2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷(一)理科数学

2021届河北衡水金卷新高三原创预测试卷（一）

理科数学

★祝考试顺利★

注意事项：

1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知()(2)a i i +-为纯虚数，则实数a 的值是（ ） A ．1- B ．12-

C ．1

2

D ．1 2．已知集合{1,2,3}A =，{|,}B a b a A b A =+∈∈，则集合B 的子集个数为（ ） A ．8

B ．16

C ．32

D ．64

3．已知曲线2

()ln f x a x x =+在点(1,1)处的切线与直线0x y +=平行，则实数a 的值为（ ） A ．3-

B ．1

C ．2

D ．3

4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若612S =，25a =，则5a =（ ）

A ．3-

B ．1-

C ．1

D ．3

5．已知0.3

1.2a =，0,3log 1.2b =， 1.2log 3c =，则（ ） A ．a b c <<

B ．c b a <<

C ．b c a <<

D ．b a c <<

6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最．长的棱长为（ ）

A ．1

B ．5

C ．6

D ．22

7．函数2

()sin cos cos 22f x x x x π??

=-- ??

?

的最小值为（ ） A ．2- B ．1- C ．0

D ．

12

8．抛物线2

:2(0)C y px p =>的焦点为F ，,A B 是抛物线C 上两点，且||||10AF BF +=，

O 为坐标原点，若OAB △的重心为F ，则p =（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

9．执行如图所示的程序框图，若输入的3ε=，则输出的结果为（ ）

A ．511

B ．1022

C ．1023

D ．2046

10．我们知道，在n 次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 发生的次数X 服从二项分布(,)B n p ，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A 首次发生时试验进行的次数Y ，显

1()(1)k P Y k p p -==-，1,2,3k =，…，我们称Y 服从“几何分布”，经计算得1

()E Y p

=

．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件A 和A 都发生后停止此时所进行的试验次数记为Z ，则1

1()(1)(1)k k P Z k p p p p --==-+-，2,3k =，…，那么()E Z =（ ）

A ．

11(1)p p -- B ．21p C ．11(1)p p +- D ．2

1

(1)

p - 1l ．已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双

曲线C 的两支分别交于,A B 两点，290AF B ∠=?，||4AB a =，则双曲线C 的离心率为（ ）

A B C ．2

D ．

2

12．已知,,,A B C D 四点均在半径为R （R 为常数）的球O 的球面上运动，且AB AC =，

AB AC ⊥，AD BC ⊥，若四面体ABCD 的体积的最大值为1

6

，则球O 的表面积为（ ）

A ．32π

B ．2π

C ．94π

D ．83

π

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知,a b 均为单位向量，且(3)(2)a b a b +⊥-，则向量a 与b 夹角的余弦值为______．

14．已知()*

n

x n N

?∈ ?

的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，

则展开式中x 的系数为_____．

15．正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，1AA =D 为棱11A B 的中点，

则异面直线AD 与1CB 所成角的大小为______．

16．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[1,1]x ∈-时1||

()2x f x e

-=-，

则关于函数()f x 有如下四个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 的图象关于直线2x =对称；

③方程()1||f x x =-有两个不等实根；④12223f f ??

??

< ? ?????

；其中所有正确结论的编号______．

三、解答题：共

70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答微博橙子辅导． （一）必考题：共60分． 17．如图，在ABC △中，1

sin 3

B =

，点D 在边AB 上．

（1）若sin()1C A -=，求sin A 的值；

（2）若90CDA ∠=?，4BD DA =，求sin ACB ∠的值． 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，AB

CD ，且22CD AB ==，

22BC =，90ABC ∠=?，M 为BC 的中点．

（1）求证：平面PDM ⊥平面PAM ；

（2）若二面角P DM A --为30?，求直线PC 与平面PDM 成角的正弦值．

19．新型冠状病毒肺炎19COVID -疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延．在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制．然而，每个国家在疫情发生初期，由于认识不足和措施不到位，感染确诊人数都会出现加速增长．下表是小王同学记录的某国从第一例新型冠状病毒感染确诊之日开始，微博橙子辅导连续⑧天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数． 日期代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 累计确诊人数

y

4

8

16

31

51

71

97

122

为了分析该国累计感染确诊人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型：①2y bx a =+，②y dx c =+对变量x 和y 的关系进行拟合，

