计算机图形学论文-计算机图形学概论

计算机图形学概论

摘要：计算机图形学是一门研究计算机图形原理、方法和技术的学科。本文介绍了计算机图形学中的几个研究重点，包括消隐技术、真实感图形显示技术和复杂曲线曲面造型技术，叙述了其中涉及到的消隐算法的实现、光照模型和Bezier 曲线的有关知识。

关键词：计算机图形学；消隐技术；真实感图形；曲线曲面；

1 引言

计算机图形学（Computer Graphics）是一种使用数学算法将二维或三维图形转化为计算机显示器的栅格形式的科学。计算机图形学的主要研究内容就是研究如何在计算机中表示图形、以及利用计算机进行图形的计算、处理和显示的相关原理与算法。图形通常由点、线、面、体等几何元素和灰度、色彩、线型、线宽等非几何属性组成。从处理技术上来看，图形主要分为两类，一类是基于线条信息表示的，如工程图、等高线地图、曲面的线框图等，另一类是明暗图，也就是通常所说的真实感图形。计算机图形学一个主要目的就是要利用计算机产生令人赏心悦目的真实感图形。为此，必须建立图形所描述场景的几何表示，再用某种光照模型，计算在假想的光源、纹理、材质属性下的光照明效果。同时，真实感图形计算的结果是以数字图像的方式提供的，计算机图形学也就和图像处理有着密切的关系。计算机图形学的研究内容非常广泛，如图形硬件、图形标准、图形交互技术、光栅图形生成算法、曲线曲面造型、实体造型、真实感图形计算与显示算法、非真实感绘制，以及科学计算可视化、计算机动画、自然景物仿真、虚拟现实等。

2 消隐技术

2.1 消隐算法的提出

真实感图形绘制过程中，由于投影变换失去了深度信息，往往导致图形的二义性（如图1所示）。要消除这类二义性，就必须在绘制时消除被遮挡的不可见的线或面，习惯上称之为消除隐藏线和隐藏面，或简称为消隐，经过消隐得到的投影图称为物体的真实图形。

消隐处理是计算机绘图中一个引人注目的问题，目前已提出多种算法，基本上可以分为两大类：即物体空间方法和图象空间方法。物体空间方法是通过比较物体和物体的相对关系来决定可见与不可见的；而图象空间方法则是根据在图象象素点上各投影点之间的关系来确定可见与否的。用这两类方法就可以消除凸型模型、凹形模型和多个模型同时存在时的隐藏面。

2.2 消隐的分类

2.2.1 按消隐对象分类

1）线消隐：消隐对象是物体上的边，消除的是物体上不可见的边。

2）面消隐：消隐对象是物体上的面，消除的是物体上不可见的面。

2.2.2 按消隐空间分类

1）物体空间的消隐算法（光线投射）：将场景中每一个面与其他每个面比较，求出所有点、边、面遮挡关系。2）图像空间的消隐算法：对屏幕上每个象素进行判断，决定哪个多边形在该象素可见。

3）物体空间和图像空间的消隐算法（画家算法）：在物体空间中预先计算面的可见性优先级，再在图像空间中生成消隐图。2.3 消隐算法的实现

2.3.1 物体空间的消隐算法

物体空间法是在三维坐标系中，通过分析物体模型间的几何关系，如物体的几何位置、与观察点的相对位置等，来进行隐藏面判断的消隐算法。世界坐标系是描述物体的原始坐标系，物体的世界坐标描述了物体的基本形状。为了更好地观察和描述物体，经常需要对其世界坐标进行平移和旋转，而得到物体的观察坐标。物体的观察坐标能得到描述物体的更好视角，所以物体空间法通常都是在观察坐标系中进行的。观察坐标系的原点一般即是观察点。物体空间法消隐包括两个基本步骤，即三维坐标变换和选取适当的隐藏面判断算法。

