正切函数的性质与图象 教案

第五章三角函数 5.4三角函数的图象与性质

5.4.3正切函数的性质与图象

[目标]1.能够作出y ＝tan x 的图象；

2.理解并记住正切函数的性质；

3.会利用正切函数的图象与性质解决相关问题． [重点] 正切函数的性质．

[难点]正切函数的图象、性质及其应用．

知识点一正切函数y ＝tan x 的图象

[填一填]

正切函数y ＝tan x 的图象叫做正切曲线.

[答一答]

1.正切函数y ＝tan x 的图象与x ＝k π＋π

2

，k ∈Z 有公共点吗？

提示：没有．正切曲线是由被互相平行的直线x ＝k π＋π

2(k ∈Z )隔开的无穷多支曲线组成

的．

2.直线y ＝a 与y ＝tan x 的图象相邻两交点之间的距离是多少？ 提示：由图象结合正切函数的周期性可知，两交点之间的距离为π.

3.观察正切函数曲线，写出满足下列条件的x 的集合． (1)满足tan x ＝0的集合为．{x |x ＝k π，k ∈Z }

(2)满足tan x <0的集合为．{x |k π－π

20的集合为．{x |k π

2，k ∈Z }

知识点二正切函数y ＝tan x 的性质

[填一填]

(1)定义域是．{x |x ≠k π＋π

2，k ∈Z }

(2)值域是R ，即正切函数既无最大值，也无最小值． (3)周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π. (4)奇偶性：正切函数是.奇函数

(5)单调性：正切函数在开区间内是增函数．(k π－π2，k π＋π

2)，k ∈Z

(6)对称性：正切函数的图象关于原点对称，正切曲线都是中心对称图形，其对称中心坐标是，正切函数无对称轴．(

k π

2

，0)(k ∈Z )

[答一答]

4.y ＝tan x 在定义域上是增函数吗？

提示：y ＝tan x 在每个开区间(－π2＋k π，π

2＋k π)，k ∈Z 内都是增函数，但在整个定义域

上不具有单调性．

5.正切函数图象与x 轴有无数个交点，交点的坐标为(k π，0)(k ∈Z )，因此有人说正切函数图象的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )，这种说法对吗？

提示：不对．正切函数的图象不仅仅关于点(k π，0)对称，还关于点(π

2＋k π，0)(k ∈Z )对

称，因此正切函数y ＝tan x 的对称中心为(k π

2

，0)(k ∈Z )．

类型一利用正切函数图象求定义域及值域

[例1] 求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭

⎫x ＋π

4；(2)y ＝3－tan x .

[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z 得，x ≠k π＋π

4

，k ∈Z .

所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为{x ⎪

⎪⎭

⎬⎫

x ≠k π＋π4，k ∈Z ，其值域为(－∞，＋∞)． (2)由3－tan x ≥0得，tan x ≤ 3.

结合y ＝tan x 的图象可知，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上，满足tan x ≤3的角x 应满足－π2

3

，所以

函数y ＝

3－tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪

k π－π2

3，k ∈Z ，其值域为[0，＋∞)．

(1)求与正切函数有关的函数定义域要列出使各部分都有意义的不等式(组)，然后求出x 的范围.

(2)求值域要用换元的思想，把tan x 看作可取任意实数的自变量. [变式训练1] (1)求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． (2)求函数y ＝sin x ＋tan x ，x ∈⎣⎡⎦

⎤－π4，π

4的值域． 解：(1)由题意得⎩

⎪⎨⎪⎧

tan x ＋1≥0，

1－tan x >0，即－1≤tan x <1.

∵在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π

4.又y ＝tan x 的周期为π，∴所求x 的取值范围是⎣

⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π

4，k ∈Z ，即为此函数的定义域． (2)y 1＝sin x ，y 2＝tan x 均满足在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π

4上单调递增，∴函数y ＝sin x ＋tan x 也满足在区间⎣⎡⎦

⎤－π4，π

4上单调递增， ∴此函数在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的值域为⎣⎡⎦⎤－22－1，2

2＋1. 类型二正切函数的周期性

[例2] 求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫4x ＋π

4与函数f (x )＝tan x ＋|tan x |的最小正周期． [解] 函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4的最小正周期为T ＝π4； f (x )＝tan x ＋|tan x |＝⎩⎨

⎧

0，x ∈⎝⎛⎭

⎫k π－π

2，k π，2tan x ，x ∈⎣

⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，

作出f (x )＝tan x ＋|tan x |的简图，如图所示，易得函数f (x )＝tan x ＋|tan x |的最小正周期T ＝π.

