分类讨论函数的单调性(修改)
分类讨论函数的单调性
一、 求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。
例1 设k R ∈
，函数1
,11(),()(),1x x f x F x f x kx x R x ?
-==-∈??≥?
，试讨论函数()F x 的单调性。
二、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否
落在定义域内，从而引起讨论。 例2 已知a 是实数，函数(
))f x x a =-
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设()g a 为()f x 在区间[]0,2上的最小值。
（i ）写出()g a 的表达式；（ii ）求a 的取值范围，使得()62g a -≤≤-。
三、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在定义
域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。
例3已知函数()()22
21
1
ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。 （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()
2,2f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。
例4（改编）设函数()()2
ln 1f x x b x =++，其中0b ≠，求函数()f x 的极值点。 例5已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f （I ） 讨论函数)(x f 的单调性；
（II ） （II ）设1- 2 2 x x (k ≥0)。 (Ⅰ)当k =2时，求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(Ⅱ)求f (x )的单调区间。 例7设)(x f 是定义在区间),1(+∞上的函数，其导函数为)('x f 。如果存在实数a 和函数)(x h ，其中) (x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，使得)1)(()('2 +-=ax x x h x f ，则称函数)(x f 具有性质)(a P 。 (1)设函数)(x f 2 ln (1)1 b x x x +=+ >+，其中b 为实数。 (i)求证：函数)(x f 具有性质)(b P ； (ii)求函数)(x f 的单调区间。 (2)已知函数)(x g 具有性质)2(P 。给定1212,(1,),,x x x x ∈+∞<设m 为实数，21)1(x m mx -+=α， 21)1(mx x m +-=β，且1,1>>βα，若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|，求m 的取值范围。 例1 解：()( )2 2 11,11,1,11()(),'(),11k x x kx x x x F x f x kx F x kx x x ?--?? 。 考虑导函数'()0F x =是否有实根，从而需要对参数k 的取值进行讨论。 （一）若1x <，则() () 2 2 11'()1k x F x x --= -。由于当0k ≤时，'()0F x =无实根，而当0k >时， '()0F x =有实根， 因此，对参数k 分0k ≤和0k >两种情况讨论。 （1） 当0k ≤时，'()0F x ≥在(,1)-∞上恒成立，所以函数()F x 在(,1)-∞上为增函数； （2） 当0k >时，() ( ) () 2 2 21111'()11k x x k x F x x x ??????----???? --??????= =--。 由'()0F x = ，得121,1x x ?? == ? ? ，因为0k >，所以121x x <<。 由'()0F x > ，得11x <<；由'()0F x < ，得1x < 因此，当0k >时，函数()F x 在(,1-∞ 上为减函数，在(1上为增函数。 （二）若1x > ，则'()F x =。由于当0k ≥时，'()0F x =无实根，而当0k <时， '()0F x =有实根，因此，对参数k 分0k ≥和0k <两种情况讨论。 （1） 当0k ≥时，'()0F x <在[)1,+∞上恒成立，所以函数()F x 在[)1,+∞上为减函数； （2） 当0k < 时，1'()k F x ?-? ==。 由'()0F x >，得2114x k >+ ；由'()0 F x <，得2 1 114x k <<+。 因此，当0k <时，函数()F x 在211,14k ? ?+ ????上为减函数，在211,4k ?? ++∞???? 上为增函数。 例2解：（Ⅰ）函数的定义域为[)0,+∞，( ))' 30a x f x x ? ?- ? ===>，由 '()0f x =得3a x = 。考虑3 a 是否落在导函数'()f x 的定义域()0,+∞内，需对参数a 的取值分0a ≤及0a >两种情况进行讨论。 （1） 当0a ≤时，则'()0f x >在()0,+∞上恒成立，所以()f x 的单调递增区间为[)0,+∞。 （2） 当0a >时，由'()0f x >，得3a x > ；由'()0f x <，得03 a x <<。 因此，当0a >时，()f x 的单调递减区间为0,3a ??????，()f x 的单调递增区间为,3 a ??+∞???? 。 （Ⅱ）（i ）由第（Ⅰ）问的结论可知： （1） 当0a ≤时，()f x 在[)0,+∞上单调递增，从而()f x 在[]0,2上单调递增，所以 ()()00g a f ==。 （2） 当0a >时，()f x 在0,3a ??????上单调递减，在,3a ??+∞???? 上单调递增，所以： ① 当 ()0,23a ∈，即06a <<时，()f x 在0,3a ??????上单调递减，在,23a ?? ???? 上单调递增， 所以( )3a g a f ?? == ??? 932a a -=。 ② 当 [)2,3 a ∈+∞，即6a ≥时，()f x 在[]0,2上单调递减，所以()( ))22g a f a ==-。 例3解：（Ⅰ）当1a =时，曲线()y f x =在点()() 2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。 （Ⅱ）由于0a ≠，所以()()()()()() 2 2 ' 2222 122122111a x a x a x x ax a a f x x x ? ?--+ ?+--+??==++。 由()' 0f x =，得121 ,x x a a =-=。这两个实根都在定义域R 内，但不知它们之间的大小。因此，需 对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。 （1） 当0a >时，则12x x <。易得()f x 在区间1,a ??-∞- ?? ?，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ??- ??? 为 增函数。故函数()f x 在11x a =- 处取得极小值21f a a ?? -=- ??? ；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。 （2） 当0a <时，则12x x >。易得()f x 在区间),(a -∞，),1(+∞-a 内为增函数，在区间)1 ,(a a -为减函数。故函数()f x 在11x a =- 处取得极小值21f a a ?? -=- ??? ；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。 例4解：由题意可得()f x 的定义域为()1,-+∞，()2' 22211 b x x b f x x x x ++=+=++，()'f x 的分母1x +在定义域()1,-+∞ 上恒为正，方程2 220x x b ++=是否有实根，需要对参数b 的取值进行讨论。 （1）当480b ?=-≤，即12b ≥ 时，方程2 220x x b ++=无实根或只有唯一根12 x =-，所以()2220g x x x b =++≥ 在()1,-+∞上恒成立，则()' 0f x ≥在()1,-+∞上恒成立，所以函数()f x 在()1,-+∞上单调递增，从而 函数()f x 在()1,-+∞上无极值点。 （2）当480b ?=->，即12 b < 时，方程2220x x b ++=，即()' 0f x =有两个不相等的实根： 12x x = = 这两个根是否都在定义域()1,-+∞内呢？又需要对参数b 的取值分情况作如下讨论： （ ⅰ ） 当 b <时 ， 12111,122 x x --+= <-=>-，所以 ()()121,,1,x x ?-+∞∈-+∞。 此时，()' f x 与()f x 随x 的变化情况如下表： 由此表可知：当0b <时，()f x 有唯一 极小值点2x = （ ⅱ ） 当 102 b << 时 ， 12111,122 x x --+= >-=>-，所 以 ()()121,,1,x x ∈-+∞∈-+∞。 此时，()'f x 与()f x 随x 的变化情况如下表： 由此表可知：当102b << 时，()f x 有一个极大值 点1x =和一个极小值 点212 x -= 。 例5解：（Ⅰ）()f x 的定义域为（0，+∞）. 2121 '()2a ax a f x ax x x +++=+=. 当0a ≥时，'()f x ＞0，故()f x 在（0，+∞）单调增加； 当1a ≤-时，'()f x ＜0，故()f x 在（0，+∞）单调减少； 当-1＜a ＜0时，令'()f x =0 ，解得x = 则当x ∈时，'()f x ＞0 ；)x ∈+∞时，'()f x ＜0. 