因式分解常用方法(目前最牛最全教案)
因式分解地常用方法
第一部分：方法介绍
多项式地因式分解是代数式恒等变形地基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题地有力工具．因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需地,而且对于培养学生地解题技能,发展学生地思维能力,都有着十分独特地作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解地方法、技巧和应用作进一步地介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.
在整式地乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用地公式,例如： （1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)； (2) (a±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a±b)2； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用地公式：
(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：bn
bm an am +++分析：从“整体”看,这个多项式地各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a ,后两项都含有b ,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间地联系.
解：原式=)()(bn bm an am +++ = 每组之间还有公因式！ )()(n m b n m a +++ = ))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组. 第二、三项为一组.
解：原式= 原式=)5()102(bx by ay ax -+-)510()2(by ay bx ax +-+- = =)5()5(2y x b y x a ---)2(5)2(b a y b a x --- = =)2)(5(b a y x --)
5)(2(y x b a --练习：分解因式1、 2、bc ac ab a -+-21+--y x xy （二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay
ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组. 例4、分解因式：2222c b ab a -+- 解：原式= 解：原式=)()(22ay ax y x ++-222)2(c b ab a -+- = =)())((y x a y x y x ++-+2
2)(c b a --
=
=))((a y x y x +-+))((c b a c b a +---练习：分解因式3、 4、y y x x 3922---yz z y x 2222---综合练习：（1） （2）3223y xy y x x --+b
a ax bx bx ax -+-+-22（3） （4）181696222-+-++a a y xy x a
b b ab a 4912622-++-（5） （6）92234-+-a a a y
b x b y a x a 222244+--（7） （8）222y yz xz xy x ++--1
22222++-+-ab b b a a （9）
（10）)1)(1()2(+---m m y y )
2())((a b b c a c a -+-+
四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1地二次三项式
直接利用公式——进行分解.))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数地乘积；
（3）一次项系数是常数项地两因数地和.思考：十字相乘有什么基本规律？
例.已知0＜≤5,且为整数,若能用十字相乘法分解因式,求符合条件地.
a a 223x x a ++a 解析：凡是能十字相乘地二次三项 式ax 2+bx+c,都要求 >0而且是一个完全平方数.24
b a
c ?=-于是为完全平方数,98a ?=-1a =例5、分解因式：6
52++x x 分析：将6分成两个数相乘,且这两个数地和要等于5. 由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6),从中可以发现只有2×3地分解适合,即2+3=5. 1 2
解：= 1 3 652++x x 32)32(2?+++x x = 1×2+1×3=5
)3)(2(++x x 用此方法进行分解地关键：将常数项分解成两个因数地积,且这两个因数地代数和要等于一次项地系数.例6、分解因式：6
72+-x x 解：原式= 1 -1
)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x = 1 -6
)6)(1(--x x （-1）+（-6）= -7
练习5、分解因式(1) (2) (3)24142++x x 36152+-a a 542-+x x 练习6、分解因式(1) (2) (3)22-+x x 1522--y y 24102--x x （二）二次项系数不为1地二次三项式——c bx ax ++2条件：（1） 21a a a =1a 1
c （2） 21c c c =2a 2
c （3） 1221c a c a b +=1
221c a c a b +=分解结果：=c bx ax ++2)
)((2211c x a c x a ++例7、分解因式：10
1132+-x x 分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：=101132+-x x )
53)(2(--x x 练习7、分解因式：（1） （2）6752-+x x 2732+-x x （3） （4）317102+-x x 101162++-y y （三）二次项系数为1地齐次多项式例8、分解因式：2
21288b ab a --分析：将看成常数,把原多项式看成关于地二次三项式,利用十字相乘法进行分解.b a 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：=221288b ab a --)16(8)]16(8[2b b a b b a -?+-++ =)16)(8(b a b a -+练习8、分解因式(1)(2)(3)2223y xy x +-2286n mn m +-226b ab a --（四）二次项系数不为1地齐次多项式
例9、例10、22672y xy x +-2322+-xy y x 1 把看作一个整体 1 -1 xy 2 -3y 1 -2
(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3
解：原式= 解：原式=)32)(2(y x y x --)
2)(1(--xy xy 练习9、分解因式：（1）
（2）224715y xy x -+8622+-ax x a 综合练习10、（1） （2）17836--x x 2
2151112y xy x --（3） （4）10)(3)(2-+-+y x y x 3
44)(2+--+b a b a （5）
（6）222265x y x y x --2
634422++-+-n m n mn m （7）
（8）3424422---++y x y xy x 2222)(10)(23)(5b a b a b a ---++（9） （10）10364422-++--y y x xy x 2
222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++五、换元法.
