递推-递归-分治-回溯

递推算法

在程序编辑过程中，我们可能会遇到这样一类问题，出题者告诉你数列的前几个数，或通过计算机获取了数列的前几个数，要求编程者求出第N项数或所有的数列元素（如果可以枚举的话），或求前N项元素之和。这种从已知数据入手，寻找规则，推导出后面的数的算法，称这递推算法。

典型的递推算法的例子有整数的阶乘，1，2，6，24，120…，a[n]=a[n-1]*n(a[1]=1)；前面学过的2n，a[n]=a[n-1]*2(a[1]=1)，菲波拉契数列：1，2，3，5，8，13…，a[n]=a[n-1]+a[n-2](a[1]=1,a[2]=2)等等。

在处理递推问题时，我们有时遇到的递推关系是十分明显的，简单地写出递推关系式，就可以逐项递推，即由第i项推出第i+1项，我们称其为显示递推关系。但有的递推关系，要经过仔细观察，甚至要借助一些技巧，才能看出它们之间的关系，我们称其为隐式的递推关系。

下面我们来分析一些例题，掌握一些简单的递推关系。

例如阶梯问题：题目的意思是：有N级阶梯，人可以一步走上一级，也可以一步走两级，求人从阶梯底走到顶端可以有多少种不同的走法。

这是一个隐式的递推关系，如果编程者不能找出这个递推关系，可能就无法做出这题来。我们来分析一下：走上第一级的方法只有一种，走上第二级的方法却有两种（两次走一级或一次走两级），走上第三级的走法，应该是走上第一级的方法和走上第二级的走法之和（因从第一级和第二级，都可以经一步走至第三级），推广到走上第i级，是走上第i-1级的走法与走上第i-2级的走法之和。很明显，这是一个菲波拉契数列。到这里，读者应能很熟练地写出这个程序。在以后的程序习题中，我们可能还会遇到菲波拉契数列变形以后的结果：如f(i)=f(i-1)+2f(i-2)，或f(i)=f(i-1)+f(i-2)+f(i-3)等。

我们再来分析一下尼科梅彻斯定理。定理内容是：任何一个整数的立方都可以写成一串连续的奇数和，如：43=13+15+17+19=64。

从键盘输入一个整数n，要求写出其相应的连续奇数。

我们不妨从简单入手，枚举几个较小的数据：

13=1

23=3+5

33=7+9+11

43=13+15+17+19

53=21+23+25+27+29

根据上面的例子，读者不难看出：

（1）输入为n时，输出应有n项。

（2）输入分别为1，2，3…时，则输出恰好为连续奇数，1，3，5，7，9，11…即下一行的首项比上一行的末项大2。

经上面的分析，原本看不出递推关系的问题，呈现出递推关系。在趣的是，这个例子的递推过程，可以有多种算法。

算法一：将所有奇数逐项例举出来，然后将其分段，即:

1; 3 5; 7 9 11; 13 15 17 19; 21…

1 2 3 4 5…

算法二、设输入为n时的输出第一项为a[n]，则a[n]=a[n-1]-n+1;

于是我们推出首项后，则输出为a[n]+a[n]+2+…+a[n]+2(n-1)

算法三、进一步总结，不难得出，若输入为n时，首项a[n]=n2-n+1，其余同算法二。下面我们来分析两个与动物有关的趣题。

这个题目中，读者不难理解，如果狼每次都能走入一个以前没有到过的洞中，则无论兔子怎么躲藏，都不能幸免遇狼。若狼跳越若干次后，不仅走到了以前到过的洞中，而且要跳越的洞数又与以前的某次相同，则狼就会循环往复地在同一些洞中跳来跳去，成为小丑而无法跳入以前没有到过的洞中。这些洞恰恰就是兔子的安全洞穴。

基于以上的分析，兔子有安全洞穴的条件有三，一是狼经过若干次跳跃后，回到原来到过的洞中;二是同一洞历史上的某一次跳越的洞数与即将要跳的这一次跨越的洞数也相同；三是到此时为止，狼应有从未到过的洞穴。

基本的算法是：从1号洞开始，按11->32->63->104->45->106->……方式,由前一个状态推导出下一个状态，同时将每一个新状态与前面存贮下来的状态作比较，以便找到两个可以作结论的状态。即要么狼已走遍了所有兔子洞，要么狼卷入死循环，而有些洞无法进入。

