频率，但不是概率； ④频率是不能脱离n 次的试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值； ⑤频率是概率的近似值，概率是概率的稳定值．其中正确的是( ) A ．①②③④ B ．①④⑤ C ．①②③④⑤ D ．②③ 2．某班有3位同学分别做抛硬币试验20次，那么下面判断正确的是( ) A ．3位同学都得到10次正面朝上，10次反面朝上 B ．3位同学一共得到30次正面朝上，30次反面朝上 C ．3位同学得到正面朝上的次数为10次的概率是相同的 D ．3位同学中至少有一人得到10次正面朝上，10次反面朝上 3．同时掷3枚硬币，那么互为对立事件的是( ) A ．至少有1枚正面和最多有1枚正面 B ．最多1枚正面和恰有2枚正面 C ．至多1枚正面和至少有2枚正面 D ．至少有2枚正面和恰有1枚正面 4．从一篮鸡蛋中取1 个，如果其质量小于30克的概率是0.30，重量在[30,40]克的概率是0.50，那么重量不小于30克的概率是( ) A ．0.30 B ．0.50 C ．0.80 D ．0.70 5．(2009年福建)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，

05概率论与数理统计第五节事件的独立性

第五节事件的独立性教学目的理解事件独立性的概念，掌握伯努利概型的计算方法。教学重点理解事件独立性的概念，掌握伯努利概型的计算方法。教学难点事件独立性的理解，伯努利概型的计算方法。教学内容在许多实际问题中，常会遇到两个事件中任何一个事件发生都不会对另一个事件发生的概率产生影响，此时，)()|(A P B A P =，故乘法公式写成()()(|)=()()P AB P B P A B P A P B = 一、两个事件的独立性定义1 若两事件A ,B 满足 )()()(B P A P AB P = (1) 则称A ,B 独立, 或称A ,B 相互独立. 注: 当0)(>A P ,0)(>B P 时, A ,B 相互独立与A ,B 互不相容不能同时成立. 但?与S 既相互独立又互不相容(自证). 定理1 设A ,B 是两事件, 且0)(>A P ,若A ,B 相互独立, 则)()|(A P B A P =. 反之亦然. 定理2 设事件A ,B 相互独立,则下列各对事件也相互独立: A 与 B ,A 与B ,A 与B . 例1从一副不含大小王的扑克牌中任取一张, 记=A {抽到K }, =B {抽到的牌是黑色的}, 问事件A 、B 是否独立? 注：从例1可见, 判断事件的独立性, 可利用定义或通过计算条件概率来判断。但在实际应用中, 常根据问题的实际意义去判断两事件是否独立. 二、有限个事件的独立性定义2 设C B A ,,为三个事件, 若满足等式 ), ()()()(), ()()(),()()(), ()()(C P B P A P ABC P C P B P BC P C P A P AC P B P A P AB P ==== 则称事件C B A ,,相互独立. 对n 个事件的独立性, 可类似写出其定义: 定义3 设n A A A ,,,21 是n 个事件, 若其中任意两个事件之间均相互独立, 则称n A A A ,,,21 两两独立. 相互独立性的性质性质1 若事件n A A A ,,,21 )2(≥n 相互独立, 则其中任意)1(n k k ≤<个事件也相互独立; 由独立性定义可直接推出. 性质2 若n 个事件n A A A ,,,21 )2(≥n 相互独立, 则将n A A A ,,,21 中任意

高一数学必修三条件概率知识点总结

高一数学必修三条件概率知识点总结条件概率的定义： 1条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号PB|A来表示. 2条件概率公式：称为事件A与B的交或积. 3条件概率的求法： ①利用条件概率公式，分别求出PA和PA∩B，得PB|A= ②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数nA，再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即nA∩B，得PB|A= PB|A的性质： 1非负性：对任意的A∈Ω， ; 2规范性：PΩ|B=1; 3可列可加性：如果是两个互斥事件，则 PB|A概率和PAB的区别与联系： 1联系：事件A和B都发生了; 2区别：a、PB|A中，事件A和B发生有时间差异，A先B后;在PAB中，事件A、B同时发生。 b、样本空间不同，在PB|A中，样本空间为A，事件PAB中，样本空间仍为Ω。互斥事件：事件A和事件B不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。如果A1，A2，…，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An彼此互斥。对立事件：两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做注：两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件。