一般地，函数y ＝A tan (ωx ＋φ)＋B (A ≠0，ω>0)的最小正周期为T ＝π

ω，常常使用此公式来求周期，也可以借助函数图象求周期.

[变式训练2] 若函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫3ax －π3(a ≠0)的最小正周期为π

2

，则a ＝. ±23 解析：T ＝π|3a |＝π2，所以a ＝±2

3.

类型三正切函数的单调性及应用

[例3] (1)求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫

12x －π4的单调区间； (2)比较tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭

⎫－12π

5的大小． [解] (1)由k π－π2<12x －π4

2，k ∈Z .所以函数y ＝

tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4的单调递增区间是⎝

⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3π

2，k ∈Z ，无单调递减区间．

(2)由于tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－π4＝－tan π

4， tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5＝－tan 2π

5， 又0<π4<2π5<π

2，而y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增， 所以tan π4

5，

所以－tan π4>－tan 2π

5，

即tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭

⎫－12π5.

(1)求函数y ＝A tan (ωx ＋φ)的单调性时可将ωx ＋φ看成一个整体，利用y ＝tan x 的单调性求解，但需注意A 、ω的正负性对函数单调性的影响.

(2)比较正切值的大小时可利用诱导公式将角转化到区间⎝⎛⎭⎫－π2，π

2内，再利用正切函数的单调性比较.

[变式训练3] (1)函数y ＝3tan ⎝⎛⎭

⎫

π6－x 4的单调区间是.递减;⎝⎛⎭

⎫4k π－4π3，4k π＋8π3，k ∈Z

(2)比较大小：tan ⎝⎛⎭⎫－7π4tan ⎝⎛⎭

⎫－9

5π.>

解析：(1)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4＝－3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6，由k π－π2

3

，k ∈Z . 所以y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π

3，k ∈Z . (2)∵tan ⎝⎛⎭⎫－74π＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π4＝tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－95π＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π5＝tan π5

， 又0<π5<π4<π

2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增， ∴tan π5

4，

∴tan ⎝⎛⎭⎫－74π>tan ⎝⎛⎭

⎫－95π. 类型四正切函数图象与性质的综合应用

[例4] 设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π

2，已知函数y ＝f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π

2

，且图象关于点M ⎝⎛⎭⎫－π8，0对称． (1)求f (x )的解析式； (2)求f (x )的单调区间；

(3)求不等式－1≤f (x )≤3的解集．

[解] (1)由题意，知函数f (x )的最小正周期T ＝π2，即π|ω|＝π

2.

因为ω>0，所以ω＝2. 从而f (x )＝tan(2x ＋φ)．

因为函数y ＝f (x )的图象关于点M ⎝⎛⎭⎫－π8，0对称，所以2×⎝⎛⎭⎫－π8＋φ＝k π

2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋π

4

，k ∈Z . 因为0<φ<π2，所以φ＝π

4.

故f (x )＝tan ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π4. (2)令－π2＋k π<2x ＋π4<π2＋k π，k ∈Z ，得－3π4＋k π<2x

4，k ∈Z .

即－3π8＋k π2

2

，k ∈Z .

所以函数的单调递增区间为⎝⎛ －3π8＋k π

2，

⎭⎫

π8＋

k π2，k ∈Z ，无单调递减区间．

(3)由(1)，知f (x )＝tan ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π4.

由－1≤tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

4≤3， 得－π4＋k π≤2x ＋π4≤π

3＋k π，k ∈Z .

即－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π

2，k ∈Z .

所以不等式－1≤f (x )≤3的解集为

⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪

－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π

2，k ∈Z .

(1)正切函数y ＝tan x 与x 轴相邻交点间的距离为一个周期；(2)y ＝tan x 的对称中心为

⎝⎛⎭⎫k π2，0，不但包含y ＝tan x 的零点，而且包括直线x ＝π2

＋k π(k ∈Z )与x 轴的交点.