选择合适的观察坐标系不但可以更好地描述物体，而且可以大大简化和降低消隐算法的运算。因此，利用物体空间法进行消隐的第一步往往是将物体所处的坐标系转换为适当的观察坐标系。这需要对物体进行三维旋转和平移变换。

常用的物体空间消隐算法包括平面公式法、径向预排序法、径向排序法、隔离平面法、深度排序法、光线投射法和区域子分法。其中前三种算法最常用，它们的基础都是背面消隐

原理。所谓背面消隐原理，即是相对观察点来说朝向后面的物体表面是不可见的，应被隐藏。下面只对平面公式法作详细介绍，其他方法可参看有关文献。

根据解析几何原理，通过标准的平面方程可以判断给定点是在平面的正面还是背面。平面公式法利用此原理来判断观察点位于物体表面的哪一面，如位于背面一侧，则表面不可见，应被消隐；反之则可见。对物体的任意表面，可将其划分为若干个平面，在根据平面上任意三点的坐标可以求得其平面方程。标准的平面方程为：

Ax+By+Cz+D=0；

其中A、B、C、D 为决定平面的常数。当把一个平面想象成一个凸型多面体时，设观察点坐标为（x，y，z），如果：

①Ax+By+Cz+D=0，则观察点（x，y，z）是该平面表面上的一个点；

②Ax+By+Cz+D>0，则观察点（x，y，z）在凸型多面体内部（称该表面是不可见的或隐藏的）；

③Ax+By+Cz+D<0，则观察点（x，y，z）在凸型多面体外表面（称该表面是可见的），应被画出。

通过对物体进行适当旋转和平移后，可将物体变换到以观察点为原点的观察坐标系中，如果在观察坐标系中求得了平面的方程Ax+By+Cz+D=0，将观察点坐标代入上面的判断准则，则可得出如下的简单判据：

①D>0，则平面不可见，应被隐藏；

②D<0，则平面是可见面，应被画出。

平面公式法算法简便，安全可靠，是在实际中使用最频繁的消隐算法。但它只能用于凸面体的

消隐，而不适用于凹面体消隐。

2.3.2 图像空间的消隐算法

图象空间法基于物体三维模型的二维显示图形来确定物体或表面上的每一点与观察点的远近关系，从而判断哪些表面遮挡了其它表面。为了获得三维物体的二维显示图形，在对物体进行旋转和平移变化后，还需对物体进行透视投影变换。图像空间法包括Z缓冲区法、扫面线法、光线投射法和极值检测法等几种。

以下是这几种算法的比较。

①Z缓冲区消隐算法简单、可靠，而且消隐和表现效果很好。但需要的内存容量大，运算复杂，费时；

②扫描线法克服了Z缓冲区法需要分配与屏幕上象素点的个数相同单元的巨大内存这一缺点；

③光线投射法的思想是：考察由视点出发穿过观察屏幕的一象素而射入场景的一条射线，则可确定出场景中与该射线相交的物体。在计算出光线与物体表面的交点之后，离象素最近的交点的所在面片的颜色为该象素的颜色；如果没有交点，说明没有多边形的投影覆盖此象素，用背景色显示它即可。

④极值检测法需与其它消隐算法结合适用，主要用来提高消隐速度。极值检测法通过计算物体表面的显示坐标的极大和极小值来判断这两个表面是否存在重叠。

2.3.3 物体空间和图像空间的消隐算法

这是两种算法的综合，主要包括深度分类方法和八叉树方法等。深度分类方法通常需要产生和维持数据库，这些数据库包含深度信息和画图次序信息。它使用整个平面作为画图次序的标准，这种方法简便，快速。三维物体八叉树表示是近几年探索物体在计算机内新的表示模式的研究成果。物体的八叉树表示是一种层次数据结构，这种数据结构大大简化了隐藏面的消除。八叉树可以在图象空间以编码的方式表示，也可以在物体空间根据视点的正、负号来决定可见性。采用八叉树表示物体的最大缺点是运算时占用的存贮量大。实际上，物体的八叉树表示是以扩大存贮空间换取了算法上的简化。