那么，现在我们怎样来存贮这些状态呢？最简单的办法是计数。

我们对每个洞建立一个数组，用来记载这个洞狼是否到过，在这个洞中跳越洞数，以及

另一个趣题是猴子吃桃问题：山中住有五只猴。一天，老大看见一堆桃子，想把桃子据为已有，却担心让老二老三知道了说自己太贪心。于是将桃分成相等的两份，却发现剩余一个，于是，老大吃掉这一个以后，再带走这堆桃的二分之一。第二天，老二也看到了这堆桃，其想法和做法与老大一样，老三老四老五也和他们的兄长想到一块去了。结果等老五吃完一个，带走一半以后，这堆桃还剩余11个。请编程计算当初这堆桃共有多少个。

这个下题目明眼人一看便知，我们如果按兄弟吃桃搬桃的相反顺序倒推过去，就能知道当初桃子的总数。其递推的公式是a[n-1]=a[n]*2+1。递推的初始值是a[5]=11（又称边界条件），待求a[0]的值。相信阅读本书到了此处的读者，很容易就能写出正确的程序。作者在这里不过是想明确一下，递推算法不仅可以顺着推、也可逆着推的道理。

如果设输入数据为a[1]…a[n]，输出结果为b[1]…b[n]，则根据题意，我们应该不难得出下面的结论：

1) a[k]:=b[k-1]+b[k]+b[k+1];

2) a[1]和a[n]都会小于3；

0 b[1]=0 b[2]=0

3) a[1]= 1 则b[1]=1 b[2]=0或b[1]=0 b[2]:=1

2 b[1]=1 b[2]=1

有了上述三个结论后，程序算法便跃然纸上。我们先根据a[1]得到b[1]和b[2]的值，然后递推出b[3]到b[n]。

在递推过程中，若递推出某个值b[k]>1或b[k]<0，如果a[1]=1，则交换b[1]和b[2]的值，然后再重新递推，若a[1]=0,2或已交换b[1],b[2],则问题无解。

递推算法是一个高效的算法，其时间复杂度是O(n)的。不仅如此，它同时也是后面要学习的其它算法的基础，读者应该好好地把握它，多做这方面的习题积累经验。

递推算法的关键是认真分析题意，发现递推关系，正确写出递推公式，求得边界条件，然后用循环实现即可。

探究总结

1.递推算法的基本形式，是指编程者让计算机循环求得一序列数值，而后一项的计算结果是由上一项或多项推导出来的。有时，我们为求得一个数列的某一项，我们不得不从第一项开始，逐个计算前面每一项的值。虽然这样做的效率不很高，但它能帮助我们解决许多实际问题。

2.无论是顺着还是逆着递推，其关键是递推公式是否正确，边界条件是否正确。二者有一个出错。则所有递推结果将都是错误的。

总结提高

1、用一种长为2米，宽为1米的石板，给一条长为N米的长直道路铺面，石板可以竖放或横放，但不能裁剪，请求石板不同的铺设方法有多少种。例如N=3时的铺法有以下几种，输出结束为3。

2、某生产企业，一年十二个月的生产利润与投资的比例均已预算出来，现假设企业从年从投入N万元，且下个月总是用上个月的本与利均作投资，请你编程求企业年底的总收入和纯利润和是多少。例如，他们的一个预算如下：

递归算法

如果一个程序编程者不会使用递归与分治策略，那么其它的程序编辑技巧就无从谈起。那么什么是递归与分治呢？要给它们下个定义可不容易，我们还是采用本书的编写特色，用实例来说明问题。

以前我们要求一个整数的阶乘，是采用循环相乘的方法进行的，程序的主要部分如下：s:=1;

for I:=1 to n do s:=s*I;

从这个算法我们不难看出，阶乘的递推关系为a[n]=n*a[n-1]。边界条件a[1]=1。采用递归算法的程序如下：

若输入n=5，则上述程序的的执行过程描述如下：

jc(5)=5*jc(4)

=5*4*jc(3)=20*jc(4)

=5*4*3*jc(2)=60*jc(2)

=5*4*3*2*jc(1)=120*jc(1)

=5*4*3*2*1=120

函数在求值的过程中，不断调用自身，使数据规模逐渐缩小，直到边界条件有确定的值。程序中没有看到循环，但具备循环的作用。

接着我们再来分析一个简单的递归例题。

图所示的情况，则输入为3和4，输出为4，长方形沿刻度线划分成一大三小

四个正方形。

对于给定的长和宽a,b,编程求正方形的个数。程序及其说明如下：Array

若输入两数为5×7，则上述程序的执行过程描述如下：

zhen(5,7)=1+zhen(5,2)