得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下

（注：残差i i i e y y =-），

且经过计算得

()()

()

8

1

8

2

1

17.3i

i

i i

i x

x

y y x

x

==--≈-∑∑，

()()

()

8

1

8

2

1

1.9i

i

i i

i z

z

y y z

z

==--≈-∑∑，其中2i i z x =，

8

1

18i i z z ==∑．

（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由； （2）根据（1）中选定的模型求出相应的回归方程；

（3）如果第9天该国仍未釆取有效的防疫措施，试根据（2）中所求的回归方程估计该国第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数．（结果保留为整数）

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()

()

8

1

8

2

1

?i

i

i i

i x

x

y y b

x

x

==--=-∑∑，

a y bx =-．

20．已知函数()3(1)ln f x x a x =-+，2

()4g x x ax =-+．

（1）若函数()()y f x g x =+在其定义域内单调递增，求实数a 的取值范围；

（2）是否存在实数a ，使得函数()()y f x g x =-的图像与x 轴相切？若存在，求满足条件的a 的个数，请说明理由．

21．已知椭圆22

22:1(0)x y a b a b

Γ+=>>2，过椭圆Γ的焦点且垂直于x 轴的

直线被椭圆Γ2． （1）求椭圆Γ的方程；

（2）设点, A B 均在椭圆Γ上，点C 在抛物线2

1

2

y x =

上，若ABC △的重心为坐标原点O ，

且ABC △的面积为

4

，求点C 的坐标． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的

极坐标方程为sin 4πρθ?

?

-

= ??

?

C 的极坐标方程为2

sin cos ρθθ=． （1）写出直线l 和曲线C 的的直角坐标方程；

（2）过动点()()

2

0000,P x y y x <且平行于l 的直线交曲线C 于,A B 两点，若||||2PA PB ?=，

求动点P 到直线l 的最近距离． 23．[选修4—5：不等式选讲]

已知函数()|1||1|2|2|f x x x x =++---．

（1）若关于x 的不等式()f x a 有解，求实数a 的取值范围；

（2）若不等式()||4f x x b --对任意x R ∈成立，求实数b 的取值范围．

数学（理科）答案

一、选择题

B C A B D C A D B A B C 二、填空题

1

5

560 30? ①②③ 三、解答题

17．解：（1）由sin()1C A -=得2

C A π

-=

，

1sin sin()sin 2cos223B A C A A π?

?=+=+== ??

?，

由2

1

12sin 3

A -=

得sin A =；

（2）设4DB m =，DA m =，由1

sin 3

B =

得CD =

，BC =

，AC = ABC △中，

sin sin AC AB

B ACB

=∠

，sin ACB ∠=．

18．证明：（1）

易知：

tan tan 1

CD BM DMC MAB DMC MAB CM BA ==?∠=∠?∠=∠， 90DMC AMB DM AM ∴∠+∠=?⊥?①又PA ⊥平面ABCD PA DM ?⊥② ∴由①②可得DM ⊥平面PAM ?平面PAM ⊥平面PDM ；

（2）由（1）知二面角P MD A --的平面角即为30PMA ∠=?

，13

PA MA ∴=

=． 取CD 中的N ，连接AN ，易得AN CD ⊥，∴直线PA NA BA 、、两两垂直， 以A 为原点，AN AB AP 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则(0,0,1)P

，1,0)D -

，C

，M

，

(1,1)CP =--(2,2,0)MD =

-(1,1)MP =--，

设平面PMD 的法向量为(,,)m x y z =，则由0

(2,1,3)0

m MP m m MD ??=??=?

