用样本方差估计总体方差
第2课时 用样本方差估计总体方差
1．会用样本方差估计总体方差；(重点、难点)
2．体会样本代表性的重要意义．
一、情境导入
某篮球队对运动员进行3分球投篮成绩测试，每人每天投3分球10次，对甲、乙两名队员在五天中进球的个数统计结果如下：
他们的平均进球数都是8，现在从甲、乙两名队员中选出一人去参加3分球投篮大赛，你认为应该选哪名队员去？为什么？
二、合作探究
探究点一：用样本方差估计总体方差 【类型一】 质量问题
两台机床同时生产直径(单位：mm)为10的零件，为了检验产品的质量，质量检
验员从两台机床的产品中各抽出5件进行测量，结果如下：
如果你是质量检验员，在收集到上述数据后，你将利用哪些统计知识来判断这两台机床生产的零件的质量优劣？
解析：求出每组数据的平均数，根据方差公式求出每组的方差，然后根据方差的大小进行比较．
解：x 甲＝15(8＋9＋10＋11＋12)＝10(mm)，x 乙＝1
5(7＋10＋10＋10＋13)＝10(mm)．由于
x 甲＝x 乙，因此平均直径不能反映两台机床生产出的零件的质量优劣；
再计算方差，可得s 2甲＝2，s 2乙＝3.6，∵s 2甲
乙，∴甲机床生产出的零件直径波动小．∴从产品质量稳定性的角度看，甲机床生产的零件质量更好一些；
从众数来看，甲机床只有1个零件的直径是10mm ，而乙机床有3个零件的直径是10mm ，∴从众数的角度看，乙机床生产的零件质量更好一些．
方法总结：解决此题，要先分别计算两组数据的平均数，只有在平均数相等或非常接近的情况下，才能利用方差的大小判断数据的稳定性．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 【类型二】 产量问题
在8个试验点对两个早稻品种进行栽培对比试验，它们在各试验点的产量如下(单
位：kg)：
甲：402，492，495，409，460，420，456，501； 乙：428，466，465，428，436，455，449，459.
哪种水稻的平均产量较高？哪种水稻的产量比较稳定？
解析：要比较哪种水稻的产量稳定，需比较两种水稻产量的方差． 解：x 甲＝1
8(402＋492＋495＋409＋460＋420＋456＋501)＝454.375(kg)，
x 乙＝1
8(428＋466＋465＋428＋436＋455＋449＋459)＝448.25(kg)，
s 2甲＝18[(402－454.375)2＋(492－454.375)2＋…＋(501－454.375)2]≈1407， s 2乙＝18
[(428－448.25)2＋(466－448.25)2＋…＋(459－448.25)2]≈216. 因为x 甲>x 乙，所以甲种水稻的平均产量较高；又因为s 2甲>s 2乙，所以乙种水稻比甲种水稻的产量稳定，由此可估计乙种水稻的产量比较稳定．
方法总结：方差越小，产量越稳定．当样本具有代表性时，可用样本方差去估计总体方差．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题 【类型三】 比赛成绩问题
如图所示是甲、乙两人10次射击成绩(环数)的条形统计图，则下列说法正确的是
( )
A ．甲比乙的成绩稳定
B ．乙比甲的成绩稳定
C ．甲、乙两人的成绩一样稳定
D ．无法确定谁的成绩更稳定
解析：∵x 甲＝8×4＋9×2＋10×410＝9(环)，x 乙＝8×3＋9×4＋10×310＝9(环)，s 2甲＝1
10×[4×(8－9)2＋2×(9－9)2＋4×(10－9)2]＝0.8，s 2乙＝
1
10
×[3×(9－8)2＋4×(9－9)2＋3×(10－9)2]＝0.6，∵x 甲＝x 乙，s 2甲>s 2
乙，∴乙比甲的成绩稳定．故选B.
方法总结：从统计图中读取数据信息是解决本题的前提．方差是反映数据稳定性的统计
量，方差越小，数据稳定性越好．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题 探究点二：根据方差做决策 【类型一】 根据方差做决策
某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总数排列名
次，在规定时间内每人踢100个以上(含100个)为优秀，下表是成绩最好的甲、乙两班各5名学生的比赛数据(单位：个).