=2+zhen(3,2)

=3+zhen(1,2)

=4+zhen(1,1)

=5

上述执行过程，计算机五次使用了自定义函数以获得最终解，我们称这个程序的递归深度为5。由于计算机在处理递归时，要用到一种被称之为栈的存贮方式来存贮中间结果，而栈的深度、内存容量是有限的。我们在解题时，如果让计算机处理的递归深度超过了限度，计算机就会有“栈溢出(error 202 stack overflow error)”的出错提示。

所以编程时，应尽可能将递归的深度缩小。例如正方形一题可做下面的两个地方的优化，

优化后的递归过程为:

zhen(3,4)=4 div 3+zhen(3,1)=4 div 3+3 div 1

zhen(5,7)=7 div 5+zhen(5,2)=7 div 5+5 div 2+zhen(2,1)=7 div 5+5 div 2+2 div 1

相应的递归深度变为2和3。改进前对应深度分别为4和5。若输入数据较大，这个效果

这个题目很容易让人想到，从顶点开始每次都选择左下或右下中两数中最大的一个往下走。这就是我们邓上要学习的所谓贪心算法。但读者看看上图中这样的一条路径：5，6，7，7，8，9，其和为42。但另一条路径是5，6，4，8，9，14，其和为46。

递归算法的最大特点，是程序形式简单，思路清晰，能将复杂问题简单化。很多程序算法书在讲到递归算法时，有一个典型例子就是“汉诺塔游戏”问题，请读者参看有关书籍。这个例子将递归算法的优越性淋离尽致地表现出来。

但递归算法也有一个致命的弱点。由于递归过程中，计算机要存贮大量的中间数据，既耗时，又耗时间。有时还会进行很多重复运算。

例如：我们用递归方式求菲波拉契数列：

令f(1)=1,f(2)=1,f(n)=f(n-1)+f(n-2)

写成递归程序，大致如下：

function fibnacci(n:integer);longint;

begin

if n<3 then begin

fibnacci:=1;exit;

end;

fibnacci:=fibnacci(n-1)+fibnacci(n-2);

end;

这个过程并不算复杂，但计算机运行时却并不简单。例如：我们要求fibnacci(8)，计算过程描述如下，请读者自己分析重复计算的情况：

f(8)=f(7)+f(6)

=[f(6)+f(5)]+[f(5)+f(4)]

={[f(5)+f(4)]+[f(4)+f(3)]}+{ [f(4)+f(3)]+[f(3)+f(2)]}

=……

上面三个例子都是递归函数的例子，其实过程同样可以递归。我们将“数字三角形”的

递归过程改写如下：

相应主程序部分请读者自己修改。一定要去做，利用这个机会，进一步理解过程与函数的联系与区别。

读者读到此处，对递归有所了解。可能有人早就作出了结论，过程或函数调用自身，使问题规模逐渐缩小至边界条件的已知值的方法，就是递归。但这个说法，只知其一，不知其二。事实上，我们可以书写两个不同的过程或函数a和b,二者相互调用，这种你中有我、我中有你有做法，也可以递归。不过，这类程序通常会有一定的难度，留待读者以后有机会再来探究。

探究结论

1.递归程序通常要有一个用来递归调用，即调用自身的过程或函数。递归过程或函数都必须有一个姢出递归的条件。否则，递归也就和死循环一样不能终止，直到存贮空间使用殆尽，出现出错提示（error 202,stack overflow error）为止。

2.递归程序，总是从问题的当前状态出发，逐步缩小问题的规模，直到达到某个边界条件为止，所以书写递归程序时，必须知道问题的递推关系和边界条件。例如，求菲波拉契数列时，既要知道f(n)=f(n-1)+f(n-2)的递推关系式，还要知道f(1)和f(2)的值。

总结提高

用递归算法做下面的题。

1.问题描述：在n个人中选出m(m<=n)个组成一个球队的不同选择方法，我们称之为n取m的组合，记作C(n,m)。

任务：编程，对于给定的输入，输出不同的组合情况和组合数。

样例输入：n,m=5 3

样例输出：５４３

５４２

５４１

５３２

５３１

５２１

４３２

４３１

４２１

3 ２１

C(5,3)=10

2.菲波拉契数列。对于给定的f(1)=a,f(2)=b,编程输出菲波拉契数列的前20项。

条件约束0

输入样例：1 2 5

输出样例：1 2 3 5 8

递归与分治

在学习循环结构的时候，我们学习过三种排序算法：直接选择排序、冒泡排序和插入法排序。这三种排序算法均需用内外两层循环，导致算法的时间效率均是O(n2)的。今有了递归算法，我们可以编写一个更高效率的排序算法，也是一个最常用的排序算法----快速排序算法。请大家仔细体会其中的诀窍。