事件A+B的意义及其计算公式： 1事件A+B：如果事件A，B中有一个发生发生。 2如果事件A，B互斥时，PA+B=PA+PB，如果事件A1，A2，…An彼此互斥时，那么 PA1+A2+…+An=PA1+PA2+…+PAn。 3对立事件：PA+=PA+P=1。概率的几个基本性质： 1概率的取值范围：[0，1]. 2必然事件的概率为1. 3不可能事件的概率为0. 4互斥事件的概率的加法公式：如果事件A，B互斥时，PA+B=PA+PB，如果事件A1，A2，…An彼此互斥时，那么 PA1+A2+…+An=PA1+PA2+…+PAn。如果事件A，B对立事件，则PA+B=PA+PB=1。互斥事件与对立事件的区别和联系：互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生。因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件。随机事件的定义：在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，随机事件通常用大写英文字母A、B、C等表示。必然事件的定义：必然会发生的事件叫做必然事件; 不可能事件：肯定不会发生的事件叫做不可能事件; 概率的定义：在大量进行重复试验时，事件A发生的频率

《等可能条件下的概率计算》教案

《等可能条件下的概率计算》教案教学目标 1、在具体情境中进一步理解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的数学模型. 2、进一步理解等可能事件的意义，会列出一些类型的随机实验的所有等可能结果(基本事件)，会把事件分解成等可能的结果(基本事件). 3、能借助概率的计算判断事件发生可能性的大小. 4、会列出一些类型的随机试验的所有可能结果. 教学过程情境：抛掷一只均匀的骰子一次. 问题： (1)点数朝上的试验结果是有限的吗？如果是有限的共有几种？ (2)哪一个点数朝上的可能性较大？ (3)点数大于4与点数不大于4这两个事件中，哪个事件发生的可能性大呢？说明：(3)要求一个随机事件的概率，首先要弄清这个试验有多少等可能的结果.这是解决问题的关键. (1)(2)等可能事件的概率的有限性和等可能性.(让学生一一列举出来) 小结：等可能条件下的概率的计算方法: ()m P A n 其中m表示事件A发生可能出现的结果数，n表示一次试验所有等可能出现的结果数说明：我们所研究的事件大都是随机事件.所以其概率在0和1之间. 例1、不透明的袋子中装有3个白球和2个红球.这些球除颜色外都相同，拌匀后从中任意出1个球.问： (1)(学生讨论)会出现那些等可能的结果？ (2)摸出白球的概率是多少？ (3)摸出红球的概率是多少？说明： (1)制定一个随机事件的可能的结果时，n的求法容易出错.有些同学认为摸出的球不是白球就是红球，所以摸出n种颜色的球是等可能的，这是不对的；引导学生弄清这个实验有多少等可能的结果. 例2、抛掷一枚均匀的硬币2次，记录2次的结果作为一次试验，重复这样的试验十次.并在小组内交流试验的结果. 问题1：你能只通过一次试验，列出所有可能的结果吗？