[变式训练4] 已知函数y ＝tan(2x ＋θ)图象的一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π3，0，若－π2<θ<π

2，求θ的值．

解：因为函数y ＝tan x 图象的对称中心为点⎝⎛⎭⎫k π2，0，其中k ∈Z ，所以2x ＋θ＝k π

2，令x ＝π3，得θ＝k π2－2π3，k ∈Z .又－π2<θ<π2，当k ＝1时，θ＝－π6，当k ＝2时，θ＝π3.所以θ＝－π

6或π3

.

1.若tan x ≥0，则( D ) A ．2k π－π

2

B ．x ≤(2k ＋1)π(k ∈Z )

C ．2k π－π

2

D ．k π≤x

2

(k ∈Z )

2.函数y ＝2tan ⎝⎛⎭⎫3x －π

4的一个对称中心是( C ) A ．⎝⎛⎭⎫

π3，0 B ．⎝⎛⎭⎫π6，0 C ．⎝⎛⎭⎫－π

4，0 D ．⎝⎛⎭

⎫－π

2，0

解析：由3x －π4＝k π2，得x ＝k π6＋π12，

令k ＝－2得x ＝－π

4

.故选C ．

3.函数y ＝1

tan (π－x )是( )

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．既是奇函数也是偶函数

D ．非奇非偶函数

4.使函数y ＝2tan x 与y ＝cos x 同时为单调增的区间是.

⎣⎡⎭⎫－π＋2k π，－π2＋2k π(k ∈Z )和⎝⎛⎦

⎤－π2＋2k π，2k π(k ∈Z )

解析：由y ＝2tan x 与y ＝cos x 的图象知，同时为单调增的区间为⎣⎡⎭⎫－π＋2k π，－π

2＋2k π(k ∈Z )和⎝⎛⎦

⎤－π

2＋2k π，2k π(k ∈Z )． 5．求函数y ＝tan(π－x )，x ∈⎝⎛⎭

⎫－π4，π

3的值域． 解：y ＝tan(π－x )＝－tan x ，在⎝⎛⎭

⎫－π4，π

3上为减函数，所以值域为(－3，1)．

——本课须掌握的两大问题

1．正切函数的图象

正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π

2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都

有一支正切曲线，且单调递增．

2．正切函数的性质

(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是{x |x ≠k π＋π

2

，k ∈Z }，值域是R .

(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期为T ＝π

|ω|.

(3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π

2＋k π(k ∈Z )上单调递增，不能写成闭区间．正切函数无单调递减区间．

第五章5.4.3正切函数的性质与图象

A 组·素养自测

一、选择题

1．函数y ＝tan(x ＋π

4)的定义域是( A )

A ．{x ∈R |x ≠k π＋π

4，k ∈Z }

B ．{x ∈R |x ≠k π－π

4，k ∈Z }

C ．{x ∈R |x ≠2k π＋π

6，k ∈Z }

D ．{x ∈R |x ≠2k π－π

6

，k ∈Z }

[解析] 由正切函数的定义域可得，x ＋π4≠π

2＋k π，k ∈Z ，

∴x ≠π4＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为{x ∈R |x ≠π

4＋k π，k ∈Z }．

2.已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点(π

12，0)，则φ可以是( A )

A.－π6

B.π

6 C.－π12

D.π12

[解析] ∵函数的图象过点(π12，0)，∴tan(π

6

＋φ)＝0，

∴π6＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，令k ＝0，则φ＝－π

6

，故选A ． 3．函数f (x )＝tan(ωx －π4)与函数g (x )＝sin(π

4－2x )的最小正周期相同，则ω＝( A )

A ．±1

B ．1

C ．±2

D ．2

[解析]

π|ω|＝2π

|－2|

，ω＝±1. 4．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫

12x －π3在一个周期内的图象是( A )

[解析] 由f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫

12x －π3， 知f (x ＋2π)＝tan[12(x ＋2π)－π3]

＝tan ⎝⎛⎭⎫

12x －π3＝f (x )．

∴f (x )的周期为2π，排除B ，D ． 令tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3＝0，得x 2－π