我们用一个实例来说明这个算法的基本思路。取下面一些待排序的数组元素：

35 72 13 22 76 10 89 26

第一步将第一个数35存贮到一个临时变量中，把a[1]的位置空出来。然后我们从数组尾向前逐个查找，找到一个比35大的元素，放到空位a[1]上，很明显，此处有资格的是89，则a[1]=89,而a[7]的位置又空了下来(交没有真的空下来，只是这个数应该被移走)。

x=35

89 72 13 22 76 10 __ 26

第二步，我们再找一个能弥补a[7]空位的数。我们从队首开始，找一个小于35的数，即13，此时，a[7]=13,a[3]变成空位。数组排列如下：

x=35

89 72 __ 22 76 10 13 26

第三步，又从队尾开始，找比35大的数弥补空位。数组变成下面的形式：

x=35

89 72 76 22 __ 10 13 26

第四步，从队首开始，找小于35的数……，结果为

x=35

89 72 76 __ 22 10 13 26

到此为止，请读者比划一下，应得到如下结论：

1、35已与数组中的其它元素都比过一次了。

2、空位前的元素均比35大，空位后面的元素都比35小，可见空位应该是35最后的排

序位置。

3、如果，我们将35前后的两组数看作一个小规模的数组，按上述方法继续找出各元素

的最终位置的话，排序就可完成。

请看下面的程序。

快速排序算法，先找到数组的第一个元素的最终排序位置，然后，以此为“中介元素”，将数组分为前后两个部分，继续查找两个分段中的“中间”元素，再次分段，直到分段中只有一个元素为止。此时每个元素均已找到自己的最终排序位置，达到排序的目的。

像这种将大问题不断细分成几个部分分别处理，以减少运行时间的方法，我们称之为分治方法。分治方法通常以递归算法为基础，所以常常把分治和递归算法放在一起讨论。但分治算法也不一定需要递归。例如，前面我们所学过的三阶魔方问题，就不是递归的例子。

我们再来分析下面这个递归分治的例子。

我们先来分析最简单的情况，即假定k=1,则棋盘为一个2×2的形式。此时，无论坏格是

四个格子中的哪一个，问题的解是唯一的。恰好用一块硬纸片将其三个好格子覆盖。这就得

到了问题的初始条件，即递归出口。

下面的问题是，我们如何将一个大的棋盘变成较小的棋盘呢？

如果我们将一个2k×2k的棋盘均分成四个小棋盘的话，则四个小正方形棋盘的边长则为

2k-1×2k-1。且这四个小棋盘肯定只有一个坏了一格，另外三个棋盘却一个十格也没有。那么这一个含坏格的棋盘则是原问题缩小规模以后的情况。而三个没有Array坏格的棋盘则转化成另一个问题。

我们能不能使另外三个子问题也保持原问题的属性不变

呢？如右图，我们若将第一块硬纸板放在右图所示的位置，此时

三块无坏格的小棋盘也变成了四个有“坏格”的了。使四个子问

题保持了原问题的特性不变。

于是我们照此办法，不断地将一个变四个，每次将三个不含

坏块的相邻格子合用一块硬纸板覆盖。直到子问题的边长为2时，

放下唯一的一块硬纸板就行了。

程序的递归过程描述如下：

探索结论

1.我们如果能够将待解决的一个问题转化成多个子问题，然后将子问题的解合成为

原问题的解的程序算法，我们称其为分治算法.