3 真实感图形显示技术

3.1 概述

真实感图形显示就是使计算机所绘制出的图形更能真实地再现物体，并与真实世界中的物体更接近。根据假定的光照条件和景物外观因素，依据一定的光照模型，计算可见面投射到观察者眼中的光强度大小，并将它转换成适合图形设备的颜色值，生成投影画面上每一个象素的光强度，使观察者产生身临其境的感觉。真实感图形绘制是计算机图形学的一个重要组成部分。真实感图形绘制的实用价值包括以下几点：

①在计算机中进行场景造型。用数学方法建立所需三维场景的几何描述，并将它们输入至计算机。这部分工作可由三维立体造型或曲面造型系统来完成，场景的几何描述直接影响了图形的复杂性和图形绘制的计算耗费，选择合理的有效的数据表示和输入手段是及其重要的。

②进行取景变换和透视变换。将

三维几何描述转换为二维轴测图或透视图。这可通过对场景的轴测、透视变换来完成。

③进行消隐处理。确定场景中的所有可见面，这需要使用隐线、隐面消除算法将视域之外或被其它物体遮挡的不可见面消去。

④进行真实感图形绘制。计算场景中可见面的颜色，严格地说，就是根据基于光学物理的光照明模型计算可见面投影到观察者眼中的光亮度大小和色彩组成，并将它转换成适合图形设备的颜色值，从而确定投影画面上每一像素的颜色，最终生成图形。

3.2 光照模型

计算机图形学中真实感成像包括两部分内容：物体的精确图形表示和场景中光照效果的适当物理描述。光照效果包括光的反射、透明性、表面纹理和阴影。

在下面的讨论中，假定光源为点光源。从某点光源照射到物体表面上一点，再反射出来的光，可以分为三部分：环境光、漫反射光和镜面反射光。为可见物体的光照效果建立模型是一个非常复杂的过程，计算机图形学中光照模型可以由描述物体表面明暗度的物理公式推导出来。为了减少明暗度计算量，通常采用简化的光照计算经验模型。下面介绍一些基本的光照模型。

3.2.1 环境光

一个物体表面即使不直接暴露在光源下，只要其周围的物体被照亮，它也可能看得见，称为环境光。环境光没有空间或方向上的特征，在所有方向上和所有物体表面上投射的环境光数量都恒定不变。

e a a

e

a

a

I I K

I

I

K

=

--

--

--

环境光反射强度

环境光的强度

物体表面对环境光的反射系数由于环境光只能为每个面产生一个平淡的明暗效果，因而在绘制场景时很少仅考虑环境光作用。

3.2.2 漫反射

设物体表面在P点的法矢为N；从P点指向光源的矢量为L；N与L的夹角为θ；若N与L的夹角小于0或大

于90度，则光线被物体自身遮挡而照射不到P点。由

Lambert余弦定理可得点P处漫反射光的强度为：

cos,[0,]

2

d p d

p

d

I I K

I

K

π

θθ

θ

=∈

-

-

-

入射光的强度

漫反射系数

光线的入射角

如有多个点光源：

,

1

cos

n

d p i d i

i

I I Kθ

=

=∑

3.2.3 镜面反射

镜面反射情况由Phong模型给出：

s cos

I n s p s p I I K I V R n n αα=----镜面反射光在观察方向上的光强

点光源的强度

与之间的夹角

与物体表面光滑度有关的一个常数，表面越光滑，越大。

cos n s p s I I K α=

考虑到受距离影响的衰减，上式重写为：

2

00cos /(d d )n s p s I I K d d α=+--为点光源到物体表面参考点的距离为一参考值

3.2.4 简单光照模型

从视点观察到物体上任一点P 处的光强度I 应为环境光反射光强度Ie 、漫反射光强度Id 以及镜面反射光的光强度Is 的总和。

202

0cos cos /()()()/()e d s

n a a p d p s n a a p d p s I I I I I K I K I K d d I K I K L N I K R V d d θα=++=+++=+?+?+