3＝k π(k ∈Z )． ∴x ＝2k π＋2π3(k ∈Z )，若k ＝0，则x ＝2π

3，

即图象过点⎝⎛⎭⎫

2π3，0，故选A ．

5．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 的定义域为⎝⎛⎭⎫2π3，3π

2，则函数的值域为( C ) A ．(3，＋∞) B ．⎝

⎛⎭

⎫－

33，＋∞

C ．(－3，＋∞)

D ．⎝⎛

⎭

⎫33，＋∞ [解析] 由2π3

2，从

而tan ⎝⎛⎭⎫π6－x >tan ⎝⎛⎭

⎫－4π

3＝－ 3.故函数的值域为(－3，＋∞)． 6．在区间[－2π，2π]内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象交点的个数为( B ) A ．3 B ．5 C ．7

D ．9

[解析] 在同一直角坐标系中画出函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 在区间[－2π，2π]内的图象(图象略)，由图象可知其交点个数为5，故选B ．

二、填空题

7．函数y ＝3tan(2x ＋π3)的对称中心的坐标为__(k π4－π

6，0)(k ∈Z )__.

[解析] 令2x ＋π3＝k π

2(k ∈Z )，

得x ＝k π4－π

6

(k ∈Z )，

∴对称中心的坐标为(k π4－π

6

，0)(k ∈Z )．

8．求函数y ＝tan(－12x ＋π4)的单调区间是__(2k π－π2，2k π＋3

2π)(k ∈Z )__.

[解析] y ＝tan(－12x ＋π

4)

＝－tan(12x －π

4

)，

由k π－π2<12x －π4

2(k ∈Z )，

得2k π－π2

2

π，k ∈Z ，

∴函数y ＝tan(－12x ＋π4)的单调递减区间是(2k π－π2，2k π＋3

2

π)，k ∈Z .

9．函数f (x )＝tan ax (a >0)的图象的相邻两支截直线y ＝π3所得线段长为2，则a 的值为__

π

2__.

[解析] 由题意可得T ＝2，所以πa ＝2，a ＝π

2.

三、解答题

10．求下列函数的周期及单调区间． (1)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫

π6－x 4； (2)y ＝|tan x |.

[解析] (1)y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4＝－3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π

6， ∴T ＝π

|ω|

＝4π，

∴y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫

π6－x 4的周期为4π. 由k π－π2

2(k ∈Z )，

得4k π－4π3

3

(k ∈Z )，

∴y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6在⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π

3(k ∈Z )内单调递增，无单调递增区间． ∴y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4在⎝⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π

3(k ∈Z )内单调递减． (2)由于y ＝|tan x |

＝⎩⎨

⎧

tan x ，x ∈⎣

⎡⎭⎫k π，k π＋π

2(k ∈Z )，－tan x ，x ∈⎝⎛⎭

⎫k π－π2，k π(k ∈Z ).

∴其图象如图所示，由图象可知，周期为π，单调增区间为⎣

⎡⎭⎫k π，k π＋π

2(k ∈Z )，单调减区间为⎝⎛⎦

⎤k π－π

2，k π(k ∈Z )．

11．已知－π3≤x ≤π

4，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2，求f (x )的最值及相应的x 值．

[解析] ∵－π3≤x ≤π

4，∴－3≤tan x ≤1，

f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1， 当tan x ＝－1，即x ＝－π

4时，y min ＝1；

当tan x ＝1，即x ＝π

4

时，y max ＝5.

B 组·素养提升

一、选择题

1．若a ＝log 12tan70°，b ＝log 12sin25°，c ＝log 1

2cos25°，则( D )

A ．a

B ．b

C ．c

D ．a

[解析] ∵0log 12cos25°>log 1

2

tan70°.即a

2．(2019·河北新高考高一模拟选科)已知函数f (x )＝m tan x －k sin x ＋2(m ，k ∈R )，若f (π3)

＝1，则f (－π

3

)＝( C )

A ．1

B ．－1

C ．3

D ．－3

[解析] ∵f (x )＝m tan x －k sin x ＋2(m ，k ∈R )，f (π

3)＝1，

∴f (π3)＝m tan π3－k sin π3＋2＝3m －3

2

k ＋2＝1，

∴3m －

3

2

k ＝－1， ∴f (－π3)＝m tan(－π3)－k sin(－π3)＋2＝－3m ＋3

2k ＋2＝3.