2.分治算法，总是将问题的整体进行分解，使其成为与原问题算法相同，而规模较

小的子问题，直到子问题变成有确定的解为止。

总结提高

1、问题描述：从2n个数组元素中，找出最大值和最小值。

算法提示：如果用顺序查找数组元素值的方法，得到最大值和最小值，是可行的，时间效率为O(n)的。但用分治算法效率更高。算法大致描述如下：

将数组分成两个相等的部分，则数组元素的最大（小）值为两个部分的最大（小）值。不断将数组细分成两部分，直到每个部分只有两个元素时，则大数为最大值，小数为最小值。

2、归并排序算法：我们用以前所学的简单排序算法，时间效率是o(n2)的。如果，我们先将一个待排序数组分成两等分后，分别排序，并将两排序部分合成，则总的时间效率应该是:n2/4+n2/4+n，很显然，只要n>2 ，n2/4+n2/4+n

回溯算法

这一节，我们来讨论回溯算法。这种算法有一种基本固定的模式，通过下面的例子，我们重点来总结这种算法的基本模式。

我们先用回溯算法来解上节书中的“数字三角形”问题。算法示意图如下：

“数字三角形回溯算法示意图”中各箭头上的数字标号代表程序执行时，累加数值时的顺序。我们通过这个图来理解回溯算法的基本过程。

计算机从顶点5开始，沿路线⑴得到5+6，沿路线⑵得5+6+4，沿路线⑶⑷⑸，得到目前路径和5+6+4+8+9+14。到此无法沿该方向继续前进，记下路径和作为当前的最大值，并沿路径⑹回溯，改道⑺。由于再次到达底边2，再次得到一路径和5+6+4+8+9+2。但因新的路径和比已获得的最大值小，故没有保存的必要。但若是新的路径和大于原来存贮的最大值，则用新的路径和替代而成为目前的最优值。于是沿路线⑻回溯。回溯到数9后，发现

该结点的左右分支均已经历，不得不沿路线⑼再次回溯。

以后的⑽到⒃步的回溯过程，与前面所述方式一致。但经路线⒄⒅后，路线⒆⒇分别与⑾⑿两步重合。对于回溯，这两步和以后的重合步骤，都是必要的，这也就是回溯算法效率不高的重要原因。

在上述算法中，我们明显地看出，回溯算法中有三个不同的执行方向。

1.从当前位置向纵深发展。如路线⑴⑵⑶⑶⑷⑸。

2.从当前位置无法向纵深发展时，回退至上一个位置。如⑹⑻⑼⒂等路线。

3.从退回点改道，寻求可纵深发展的另一条路径，如⑺⑽⒀等路线。

另外一个重要的问题是回溯的最终出向。当程序执行至右下角的数10时，会沿图中回退箭头所示，不断回退，直至三角形顶点后，没有回退位置时，程序终止。

以上算法的程序如下：

我们下面来分析用回溯法以枚举n个数中取r个数的组合（关于组合的知识，详见本书第八章排列与组合）的所有情况。

这里我们先以5取3的组合的例子，来分析回溯的过程：

开始，我们顺序选择1，2，3，构成一个组合。

以后将3改成4，5，又得到两种组合1，2，4和1，2，5.