《等可能条件下的概率(一)》教案

《等可能条件下的概率(一)》教案一、设计思路本节课，我们从抛掷一枚均匀的骰子和摸球出发，在等可能条件下，让学生充分的探索和交流，一起感悟这个古典概型的两个基本特征，即试验结果的有限性和等可能性.能够在只通过一次试验中可能出现的结果的分析研究来求出随机事件的精确值.活动设计突出古典概型的基本特征(有限性、等可能性). 二、目标设计 1、在具体情境中进一步理解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的数学模型. 2、进一步理解等可能事件的意义，会列出一些类型的随机实验的所有等可能结果(基本事件)，会把事件分解成等可能的结果(基本事件). 3、能借助概率的计算判断事件发生可能性的大小. 三、活动设计情境：抛掷一只均匀的骰子一次. 问题： (1)点数朝上的试验结果是有限的吗？如果是有限的共有几种？ (2)哪一个点数朝上的可能性较大？ (3)点数大于4与点数不大于4这两个事件中，哪个事件发生的可能性大呢？说明：(3)要求一个随机事件的概率，首先要弄清这个试验有多少等可能的结果.这是解决问题的关键. (1)(2)等可能事件的概率的有限性和等可能性.(让学生一一列举出来) 小结：等可能条件下的概率的计算方法: ()m P A n 其中m表示事件A发生可能出现的结果数，n表示一次试验所有等可能出现的结果数说明：我们所研究的事件大都是随机事件.所以其概率在0和1之间. 例1、不透明的袋子中装有3个白球和2个红球.这些球除颜色外都相同，拌匀后从中任意出1个球.问： (1)(学生讨论)会出现那些等可能的结果？ (2)摸出白球的概率是多少？ (3)摸出红球的概率是多少？说明： (1)制定一个随机事件的可能的结果时，n的求法容易出错.有些同学认为摸出的球不是白球就是红球，所以摸出n种颜色的球是等可能的，这是不对的；引导学生弄清这个实验有

九上数等可能条件下的概率

等可能条件下的概率一、知识点梳理知识点1、概率的定义：表示一个事件发生的可能性大小的数叫做该事件的概率．知识点2、概率的表示方法：等可能条件下的概率的计算方法：()m P A n = 说明： 1、其中m表示事件A发生可能出现的结果数，n表示一次试验所有等可能出现的结果数． 2、由于我们所研究的事件大都是随机事件．所以其概率在0和1之间．概率是0表示该事件不可能发生，而概率是1则表示该事件一定发生或必然发生． 3、例如在抛掷一枚骰子的试验中，朝上的点数出现的所有等可能的结果共有6种（1、2、3、 4、 5、6）如果我们关注的“点数不大于4”，那么这一事件发生的可能结果有4种（朝上的点数分别为1、2、3、4）所以P（点数不大于4）＝42 63 = 知识点3、等可能性：设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件．．．．，每次试验有且只有．．．．其中的一个．．结果出现，而且每个结果出现的机会均等．．．．，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性．说明：无论是试验的所有可能产生结果是有限个，还是无限个，只有具备下列几个特征：①在试验中发生的事件都是随机事件②在每一次试验中有且只有一个结果出现③每个结果出现机会均等．这样的试验结果才具有等可能性．知识点4、频率与概率在试验中，某一事件发生的频率是指该事件出现的次数与试验的总次数的比值，而这一事件发生的概率是指该事件发生的可能性的大小．说明： 1、一个事件发生的频率在概率的附近上下波动，试验的次数越多，事件发生的频率就越接近该事件发生的概率 2、频率是经过试验得到的结果，而概率是经过理论分析的预测值或理论值．两者是不同的．当试验的次数很多的时候，频率就趋近于概率．知识点5、转盘与概率从圆心开始将圆盘划分几个扇形区域，做成一个可以自由转动的安有指针的转盘，这样由于转盘转动的随机性，就可以根据指针所指向的扇形区域占整个圆面积的大小，来确定指针指向某一特定的区域的概率．如图，指针固定在原点当转盘转动后，指针指向A、B、C、D四个区域是等可能的（因为四个扇形的圆心角都是90度）所以指针指向每个区域的概率都是 4 1