3．(多选题)下列说法正确的是( BD ) A ．tan 8π7>tan 2π7

B ．sin 145°

C ．函数y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π

ω

D ．函数y ＝2tan x (π4≤x <π

2

)的值域是[2，＋∞)

[解析] A 错误，tan 8π7＝tan(π＋π7)＝tan π7，因为0<π7<2π7<π2，函数y ＝tan x 在(0，π

2)上单

调递增，所以tan π7

7；B 正确，sin145°＝sin35°<1，tan47°>1，故

sin145°

2，∴由

函数的单调性可知y ＝2tan x ≥2，故选BD ．

4．(多选题)已知函数f (x )＝tan x ，对任意x 1，x 2∈(－π2，π

2)(x 1≠x 2)，给出下列结论，正

确的是( AD )

A ．f (x 1＋π)＝f (x 1)

B ．f (－x 1)＝f (x 1)

C ．f (0)＝1

D ．f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2

>0

[解析] 由于f (x )＝tan x 的周期为π，故A 正确；函数f (x )＝tan x 为奇函数，故B 不正确；f (0)＝tan0＝0，故C 不正确；D 表明函数为增函数，而f (x )＝tan x 为区间(－π2，π2)上的增函数，

故D 正确．

二、填空题

5．若函数y ＝tan ωx 在(－π2，π

2

)内是减函数，则ω的范围为__[－1,0)__.

[解析] 若ω使函数在(－π2，π

2)上是减函数，则ω<0，而|ω|>1时，图象将缩小周期，故

－1≤ω<0.

6．给出下列命题：

(1)函数y ＝tan|x |不是周期函数； (2)函数y ＝tan x 在定义域内是增函数； (3)函数y ＝⎪⎪⎪⎪tan (2x ＋π3)的周期是π

2

；

(4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫

5π2＋x 是偶函数． 其中正确命题的序号是__(1)(3)(4)__.

[解析] y ＝tan|x |是偶函数，由图象知不是周期函数，因此(1)正确；y ＝tan x 在每一个区间⎝⎛⎭

⎫－π2＋k π，π

2＋k π(k ∈Z )内都是增函数但在定义域上不是增函数，∴(2)错；y ＝⎪⎪⎪⎪tan (2x ＋π3)的周期是π2

.∴(3)对；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫52π＋x ＝cos x 是偶函数，∴(4)对．

因此，正确的命题的序号是(1)(3)(4)．

7．若tan ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，则x 的取值范围是__⎝⎛⎦

⎤－π6＋k π2，5π24＋k π

2(k ∈Z )__. [解析] 令z ＝2x －π6，在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上满足tan z ≤1的z 的值是－π2

4，在整个定义域上有－π2＋k π

2

，k ∈Z .

三、解答题

8．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3时，若使a －2tan ⎝⎛⎭⎫2x －π

3的值总大于零，求a 的取值范围． [解析] ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，∴0≤2x －π3≤π

3. 又y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π

3内单调递增， ∴0≤tan ⎝⎛⎭⎫2x －π

3≤3， ∴0≤2tan ⎝

⎛⎭⎫2x －π

3≤2 3. 由题意知a －2tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3>0对x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π

3恒成立， 即a >2tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3对x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π

3恒成立． ∴a >2 3.∴实数a 的取值范围是(23，＋∞)．

9．画出函数y ＝|tan x |＋tan x 的图象，并根据图象求出函数的主要性质． [解析] 由y ＝|tan x |＋tan x 知

y ＝⎩⎨⎧

0，x ∈(k π－π

2

，k π]，

2tan x ，x ∈(k π，k π＋π

2

)(k ∈Z )．

其图象如图所示．

函数的主要性质为：

①定义域：{x |x ∈R ，x ≠π

2＋k π，k ∈Z }；

②值域：[0，＋∞)； ③周期性：T ＝π； ④奇偶性：非奇非偶函数；

⑤单调性：单调增区间为[k π，k π＋π

2

)，k ∈Z .