由于最后一位数不能再修改了，只得修改倒数第二位Array数（回溯），即将2分别改为3，4，于是类上面的分析分

别得到组合1，3，4; 1，3，5；1，4，5。

倒数第二位又无法再改了，于是只得回溯到第一个

数，于是可改第一位数为2，3。则得相应的组合为2，3，

4；2，3，5; 2，4，5；3，4，5。

共得结果为（回溯过程如右图所示）：

1，2，3

1，2，4

1，2，5

1，3，4

1，3，5

1，4，5

2，3，4

2，3，5

2，4，5

3，4，5

探究结论

1、回溯算法的一般解题过程为

赋初始值

repeat

能进则进；

不能进则改；

改不了则退；

until 回溯至起点，不能再进行。

输出结果。

这种算法虽然模式相对固定，但还需较多时间的探索，才能掌握其中的奥妙。

2、回溯算法并非一种高效算法，它常常要枚举很多可能或不可能的情形。所以在以后使用的

过程中，要分析问题的规模，以免程序运行时间太长。以后还要注意与递归算法的结合。总结提高

1、骑士的游历。中国象棋中的马，只能从下图中的位置走向周围有标志的八个点的位置。现

规定马初始时，居于一个n*m的棋盘的左下角，每步只能向上向右趟至它可以至的位置。

请用回溯算法，寻求马能跳到棋盘右上角的正确跳法。

例如n=5,m=5时的一种正确跳法是：

(1,1),(2,3),(3,5),(4,3),(5,5)。

2、在上题的基础上，对马的走向不加限制，但要求马

走遍整个棋盘，且每一点都不重复。求一种可能的方案。

输出时，输出马每一步所在的位置。例如下图是一种可

行的走法。

练习题

1、用递归算法将一个十进制正整数转化为相应的二进制数，或将一个二进制数转化为相应的

十进制数。

2、用递归算法输出一个数组元素的全部元素。

3、用递归算法将一个数组元素反序输出。

4、用1-8八个数字不重复地填入下图所示的图形中，要求相邻格子的两数不相邻，求出所有

的填法。例如左图是合适的填法，而右图不是。

右图中：2与3邻，8与7邻，7与6邻。事实上只要其中一对相邻，则不合法。

5、设有如下图所示的地图，每个区域代表一个省，区域中的数字代表省的编号，将每个省涂上红，蓝，白，黄四种颜色之一，使相邻的省份有不同的颜色。

6、输入一个代数表达式(只含有+,-,*,/,(,),1,2,3,4,5,6,7,8,9,0等字符,每个数字均小于10),设表达式除括号匹配有误外无其他错误.编程对输入的表达式检验,判断括号匹配是否正确.

7、若一个数（首位不为零）从左向右读与从右向左读都是一样，我们就将其称之为回

文数。例如：给定一个10进制数56，将56加65（即把56从右向左读），得到121是

一个回文数。又如，对于10进制数87，

STEPl：87＋78= 165 STEP2：165＋561= 726

STEP3：726＋627＝1353 STEP4：1353+3531=4884

在这里的一步是指进行了一次N进制的加法，上例最少用了4步得到回文数4884。

写一个程序，给定一个N（2＜n＜＝10，N=16＝进制数M．求最少经过几步可以得到回文数。如果在30步以内（包含30步）不可能得到回文数，则输出“Inpossible”

样例：

INPUT

N＝9 M＝87

Output

STEP=6

8、数的计数

[问题描述]

我们要求找出具有下列性质数的个数(包含输入的自然数n):先输入一个自然数n(n≤1000)，然后对此自然数按照如下方法进行处理：

l）不作任何处理:

2）在它的左边加上一个自然数，但该自然数不能超过原数的一半;

3）加上数后，继续按此规则进行处理，直到不能再产生数为止。

[样例] 输入：6

满足条件的数为 6 (此部分不必输出)

16 26 126 36 136 输出：6

9、最大公约数与最小公倍数问题

[问题描述]

输入二个正整数x0,y0(2≤x0≤100000，2≤y0≤1000000)，求出满足下列条件的P、Q的个数。

条件:1.P、Q是正整数

二要求P、Q以xO为最大公约数，以yO为最小公倍数。

试求，满足条件的所有可能的两个正整数的个数。

[样例]

输入：x0=3 y0=60

输出：4

说明：(不用输出)此时的 P Q 分别为，

3 60

15 12

12 15

60 3

所以，满足条件的所有可能的两个正整数的个数共4

10、级数求和

[问题描述]:

已知：Sn= 1＋1／2＋1／3＋…＋1／n。显然对于任意一个整数K，当n足够大的时候，Sn大于K。

现给出一个整数K（1<=k<=15），要求计算出一个最小的n；使得Sn＞K。

[输入]

键盘输入 k

[输出]

屏幕输出 n

[输入输出样例]

输人：1

输出：2

11、选数（存盘名：NOIPC2）

[问题描述]:

已知 n 个整数x1,x2,…,xn，以及一个整数 k（k＜n）。从 n 个整数中任选 k 个整数相加，可分别得到一系列的和。例如当 n=4，k＝3，4 个整数分别为 3，7，12，19 时，可得全部的组合与它们的和为：

3＋7＋12=22 3＋7＋19＝29 7＋12＋19＝38 3＋12＋19＝34。

现在，要求你计算出和为素数共有多少种。

例如上例，只有一种的和为素数：3＋7＋19＝29）。

[输入]：

键盘输入，格式为：

n , k （1<=n<=20，k＜n）

x1,x2，…,xn （1<=xi<=5000000）

[输出]：

屏幕输出，格式为：

一个整数（满足条件的种数）。

[输入输出样例]:

输入：

4 3

3 7 12 19

输出：

1

12、在N*N的棋盘上(1<=N<=10)填入1,2,...N*N共N*N个数,使得任意两个相邻的数之和为素数.例如,当N=2时,有

1 2

4 3

输入第一行为一整数T,表示有T组测试数据.

每组测试数据一行,为一整数N(1<=N<=10)

输出满足条件的最小序列的方案。

最小序列即将每一行连接起来组成一行，然后使前面的尽可能小，当第一个数字相同时则比较下面一个，依次类推。

比如当Ｎ＝２时，序列为1 2 4 3，当无满足条件的方案时输出"NO"。