故()f x 在 单调增加，在)+∞单调减少. （Ⅱ）不妨假设12x x ≥，而a ＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而 12,(0,)x x ?∈+∞，1212()()4f x f x x x -≥- 等价于 12,(0,)x x ?∈+∞，2211()4()4f x x f x x +≥+ ① 令()()4g x f x x =+，则1 '()24a g x ax x += ++ ①等价于()g x 在（0，+∞）单调减少，即 1 240a ax x +++≤. 从而222 22241(21)42(21)2212121 x x x x a x x x ------≤ ==-+++ 故a 的取值范围为（-∞，-2]. 例6解：（I ）当2k =时，2()ln(1)f x x x x =+-+，1 '()121f x x x =-++ 由于(1)ln 2f =，3 '(1)2 f =， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 3 ln 2(1)2y x -= - 即 322ln 230x y -+-= （II ）(1) '()1x kx k f x x +-=+，(1,)x ∈-+∞. 当0k =时，'()1x f x x =-+. 所以，在区间(1,0)-上，'()0f x >；在区间(0,)+∞上， '()0f x <. 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞. 当01k <<时，由(1)'()01x kx k f x x +-= =+，得10x =，210k x k -=> 所以，在区间(1,0)-和1(,)k k -+∞上，'()0f x >；在区间1(0,)k k -上，'()0f x < 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-和1(,)k k -+∞，单调递减区间是1(0,)k k -. 当1k =时，2 '()1x f x x =+ 故()f x 得单调递增区间是(1,)-+∞. 当1k >时，(1)'()01x kx k f x x +-==+，得11(1,0)k x k -=∈-，20x =. 所以没在区间1(1,)k k --和(0,)+∞上，'()0f x >；在区间1(,0)k k -上， '()0f x < 故()f x 得单调递增区间是1(1,)k k --和(0,)+∞，单调递减区间是1(,0)k k - 例7（1）(i)'()f x ∵1x >时，2 1 ()0(1)h x x x = >+恒成立， ∴函数)(x f 具有性质)(b P ； (ii)（方法一）设2 2 2()1()124 b b x x bx x ?=-+=-+-，()x ?与)('x f 的符号相同。 当2 10,224 b b ->-<<时，()x ?0>，)('x f 0>，故此时)(x f 在区间),1(+∞上递增； 当2b =±时，对于1x >，有)('x f 0>，所以此时)(x f 在区间),1(+∞上递增； 当2b <-时，()x ?图像开口向上，对称轴12 b x = <-，而(0)1?=， 对于1x >，总有()x ?0>，)('x f 0>，故此时)(x f 在区间),1(+∞上递增； （方法二）当2b ≤时，对于1x >，222()121(1)0x x bx x x x ?=-+≥-+=-> 所以)('x f 0>，故此时)(x f 在区间),1(+∞上递增； 当2b >时，()x ?图像开口向上，对称轴12b x =>，方程()0x ?=， (0,1)>= 当(1,2b x ∈时，()x ?0<，)('x f 0<，故此时)(x f 在区间(1,2b 上递减； 同理得：)(x f 在区间[)2 b ++∞上递增。 综上所述，当2b ≤时，)(x f 在区间),1(+∞上递增； 当2b >时，)(x f 在上递减；)(x f 在)+∞上递增。 (2)（方法一）由题意，得：22'()()(21)()(1)g x h x x x h x x =-+=- 又)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0， 所以对任意的),1(+∞∈x 都有()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上递增。 又1212,(21)()x x m x x αβαβ+=+-=--。 当1 ,12 m m > ≠时，αβ<，且112212(1)(1),(1)(1)x m x m x x m x m x αβ-=-+--=-+-， 综合以上讨论，得：所求m 的取值范围是（0，1）。 （方法二）由题设知，()g x 的导函数2'()()(21)g x h x x x =-+，其中函数()0h x >对于任意的),1(+∞∈x 都成立。所以，当1x >时，2'()()(1)0g x h x x =->，从而()g x 在区间),1(+∞上单调递增。 ①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=， 12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=，得12(,)x x α∈，同理可得12(,)x x β∈，所以由()g x 的单调 性知()g α、()g β12((),())g x g x ∈，从而有|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|，符合题设。 ②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=， 12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，于是由1,1αβ >>及 ()g x 的单调性知12()()()()g g x g x g βα≤<≤，所以|)()(βαg g -|≥|)()(21x g x g -|，与题设不符。 ③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥，进而得|)()(βαg g -|≥|)()(21x g x g -|，与题设不符。 因此综合①、②、③得所求的m 的取值范围是（0，1）。 1.设n m R n m a R d c b a d cx bx ax x f <∈≠∈+++=,,,0,,,,,)(23又，则下列正确的判断是 A ．若n m x f n f m f ,0)(,0)()(在则=<之间只有一个实根 B ．若n m x f n f m f ,0)(,0)()(在则=>之间至少有一个实根 C ．若n m x f ,0)(在=之间至少有一个实根，则0)()( 2. 已知f （x ）,g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x<0时()()()()()()()//0,0,0 f x g x f x g x f f x g x +=且2则不等式的解集为 ()()()()()()()() 2,02,;2,00,2;,22,;,20,2A B C D -?+∞-?-∞-?+∞-∞-? 3. 若点P 在曲线4 3 )33(32 3 + -+-=x x x y 上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α， 则角α的取值范围是（ ） A ．)2 , 0[π B ．),32[ )2 , 0[πππ C ．),3 2[ππ D ．]3 2,2()2, 0[π ππ 4. 当n kn n n N n +≤+∈* 1ln 1ln ,不等时恒成立，则常数k 的取值范围是 （ ） A ．),1[+∞ B ．),2[+∞ C ．),2 1 (+∞ D ．),(+∞e 5. 定义在R 上的函数,0.)(213≤+--=x x x x x f 设给出下列不等式： ①;0)()(11≤-x f x f ②;0)()(22>-x f x f ③);()()()(2121x f x f x f x f -+-≤+ ④).()()()(2121x f x f x f x f -+-≥+ 其中正确不等式的序号是 A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④ 6. 设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0 7. 如图是函数d cx bx x x f +++=2 3 )(的大致 图象，则2 22 1x x +等于（ ） A ． 32 B ．34 C ．38 D ．3 12 作业: 2．（2011年高考湖南卷文科22第(1)题)讨论函数 1 ()ln ().f x x a x a R x =- -∈的单调性． [2011·广东卷19] 设a ＞0，讨论函数f (x )＝ln x ＋a (1－a )x 2－2(1－a )x 的单调性． 讨论函数x x a x x f ln )(++=的单调性. 四、 求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。 例1 设k R ∈ ，函数1 ,11(),()(),1x x f x F x f x kx x R x ? -==-∈??≥? ，试讨论函数()F x 的单调性。 五、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否 落在定义域内，从而引起讨论。 例2 已知a 是实数，函数( ))f x x a =- （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设()g a 为()f x 在区间[]0,2上的最小值。 （i ）写出()g a 的表达式；（ii ）求a 的取值范围，使得()62g a -≤≤-。 六、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在定义 域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。 例3已知函数()()2221 1 ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。 （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()() 2,2f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。 例4（改编）设函数()()2ln 1f x x b x =++，其中0b ≠，求函数()f x 的极值点。 例5已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f （III ） 讨论函数)(x f 的单调性； （IV ） （II ）设1- 2 2 x x (k ≥0)。 (Ⅰ)当k =2时，求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(Ⅱ)求f (x )的单调区间。 例7设)(x f 是定义在区间),1(+∞上的函数，其导函数为)('x f 。如果存在实数a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ，则称函数)(x f 具有性质)(a P 。 (1)设函数)(x f 2 ln (1)1 b x x x +=+ >+，其中b 为实数。 (i)求证：函数)(x f 具有性质)(b P ； (ii)求函数)(x f 的单调区间。 (2)已知函数)(x g 具有性质)2(P 。给定1212,(1,),,x x x x ∈+∞<设m 为实数，21)1(x m mx -+=α， 21)1(mx x m +-=β，且1,1>>βα，若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|，求m 的取值范围。 例1 解：()( )2 2 11,11,1,11()(),'(),11k x x kx x x x F x f x kx F x kx x x ?--?? 。 考虑导函数'()0F x =是否有实根，从而需要对参数k 的取值进行讨论。 （一）若1x <，则() () 2 2 11'()1k x F x x --= -。由于当0k ≤时，'()0F x =无实根，而当0k >时， '()0F x = 有实根， 因此，对参数k 分0k ≤和0k >两种情况讨论。 （3） 当0k ≤时，'()0F x ≥在(,1)-∞上恒成立，所以函数()F x 在(,1)-∞上为增函数； （4） 当0k >时，() () 2 2 11'()11k x F x x x ????--= =-- 由'()0F x = ，得121,1x x ?? == ? ? ，因为0k >，所以121x x <<。 由'()0F x > ，得11x <<；由'()0F x < ，得1x < 因此，当0k >时，函数()F x 在(,1-∞ 上为减函数，在(1上为增函数。 （二）若1x > ，则'()F x =。由于当0k ≥时，'()0F x =无实根，而当0k <时， '()0F x =有实根，因此，对参数k 分0k ≥和0k <两种情况讨论。 （1） 当0k ≥时，'()0F x <在[)1,+∞上恒成立，所以函数()F x 在[)1,+∞上为减函数； （2） 当0k < 时，1'()k F x ?-? ==。 由'()0F x >，得2114x k >+ ；由'()0F x <，得2 1 114x k <<+。 因此，当0k <时，函数()F x 在211,14k ? ?+ ????上为减函数，在211,4k ?? ++∞???? 上为增函数。 例2解：（Ⅰ）函数的定义域为[)0,+∞，( ))' 30a x f x x ? ?- ? ===>，由 '()0f x =得3a x = 。考虑3 a 是否落在导函数' ()f x 的定义域()0,+∞内，需对参数a 的取值分0a ≤及0a >两种情况进行讨论。 （3） 当0a ≤时，则' ()0f x >在()0,+∞上恒成立，所以()f x 的单调递增区间为[)0,+∞。 （4） 当0a >时，由' ()0f x >，得3a x > ；由' ()0f x <，得03 a x <<。 因此，当0a >时，()f x 的单调递减区间为0,3a ??????，()f x 的单调递增区间为,3 a ??+∞???? 。 （Ⅱ）（i ）由第（Ⅰ）问的结论可知： （3） 当0a ≤时，()f x 在[)0,+∞上单调递增，从而()f x 在[]0,2上单调递增，所以 ()()00g a f ==。 （4） 当0a >时，()f x 在0,3a ??????上单调递减，在,3a ??+∞???? 上单调递增，所以： ③ 当 ()0,23a ∈，即06a <<时，()f x 在0,3a ??????上单调递减，在,23a ?? ???? 上单调递增， 所以( )3a g a f ?? == ??? 932a a -=。 ④ 当 [)2,3 a ∈+∞，即6a ≥时，()f x 在[]0,2上单调递减，所以()( ))22g a f a ==-。 例3解：（Ⅰ）当1a =时，曲线()y f x =在点()() 2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。 （Ⅱ）由于0a ≠，所以()()()()()() 2 2 ' 2222 122122111a x a x a x x ax a a f x x x ? ?--+ ?+--+??==++。 由()'0f x =，得121 ,x x a a =- =。这两个实根都在定义域R 内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。 （1） 当0a >时，则12x x <。易得()f x 在区间1,a ??-∞- ???，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ??- ??? 为增函数。故函数()f x 在11x a =- 处取得极小值2 1f a a ??-=- ??? ；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。 （2） 当0a <时，则12x x >。易得()f x 在区间),(a -∞，),1(+∞-a 内为增函数，在区间)1 ,(a a -为减函数。故函数()f x 在11x a =- 处取得极小值2 1f a a ??-=- ??? ；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。 例4解：由题意可得()f x 的定义域为()1,-+∞，()2' 22211 b x x b f x x x x ++=+=++，()' f x 的分母1x +在定义域()1,-+∞ 上恒为正，方程2 220x x b ++=是否有实根，需要对参数b 的取值进行讨论。 （1）当480b ?=-≤，即12b ≥ 时，方程2 220x x b ++=无实根或只有唯一根12 x =-，所以()2220g x x x b =++≥ 在()1,-+∞上恒成立，则()'0f x ≥在()1,-+∞上恒成立，所以函数()f x 在()1,-+∞上单调递增，从而函数()f x 在()1,-+∞上无极值点。 （2）当480b ?=->，即12 b < 时，方程2 220x x b ++=，即()'0f x =有两个不相等的实根： 121122 x x --= = 这两个根是否都在定义域()1,-+∞内呢？又需要对参数b 的取值分情况作如下讨论： （ ⅰ ） 当 b <时 ， 121,1x x = <-=>-， 所以()()121,,1,x x ?-+∞∈-+∞。 此时，()'f x 与()f x 随x 的变化情况如下表： 由此表可知：当0b <时，()f x 有唯一极小 值点 212 x -= 。 （ ⅱ ） 当 0b << 1211,2x x -=>-，所以()()121,,1,x x ∈-+∞∈-+∞。 此时，()'f x 与()f x 随x 的变化情况如下表： 由此表可知：当102b << 时，()f x 有一个极大值点1x =和一个极小值点212 x -= 。 例5解：（Ⅰ）()f x 的定义域为（0，+∞）. 2121 '()2a ax a f x ax x x +++=+=. 当0a ≥时，'()f x ＞0，故()f x 在（0，+∞）单调增加； 当1a ≤-时，'()f x ＜0，故()f x 在（0，+∞）单调减少； 当-1＜a ＜0时，令'()f x =0，解得x = 则当x ∈时，'()f x ＞0；)x ∈+∞时，'()f x ＜0. 故()f x 在单调增加，在)+∞单调减少. （Ⅱ）不妨假设12x x ≥，而a ＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而 12,(0,)x x ?∈+∞，1212()()4f x f x x x -≥- 等价于 12,(0,)x x ?∈+∞，2211()4()4f x x f x x +≥+ ① 令()()4g x f x x =+，则1 '()24a g x ax x += ++ ①等价于()g x 在（0，+∞）单调减少，即 1 240a ax x +++≤. 从而222 22241(21)42(21)2212121 x x x x a x x x ------≤ ==-+++ 故a 的取值范围为（-∞，-2]. 