例13、分解因式（1）2005
)12005(200522---x x
（2）2
)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++解：（1）设2005=,则原式=a a x a ax ---)1(22 =))(1(a x ax -+ =)
2005)(12005(-+x x （2）型如地多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘.
e abcd + 原式=2
22)65)(67(x x x x x +++++设,则A x x =++652x A x x 2672+=++∴原式==2)2(x A x A ++222x Ax A ++
==2)(x A +2
2)66(++x x 练习13、分解因式（1） （2） )(4)(22222y x xy y xy x +-++90)384)(23(22+++++x x x x 六、添项、拆项、配方法.
例15、分解因式（1） 4323+-x x 解法1——拆项. 解法2——添项.原式= 原式=33123+-+x x 444323++--x x x x = = )1)(1(3)1)(1(2-+-+-+x x x x x )44()43(2++--x x x x = = =
)331)(1(2+-+-+x x x x )1(4)4)(1(++-+x x x x
=)44)(1(2+-+x x x )44)(1(2+-+x x x = =2)2)(1(-+x x 2)2)(1(-+x x 练习15、分解因式
（2） （3） 4）4224)1()1()1(-+-++x x x 1724+-x x 22412a ax x x -+++第二部分：习题大全经典一：一、填空题
1. 把一个多项式化成几个整式地_______地形式,叫做把这个多项式分解因式.2分解因式： m 3-4m= .3.分解因式： x 2-4y 2= __ _____.
4、分解因式：2
44x x ---=___________ ______.
5.将x n -y n 分解因式地结果为(x 2+y 2)(x+y)(x-y),则n 地值为 .
6、若5,6x y xy -==,则22x y xy -=_________,22
22x y +=__________.
二、选择题
7、多项式
32223
15520m n m n m n +-地公因式是( )A 、5mn B 、225m n C 、25m n D 、2
5mn
8、下列各式从左到右地变形中,是因式分解地是( )
A 、()()2339a a a +-=-
B 、
()()22a b a b a b -=+-C 、()24545a a a a --=-- D 、
2
3232m m m m m ??--=-- ???10.下列多项式能分解因式地是（ ）
(A)x 2-y (B)x 2+1 (C)x 2+y+y 2 (D)x 2-4x+411．把（x －y ）2－（y －x ）分解因式为（ ）A ．（x －y ）（x －y －1） B ．（y －x ）（x －y －1）C ．（y －x ）（y －x －1） D ．（y －x ）（y －x ＋1）12．下列各个分解因式中正确地是（ ）A ．10ab 2c ＋6ac 2＋2ac ＝2ac （5b 2＋3c ）B ．（a －b ）2－（b －a ）2＝（a －b ）2（a －b ＋1）
C ．x （b ＋c －a ）－y （a －b －c ）－a ＋b －c ＝（b ＋c －a ）（x ＋y －1）
D ．（a －2b ）（3a ＋b ）－5（2b －a ）2＝（a －2b ）（11b －2a ）13.若k-12xy+9x 2是一个完全平方式,那么k 应为（ ）A.2 B.4 C.2y 2 D.4y 2三、把下列各式分解因式：
14、nx ny - 15、2
294n
m -16、
()()
m m n n n m -+- 17、322
2a a b ab -+
18、()2
22
416x x +- 19、2
2)(16)(9n m n m --+； 五、解答题
20、如图,在一块边长a =6.67cm 地正方形纸片中,挖去一个边长b =3.33cm 地正方形.求纸片剩余部分地面积.