在RGB 颜色模型中，把入射光强I 设为三个分量，分别代表RGB 三基色的光强，通过这些分量的值来调整光源的颜色。同样的，Ka 、Ks 、Kd 也有三个分量。于是，RGB 颜色模型形式：

()()()()()()n

r ar ar pr dr pr sr n g ag ag pg dg pg sg n

b

ab ab pb db pb sb I I K I K L N I K R V I I K I K L N I K R V I I K I K L N I K R V ?=+?+??=+?+???=+?+?? 4 复杂曲线曲面造型技术

4.1 综述

从提出样条函数至今，曲线曲

面造型经历了参数样条方法、Coons 曲

面、Bezier 曲线曲面和B 样条，形成了以有理B 样条曲面（Rational B-spline surface ）参数化特征设计和隐式代数曲面（Implicit algebraic suface ）表示这两类方法为主体，以插值（interpolation ）、拟合（fitting ）和逼近（approximation ）这3种手段为骨架的几何理论体系。

曲线曲面可以有显式表示（y=f （x ））、隐式表示（f （x ，y ）=0）和参数化表示（P （t ）=[x （t ），y （t ），z （t ）]）三种形式。但是显式或隐式表示存在与坐标轴相关，会出现斜率为无穷大的情形（如垂线）以及不便于计算机编程等问题，而参数化设计可以为工程技术人员提供了强有力的支持，使设计人员可以避免大量重复劳动，有更多的精力投入到创造性的工作中去。因此，参数化设计技术得到了大力的发展。参数化设计的核心问题是几何约束的求解，几何约束求解的问题已经有了大量的研究，采用对约束图进行自由度分析的方法，可使约束得到比较充分的分解，因此，得到比较广泛的应用。

样条函数及其参数表示形式的曲线和曲面方法是自由曲线与曲面设计的基础。但样条曲线在实际设计中缺

少灵活性和直观性。法国工程师Bezier于1962年构造了一种以逼近为基础的参数曲线。以这种方法为主，他完成了一种曲线与曲面的设计系统NUISURF，并于1972在法国的雷诺汽车公司应用。这种将函数逼近同几何表示结合起来的Bezier参数曲线方法能使设计师在工程设计中在计算机上运用起来就象使用作图工具设计一样得心应手，且比较直观地意识到所给条件与设计出的曲线之间的关系，能方便地控制输入参数以改变曲线的形状。

4.2 Bezier曲线

4.2.1 Bezier曲线的特点

Bezier曲线具有良好的几何性质，能简洁、完美地描述和表达自由曲线曲面，在CAD/CAM 技术中得到广泛的应用。Bezier曲线的最大优点之一是：控制点如果构成凸多边形，即特征多边形是凸时Bezier曲线也是凸的。所以要将曲线升高、降低，只要将一个控制点升高、降低即可，计算非常方便，因此Bezier曲线是曲线拟合的很好的工具。如何快速地绘制出各阶的Bezier 曲线，仍是目前研究的一个方向。

Bezier曲线的特点：

①只需给出数据点就可以构造曲线，而不要求给出导数。

②Bezier曲线的阶次严格依赖于确定该段曲线的数据点个数，因而不同的段可以是不同次的曲线。

③Bezier曲线虽不完全通过给定的数据点，但这些点控制着曲线的形状，曲线与数据点构成的折线间有着直观的形状对应关系。

4.2.2 Bezier曲线的描述

Bezier曲线定义如下：

设有1

+

n个点：)

,

(

i

i

y

x，

n

i,

,2,1,0

=，下列参数曲线

?

?

?

??

?

?