例6解：（I ）当2k =时，2 ()ln(1)f x x x x =+-+，1 '()121f x x x = -++ 由于(1)ln 2f =，3 '(1)2 f =， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 3 ln 2(1)2y x -= - 即 322ln 230x y -+-= （II ）(1) '()1x kx k f x x +-=+，(1,)x ∈-+∞. 当0k =时，'()1x f x x =-+. 所以，在区间(1,0)-上，'()0f x >；在区间(0,)+∞上， '()0f x <. 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞. 当01k <<时，由(1)'()01x kx k f x x +-= =+，得10x =，210k x k -=> 所以，在区间(1,0)-和1(,)k k -+∞上，'()0f x >；在区间1(0,)k k -上，'()0f x < 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-和1(,)k k -+∞，单调递减区间是1(0,)k k -. 当1k =时，2 '()1x f x x =+ 故()f x 得单调递增区间是(1,)-+∞. 当1k >时，(1)'()01x kx k f x x +-==+，得11(1,0)k x k -=∈-，20x =. 所以没在区间1(1,)k k --和(0,)+∞上，'()0f x >；在区间1(,0)k k -上， '()0f x < 故()f x 得单调递增区间是1(1,)k k --和(0,)+∞，单调递减区间是1(,0)k k - 例7（1）(i)'()f x ∵1x >时，2 1 ()0(1)h x x x = >+恒成立， ∴函数)(x f 具有性质)(b P ； (ii)（方法一）设2 2 2()1()124 b b x x bx x ?=-+=-+-，()x ?与)('x f 的符号相同。 当2 10,224 b b ->-<<时，()x ?0>，)('x f 0>，故此时)(x f 在区间),1(+∞上递增； 当2b =±时，对于1x >，有)('x f 0>，所以此时)(x f 在区间),1(+∞上递增； 当2b <-时，()x ?图像开口向上，对称轴12 b x = <-，而(0)1?=， 对于1x >，总有()x ?0>，)('x f 0>，故此时)(x f 在区间),1(+∞上递增； （方法二）当2b ≤时，对于1x >，222()121(1)0x x bx x x x ?=-+≥-+=-> 所以)('x f 0>，故此时)(x f 在区间),1(+∞上递增； 当2b >时，()x ?图像开口向上，对称轴12b x =>，方程()0x ?=的两根为：22 b b ， (0,1)>= 当x ∈时，()x ?0<，)('x f 0<，故此时)(x f 在区间 上递减； 同理得：)(x f 在区间)+∞上递增。 综上所述，当2b ≤时，)(x f 在区间),1(+∞上递增； 当2b >时，)(x f 在上递减；)(x f 在)+∞上递增。 (2)（方法一）由题意，得：22'()()(21)()(1)g x h x x x h x x =-+=- 又)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0， 所以对任意的),1(+∞∈x 都有()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上递增。 又1212,(21)()x x m x x αβαβ+=+-=--。 当1 ,12 m m > ≠时，αβ<，且112212(1)(1),(1)(1)x m x m x x m x m x αβ-=-+--=-+-， 综合以上讨论，得：所求m 的取值范围是（0，1）。 （方法二）由题设知，()g x 的导函数2'()()(21)g x h x x x =-+，其中函数()0h x >对于任意的),1(+∞∈x 都成立。所以，当1x >时，2'()()(1)0g x h x x =->，从而()g x 在区间),1(+∞上单调递增。 ①当(0,1)m ∈时，有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=， 12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=，得12(,)x x α∈，同理可得12(,)x x β∈，所以由()g x 的单调 性知()g α、()g β12((),())g x g x ∈，从而有|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|，符合题设。 ②当0m ≤时，12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=， 12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=，于是由1,1αβ >>及 ()g x 的单调性知12()()()()g g x g x g βα≤<≤，所以|)()(βαg g -|≥|)()(21x g x g -|，与题设不符。 ③当1m ≥时，同理可得12,x x αβ≤≥，进而得|)()(βαg g -|≥|)()(21x g x g -|，与题设不符。 因此综合①、②、③得所求的m 的取值范围是（0，1）。 1.设n m R n m a R d c b a d cx bx ax x f <∈≠∈+++=,,,0,,,,,)(23又，则下列正确的判断是 A ．若n m x f n f m f ,0)(,0)()(在则=<之间只有一个实根 B ．若n m x f n f m f ,0)(,0)()(在则=>之间至少有一个实根 C ．若n m x f ,0)(在=之间至少有一个实根，则0)()( 2. 已知f （x ）,g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x<0时()()()()()()()//0,0,0 f x g x f x g x f f x g x +=且2则不等式的解集为 ()()()()()()()() 2,02,;2,00,2;,22,;,20,2A B C D -?+∞-?-∞-?+∞-∞-? 3. 若点P 在曲线4 3 )33(32 3 + -+-=x x x y 上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α， 则角α的取值范围是（ ） A ．)2 , 0[π B ．),32[ )2 , 0[πππ C ．),3 2[ππ D ．]3 2,2()2, 0[π ππ 4. 当n kn n n N n +≤+∈* 1ln 1ln ,不等时恒成立，则常数k 的取值范围是 （ ） A ．),1[+∞ B ．),2[+∞ C ．),2 1 (+∞ D ．),(+∞e 5. 定义在R 上的函数,0.)(213≤+--=x x x x x f 设给出下列不等式： ①;0)()(11≤-x f x f ②;0)()(22>-x f x f ③);()()()(2121x f x f x f x f -+-≤+ ④).()()()(2121x f x f x f x f -+-≥+ 其中正确不等式的序号是 A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④ 6. 设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0 7. 如图是函数d cx bx x x f +++=2 3 )(的大致 图象，则2 22 1x x +等于（ ） A ． 32 B ．34 C ．38 D ．3 12 19、（本小题满分14分） 讨论函数 x x a x x f ln )(++=的单调性. 19、解: 函数x x a x x f ln )(++=的定义域为()0,+∞. ∴x x a x f 11)(2' +-=22 x x a x +-=. ……2分 ① 当140a ?=+≤, 即14 a ≤-时, 得2 0x x a +-≥,则0)('≥x f . ∴函数)(x f 在()0,+∞上单调递增. ……5分 ② 当140a ?=+>, 即14 a >- 时, 令0)('=x f 得2 0x x a +-=, 解得120,x x =<= . ……8分 (ⅰ) 若104a -<≤, 则20x =≤. ∵()0,x ∈+∞, ∴0)('>x f , ∴函数)(x f 在()0,+∞上单调递增. …… 10分 (ⅱ)若0a >,则x ?∈ ?? 时, 0)(' 12x ?? -+∈+∞ ? ??? 时, 0)('>x f , …… 12分 ∴函数)(x f 在区间10,2?-+ ??上单调递减,在区间12?? -++∞ ? ??? 上单调递增. …… 13分 综上所述, 当0a ≤时, 函数)(x f 的单调递增区间为()0,+∞; 当0a >时, 函数)(x f 的单调递减区间为10,2?-+ ??, 单调递增区间为 ? +∞???? . …… 14分 作业: 2．（2011年高考湖南卷文科22第(1)题)讨论函数1 ()ln ().f x x a x a R x =--∈的单调性． 解： ()f x 的定义域为(0,).+∞ 222 11 '()1a x ax f x x x x -+=+-= 令2 ()1,g x x ax =-+其判别式2 4.a =- (1) 当||2,0,'()0,a f x ≤≤≥时故()(0,)f x +∞在上单调递增． (2) 当2a <-时,>0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,)+∞上，'()0f x >，故()(0,)f x +∞在上单调递增． (3) 当2a >时,>0,g(x)=0的两根为1222 a a x x == ， 当10x x <<时， '()0f x >；当12x x x <<时， '()0f x <；当2x x >时， '()0f x >，故()f x 分别在12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减． [2011·广东卷19] 设a ＞0，讨论函数f (x )＝ln x ＋a (1－a )x 2－2(1－a )x 的单调性． 