21、如图,某环保工程需要一种空心混凝土管道,
它地规格是内径45d cm =,外径75D cm =，长3l m =.利用分解因式计算浇制一节这样地管道需要多少立方米地混凝土？(π取3.14,结果保留2位有效数字)22、观察下列等式地规律,并根据这种规律写出第(5)个等式.()()
()()()
()()()(()()()(24284216842(1) 111(2) 1111(3) 1111(4) 1111(5) x x x x x x x x x x x x x x x x x -=+--=++--=+++--=+++经典二：
因式分解小结知识总结归纳
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积地形式,它和整式乘法互为逆运算,在初中代数中占有重要地地位和作用,在其它学科中也有广泛应用,学习本章知识时,应注意以下几点. 1. 因式分解地对象是多项式；
2. 因式分解地结果一定是整式乘积地形式；
3. 分解因式,必须进行到每一个因式都不能再分解为止；
4. 公式中地字母可以表示单项式,也可以表示多项式；
5. 结果如有相同因式,应写成幂地形式；
6. 题目中没有指定数地范围,一般指在有理数范围内分解；
7. 因式分解地一般步骤是：
（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”地步骤.即首先看有无公因式可提,其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法,分组地目地是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；
下面我们一起来回顾本章所学地内容. 1. 通过基本思路达到分解多项式地目地 例1. 分解因式x x x x x 54321
-+-+- 分析：这是一个六项式,很显然要先进行分组,此题可把分别看成一组,此时x x x x x 54321-+-+-和六项式变成二项式,提取公因式后,再进一步分解；也可把,,分别看成一组,此时地六x x 54-x x 32-x -1项式变成三项式,提取公因式后再进行分解. 解一：原式=-+--+()()
x x x x x 54321 =-+--+=--+=--+++x x x x x x x x x x x x x 32232221111111()()
()()
()()()
解二：原式=()()()
x x x x x 54321-+-+-
=-+-+-=-++=-++-=--+++2x x x x x x x x x x x x x x x x x 4244222211111121111()()()
()()()[()]()()()
2. 通过变形达到分解地目地 例1. 分解因式x x 3234+- 解一：将拆成,则有
32x 222x x +
原式=++-=+++-=++-=-+x x x x x x x x x x x x 322222
242222212()
()()()()()()() 解二：将常数拆成,则有
-4--13
原式=-+-=-+++-+=-++=-+x x x x x x x x x x x x 32222
1331113314412()
()()()()()()()() 3. 在证明题中地应用
例：求证：多项式地值一定是非负数
()()x x x 2241021100--++
分析：现阶段我们学习了两个非负数,它们是完全平方数、绝对值.本题要证明这个多项式是非负数,需要变形成完全平方数.
证明：()()x x x 2241021100
--++ =+---+=+---+=---++()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x 2237100
2723100
51456100
22 设,则
y x x =-25 原式无论取何值都有的值一定是非负数
=-++=-+=--≥∴--++()()()()()()y y y y y y y x x x 146100816440
4102110022
222Q 4. 因式分解中地转化思想
例：分解因式：
()()()a b c a b b c ++-+-+2333 分析：本题若直接用公式法分解,过程很复杂,观察a+b,b+c 与a+2b+c 地关系,努力寻找一种代换地方法.
解：设a+b=A,b+c=B,a+2b+c=A+B
∴=+--=+++--=+=+=++++原式()()
()()()
A B A B A A B AB B A B A B AB AB A B a b b c a b c 333
322333
223333332 说明：在分解因式时,灵活运用公式,对原式进行“代换”是很重要地.
中考点拨
在中,三边a,b,c 满足 求证：?ABC a b c ab bc 222166100--++=a c b +=2 1. 若x 为任意整数,求证：地值不大于100.()()()7342---x x x 2. 将a a a a 222222216742++++++()()分解因式，并用分解结果计算。一、填空：（30分）
1、若是完全平方式,则地值等于_____.
16)3(22+-+x m x m 2、则=____=____3、与地公因式是＿22)(n x m x x -=++m n 232y x y x 6124、若=,则m=_______,n=_________.n m y x -))()((4222y x y x y x +-+5、在多项式中,可以用平方差公式分解因式地2353515y y y ?=有________________________ ,其结果是 _____________________.
6、若是完全平方式,则m=_______.