条件概率教学设计

8.2.2 条件概率一、教学目标（一）知识目标在具体情境中，了解条件概率的概念，掌握条件概率的计算公式，并能运用条件概率公式解决有关的简单概率问题. （二）情感目标创设教学情境，培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣，加深学生对从特殊到一般的思想认知规律的认识，树立学生善于创新的思维品质．（三）能力目标在知识的教学过程中，培养学生从特殊到一般的探索归纳能力及运算能力和应用新知的能力，渗透归纳、转化的数学思想方法．二、教学重点条件概率的概念，条件概率公式的简单应用. 三、教学难点正确理解条件概率公式，并能灵活运用条件概率公式解决简单实际问题. 四、教学过程（一）引入课题 [教师] （配合多媒体演示）问题1：掷一个骰子，求掷出的点数为3的概率. [学生] （回答） 6 1 [教师] （引导学生一起分析）本次试验的全集Ω＝｛1,2,3,4,5,6｝，设B ＝｛掷出点数为3｝，则B 的基本事件数为1. 6 1)(＝中的元素数中的元素数Ω= ∴B B P [教师] （配合多媒体演示）问题2：掷一个骰子，已知掷出了奇数，求这个奇数是3的概率. [学生] （回答）31 [教师] （引导学生一起分析）已知掷出了奇数后，试验的可能结果只有3个，它们是1,3,5. 本次试验的全集改变为A ＝｛1,3,5｝，这时相对于问题1，试验的条件已经改变. 设B ＝｛掷出的点数为3｝，则B ＝｛3｝，这时全集A 所含基本事件数为3，B 所含基本事件数为1，则P （已知掷出奇数的条件下，掷出3）＝ 3 1 A ＝中的元素数中的元素数 B . [教师] （针对问题2再次设问）问题2与问题1都是求掷出奇数3的概率，为什么结果不一样？ [学生] 这两个问题的提法是不一样的，问题1是在原有条件（即掷出点数1,2,3,4,5,6的一切可能情形）下求得的；而问题2是一种新的提法，即在原有条件下还另外增加了一个附加条件（已知掷出点数为奇数）下求得的，显然这种带附加条件的概率不同于P(A)也不同P(A ∩B). [教师] （归纳小结，引出条件概率的概念）问题2虽然也是讨论事件B （掷出点数3）的概率，但是却以已知事件A （掷出奇数为前提的，这样的概率称为A 发生条件下的事件B 发生的条件概率. （板书课题——条件概率）（二）传授新知 1．形成概念 [教师] 在引入课题的基础上引出下列概念：（多媒体演示）设A 、B 是事件，用P(B|A)表示已知A 发生的条件下B 发生的条件概

等可能条件下的概率--知识讲解

等可能条件下的概率--知识讲解【学习目标】 1.知道试验的结果具有等可能性的含义； 2.会求等可能条件下的概率； 3.能够运用列表法和树状图法计算简单事件发生的概率. 【要点梳理】要点一、等可能性一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现.如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性. 要点二、等可能条件下的概率 1.等可能条件下的概率一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现时，事件A 发生，那么事件A发生的概率P（A）=m n （其中m是指事件A发生可能出现的结果数，n 是指所有等可能出现的结果数）. 当一个随机事件在一次试验中的所有可能出现的结果是有限个，且具有等可能性时，只需列出一次试验可能出现的所有结果，就可以求出某个事件发生的概率. 2.等可能条件下的概率的求法一般地，等可能性条件下的概率计算方法和步骤是：（1）列出所有可能的结果，并判定每个结果发生的可能性都相等；（2）确定所有可能发生的结果的个数n和其中出现所求事件的结果个数m；（3）计算所求事件发生的可能性：P（所求事件）=m n . 要点三、用列举法计算概率常用的列举法有两种：列表法和画树状图法. 1.列表法当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点诠释：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 2.树状图当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点诠释： (1)树状图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； (2)在用树状图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.