【解答】 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝2a (1－a )x 2－2(1－a )x ＋1 x ， 当a ≠1时，方程2a (1－a )x 2－2(1－a )x ＋1＝0的判别式Δ＝12(a －1)??? ?a －13. ①当0 3 时，Δ>0，f ′(x )有两个零点， x 1＝12a －(a －1)(3a －1)2a (1－a )>0，x 2＝1 2a ＋(a －1)(3a －1)2a (1－a ) ， 且当0 ②当1 3 ≤a <1时，Δ≤0，f ′(x )≥0，所以f (x )在(0，＋∞)内为增函数； ③当a ＝1时，f ′(x )＝1 x >0(x >0)，f (x )在(0，＋∞)内为增函数； ④当a >1时，Δ>0，x 1＝1 2a －(a －1)(3a －1)2a (1－a ) >0， x 2＝ 1 2a ＋(a －1)(3a －1)2a (1－a ) <0， 所以f ′(x )在定义域内有唯一零点x 1， 且当0 类比变题 方法小结: 在利用导数求函数极值、最值及单调区间等问题时，若函数中含有参数，我们需对参数进行讨论。 1）若导函数的二次项系数为参数，需对二次项系数为正、负或零进行分类讨论； 2）若需考虑判别式Δ，需对Δ>0、 Δ=0、 Δ<0进行分类讨论； 3）在求最值或单调区间时，由f ’(x)=0解出的根，需与给定区间的两个端点比较大小，进行分类讨论。 导数应用：含参函数的单调性讨论(二) 对函数(可求导函数)的单调性讨论可归结为对相应导函数在何处正何处负的讨论，若有多个讨论点时，要注意讨论层次与顺序，一般先根据参数对导函数类型进行分类，从简单到复杂。 一、典型例题 例1、已知函数3 2 ()331,f x ax x x a R =+++∈,讨论函数)(x f 的单调性. 分析：讨论单调性就是确定函数在何区间上单调递增，在何区间单调递减。而确定函数的增区间就是确定0)('>x f 的解区间；确定函数的减区间就是确定0)(' 〖专题5〗导数的应用—含参函数的单调性讨论 “含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容，也是我们高考复习的重点．从这几年来的高考试题来看，含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中，因此在高考复习中更应引起我们的重视． 一、思想方法： 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论． 二、典例讲解 [典例1]讨论x a x x f + =)(的单调性，求其单调区间． 解：x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立， 此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -或)0(0)(' a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或 此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数， )(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数， 即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ; )(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并． [变式练习1]讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间． 函数的单调性 题型一 判断、讨论、证明函数的 单调性 1 判断函数 y=x- 1 在其定义域上的单调性。 x 2 讨论并证明 y=x+ 1 在定义域上的单调性。 x 3 定义在R 上的函数 f （x ）对任意不相等实数 a ，b 总有 f （a ）- f （b ） >0成立，则必有 a -b A 、函数 f （x ）是先增加后减小 B 、函数 f （x ）是先减小后增加 C 、f （x ）在R 上是增函数 D 、f （x ）在 R 上是减函数 4已知 f （x ） =（2k +1）x + b 在实数R 是减函数，则k 的取值范围为（ ） 5 已知函数 f （x ） = x 2 +bx +c ,x （0,+）是单调函数，则实数b 的取值范围为（ ） A .b 0. B .b 0 C .b 0 D , b 0 6 已知 f （x ） = x 2 -2（1-a ）x + 2在（- ,4］上是减函数，求实数a 的取值范围。 题型二 抽象函数的单调性 1、已知 f （x ）是定义在［-1,1］上的增函数，且 f （x-2） 题型四用图形讨论函数单调性 1 函数y=|x—3|—|x+1|的单调递减区间是。 2画出函数y=-x2+2x +3的图像，并指出函数的单调区间. 3 画出函数y=|x| 的图像，并判断其单调性。 4画出函数y=|x2+2x-1|的图像，并指出其在R 上的单调性。 题型五基本初等函数的单调性问题 1.设函数y = x2-4x+3,x[1,4]，则f（x）的最小值和最大值为（） A.-1 ，3 B.0 ，3 C.-1，4 D.-2，0 2．函数f（x）=—x2+2（a—1）x+2 在（—∞，4）上是增函数，则a 的范围是 A 、a≥5 B 、a≥3 C、a≤3 D、a≤—5 函数的单调性 知识梳理 1. 单调性概念 一般地，设函数()f x 的定义域为I ： （1）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数； （2）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 2. 单调性的判定方法 （1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （2）定义法步骤； ①取值：设12,x x 是给定区间内的两个任意值，且12x x < (或12x x >)； ②作差：作差12()()f x f x -，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号为止）； ③定号：判断12()()f x f x -的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论； ④下结论：根据定义得出其单调性. （3）复合函数的单调性： 当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 3. 单调区间的定义 如果函数()y f x =，在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间． 例题精讲 【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图． (1)从左向右看，图形是如何变化的？ (2)在哪些区间上升?哪些区间下降？ 解：（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降； （2）在区间[0,4]和[14,24]下降，在区间[4,14]下降。 【例2】画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1）f (x )=x ; ①从左至右图象上升还是下降? ②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？ （2）f (x )=x 2． ①在区间(-∞，0)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？ ②在区间[0 ，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？ 解：（1）①从左至右图象是上升的； ②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着增大． （2）①在区间(-∞，0)上，随着x 的增大，f (x )的值随着减小； ②在区间[0 ，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着增大． 【例3】函数()y f x =在定义域的某区间D 上存在12,x x ，满足12x x <且12()()f x f x <，那么函 数()y f x =在该区间上一定是增函数吗？ 解：不一定，例如下图： 【例4】下图是定义在闭区间[5,5]-上的函数()y f x =的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数． 解：函数()y f x =的单调区间有[5,2),[2,1),[1,3),[3,5)---； 其中在区间[5,2),[1,3)--上是减函数，在区间[2,1),[3,5)-上是增函数. 【例5】证明函数()32f x x =+在R 上是增函数. 1.3.1函数的单调性 题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间 例1.作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间 （1）12-=x y ; （2）322++-=x x y ; （3）2 )2(1-++=x x y ; （4）969622++++-=x x x x y 相应作业1：课本P32第3题. 