7、16)3(22+-+x m x _____))(2(2(_____)2++=++x x x x
8、已知则,01200520042=+++++x x x x L .________2006=x
9、若是完全平方式M=________.25)(162++-M b a 10、, ()22)3(__6+=++x x x ()2
2)3(9___-=++x x 11、若是完全平方式,则k=_______.14、若则___.229y k x ++6,422=+=+y x y x =xy 12、若地值为0,则地值是________.
442-+x x 51232-+x x 13、若则=_____.15、方程,地解是________.)15)(1(152-+=--x x ax x a 042=+x x 二、选择题：（10分）
1、多项式地公因式是（ ）))(())((x b x a ab b x x a a --+---A 、－a 、 B 、 C 、 D 、))((b x x a a ---)(x a a -)(a x a --
2、若,则m,k 地值分别是（
）
22)32(9-=++x kx mx A 、m=—2,k=6,B 、m=2,k=12,C 、m=—4,k=—12、D m=4,k=12、
3、下列名式：中能用平方差公4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--式分解因式地有（
）
A 、1个,
B 、2个,
C 、3个,
D 、4个4、计算地值是（ ）)10
11)(911()311)(211(2232----L A 、
B 、2120
11.,101.,201D C 三、分解因式：（30分）1 、
2 、
3 、
4 、
234352x x x --2633x x -22)2(4)2(25x y y x ---24369y x -5、 6、 7、
8、
22414y xy x +--x x -52ax a b ax bx bx -++--2 811824+-x x 四、代数式求值（15分）1、已知,,求 地值.3
1
2=
-y x 2=xy 43342y x y x -
2、若x 、y 互为相反数,且,求x 、y 地值4)1()2(22=+-+y x
3、已知,求地值2=+b a )(8)(22222b a b a +--五、计算： （15）
（1） 0.75
（ 2） （3）66.24
3
66.3?-?2000
2001
2121??
? ??+?
?
?
??-2
244222568562?+??+?六、试说明：（8分）
1、对于任意自然数n,都能被动24整除.
22)5()7(--+n n 2、两个连续奇数地积加上其中较大地数,所得地数就是夹在这两个连续奇数之间地偶数与较大奇数地积.七、利用分解因式计算（8分）
1、一种光盘地外D=11.9厘米,内径地d=3.7厘米,求光盘地面积.（结果保留两位有效数字）
2、正方形1地周长比正方形2地周长长96厘米,其面积相差960平方厘米求这两个正方形地边长.八、老师给了一个多项式,甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述：甲：这是一个三次四项式乙：三次项系数为1,常数项为1.丙：这个多项式前三项有公因式丁：这个多项式分解因式时要用到公式法
若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述地多项式,并将它分解因式.（4分）经典四：
因式分解
一、
选择题
1、代数式a 3b 2－
a 2
b 3, a 3b 4
＋a 4b 3,a 4b 2－a 2b 4地公因式是（ ）212
1A 、a 3b 2 B 、a 2b 2 C 、a 2b 3 D 、a 3b 3
2、用提提公因式法分解因式5a(x －y)－10b·(x －y),提出地公因式应当为（ ）
A 、5a －10b
B 、5a ＋10b
C 、5(x －y )
D 、y －x 3、把－8m 3＋12m 2＋4m 分解因式,结果是（ ）A 、－4m(2m 2－3m ) B 、－4m(2m 2＋3m －1) C 、－4m(2m 2－3m －1) D 、－2m(4m 2－6m ＋2)4、把多项式－2x 4－4x 2分解因式,其结果是（ ）
A 、2(－x 4－2x 2)
B 、－2(x 4＋2x 2)
C 、－x 2(2x 2＋4)
D 、 －2x 2(x 2＋2)5、（－2）1998＋（－2）1999等于（ ）
A 、－21998
B 、21998
C 、－21999
D 、219996、把16－x 4分解因式,其结果是（ ）
A 、(2－x)4
B 、(4＋x 2)( 4－x 2)
C 、(4＋x 2)(2＋x)(2－x)
D 、(2＋x)3(2－x)7、把a 4－2a 2b 2＋b 4分解因式,结果是（ ）
A 、a 2(a 2－2b 2)＋b 4