统计发现两班总数相等，此时有人建议，可以通过考查数据中的其他信息来评判．试从两班比赛数据的中位数、方差、优秀率三个方面考虑，你认为应该选定哪一个班为冠军？
解析：平均数＝总成绩÷学生人数；中位数是按次序排列后的第3个数．根据方差的计算公式得到数据的方差．
解：甲班5名学生比赛成绩的中位数是97个，乙班5名学生比赛成绩的中位数是100个；
x 甲＝15×500＝100(个)，x 乙＝1
5
×500＝100(个)；
s 2甲＝15[(89－100)2＋(100－100)2＋(96－100)2＋(118－100)2＋(97－100)2
]＝94， s 2乙＝15[(100－100)2＋(96－100)2＋(110－100)2＋(90－100)2＋(104－100)2]＝46.4； 甲班的优秀率为2÷5×100%＝40%，乙班的优秀率为3÷5×100%＝60%；
答：应选乙班定为冠军．因为乙班5名学生的比赛成绩的中位数比甲班大，方差比甲班小，优秀率比甲班高，综合评定乙班踢毽子水平较高．
方法总结：在解决决策问题时，既要看平均成绩，又要看方差的大小，还要分析变化趋势，进行综合分析，从而做出科学的决策．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题 【类型二】 结合方差与图表信息解决问题
为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间 ，小明对班级同学一周内收看
“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示(其中男生收看3次的人数没有标出)．
根据上述信息，解答下列各题：
(1)该班级女生人数是________，女生收看“两会”新闻次数的中位数是________； (2)对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”．如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%，试求该班级男生人数；
(3)为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量(如下表)．
根据你所学过的统计知识，适当计算女生的有关统计量，进而比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小．
解析：(1)将柱状图中的女生人数相加即可求得总人数，中位数为第10与11名同学的次数的平均数；(2)先求出该班女生对“两会”新闻的“关注指数”，即可得出该班男生对“两会”新闻的“关注指数”，再列方程解答即可；(3)比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动大小，需要求出女生的方差．
解：(1)20人 3
(2)该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为
13
20
×100%＝65%，所以男生对“两会”新闻的“关注指数”为60%.设该班的男生有x 人，则
x －（1＋3＋6）
x
＝60%，解得x ＝25，
答：该班级男生有25人；
(3)该班级女生收看“两会”新闻次数的平均数为1×2＋2×5＋3×6＋4×5＋5×2
20＝3，
女生收看“两会”新闻次数的方差为
2×（3－1）2＋5×（3－2）2＋6×（3－3）2＋5×（3－4）2＋2×（3－5）220＝13
10，因
为2＞错误!.所以男生收看“两会”新闻次数的波动幅度比女生收看“两会”新闻次数的波
动幅度大．
方法总结：解答此类问题，首先要读懂图表，弄清楚统计图表的意义和统计图表中每部分的具体数据，从图表中提取有效信息．问题的顺利解答在很大程度上取决于是否能够正确地识图表、用图表．
三、板书设计
本节课学习了用样本方差来估计总体方差，注意样本的选择应具有代表性．教学过程中通过实例的讲解感受抽样的必要性，体会用样本估计总体的思想，增强学生的探索推理能力以及逻辑思维能力
样本方差的期望
方差： 方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。 方差是衡量源数据和期望值相差的度量值。 历史： “方差”（variance）这一词语率先由罗纳德·费雪（Ronald Fisher）在其论文《The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance》中提出。 统计学意义： 当数据分布比较分散（即数据在平均数附近波动较大）时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。因此方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动就越小。 样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。 最近进展：
方差不仅仅表达了样本偏离均值的程度，更是揭示了样本内部彼此波动的程度，也可以理解为方差代表了样本彼此波动的期望。当然，这个结论是在二阶统计矩下成立。 样本方差： 先求出总体各单位变量值与其算术平均数的离差的平方，然后再对此变量取平均数，就叫做样本方差。样本方差用来表示一列数的变异程度。样本均值又叫样本均数。即为样本的均值。 均值是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。 简介： 在许多实际情况下，人口的真实差异事先是不知道的，必须以某种方式计算。当处理非常大的人口时，不可能对人口中的每个物体进行计数，因此必须对人口样本进行计算。样本方差也可以应用于从该分布的样本的连续分布的方差的估计。
(完整word版)常见分布的期望和方差
常见分布的期望和方差 x n (0,1) N()