题型二、用定义法证明函数的单调性 用定义法证明函数的单调性步骤：取值 作差变形 定号 下结论 ?取值，即_____________________________； ?作差变形,作差____________,变形手段有__________、_____、_____、_______等； ?定号，即____________________________________________________________; ④下结论，即______________________________________________________。 例2.用定义法证明下列函数的单调性 （1）证明：1)(3 +-=x x f 在()+∞∞-,上是减函数. ▲定义法证明单调性的等价形式： 设[]b a x x ,21∈、，21x x ≠,那么 [])(0) ()(0)()()(2 1212121x f x x x f x f x f x f x x ?>--? >--在[]b a ,上是增函数； [])(0) ()(0)()()(2 1212121x f x x x f x f x f x f x x ?<--? <--在[]b a ,上是减函数. (2)证明：x x x f -+=1)(2在其定义域内是减函数； （3）证明：21 )(x x f = 在()0,∞-上是增函数； 法一： 作差 法二：作商 导数应用：含参函数的单调性讨论(一) 一、思想方法： 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈?Y Y Y Y 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。 二、典例讲解 例1 讨论x a x x f + =)(的单调性，求其单调区间 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。 变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间 例2．讨论x ax x f ln )(+=的单调性 小结： 导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性。即先求出)('x f 的零点，再其分区间然后定)('x f 在相应区间的符号。一般先讨论0)('=x f 无解情况，再讨论解 0)('=x f 过程产生增根的情况（即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x 围扩 大而出现有根，但根实际上不在定义域的），即根据)('x f 零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性。 变式练习2. 讨论x ax x f ln 2 1)(2 += 的单调性 小结： 一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii)可合并为一类结果。 对于二次型函数（如1)(2 +=ax x g ）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论。 例3． 求1)(232--+=x ax x a x f 的单调区间 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意： 研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并！ 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1 2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式： 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1 3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 1 1．设函数． （ 1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值； （ 2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围； （ 3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出 满足条件的实数；若不存在，请说明理由． 2．已知函数是的导函数，为自然对数的底数． （ 1）讨论的单调性； （ 2）当时，证明：； （ 3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由． 3．已知函数（其中，）. （ 1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围； （ 2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，）. 4．已知函数，其中为常数. （ 1）讨论函数的单调性； （ 2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有. 5 ．已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数 . （ 1）求的值； （ 2）若在及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围； 6．已知函数 ln , x ，其中. f x ax x F x e ax x 0, a 0 （ 1）若f x 和 F x 在区间 0,ln3 上具有相同的单调性，求实数 a 的取值范围；（ 2）若a , 1 ，且函数 g x xe ax 1 2ax f x 的最小值为 M ，求 M 的 e2 最小值 . 7．已知函数 f ( x) e x m ln x . （ 1）如x 1 是函数 f (x) 的极值点，求实数m 的值并讨论的单调性 f (x) ； （ 2）若x x0是函数f ( x)的极值点，且f ( x) 0 恒成立，求实数m 的取值范围（注：已知常数 a 满足 a ln a 1 ） . 8．已知函数 f x ln 1 mx x2 mx ，其中0 m 1 ．2 （ 1）当m 1时，求证： 1 x 0 时， f x x3 ；3 （ 2）试讨论函数y f x 的零点个数． 9．已知e 是自然对数的底数 , F x 2e x 1 x ln x, f x a x 1 3 . （1）设T x F x f x , 当a 1 2e 1时, 求证： T x 在 0, 上单调递增；（2）若x 1, F x f x , 求实数a的取值范围 . 10 ．已知函数 f x e x ax 2 （1）若a 1 ，求函数f x 在区间[ 1,1]的最小值； （2）若a R, 讨论函数 f x 在 (0, ) 的单调性； （3）若对于任意的x1, x2 (0, ), 且 x1 x2, 都有 x2 f ( x1) a x1 f ( x2 ) a 成立， 求 a 的取值范围。 函数单调性的判定方法 1.判断具体函数单调性的方法 对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种： 1.1 定义法 首先我们给出单调函数的定义。一般地，设f 为定义在D 上的函数。若对任何1x 、 D x ∈2，当21x x <时，总有 (1))()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数； (2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时，称f 为D 上的严格减函数。 给出函数单调性的定义，我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数 )(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤： （1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <； （2）作差)()(21x f x f -； （3）变形（普遍是因式分解和配方）； （4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）； （5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。 例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。 证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则 ).)(()()()(212 221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=- 由于04 3)2(2 2221212221>++ =++x x x x x x x ，012>-x x 则0))(()()(212 2211221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在() +∞∞-,上是减函数。 例2.用定义证明函数x k x x f + =)()0(>k 在),0(+∞上的单调性。 证明：设1x 、),0(2+∞∈x ，且21x x <，则 )()()()(221121x k x x k x x f x f +-+ =-)()(2 121x k x k x x -+-= )( )(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((2 12121x x k x x x x --=， 又210x x <<所以021<-x x ，021>x x ， 当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ?0)()(21≥-x f x f ，此时函数)(x f 为减函数； 当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ?0)()(21<-x f x f ，此时函数)(x f 为增函数。 