?=??，设直线PC 与平面PMD 所成角为θ

，则4sin ||||10CP

m CP m θ?-=

==?，∴直线PC 与平面

PMD ． 19解：（1）选择模型①．理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近，模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好；

（2）由（1），知y 关于x 的回归方程为2y bx a =+，令2

z x =，则y bz a =+，由题知 1.9b ≈， 又1

(1491625364964)25.58

z =

+++++++=，1

(481631517197122)508

y =+++++++=，

1.55a y bz ∴=-≈，y ∴关于x 的回归方程为21.9 1.55y x =+；

（3）估计该国第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为21.99 1.55155.45155y =?+=≈（人）．

20．解：（1）1

()()32a y f x g x y x a x

+'=+?=-

+-，由()()y f x g x =+单增得0y '≥恒成立，分离参数得2

1

32321111x x x x a x x

+-

+-≤

=++恒成立，令2321()1x x m x x +-=+，

(0)x >，则22

244

()(1)x x m x x ++'=+，

()0m x '∴>，()m x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)1m x m >=-，1a ∴≤-；

（2）设2

()()()3(1)ln 4n x f x g x x a x x ax =-=-+-+-，则1

()32a n x x a x

+'=--+， 设函数()y n x =的图像与x 轴相切于0x x =处，则

()()2

000000003(1)ln 401320n x x a x x ax a n x x a x ?=-+-+-=?

+?

'=--+=??

①②

由②得：[]00000

2(1)(1)13201x a x a x a x x x -+-+-

-+=-=?=或012a x +=，

当01x =时，由①得：2a =③；

当012a x +=时，由①得：2

000022ln 40x x x x ---=，

令2

()22ln 4h x x x x x =+--，则：()2(ln )h x x x '=-，2(1)

()x h x x

-''=

， ()h x '∴在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，min ()(1)20h x h '==>， ()h x ∴在(0,)+∞单调递增，又(1)50h =-<，()()222640h e e e =-->， ()0h x ∴=只有一解0x ，且()201,x e ∈，()20211,21a x e =-∈-④，

由③④可知：满足条件的实数a 有两个：12a =，()

2

21,21a e ∈-．

21解：（1

）由题意易知：212a b b a

=?=?????=???=??椭圆22:12x y Γ+=； （2）()22

222122202:x y m y mty t AB x my t

?+=??+++-=??=+?设，()22820m t ?=-+>①

设()11,A x y ，()22,B x y ，则由题知()12222

C mt

y y y m ∴=-+=

+，

()()12122

422

C t

x x x m y y t m -=-+=-++=

????+ 由C 点在抛物线2

12y x =上得：2

2

22

2142222

21mt t m m m t -??=??=- ?+++??②12t ??<- ??? ()()()1221122112333

3222

ABC ABO S S x y x y my t y my t y t y y ==

-=+-+=+△△

==?=③ 将②代入③整理得：2

[(21)]4(21)301t t t t t +-++=?=-或32

-，相应的2

2m =或1，

所以1,C ? ??

或(2,1)C ±． 22．解：（1）直线:2l y x =+，曲线2

:C y x =；

（2）过P 平行于l

的直线的参数方程为002

2

x x t y y ?

=+??

?

?=+

??

（t 为参数） 联立曲线2

:C y x =

得：22

000102t t y x +-+-=?

，00

1220(*)2x y ?=-+>， 所以(

)

2

2

2

12000000||||2221PA PB t t y x x y y x ?==-=-=?=-，

∴点P 的到直线l

的距离：8

d =

=

≥

， 当005412x y ?=????=??，（满足(*)式）时取“=”∴点P 的到直线l

的最近距离为8．

23．解，（1）4,244,12()22,114,1x x x f x x x x ≥?

?-≤

=?--≤

min ()4f x ∴=-，即4a ≥-

（2）由（1）可得()y f x =的图象如下

要使()||4f x x b ≤--恒成立，当函数||4y x b =--的一段经过点(2,4)时满足要求， 此时6b =-，结合图象可知，当6b ≤-时满足条件．