概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算：()()( )X F x P X x μ σ -=≤=Φ。 2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72） 3、分布函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞ = ?? 具有以下基本性质： ⑴、是变量x ，y 的非降函数； ⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续； ⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥ 4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23 x y F x y πππ2=++22的概率密度为：2222 6(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布： 边缘概率密度： ()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞ -∞+∞ -∞ ==?? 边缘分布函数： ()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞-∞+∞ -∞ -∞ =+∞==+∞=?? ?? 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。 6、随机变量的独立性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独立。简称X 与Y 独立。
第十九讲正态总体均值及方差的区间估计
第十九讲 正态总体均值及方差的 区间估计 1. 单个正态总体方差的区间估计 设总体),(~2σμN X ， ),,(21n X X X 为来自X 的一个样本，已给定置信度（水平）为α-1，求2σ的置信区间。 ①当μ已知时，由于),(~2σμN X i ，因此， )1,0(~N X i σ μ -（,2,1=i n , ）。 由2χ分布的定义知： ∑ =-n i i n X 1 22 2 )(~)(χσ μ， 据)(2n χ分布上α分位点的定义，有： αχσμχαα-=<-<∑ =-1)}()()({2 1 2 2 212 2 n X n P n i i 从而 αχμσχμαα-=????? ??-<
总体平均数与方差的估计
第5章用样本推断总体 5.1总体平均数与方差的估计 【知识与技能】 1.掌握用样本平均数估计总体平均数 2.掌握用样本方差估计总体方差. 【过程与方法】 通过对具体事例的分析、探讨，掌握简单随机样本在大多数情况下，当样本容量足够大时，样本的平均数和方差能反应总体相应的情况. 【情感态度】 感受数学在生活中的应用. 【教学重点】 样本平均数、方差估计总体平均数、方差的综合应用. 【教学难点】 体会统计思想，并会用样本平均数和方差估计总体平均数和方差. 一、情景导入，初步认知 一所学校要从两名短跑速度较快的同学中选拔一名去参加市里的比赛，为了使选拔公平，每名同学都进行10次测试，结果两名同学测试的结果的平均数是相同的，那么，派谁去参加比赛更好呢？ 【教学说明】通过具体事例的引入，提高学生学习的兴趣. 二、思考探究，获取新知 1.我们在研究某个总体时，一般用数据表示总体中每个个体的某种数量特性，所有这些数据组成一个总体，而样本则是从总体中抽取的部分数据，因此，样本蕴含着总体的许多信息，这使我们有可能通过样本的某些特性去推断总体的相应特性. 2.从总体中抽取样本，然后通过对样本的分析，去推断总体的情况，这是统计的基本思想，用样本平均数，样本方差分别去估计总体平均数，总体方差就是
这一思想的体现，实践和理论都表明：对于简单的随机样本，在大多数情况下，当样本容量足够大时，这种估计是合理的. 3.思考：（1）如何估计某城市所有家庭一年内平均丢弃的塑料袋个数？ （2）在检查甲、乙两种棉花的纤维长度时，如何估计哪种棉花的纤维长度比较整齐？ 【归纳结论】由于简单随机样本客观地反映了实际情况，能够代表总体，因此我们可以用简单随机样本的平均数与方差分别去估计总体的平均数与方差. 4.探究：某农科院在某地区选择了自然条件相同的两个试验区，用相同的管理技术试种甲、乙两个品种的水稻各100亩.如何确定哪个品种的水稻在该地区更有推广价值呢？ 为了选择合适的稻种，我们需要关心这两种水稻的平均产量及产量的稳定性（即方差），于是，待水稻成熟后，各自从这100亩水稻随机抽取10亩水稻，记录它们的亩产量（样本），数据如下表所示： 我们可以求出这10亩甲、乙品种的水稻的平均产量.因此，我们可以用这个产量来估计这两种水稻大面积种植后的平均产量. 我们还可以计算出这10亩甲、乙品种的水稻的方差，从而利用这两个方差来估计. 这两种水稻大面积种植后的稳定性（即方差），从而得出哪种水稻值得推广. 5.通过上面的探究，怎样用样本去估计总体，才能使估计更加合理？ 【归纳结论】①抽取的样本要具有随机性；②样本容量要足够大. 6.如何用样本方差估计总体方差？ 【归纳结论】方差能够反映一组数据与其平均值的离散程度的大小.方差越大，离散程度越大，稳定性越差.用样本方差估计总体方差的具体方法为：①计算样本平均数；②计算样本方差；③用样本方差估计总体方差. 【教学说明】引导学生思考，让学生讨论，合作完成.培养学生互助、协作的精神.
常见分布的期望和方差
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5 概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算：()()( )X F x P X x μ σ -=≤=Φ。 2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72） 3、分布函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞ = ?? 具有以下基本性质： ⑴、是变量x ，y 的非降函数； ⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续； ⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥ 4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23 x y F x y πππ2=++22的概率密度为：2222 6(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布： 边缘概率密度： ()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞ -∞+∞ -∞ ==?? 边缘分布函数： ()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞-∞+∞ -∞ -∞ =+∞==+∞=?? ?? 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。
概率分布以及期望和方差