综上函数x k x x f + =)()0(>k 在区间],0(k 内为减函数；在区间),(+∞k 内为增函数。 此题函数)(x f 是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的，因此要分段讨论。 用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当 21x x <时，容易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直 接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。 1.2 函数性质法 函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我 1．设函数． （1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值； （2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围； （3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由． 2．已知函数是的导函数，为自然对数的底数．（1）讨论的单调性； （2）当时，证明：； （3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由． 3．已知函数（其中，）. （1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围； （2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，）. 4．已知函数，其中为常数. （1）讨论函数的单调性； （2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有. 5．已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数. （1）求的值； （2）若在及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；（3）讨论关于的方程的根的个数. 6．已知函数()()ln ,x f x ax x F x e ax =-=+，其中0,0x a ><. （1）若()f x 和()F x 在区间()0,ln3上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围； （2）若21,a e ? ? ∈-∞- ??? ，且函数()()12ax g x xe ax f x -=-+的最小值为M ，求M 的最小值. 7．已知函数()ln x m f x e x +=-. （1）如1x =是函数()f x 的极值点，求实数m 的值并讨论的单调性()f x ； （2）若0x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围（注：已知常数a 满足ln 1a a =）. 8．已知函数()()2 ln 12x f x mx mx =++-，其中01m <≤． （1）当1m =时，求证：10x -<≤时，()3 3 x f x ≤； （2）试讨论函数()y f x =的零点个数． 9．已知e 是自然对数的底数,()()()1 2ln ,13x F x e x x f x a x -=++=-+. （1）设()()()T x F x f x =-,当112a e -=+时, 求证：()T x 在()0,+∞上单调递增； （2）若()()1,x F x f x ?≥≥,求实数a 的取值范围. 10．已知函数()2x f x e ax =+- （1）若1a =-，求函数()f x 在区间[1,1]-的最小值； （2）若,a R ∈讨论函数()f x 在(0,)+∞的单调性； （3）若对于任意的1212,(0,),,x x x x ∈+∞<且 [][]2112()()x f x a x f x a +<+都有成立，求a 的取值范围。 常见函数性质汇总及简单评议对称变换 常数函数 f (x )=b (b ∈R) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势 2）、图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线 一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 1)、两种常用的一次函数形式:斜截式—— 点斜式—— 2）、对斜截式而言，k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势： 3）、|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓 4）、定 义 域：R 值域：R 单调性：当k>0时 ；当k<0时 奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 例题：y=f （x ）; y=g （x ）都有反函数，且f （x-1）和g -1 (x)函数的图像关于y=x 对称，若g （5）=2016，求）= 周 期 性：无 5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法： b 反比例函数 f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三 象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域：),0()0,(+∞-∞ 单 调 性：当k> 0时；当k< 0时 周 期 性：无 奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身 补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图） 1）、y=1/（x-2）和y=1/x-2的图像移动比较 2）、y=1/(-x)和y=-（1/x ）图像移动比较 3）、f (x )= d cx b ax ++ (c ≠0且 d ≠0)（补充一下分离常数） （对比标准反比例函数，总结各项内容） 二次函数 一般式：)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2 ≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为 ，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点 当00时，函数图象与x 轴有两个交点（ ）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（ ）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 关系 )0()(2 ≠=a ax x f 定 义 域：R 值 域：当0>a 时，值域为（ ）；当0a 时；当0 导数专题------求函数的单调区间 1.设()()2 56ln f x a x x =-+,其中a R ∈,曲线 ()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点 ()0,6.(1)确定a 的值; (2)求函数()f x 的单调区间与极值. 2.设函数()()2 1x f x x e kx =--(k ∈R ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间; 3.已知函数ln ()x x k f x e +=（k 为常数， 2.71828e =???是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间； 4. 的单调区间求设函数)(,0,ln )(22x f a ax x x a x f >+-= 的单调区间和极值。）求函数（处的切线的斜率；，在点（（时，求曲线当（设函数)(2))1(1)1)1(. 0),(,)1(3 1 ).5223x f f x f y m m R x x m x x x f ==>∈-++-= 。 的单调区间和极小值点求函数其中 （已知函数 ) ( .0 , ln ) 1( 2 1 ) .62 x f a x a x a x x f> + + - = 的单调区间。 ）求 （ 处的切线方程 ， 在点（ 时，求曲线当 已知函数 ) ( 2 )) 1( 1 ) ( 2 )1( , 2 ) 1 ln( ) ( .72 x f f x f y k x k x x x f = = + - + = 8. 的单调区间。 （ 求 已知函数) ), .( )1 ( ln ) (2x f R a ax x x a x f∈ - - - = 的单调区间。 讨论 已知函数) ( ), 1 (, ln ) ( .9x f x ax x x x f> - = 〖专题5〗 导数的应用—含参函数的单调性讨论 “含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容，也是我们高考复习的重点．从这几年来的高考试题来看，含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中，因此在高考复习中更应引起我们的重视． 