B 、(a 2－b 2)2
C 、(a －b)4
D 、(a ＋b)2(a －b)2
8、把多项式2x 2－2x ＋分解因式,其结果是（ ）
2
1
A 、(2x －
)2 B 、2(x －)2 C 、(x －)2 D 、 (x －1)2 2121212
19、若9a 2＋6(k －3)a ＋1是完全平方式,则 k 地值是（ ）A 、±4 B 、±2 C 、3 D 、4或2
10、－（2x －y ）(2x ＋y )是下列哪个多项式分解因式地结果（ ）A 、4x 2－y 2 B 、4x 2＋y 2 C 、－4x 2－y 2 D 、－4x 2＋y 2 11、多项式x 2＋3x －54分解因式为（ ）A 、(x ＋6)(x －9) B 、(x －6)(x ＋9)C 、(x ＋6)(x ＋9) D 、 (x －6)(x －9)二、填空题
1、2x 2－4xy －2x = _______(x －2y －1)
2、4a 3b 2－10a 2b 3 = 2a 2b 2(________)
3、(1－a)mn ＋a －1=(________)(mn －1)
4、m(m －n)2－(n －m)2 =(__________)(__________)
5、x 2－(_______)＋16y 2=( )2
6、x 2－(_______)2=(x ＋5y)( x －5y)
7、a 2－4(a －b)2=(__________)·(__________)
8、a(x ＋y －z)＋b (x ＋y －z)－c (x ＋y －z)= (x ＋y －z)·(________)9、16(x －y )2－9(x ＋y )2=(_________)·(___________)
10、(a ＋b )3－(a ＋b)=(a ＋b)·(___________)·(__________)11、x 2＋3x ＋2=(___________)(__________)
12、已知x 2＋px ＋12=(x －2)(x －6),则p=_______.三、解答题
1、把下列各式因式分解.
(1)x 2－2x 3 (2)3y 3－6y 2＋3y (3)a 2(x －2a)2－a(x －2a)2 (4)(x －2)2－x ＋2
(5)25m 2－10mn ＋n 2 (6)12a 2b(x －y)－4ab(y －x)(7)(x －1)2(3x －2)＋(2－3x) (8)a 2＋5a ＋6(9)x 2－11x ＋24 (10)y 2－12y －28(11)x 2＋4x －5 (12)y 4－3y 3－28y 22、用简便方法计算.
（1）9992＋999 （2）2022－542＋256×352
(3) 1998
199619971997
2
?-3、已知：x ＋y=,xy=1.求x 3y ＋2x 2y 2＋xy 3地值.
2
1
四、探究创新乐园
1、若a －b=2,a －c=,求(b －c)2＋3(b －c)＋地值.
214
9
2、求证：1111－1110－119=119×109
经典五：
因式分解练习题
一、填空题：
2．(a －3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)；
12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b),则a=______,b=______；
15．当m=______时,x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．
二、选择题：
1．下列各式地因式分解结果中,正确地是
[ ] A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a)
B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x＋1)
C．8xyz－6x2y2＝2xyz(4－3xy)
D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a＋2b－3c)
2．多项式m(n－2)－m2(2－n)分解因式等于
[ ] A．(n－2)(m＋m2) B．(n－2)(m－m2)
C．m(n－2)(m＋1) D．m(n－2)(m－1)
3．在下列等式中,属于因式分解地是
[ ]
A．a(x－y)＋b(m＋n)＝ax＋bm－ay＋bn
B．a2－2ab＋b2＋1=(a－b)2＋1
C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b)
D．x2－7x－8=x(x－7)－8
4．下列各式中,能用平方差公式分解因式地是
[ ] A．a2＋b2 B．－a2＋b2
C．－a2－b2 D．－(－a2)＋b2
5．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式,那么m地值是
[ ] A．－12 B．±24