概率分布以及期望和方差 上课时间: 上课教师： 上课重点:掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布及其期望和方差 上课规划：解题技巧和方法 一 两点分布 ⑴两点分布 如果随机变量X 的分布列为 X 1 0 P p q 其中01p <<，1q p =-，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布． 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果，则X 的分布列满足二点分布． X 1 0 P 0.8 0.2 两点分布又称01-分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布． （2）典型分布的期望与方差： 二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ． 1、在抛掷一枚图钉的随机试验中，令10X ?=? ? ，针尖向上； ，针尖向下.，如果针尖向上的 概率为p ，试写出随机变量X 的概率分布． 2、从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的 知识内容 典例分析
白球个数”，即???=，当取到红球时， ，当取到白球时， 01X ，求随机变量X 的概率分布． 3、若随机变量X 的概率分布如下： X 1 P 29C C - 38C - 试求出C ，并写出X 的分布列． 3、抛掷一颗骰子两次，定义随机变量 ?? ?=)(,1)(,0的点数数等于第二次向上一面当第一次向上一面的点 面的点数数不等于第二次向上一当第一次向上一面的点 ξ 试写出随机变量ξ的分布列． 4、篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为P ． ⑴ 记投篮1次得分X ，求方差()D X 的最大值； ⑵ 当⑴中()D X 取最大值时，甲投3次篮，求所得总分Y 的分布列及Y 的期望与方差． 二 超几何分布
用样本数字特征估计总体数字特征(平均数,方差,实用标准差等)
考点174 用样本数字特征估计总体数字特征（平均数，方差，标准差等） 1．(13辽宁T16) 为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加 该小组 的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本 数据中的 最大值为 . 【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征. 【难易程度】较难 【参考答案】10 【试题解析】设5个班级中参加的人数分别为12345,,,,,x x x x x 则由题意知 2222212345 123457,(7)(7)(7)(7)(7)20,5 x x x x x x x x x x ++++=-+-+-+-+-=五个 整数的平 方和为20，则必为0119920++++=，由73x -=可得10x =或4x =，由71x -=可 得8x =或6x =，由上可知参加的人数分别为4，6，7，8，10，故样本数据中的最大值为10. 2.（13上海T10）设非零常d 是等差数列12319,,,,x x x x L 的公差，随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x L ，则方差_______D ξ=. 【测量目标】方差. 【难易程度】中等 |d 【试题解析】
1 1219 110 1918 19 +2 9 1919 x d x x x E x d x ξ ? + ++ ===+= … （步骤1） 2 2222222 (981019)30 19 d D d ξ=+++++++= L L．（步骤2） 3.(13北京T16) 下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天． JC113 （Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率； （Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【测量目标】离散型随机变量的分布列，期望和方差；用样本数字特征估计总体数字特征. 【难易程度】中等 【试题解析】（Ⅰ）设 i A表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1,2，…，13)． 根据题意，P( i A)＝ 1 13 ，且 i j A A I＝?(i≠j)． 设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝ 58 A A U. 所以P(B)＝P( 58 A A U)＝P( 5 A)＋P( 8 A)＝ 2 13 .（步骤1） （Ⅱ）由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2，且 P(X＝1)＝()()()()() 3671136711 4 13 P A A A A P A P A P A P A =+++= U U U，
样本方差的期望
样本方差的期望 假设某百货超市现有一批快到期的日用产品急需处理，超市老板设计了免费抽奖活动来处理掉了这些商品。纸箱中装有大小相同的20个球，10个10分，10个5分，从中摸出10个球，摸出的10个球的分数之和即为中奖分数，获奖如下： 一等奖100分，冰柜一个，价值2500元； 二等奖50分，电视机一个，价值1000元； 三等奖95分，洗发液8瓶，价值178元； 四等奖55分，洗发液4瓶，价值88元； 五等奖60分，洗发液2瓶，价值44元； 六等奖65分，牙膏一盒，价值8元； 七等奖70分，洗衣粉一袋，价值5元； 八等奖85分，香皂一块，价值3元； 九等奖90分，牙刷一把，价值2元； 十等奖75分与80分为优惠奖，只収成本价22元，将获得洗发液一瓶； 分析：表面上看整个活动对顾客都是有利的，一等奖到九等奖都是白得的，只有十等奖才收取一点成本价。但经过分析可以知道商家真的就亏损了吗？顾客就真能从中获得抽取大奖的机会吗？求得其期望值便可真相大白。 摸出10个球的分值只有11种情况，用X表示摸奖者获得的奖励金