经典概率问题：山羊问题

经典概率问题：山羊问题（又称蒙提·霍尔问题）山羊问题（又称蒙提·霍尔问题，The Monty Hall problem）是一道著名的概率问题，它源于1963年美国开播的电视游戏节目《让我们做个交易》，现在你作为参赛选手经过重重考验在节目的最后环节脱颖而出，却面临这样一个难题：在你眼前有3扇巨大的关闭的门，编号分别是A、B、C。站在旁边的主持人蒙提·霍尔告诉你，其中一扇门的后面摆着极为诱人的大奖（比如说一辆小轿车），而另外两扇门的后面各站着一头羊，你需要在这3扇门中选择一扇门，并获得那扇门后面的奖品。你经过深思熟虑，选择了编号为A的门，在你紧张兮兮正准备打开时，主持人说慢着，然后他打开了编号为C的门，后面正好是一头山羊，然后他问你：现在再给你一次选择的机会，你是坚持选择现在的门A，还是更换成门B？于是你的小脑袋开始转动了，下面观众也开始帮你出谋划策，总结有四种典型的分析：分析1：第一次选择A、B、C门正确的概率为1/3；主持人排除一扇门并不会改变A, B, C 的概率，所以，不管是否更换门获得奖品的概率都是1/3。分析2：第一次选择A门正确的概率为1/3，主持人排除一扇门以后，剩下两扇门的概率都相应地变成了1/2。所以，不管是否改变概率都是1/2。分析3：第一次选择A门正确的概率为1/3，主持人排除一扇门之后，如果不重新选择，A 门正确的概率还是1/3，而重新选择另一扇门可以使概率上升为1/2。分析4：第一次选择A门正确的概率为1/3，主持人排除一扇门之后，如果不重新选择，A 门正确的概率还是1/3，而重新选择另一扇门可以使概率上升到2/3。仔细思考其实四种分析都有道理，然而你深入思考以后毅然选择了门B，因为选中的概率是2/3，而坚持原来的选择的概率是1/3，理由如下：第一种是从经验主义角度出发的。你参加这个节目前就在家里面和你的小女儿玩了100次这个游戏，你的小女儿每次都在打开一扇有羊的门后改变最初的选择；然后你又找了你儿子玩了100次，他全都坚持一开始的选择。最后你的女儿有了72次中了大奖，儿子中了33次。所以你完全有理由相信改变你的选择是最明智的做法。第二种是从直觉出发。我们可以考虑一种极端情况，假设摆在你面前的不是3扇门而是100扇，当你选择其中一扇门（比如是1号门）之后，蒙提·霍尔将后面3~100号门全打开，而且后面全部是山羊。现在只剩下1号门和2号门是关闭的，请问你换不换？绝对要换。小轿车有99%的概率藏在你没有选的那99扇门的后面，而蒙提还好心地为你打开了其中的98扇门，他知道这98扇门后面都没有小轿车。也就是说，如果你坚持最初的选择，那么你开小轿车回家的概率只有1%，牵一头羊回家的概率却高达99%；如果你的最初选择是错误的，那么小轿车就肯定藏在另外一扇门后面（2号门），如果你想中大奖，那就应该将最初的1号门换成剩下的2号门。回到我们的问题上，假如最开始你不是有三个选择，而是两个：选择A={A门后有奖品}

数学部分经典问题之概率问题

写在前面的话 1、朋友们的热心，是qzzn(求职指南论坛)行政职业能力测试版发展的动力！也是加入到qzzn的各位朋友共有的财富！ 2、所有汇编资料，免费提供，仅供大家交流和学习。请在学习结束后，自行删除! 3、严禁用于商业用途！ 4、希望在公务员考试的道路上，有qzzn，有行政职业能力测试版的陪伴，大家能同进步、共发展！ 5、最后，祝愿大家在即将的考试中，金榜题名，马到成功！ qzzn(求职指南论坛) 行政职业能力测试版版主 westwood 2006年3月2日概率原理

