统计物理习题答案

1、试证明，对于一维自由粒子，在长度为L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数（相格数）为

1/2

2()2L m dN d h εεε??

=??

??

证明：根据§4.2节相空间可知，一维自由粒子在μ空间体积元x dxdp 内可能的量子态数为 x

dxdp dN h

=

在长度为L 内，动量绝对值在p 到p+dp 范围内的可能量子态数为

2()L

dN p dp h

=

注意，此处的因子2是因为动量可以取正负两个可能的方向。

由能量和动量的关系式 22p m ε=可得，1/2

2m m dp d d p εεε??

==??

??，代入上式可

得

1/2

2()2L m dN d h εεε??

=??

??

证毕。

2、试证明，对于二维自由粒子，在面积L 2内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数（相格数）为

2

22()L dN md h

πεε=

证明：二维自由粒子在μ空间体积元x y dxdydp dp 内可能的量子态数为 2

x y

dxdydp dp dN h

=

对坐标空间积分，可得

22

x y

L dp dp dN h =

用二维动量空间的极坐标,p θ描述粒子的动量, ,p θ与,x y p p 的关系为

cos x p p θ= sin y p p θ=

用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为pdpd θ，在面积2L 内，动量绝对值在p 到p+dp 范围内，动量方向在θ到d θθ+范围内，二维自由粒子可能的量子态数为

22

L pdpd dN h θ=

θ从0到2π积分，可得在面积2L 内，动量绝对值在p 到p+dp 范围内，二维自由粒子可能的量子态数为

2

22()L dN p pdp h

π=

由能量和动量关系式 22p m ε=可得，1/2

2m m dp d d p εεε??

==??

??

，代入上式可得

()1/2

22

1/22222()22L m L dN m d md h h

ππεεεεε??

==??

??

证毕。

3、完整地推导出F-D 统计的()f E 表达式（课后作业第2题,p442）。 证明：对费米系统的热力学概率

()!

!!i F D i i i i g N g N Ω=?∏

i

取对数，得

[]ln ln !ln !ln()!i i i i i

g N g N Ω=???∑

假设1i N ，1i g ， 1i i g N ? ，应用Stirling 公式可得

[]ln ln ln ()ln()i i i i i i i i i

g g N N g N g N Ω=????∑

令i N 有i N δ的变化，ln Ω将因而有ln δΩ的变化，使Ω为极大分布必使

ln 0δΩ=，即

ln [ln ln()]0i i i i i

N g N N δδΩ=?+?=∑

但这些i N δ不是任意的，必须满足条件：

0i i

N N δδ==∑ 0i i i

E N δδε==∑

用拉氏乘子α和β分别乘以上面两式，并从ln δΩ中减去，得

ln 0i i i i i i g N N N αβεδ???????=????????

∑ 上式整理得

1

i

i i g

N e αβε+=+ 因此，F-D 分布函数为 1

()1i

f E e

αβε+=+ 证毕。