额数，计算得到E(X)=-10.098，表明商家在平均每一次的抽奖中将获得10.098元，而平均每个抽奖者将花10.098元来享受这种免费的抽奖。 从而可以看出顾客真的就站到大便宜了吗？相反，商家采用这种方法不仅把快要到期的商品处理出去了，而且还为超市大量集聚了人气，一举多得。 此百货超市老板运用数学期望估计出了他不会亏损而做了这个免费抽奖活动，最后一举多得，从中可看出了数学期望这一科学的方法在经济决策中的重要性。 体育比赛问题： 乒乓球是我们的国球，上世纪兵兵球也为中国带了一些外交。中国队在这项运动中具有绝对的优势。现就乒乓球比赛的安排提出一个问题：假设德国队（德国队名将波尔在中国也有很多球迷）和中国队比赛。赛制有两种，一种是双方各出3人，三场两胜制，一种是双方各出5人，五场三胜制，哪一种赛制对中国队更有利？ 分析：由于中国队在这项比赛中的优势，不妨设中国队中每一位队员德国队员的胜率都为60%，接着只需要比较两个队对应的数学期望即可。 参考资料来源：百度百科-数学期望 期望值：
正态总体样本标准差
正态总体样本标准差S 不是总体标准差σ的无偏估计量 设12,,,n X X X ???是来自正态总体2 (,)N μσ的一个样本，1 1n i i X X n == ∑ 为样本均值， 2 2 1 1 ()1 n i i S X X n == --∑为样本方差。众所周知，对任何总体来说样本方差2 S 是总体方差 2 σ的无偏估计两，正态总体更不是例外。但样本标准差S 却不是总体标准差σ的无偏估计 量。 证明： 由于 2 2 2 (1)~(1)n S n χσ --，若令2 2 (1)n S Y σ -= ，则2 ~(1)Y n χ-的概率密度为 11 () 22110 22()200 n n n y y e y P y y --Γ-? ->?=?? ≤? 从而 11 22 2 2 1 22()11 2()11 ()2() 2() 22 2 n y n y n n n E y dy y e dy y e dy n n n +∞ +∞ +∞ ---- --∞ = = =--ΓΓΓ? ? ? ① () 21() 2 n n = -Γ 另一方面， )()E E E S σσ == ， 所以有1()2 n E S E C σσ= = =≠， 所以，样本标准差S 却不是总体标准差σ的无偏估计量。 如果进行修正，则可以得到σ的无偏估计量 n C S σ= ，其中2 n C =
评注： 1. 理论依据： 正态总体样本的抽样分布，2 χ分布与Γ分布的有关性质。 2. 应用与推广： 无论总体X 服从什么分布，修正的样本方差 2 2 1 1()1 n i i S X X n == --∑ 是总体方差()D X 的无偏估计量，但是样本方差S 不是总体标准差 ()X σ= 的无偏估计量。只有在正态总体的情况下才有确定性的修正方法，使得 n C S σ= 是总体标准差的无偏估计量，对于非正态总体，情况极为复杂，一般不对其进行讨论。 参考文献： 茆诗松等，概率论与数理统计。本经：中国统计出版社，2000 参数估计方法在捕鱼问题中的应用 设湖中有鱼N 条，做上记号后放回湖中（记号不消失），一段时间后让湖中的鱼（做上记号的和没做记号的）混合均匀，再从湖中捕出鱼数s 条()s r ≥ ,其中有t 条(0)t r ≤≤标有记号。试根据这些信息，估计湖中鱼数的N 值。 （1）根据概率的统计定义：湖中有记号的鱼的比例应是r N （概率），而在捕出的s 条中有记号的鱼为t 条，有记号的鱼的比例是 t s （频率）。设想捕鱼是完全随机的，每条 鱼被捕的机会都相等，于是根据用频率来近似概率的道理，便有 r t N s = 即 rs N t = 故 rs N t ≈（取最接近的整数）。 （2）用矩估计法：设捕出的s 条鱼中，标有记号的鱼为ξ，因为ξ是超几何分布，
样本方差的期望
样本方差的期望和方差沉义义（上海工程技术大学基础教学学院，上海201620）摘要在实际应用中，样本均值珔X和样本方差s 2，x I珔X和计算XJ珔X有必要计算协方差和相关系数。本文给出了相应的计算公式，并提供了一些简单的计算方法。关键词：样本均值样本方差期望;方差;协方差研究生入学数学考试中的相关系数，样本均值X的期望和方差和样本方差s 2是非常重要的测试点。但是，在概率论和数理统计的教学过程中，很少涉及如何计算样本方差S2的方差。其次，对于简单的随机样本x 1，x 2如何计算协方差cov（x I，珔x），相关系数ρx I珔x，yi = x I-X和YJ = x J-xx，协方差cov（y I，y J）以及x I和XX的相关系数ρy I y J使学生感到困惑。本文对以上知识进行了系统分析，并给出了一些简单的计算方法。1，课本中样本均值和样本方差的期望值和方差，样本均值珔X和样本方差s 2的性质由以下定理给出：定理：让总体x?n（μ，σ2），x 1，x 2如果xn（n> 1）是一个简单的随机样本，X是一个样本均值，s 2是一个样本方差，则（1）x?nμ，σ2（）n; （2）x和S 2是独立的；（3）（n-1）S2σ2?χ2（n-1）。推论1 e （x）=μ，D（x）=σ2n; E（S2）=σ2，D（S2）= 2σ4N-1。上述推论的前三个结论的证明
见教科书[1]。D（s 2）= 2σ4N-1的证明如下。从定理（3）的结论中，我们可以得出D （n-1）s 2σ（）2 = 2（n-1），即（n-1）2σ4D（s 2）= 2（n-1），所以D（s 2）= 2σ4N-1。2，2 cov（x I，x）=σ2n，ρx I珔x = 1 = n（I = 1，2，n）。证明x I?n（μ，σ2）独立于彼此（I = 1,2然后cov（x I，XJ）=σ2，I = J0，I≠{J（I = 1，2，...））因此，cov（x I，珔x）= 1ncov（x I，x 1 + ...）+ X i +…+ X n）= 1ncov（X i，X 1）+…+ 1ncov（X i，X i）+…+ —8 1 —1ncov（X i，X n）= 0 +…+σ2n +…+0 =σ2n（i = 1，2，…，n），ρx I珔x = cov（x I，珔x）d（xi）d （xx槡）=σ2nσ2·σ2槡n = 1槡n（I = 1,2，n）。3，yi = x I-X的性质是推论3 E（yi）= 0，D （yi）= 1-1（）nσ2; cov（y I，y J）=-σ2n（I≠J），ρy I y J =-1n-1（I≠J）（I = 1,2，n）。证明了e（yi ）= e（x ixx）= e（x ixx）= e（x ixx）= e（x IX）=u-μ= 0，D（yi）= D（x ixx）= D（xi）+ D（x（x）珔（x I，x，x）=σ2 +σ2 +σ2n-2，σ2n = 1-1（nσ2），cov （y I，y J）= cov（x I ，y J）= cov（x IX，x，J）x，jx jx，jxx，xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx-x-= cov（x I，XJ）-CoV（x I，XJ）-CoV（xx，XJ）+ cov （x，x，x）= 0-σ2n-σ2n +σ2n =-σ2n，ρy I，y J = cov（yi）YJ）d（yi）d（y J槡）=-σ2n1 -1（）nσ2 =-1n-1。这里我们必须指出