1．重视概念的甄别，即弄清某些容易混淆的概念之间的区别。在概率论中存在许多容易混淆的概念，如果不能认真区分，仔细加以甄别，就不能正确理解这些重要概念，在应用时就会产生各种各样的错误。 ? 互不相容事件与相互独立事件是最容易混淆的一对概念 “互不相容”是指两个事件不能同时发生。而“相互独立”则是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响。 ? 随机变量的独立性与不相关性是两个既有区别又有联系的概念对两个随机变量而言，相互独立?不相关。 ? 条件概率P(A|B)与乘积概率P(AB) 也是容易混淆的一对概念一般来说，当事件B A ,同时发生时，常用)(AB P ，而在有包含关系或明确的主从关系中，用)(A B P 。如袋中有9个白球1个红球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求： (1)第二次才取到白球的概率；(2)第一次取到的是白球的条件下，第二次取到的也是白球的概率。问题(1)是求第一次取到红球且第二次取到白球这一积事件的概率，而问题(2)则是求在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的条件概率。 2．善于识别一些重要的概率模型并能正确进行计算是提高分析和解决概率实际问题能力的关键。在概率论中有许多经长期实践概括出的重要概率模型（简称“概型”），学生必须了解其背景、特点和适用范围，要熟记计算公式，以便能正确应用。例如：（1）古典概型：一类具有有限个“等可能”发生的基本事件的概率模型。（2）完备事件组模型：若干个两两互不相容的事件在一次试验中有且仅有一个发生的一类概率模型。它主要用于某些复杂事件的计算——全概率公式，以及某些条件概率的计算——贝叶斯公式。（3）伯努利概型与二项分布模型：伯努利概型是关于独立重复试验序列的一类重要的概率模型，其特点是各个重复试验是独立进行的，且每次试验中仅有两个对立的结果：事件A 发生或不发生，则在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生v 次的概率为 v n v v n n p p C v P --=)1()( ，其中)(A P p =。（4）普阿松分布：例如，电话交换台在单位时间内所接到的呼唤次数；到某商店去购物的顾客人数；放射性物质不断放出的质点数。（5）正态分布——最重要的概率模型：人体的身高、体重，测量的误差等都服从正态分布。（6）均匀分布——“等可能”取值的连续化模型：如果连续随机变量ξ仅在某有限区间],[b a 内取值，且具有概率密度 ?????≤≤-=其它 ,0 ,1)(b x a a b x ? 则称ξ服从区间],[b a 上的均匀分布。教学内容 ( Contents )

概率统计重难点和例题汇总

参考教材概率论与数理统计第四版（浙江大学主编）重要定理、性质、公式、结论经典例题、重要例题及不需要做的题目第一章概率论的基本概念（考小题）第一节随机试验（了解）第二节样本空间，随机事件（了解）第三节频率与概率（频率可以不用看，了解）第四节等可能概率（古典概论）（难点非重点，做一些基本题即可）第五节条件概率（重要，考小题为主，考大题有时会用到）第六节独立性（重要，考小题为主，大题经常会用到）第二章随机变量及其分布（至少考小题，考大题一定会用到）第一节随机变量（了解）第二节离散型随机变量及其分布律（重要，经常考）第三节随机变量的分布函数（重要，每年必考）第四节连续型随机变量及其概率密度（重要，每年必考）第五节随机变量的函数分布（重要，大题的命题点）第三章多维随机变量及其分布（考大题可能性极大）第一节二维随机变量（了解）第二节边缘分布（理解）第三节条件分布（理解）第四节概率独立的随机变量（重要，基本每年必考）第五节两个随机变量函数的分布（重要，大题的经典命题点）第四章随机变量的数字特征（重要）第一节数学期望（重要，每年必考）第二节方差（重要，每年必考）第三节协方差与相关系数（重要，经常考）第四节矩，协方差矩阵（矩，了解，协方差矩阵不用看）. 第五章大数定律及中心极限定理(了解) 第一节大数定律(了解,关注定律的前提条件与结论) 第二节中心极限定理（了解，关注定理的前提条件与结论）