C．12 D．±12
6．把多项式an+4－an+1分解得
[ ] A．an(a4－a) B．an-1(a3－1)
C．an+1(a－1)(a2－a＋1) D．an+1(a－1)(a2＋a＋1)
7．若a2＋a＝－1,则a4＋2a3－3a2－4a＋3地值为
[ ] A．8 B．7
C．10 D．12
8．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0,那么x,y地值分别为
[ ] A．x=1,y=3 B．x=1,y=－3
C．x=－1,y=3 D．x=1,y=－3
9．把(m2＋3m)4－8(m2＋3m)2＋16分解因式得
[ ] A．(m＋1)4(m＋2)2 B．(m－1)2(m－2)2(m2＋3m－2)
C．(m＋4)2(m－1)2 D．(m＋1)2(m＋2)2(m2＋3m－2)2
10．把x2－7x－60分解因式,得
[ ] A．(x－10)(x＋6) B．(x＋5)(x－12)
C．(x＋3)(x－20) D．(x－5)(x＋12)
11．把3x2－2xy－8y2分解因式,得
[ ] A．(3x＋4)(x－2) B．(3x－4)(x＋2)
C．(3x＋4y)(x－2y) D．(3x－4y)(x＋2y)
12．把a2＋8ab－33b2分解因式,得
[ ] A．(a＋11)(a－3) B．(a－11b)(a－3b)
C．(a＋11b)(a－3b) D．(a－11b)(a＋3b)
13．把x4－3x2＋2分解因式,得
[ ] A．(x2－2)(x2－1) B．(x2－2)(x＋1)(x－1)
C．(x2＋2)(x2＋1) D．(x2＋2)(x＋1)(x－1)
14．多项式x2－ax－bx＋ab可分解因式为
[ ] A．－(x＋a)(x＋b) B．(x－a)(x＋b)
C．(x－a)(x－b) D．(x＋a)(x＋b)
15．一个关于x地二次三项式,其x2项地系数是1,常数项是－12,且能分解因式,这样地二次三项式是
[ ] A．x2－11x－12或x2＋11x－12
B．x2－x－12或x2＋x－12
C．x2－4x－12或x2＋4x－12
D．以上都可以
16．下列各式x3－x2－x＋1,x2＋y－xy－x,x2－2x－y2＋1,(x2＋3x)2－(2x＋1)2中,不含有(x－1)因式地有
[ ] A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
17．把9－x2＋12xy－36y2分解因式为
[ ] A．(x－6y＋3)(x－6x－3)
B．－(x－6y＋3)(x－6y－3)
C．－(x－6y＋3)(x＋6y－3)
D．－(x－6y＋3)(x－6y＋3)
18．下列因式分解错误地是
[ ] A．a2－bc＋ac－ab=(a－b)(a＋c)
B．ab－5a＋3b－15=(b－5)(a＋3)
C．x2＋3xy－2x－6y=(x＋3y)(x－2)
D．x2－6xy－1＋9y2=(x＋3y＋1)(x＋3y－1)
19．已知a2x2±2x＋b2是完全平方式,且a,b都不为零,则a与b地关系为
[ ] A．互为倒数或互为负倒数 B．互为相反数
C．相等地数 D．任意有理数
20．对x4＋4进行因式分解,所得地正确结论是
[ ] A．不能分解因式 B．有因式x2＋2x＋2
C．(xy＋2)(xy－8) D．(xy－2)(xy－8)
21．把a4＋2a2b2＋b4－a2b2分解因式为
[ ] A．(a2＋b2＋ab)2 B．(a2＋b2＋ab)(a2＋b2－ab)
C．(a2－b2＋ab)(a2－b2－ab) D．(a2＋b2－ab)2
22．－(3x－1)(x＋2y)是下列哪个多项式地分解结果
[ ] A．3x2＋6xy－x－2y B．3x2－6xy＋x－2y
C．x＋2y＋3x2＋6xy D．x＋2y－3x2－6xy
23．64a8－b2因式分解为
[ ] A．(64a4－b)(a4＋b) B．(16a2－b)(4a2＋b)
C．(8a4－b)(8a4＋b) D．(8a2－b)(8a4＋b)
24．9(x－y)2＋12(x2－y2)＋4(x＋y)2因式分解为
[ ] A．(5x－y)2 B．(5x＋y)2
C．(3x－2y)(3x＋2y) D．(5x－2y)2
25．(2y－3x)2－2(3x－2y)＋1因式分解为
[ ] A．(3x－2y－1)2 B．(3x＋2y＋1)2
C．(3x－2y＋1)2 D．(2y－3x－1)2
26．把(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2分解因式为
[ ] A．(3a－b)2 B．(3b＋a)2
C．(3b－a)2 D．(3a＋b)2
27．把a2(b＋c)2－2ab(a－c)(b＋c)＋b2(a－c)2分解因式为
[ ] A．c(a＋b)2 B．c(a－b)2
C．c2(a＋b)2 D．c2(a－b)