总体平均数与方差的估计
.总体平均数与方差的估计
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第5章用样本推断总体 5.1总体平均数与方差的估计 【知识与技能】 1.掌握用样本平均数估计总体平均数 2.掌握用样本方差估计总体方差. 【过程与方法】 通过对具体事例的分析、探讨，掌握简单随机样本在大多数情况下，当样本容量足够大时，样本的平均数和方差能反应总体相应的情况. 【情感态度】 感受数学在生活中的应用. 【教学重点】 样本平均数、方差估计总体平均数、方差的综合应用. 【教学难点】 体会统计思想，并会用样本平均数和方差估计总体平均数和方差. 一、情景导入，初步认知 一所学校要从两名短跑速度较快的同学中选拔一名去参加市里的比赛，为了使选拔公平，每名同学都进行10次测试，结果两名同学测试的结果的平均数是相同的，那么，派谁去参加比赛更好呢？ 【教学说明】通过具体事例的引入，提高学生学习的兴趣. 二、思考探究，获取新知 1.我们在研究某个总体时，一般用数据表示总体中每个个体的某种数量特性，所有这些数据组成一个总体，而样本则是从总体中抽取的部分数据，因此，样本蕴含着总体的许多信息，这使我们有可能通过样本的某些特性去推断总体的相应特性. 2.从总体中抽取样本，然后通过对样本的分析，去推断总体的情况，这是统计的基本思想，用样本平均数，样本方差分别去估计总体平均数，总体方差就是
这一思想的体现，实践和理论都表明：对于简单的随机样本，在大多数情况下，当样本容量足够大时，这种估计是合理的. 3.思考：（1）如何估计某城市所有家庭一年内平均丢弃的塑料袋个数？ （2）在检查甲、乙两种棉花的纤维长度时，如何估计哪种棉花的纤维长度比较整齐？ 【归纳结论】由于简单随机样本客观地反映了实际情况，能够代表总体，因此我们可以用简单随机样本的平均数与方差分别去估计总体的平均数与方差. 4.探究：某农科院在某地区选择了自然条件相同的两个试验区，用相同的管理技术试种甲、乙两个品种的水稻各100亩.如何确定哪个品种的水稻在该地区更有推广价值呢？ 为了选择合适的稻种，我们需要关心这两种水稻的平均产量及产量的稳定性（即方差），于是，待水稻成熟后，各自从这100亩水稻随机抽取10亩水稻，记录它们的亩产量（样本），数据如下表所示： 我们可以求出这10亩甲、乙品种的水稻的平均产量.因此，我们可以用这个产量来估计这两种水稻大面积种植后的平均产量. 我们还可以计算出这10亩甲、乙品种的水稻的方差，从而利用这两个方差来估计. 这两种水稻大面积种植后的稳定性（即方差），从而得出哪种水稻值得推广. 5.通过上面的探究，怎样用样本去估计总体，才能使估计更加合理？ 【归纳结论】①抽取的样本要具有随机性；②样本容量要足够大. 6.如何用样本方差估计总体方差？ 【归纳结论】方差能够反映一组数据与其平均值的离散程度的大小.方差越大，离散程度越大，稳定性越差.用样本方差估计总体方差的具体方法为：①计算样本平均数；②计算样本方差；③用样本方差估计总体方差. 【教学说明】引导学生思考，让学生讨论，合作完成.培养学生互助、协作的精神.
常见分布的期望和方差
常见分布的期望和方差
概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算：()()()X F x P X x μ σ-=≤=Φ。 2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72） 3、分布函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞=??具有以下基本性质： ⑴、是变量x ，y 的非降函数； ⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续； ⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥ 4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23 x y F x y πππ2=++22的概率密度为：22226(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布： 边缘概率密度：()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞-∞ +∞-∞==? ? 边缘分布函数：()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞ -∞+∞-∞-∞=+∞==+∞=???? 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。 6、随机变量的独立性：若(,)()()X Y F x y F x F y =则称随机变量X ，Y 相互独立。简称X 与Y 独立。
样本方差的期望
样本方差的期望 （1）样本（背景知识）：由学过的概率论的知识可以知道，若在总体个数有限的情况下，抽取出一些个体，总体的分布可能会发生变化，所以个体的分布可能反映不了总体的分布。后一句不太好理解，所以举个经典例子：若N个产品中有M个废品，在抽样调查其废品率时，正常抽取样本（随机抽不放回），则样品的废品率服从超几何分布；而产品中的废品率服从二项分布。这样由样品得到的估计，统计性质就与总体不同。而且当产品数量不是很大时，这种分布差异无法忽视。然而只有在总体中包含的个体极多或包含无限多个个体时，不放回的抽取才对总体的分布影响极少或者毫无影响，这种例子才不成立，此时可以用样本估计总体。这种情形在应用中最为常见，数理统计学在理论上对其研究得也最深入。此时称抽出的若干数据独立同分布，称这组数据为从某总体抽出的独立随机样本，简称为从某总体中抽出的样本。【1】 （2）样本均值/方差：顾名思义，样本均值就是样本的均值，样本方差就是样本数据的方差。 （3）总体均值/方差：同上。。 （4）样本均值/方差的期望：样本数据均为我们抽取得来（是已知量）
我们利用它算出样本参数（例如样本均值），假装它是总体的参数（例如总体均值，是未知量），这就是用样本估计总体的过程；由样本的定义，用样本估计得到的总体的参数不是完美的，有时和真正的总体的参数之间可能有一个偏移。那么接下来一个很自然的想法就是，由于我们对样本参数计算式已知，除去不可控的抽样随机性，从计算方法的角度上来说，我们可以知道这个偏移量是多少吗？更进一步地，我们可以在计算方法上对这个偏移加以修正吗？自然地，类似前述在定义样本时举过的例子，我们还可以假设对总体的数据和参数已知，这样就可以用总体的数据和参数模拟抽样，反算出样本参数，并与真实的总体参数加以对比，达到修正偏移的目的了！而这样反算出的样本参数，就叫做样本参数（例如样本均值、样本方差）的期望。 从正面的/科学的（也是教材上的）角度来说，我们是用总体反过来估计了样本，得到的当然就是样本参数的期望值啦。 若样本参数经修偏后，在某种算法下与真实的总体参数达到一致，该样本参数为总体参数的一个无偏估计量。一个参数往往有不止一个无偏估计，我们需要在一个对估计的整体的优良性准则下视情况讨论。