第六章样本及抽样分布（考小题为主）第一随机样本（了解，其中有重要概念，简单随机样本）第二直方图和箱线图（重要，考小题）第三抽样分布（重要，考小题）第七章参数估计（重要，考大题经典章节）第一节点估计（极其重要，矩估计：重点非难点，最大似然估计（重点且难点））第二节基于截尾样本的最大似然估计（不用看）第三节估计量的评选标准（数一重要，数三不用看）区间估计（数一理解，考的比较少）第五正态总体均值与方差的区间估计（数一理解，考的比较少）第六（０－１）分布参数的区间估计（不用看）第七单侧置信区间（理解，一般不考）（第四－第七，只有数一考，数三均不用看）第八章假设检验（理解，一般不考，只有数一有要求，数三不考）第一假设检验（理解）第二正态总体均值的假设检验（理解）第三正态总体方差的假设检验（理解）第四，第五，第六，第七，第八（均不用看）．

等可能条件下的概率

等可能条件下的概率（一）说课稿各位评委、老师大家好！我今天说课的题目是“等可能条件下的概率”，是苏科版义务教育课程标准试验教科书数学八年级下册第十二章第二节等可能条件下的概率第一课时内容。根据新课标的理念，对于本节课，我将以教什么，怎样教，为什么这样教为思路，从教材分析，教法分析，学法分析、教学过程等四个方面来展开说课。一、教材分析（1）教学内容与作用本节课是初中数学八年级第十二章第二节的内容，主要内容是随机事件中等可能条件下某事物发生的概率问题。本节内容是在学生学习了概率相关事件知识的基础上，从上节课所讲的等可能事件出发，探索随机事件发生的可能的大小为目标，为学生后面学习用列举法求概率及用频率估计概率奠定了基础。（2）教学目标依据课程标准的精神和要求，根据教材的地位、作用，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，我确定了如下教学目标：知识与技能：使学生在具体情境中了解概率的意义，能够运用概率的定义求简单随机事件中等可能事件发生的概率，并阐明理由。过程与方法：通过实验、讨论、分析、计算，在活动中培养学生探究问题能力，合作交流意识。并在解决实际问题中提高他们解决问题的能力，发展学生应用知识的意识。情感态度与价值观：引导学生对问题动手实践、逻辑分析，激发他们的好奇心和求知欲，使学生在运用数学知识解决实际问题的活动中获得成功的体验，建立学习的自信心。并且鼓励学生思维的多样性，发展创新意识。（3）教学重点难点教学重点：能够运用概率的定义求简单随机事件发生的概率，能够初步用树状图、列表图等方式对简单随机事件的概率事件进行分析。教学难点：正确地理解随机事件发生的可能性的大小。二、教法分析本节课共设计了6个教学活动，难易程度由浅入深、层层递进，通过游戏的形式，学生在动手操作、观察分析、类比归纳中，通过自主探究、合作交流，在教师的启发指导下,学生在轻松愉快的环境中探求新知。充分体现了“数学教学主要是数学活动教学”这一思想，体现了师生互动、生生互动的教学理念。利用生活中常见的骰子、硬币等作为课堂实验教具，增加了课堂的趣味性和直观性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，激活学生思维能力，增大了教学容量，对解决重点、突破难点起到辅助作用。三、学法分析学情分析：学生在此之前学习了等可能事件的相关概念，对等可能事件发生的概率有了初步的认识，这为本节重点根据定义求简单随机事件发生的概率提供了良好的基础。初中阶段的学生逻辑思维能力不断发展，自主探索能力显著增强，能够在教师的指导下发挥学习的主动性，在探索实践中获取新知。

第四节 条件概率