-

=

=

-

=

=

∑

∑

=

-

=

-

n

i

i

n

i

i

n

i

n

i

i

n

i

i

n

i

t

t

C

y

t

y

y

t

t

C

x

t

x

x

)

1(

)(

)

1(

)(

，1

0≤

≤t；称为由这1

+

n个点确定的n次Bezier曲线。

Bezier曲线的特点是：曲线只通过开头的一点和结尾的一点，不通过中间的各点。如果我们要求曲线通过中间的各点，显然Bezier曲线是不符合我们要求的。

如果要求曲线通过给出的每一点，可以采用“3次样条曲线”。

3次样条曲线是这样一种曲线：它

在已知的每两个点

11

(,)

i i

x y

--

与(,)

i i

x y 之间，用一段段3次曲线

3

2x

d

x

c

x

b

a

y

i

i

i

i

+

+

+

=作连接，而且保

证在各段连接处，一阶、二阶导数都是连续的，整条曲线是处处光滑的。

例如，已知有下列4个点：

00(,)(100,100)x y =，)200,200(),(11=y x ，

)100,300(),(22=y x ，33(,)(400,200)x y =；

通过这4个点可以作一条3次样条曲线。这条3次样条曲线在各段上的函数表达式为：

??

?

??≤≤-+-≤≤+-+-≤≤-+-=4003000002.021.0728200300

2000002.015.03626002001000002.009.01260032323

2

x x x x x x x x x x x x y

这条3次样条曲线的图像为

其实，对于已知的4点

)100,100(),(00=y x ，)200,200(),(11=y x ， )100,300(),(22=y x ，)200,400(),(33=y x ；

要求通过每一点，还有一条更简单的曲线，就是下列三角函数曲线

100

cos

50150x y π+=

这条三角函数曲线的图像为

5 总结

计算机图形学的研究分为两个部分：一部分研究几何作图，它包括平面线条作图和三维立体建模等；另一部分研究图形表面渲染，它包括表面色调、光照、阴影和纹理等表面属性的研究。目前，计算机图形学的应用已深入到真实感图形、科学计算可视化、虚拟环境、多媒体技术、计算机动画、计算机辅助工程制图等领域。计算机图形学成为当代几乎所有科学

和工程技术领域用来加强信息理解和传递的技术和工具。与此同时，计算机图形学的硬件和软件应用本身已发展成为一个巨大的产业，有着广泛的发展前景，必将在人们的生活中起着越来越重要的作用。

6 参考文献

[1] 孙家广. 计算机图形学[M]. 北京：清华大学出版社,1998.

[2] 慕乾华. 计算机图形学在实践中的应用[J]. 价值工

程,2010.3.

[3] 鲍蕾,耿聃. 浅谈计算机图形学的应用[J]. 科教文汇（上旬刊）, 2009.6.

[4] 赵卫东，卫刚，李启炎. 在OpenGL下面消隐和线消隐的实现[J]. 计算机工程, 2002(6).

[5] 潘华,郭辉. 浅谈二维CAD系统绘图装配消隐的实现[J]. 机械研究与应用, 2004.3.

[6] 靳海亮, 高井祥. 图形消隐算法综述[J]. 计算机与数

字工程, 2006(9).

[7] 任鸿翔, 王科伦, 金一丞. 光照模型与Creator中的明

暗处理[J].大连海事大学学报, 2003.5.

[8] 朱永强, 鲁聪达. 自由曲线曲面造型技术的综述[J].

中国制造业信息化, 2003(5).

[9] 戴春来, 高光勇. 自由曲线在参数化设计中的应用[J]. 计算机应用与软件, 2009(4).

[10] 胡锦美. Bezier曲线与曲面极值问题的研究[J]. 三明学院学报,2007(2).

[11] 施法中. 计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条[M] . 北京: 北京航空航天大学出版社, 1994.

[12] 徐甜,刘凌霞.Bezier曲线的算法描述及其程序实现[J]. 安阳师范学院学报,2006(5).