样本方差与总体方差的区别
样本方差与总体方差的区别 之前一直对于样本方差与总体方差的概念区分不清，对于前者不仅多了样本”两个字，而且公式中除数是N-1 ,而不是N。现在写下这么写东西，以能彻底把他们的区别搞清楚。 总体方差: 也叫做有偏估计，其实就是我们从初高中就学到的那个标准定义的方差，除数是N。女0果实现已知期望值，比如测水的沸点，那么测量 立的（期望值不依测量值而改变，随你怎么折腾，温度计坏了也好，看反了也好，总之，期望值应该是100度），那么E『（X-期望）人2』，就有10个自由度。事实上，它等于（X- 期望）的方差，减去（X-期望）的平方。”所以叫做有偏估计，测量结果偏于那个”已知的期望值“。样本方差: 无偏估计、无偏方差（unbiased varianee ）。对于一组随机变量，从中随机抽取N个样本, 这组样本的方差就是Xi^2平方和除以N-1。这可以推导出来的。如果现在往水里撒把盐, 水的沸点未知了，那我该怎么办？我只能以样本的平均值，来代替原先那个期望100度。同 样的过程，但原先的（X-期望），被（X-均值）所代替。设想一下（Xi-均值）的方差，它 不在等于Xi的方差，而是有一个协方差，因为均值中，有一项Xi/n是和Xi相关的，这就 是那个”偏"的由来 刊屮）二 Ei a.—-￡（A;-W） f=l 9 =rr 一 证明: 10次，测量值和期望值之间是独
DGH 兀） 担工加D （X ；）） g ? u 曰右力m-工P) 占E (m ：-寸) __________ ■!■ A^(E ：=iCV —2A ；T + X-)) 闵肯) ) + ￡：D) n(<7- + //-) E(X 力二丫) nE(X~) MD(X) + E2(X)) M 吟+ “?) 尙e + //-) - 角F + "') t7- 证毕?? D(X)二 --- ◎ E(f)= D(X) + Eh 工) E{S-)= ￡(E ； =1 A ；y )=
样本方差的期望
样本方差的期望 1，答主说的关于硬币的问题，这是频率学派和贝叶斯学派的分歧，但是他们是有统一的。通过贝叶斯理论，最后的结果是p^=(X+1)/n+2,这里是题主疑问的所在。其实这个估计与频率X/n是有差别的，当n 很大的时候不显著，原因（高等数学的极限理论），当n相当小的时候，则很显著。从一个角度看，当n很小的时候，用贝叶斯估计比X/n 更合理。因为当n很小的时候，试验结果可能出现X=0或X=n，这时，如果按照X/n，则应该把p估计0或1，这就太极端了，因为我们不能仅仅根据在少数几次试验中把全不出现或是全出现的事件，就来判定它为不可能或必然事件。若按贝叶斯理论的公式p^=(X+1)/n+2，则在这两种情况下分别给出估计值为1/(n+2)和（n+1）/(n+2),这样就留有余地了。（参考陈希孺的教材）2 ，取2/3，那是为了让结果好看，它没有具体的理论支撑的，只是一个定义的说法。只是说用平滑理论大家容易比较接受。举一个不恰当的例子，你穿衣服为了保暖，在衣服上绣一朵花，那是为了好看，没有保暖的功能，但是别人喜欢接受你绣了花的衣服。欢迎讨论 （1）取具体的样本值，那么EX是没有意义的，我的理解是你承认了X是随机变量，只是这样做EX没有任何价值。根据你的描述我是这么理解的。但是我想说的是你这里取了具体的样本(其实更准确说是样品)，这个样本X它不是随机变量。（2）从大的方面讲，我看过陈希孺老先生写的概率论与数理统计和数理统计学，其实书中说到的样本均值和样本方差都是定义出来的，当然为什么这么定义，这是你想
得到的答案。我自己说一下自己的理解，统计问题一个是估计，一个是检验假设。不管是哪个问题，都是要构造好多统计量，当然样本方差和样本均值都是统计量，也是随机变量。用这些统计量去估计参数或是假设检验。统计量是针对某种需求构造的，其实它是可以推广的，那就是样本距。正好它是二阶的时候被说成了样本方差，有极大的应用。
二项分布的期望和方差的详细证明
二项分布的期望的方差的证明 山西大学附属中学 韩永权 hyq616@https://www.360docs.net/doc/8e8352937.html, 离散型随机变量的二项分布: 在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（0,1,2k n = p q -=1） 于是得到随机变量ξ的概率分布如下： ξ 1 2 3 ... 1n - n P 0n n C q 11n n C pq - 222n n C p q - 333 n n C p q - ... 11 n n n C p q -- n n n C p 称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p)，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b(k ；n ，p)． 1 求证：服从二项分布的随机变量ξ的期望E np ξ=. 证明如下：预备公式： 1 1k k n n kc nc --= 100110220211(1)()11011111()(......)n n n n k k n n k n n n n n n n p q c p q c p q c p q c p q c p q ----------------+=++++++因为()(1),k k n k k k n k n n p k c p p c p q ξ--==-= 所以 001112220012......n n n k k n k n n n n n n n E c p q c p q c p q k c p q nc p q ξ---=?+?++?++?++ =00110220211(1)()11011111(......)n n n k k n n k n n n n n n n np c p q c p q c p q c p q c p q ---------------++++++ =1()n np p q np -+= 所以E np ξ= 方法二： 证明：若 ),(~p n B X ，则X 表示n 重贝努里试验中的“成功” 次数，现在我们来求X 的数学期望。
用样本估计总体(频率分布直方图、平均数、方差等)课案