一、思想方法： 上为常函数 在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论． 二、典例讲解 [典例1] 讨论x a x x f + =)(的单调性，求其单调区间． 解：x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立， 此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数， 即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -或)0(0)(' a x x a x x f < <<<-?≠<00)0(0)('或 此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数， )(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数， 即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ; )(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并． [变式练习1] 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间． 第二讲：函数的单调性 一、定义： 1.设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f <那么就说)(x f 在区间D 上是增函数.区间D 叫)(x f y =的单调增区间. 注意：增函数的等价式子：0) ()(0)]()()[(2 1212121>--?>--x x x f x f x f x f x x ; 难点突破：（1）所有函数都具有单调性吗？ （2）函数单调性的定义中有三个核心①21x x <②)()(21x f x f <③ 函数)(x f 为增函数,那么①②③中任意两个作为条件，能不能推出第三个？ 2. 设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f >那么就说)(x f 在区间D 上是减函数.区间D 叫)(x f y =的单调减区间. 注意：(1)减函数的等价式子：0) ()(0)]()()[(21212121<--? <--x x x f x f x f x f x x ； (2)若函数)(x f 为增函数，且)()(,2121x f x f x x <<则. 题型一：函数单调性的判断与证明 例 1.已知函数)(x f 的定义域为R ，如果对于属于定义域内某个区间I 上的任意两个不同的自变量21,x x 都有 .0) ()(2 121>--x x x f x f 则（ ） A.)(x f 在这个区间上为增函数 B.)(x f 在这个区间上为减函数 C.)(x f 在这个区间上的增减性不变 D.)(x f 在这个区间上为常函数 函数的单调性 一、教学目标：理解函数单调性的定义，会用函数单调性解决一些问题． 二、教学重点：函数单调性的判断和函数单调性的应用． 三、教学过程： （一）主要知识： 1、函数单调性的定义； 2、判断函数单调性（求单调区间）的方法： （1）从定义入手（2）从导数入手（3）从图象入手（4）从熟悉的函数入手 （5）从复合函数的单调性规律入手注：先求函数的定义域 3、函数单调性的证明：定义法；导数法。 4、一般规律 （1）若f(x),g(x)均为增函数，则f(x)+g(x)仍为增函数； （2）若f(x)为增函数，则-f(x)为减函数； （3）互为反函数的两个函数有相同的单调性； （4）设()[]x g f y =是定义在M 上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则()[]x g f y =在M 上是 减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则()[]x g f y =在M 上是增函数。 （二）主要方法： 1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集； 2．判断函数的单调性的方法有：（1）用定义；（2）用已知函数的单调性；（3）利用函数的导数． 3．注意函数的单调性的应用；4．注意分类讨论与数形结合的应用． （三）例题分析： 例1．（1）求函数2 0.7log (32)y x x =-+的单调区间； （2）已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性． 解：（1）单调增区间为：(2,),+∞单调减区间为(,1)-∞， （2）2 2 2 ()82(2)(2)g x x x =+---4228x x =-++，3 ()44g x x x '=-+， 令 ()0g x '>，得1x <-或01x <<，令 ()0g x '<，1x >或10x -<< ∴单调增区间为(,1),(0,1)-∞-；单调减区间为(1,),(1,0)+∞-． 例2．设0a >，()x x e a f x a e = + 是R 上的偶函数． （1）求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数． 例3．若()f x 为奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(2)0f -=，则()0x f x ?<的解集为 (,2)(2,) -∞-+∞ ． 例4．已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有 1 21 2()()()f x x f x f x ?=+，且当 1x >时()0,(2)1f x f >=， （1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）解不等式2 (21)2f x -<． 解：（1）令121x x ==，得(1)2(1)f f =，∴(1)0f =，令121x x ==-，得∴(1)0f -=， ∴()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-?=-+=，∴()f x 是偶函数． （2）设210x x >>，则221111 ()()()()x f x f x f x f x x -=? -22111 1 ()( )()( )x x f x f f x f x x =+-= 用导数求函数的单调区间——含参问题 一、问题的提出 应用导数研究函数的性质：单调性、极值、最值等，最关键的是求函数的单调区间，这是每年高考的重点，这也是学生学习和复习的一个难点。其中，学生用导数求单调区间最困难的是对参数分类讨论。尽管学生有分类讨论的意识，但是找不到分类讨论的标准，不能全面、准确分类 二、课堂简介 请学生求解一下问题，写出每一题求单调区间的分类讨论的特点。 例1、 求函数R a a x x x f ∈-= ),()(的单调区间。 解：定义域为),0[+∞ ,23)('x a x x f -=令,0)('=x f 得,3 a x = (1) 0≤a ,0)('≥x f 恒成立，)(x f 在),0[+∞上单调递增； (2) 0>a ,令0)('>x f 得∴> 3a x )(x f 在)3,0[a 上单调递减，在),3 [+∞a 上单调递增。 所以，当0≤a 时，)(x f 在),0[+∞上单调递增；当0>a 时，)(x f 在)3 ,0[a 上单调递减，在),3 [+∞a 上单调递增。 分类讨论特点：一次型，根3 a 和区间端点0比较 例2、 求函数R a x a ax x x f ∈+-+-=,1)1(2131)(23的单调区间。 解：定义域R ),1)](1([1)('2---=-+-=x a x a ax x x f 令,0)('=x f 得1,121=-=x a x (1) 211>>-a a 即，令0)('>x f 得∴<->11x a x 或)(x f 在)1,(-∞上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞-a 上单调递增。 (2) 21 1==-a a 即，0)('≥x f 恒成立，所以)(x f 在R 上单调递增。 (3) 211<<-a a 即，令0)('>x f 得∴>-<11x a x 或)(x f 在)1,(--∞a 上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞上单调递增。 所以，当2>a 时，)(x f 在)1,(-∞上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞-a 上单调 判断函数单调性的常见方法 一、函数单调性的定义： 一般的，设函数y=f(X)的定义域为A,I?A，如对于区间内任意两个值X1、X2， 1）、当X1 =(x1-x2)(x12+x22+x1x2+1) =(x1-x2)[﹙x1+1/2x2﹚2+1+3/4x22] ∵x1、x2?(-∞，+∞)，x1导数应用：含参函数的单调性讨论(二)
专题5 导数的应用-含参函数的单调性讨论(答案)
函数单调性讲解及常见类型(整理)
函数的单调性知识点总结与经典题型归纳
1.3.1函数的单调性例题
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函数的单调性 知识点与题型归纳
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函数单调性的判定方法
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含参函数的单调性习题
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判断函数单调性的常见方法