考点2 用样本估计总体（频率分布直方图、平均数、方差等） 1. （15泰州一模）若数据2，x ，2，2的方差为0，则x= ． 【考点】极差、方差与标准差． 【答案】2 【分析】因为数据2，x ，2，2的方差为0，由其平均数为 64 x +，得到22166320444x x x ?? ++????-+-=?? ? ??????? ??，解得x =2. 2.（15江苏高考压轴）样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率如图所示，则 这组数据的方差等于 ． 第2题图 cqn17 【答案】7.2 【分析】2出现100.44?=次，5出现100.22?=次，8出现100.44?=次，所以 2222 14(25)2(55)4(85)7.210s ??= ?-+?-+?-=? ? 3．（2015江苏苏州市高三上调考）如图是小王所做的六套数学附加题得分（满分40）的 茎叶图，则其平均得分为 ． JSY33 第3题图 【考点】茎叶图. 【答案】31． 【分析】根据茎叶图的数据，得； 数据的平均分为 x = 182830323840 6 +++++=31．
故答案为：31． 4．(淮安都梁中学2015届高三10月调研)某校为了解2015届高三同学寒假期间学习情况， 抽查了100名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图）．则这100名同学中学习时间在6～8小时内的同学为 人． zl085 第4题图 【考点】频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布． 【答案】30 【分析】∵这100名同学中学习时间在6～8小时外的频率为 （0.04+0.12+0.14+0.05）×2=0.7 ∴这100名同学中学习时间在6～8小时内为1-0.7=0.3 ∴这100名同学中学习时间在6～8小时内的同学为100×0.3=30. 5．（徐州市2014届高考信息卷）甲、乙两个学习小组各有10名学生，他们在一次数学测 验中成绩的茎叶图如图所示，则在这次测验中成绩较好的是 组． 【考点】茎叶图． 第5题图 zl060 【答案】甲 【分析】甲的平均分为63747981838486868890 81.410 x +++++++++= =甲， 5864677475767679808273.110 x +++++++++==乙； x x >乙甲，且甲的成绩多集中在80分上，乙的成绩多集中在70分上， ∴甲组的成绩较好些； 故答案为：甲． 6. （南通市2015届高三第三次调研） 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学生 的课外阅读时间，所得数据都在[]50,150中，其频率分布直方图如图所示．已知在
常见分布的期望和方差78835
常见分布的期望和方差 5
5 概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算：()()( )X F x P X x μ σ -=≤=Φ。 2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72） 3、分布函数(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞-∞ = ?? 具有以下基本性质： ⑴、是变量x ，y 的非降函数； ⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续； ⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y << ，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥ 4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23 x y F x y πππ2=++22的概率密度为：2222 6(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布： 边缘概率密度： ()(,)()(,)X Y f x f x y dy f y f x y dx +∞ -∞+∞ -∞ ==?? 边缘分布函数： ()(,)[(,)]()(,)[(,)]x X y Y F x F x f u y dy du F y F y f x v dx dv +∞ -∞-∞+∞ -∞ -∞ =+∞==+∞=?? ?? 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。
为什么样本方差里面要除以(n-1)而不是n
为什么样本方差里面要除以（n-1）而不是n？（---by小马哥整理） 首先，我们来看一下样本方差的计算公式： (1) 刚开始接触这个公式的话可能会有一个疑问就是：为什么样本方差要除以（n-1）而不是除以n？为了解决这个疑惑，我们需要具备一点统计学的知识基础，关于总体、样本、期望（均值）、方差的定义以及统计估计量的评选标准。有了这些知识基础之后，我们会知道样本方差之所以要除以（n-1）是因为这样的方差估计量才是关于总体方差的无偏估计量。这个公式是通过修正下面的方差计算公式而来的。 公式(2)是我们按照正常的思维, 思考的应该有的方差的计算公式，也就是除以n的情况： (2) 公式(3)是我们经过修正得到的式子, 修正过程为： (3) 我们在课本上看到的其实是修正后的结果： (4) 下面详细(推导)讲, 为啥会要乘以前面那个(1/n-1), 来对公式(2)进行修正. 为了方便叙述，在这里说明好数学符号： (5) 前面说过样本方差之所以要除以（n-1）是因为这样的方差估计量才是关于总体方差的无偏估计量。在公式上来讲的话就是样本方差的估计量的期望要等于总体方差。如下： (6) 但是没有修正的方差公式，它的期望是不等于总体方差的(下面会讲解详细原因, 就是下面那个公式推导!) (7) 也就是说，样本方差估计量如果是用没有修正的方差公式来估计总计方差的话是有偏差的 下面给出比较好理解的公式推导过程：
(8) 也就是说，除非否则一定会有 (9) 需要注意的是不等式右边的才是的对方差的“正确”估计，但是我们是不知道真正的总体均值是多少的，只能通过样本的均值来代替总体的均值。所以样本方差估计量如果是用没有修正的方差公式来估计总计方差的话是会有偏差，是会低估了总体的样本方差的。为了能无偏差的估计总体方差，所以要对方差计算公式进行修正，修正公式如下： (10) 这种修正后的估计量将是总体方差的无偏估计量，下面将会给出这种修正的一个来源； 为了能搞懂这种修正是怎么来的，首先我们得有下面几个等式： 1.方差计算公式： (11) 2. 均值的均值、方差计算公式： (12) 对于没有修正的方差计算公式我们有： (13)