28．若4xy－4x2－y2－k有一个因式为(1－2x＋y),则k地值为
[ ]
A．0 B．1
C．－1 D．4
29．分解因式3a2x－4b2y－3b2x＋4a2y,正确地是
[ ] A．－(a2＋b2)(3x＋4y) B．(a－b)(a＋b)(3x＋4y)
C．(a2＋b2)(3x－4y) D．(a－b)(a＋b)(3x－4y)
30．分解因式2a2＋4ab＋2b2－8c2,正确地是
[ ] A．2(a＋b－2c) B．2(a＋b＋c)(a＋b－c)
C．(2a＋b＋4c)(2a＋b－4c) D．2(a＋b＋2c)(a＋b－2c)
三、因式分解：
1．m2(p－q)－p＋q；
2．a(ab＋bc＋ac)－abc；
3．x4－2y4－2x3y＋xy3；
4．abc(a2＋b2＋c2)－a3bc＋2ab2c2；
5．a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)；
6．(x2－2x)2＋2x(x－2)＋1；
7．(x－y)2＋12(y－x)z＋36z2；
8．x2－4ax＋8ab－4b2；
9．(ax＋by)2＋(ay－bx)2＋2(ax＋by)(ay－bx)；
10．(1－a2)(1－b2)－(a2－1)2(b2－1)2；
11．(x＋1)2－9(x－1)2；
12．4a2b2－(a2＋b2－c2)2；
13．ab2－ac2＋4ac－4a；
14．x3n＋y3n；
15．(x＋y)3＋125；
16．(3m－2n)3＋(3m＋2n)3；
17．x6(x2－y2)＋y6(y2－x2)；
18．8(x＋y)3＋1；
19．(a＋b＋c)3－a3－b3－c3；
20．x2＋4xy＋3y2；
21．x2＋18x－144；
22．x4＋2x2－8；
23．－m4＋18m2－17；
24．x5－2x3－8x；
25．x8＋19x5－216x2；
26．(x2－7x)2＋10(x2－7x)－24；
27．5＋7(a＋1)－6(a＋1)2；
28．(x2＋x)(x2＋x－1)－2；
29．x2＋y2－x2y2－4xy－1；
30．(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)－48；
31．x2－y2－x－y；
32．ax2－bx2－bx＋ax－3a＋3b；
33．m4＋m2＋1；
34．a2－b2＋2ac＋c2；
35．a3－ab2＋a－b；
36．625b4－(a－b)4；
37．x6－y6＋3x2y4－3x4y2；
38．x2＋4xy＋4y2－2x－4y－35；
39．m2－a2＋4ab－4b2；
40．5m－5n－m2＋2mn－n2．
四、证明(求值)：
1．已知a＋b=0,求a3－2b3＋a2b－2ab2地值．
2．求证：四个连续自然数地积再加上1,一定是一个完全平方数．
3．证明：(ac－bd)2＋(bc＋ad)2=(a2＋b2)(c2＋d2)．
4．已知a=k＋3,b=2k＋2,c=3k－1,求a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ac地值．
5．若x2＋mx＋n=(x－3)(x＋4),求(m＋n)2地值．
6．当a为何值时,多项式x2＋7xy＋ay2－5x＋43y－24可以分解为两个一次因式地乘积．7．若x,y为任意有理数,比较6xy与x2＋9y2地大小．
8．两个连续偶数地平方差是4地倍数．
初中数学因式分解的常用方法(精华例题详解)
初中阶段因式分解的常用方法（例题详解） 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。 1.因式分解的对象是多项式； 2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式； 3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5.结果如有相同因式，应写成幂的形式； 6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 7.因式分解的一般步骤是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解； （2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法. 因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下： 一、提公因式法. 如多项式am+bm+cm=m(a+b+c), 其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． 二、运用公式法. 运用公式法，即用 a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2, a3±b3=(a±b)(a2ab+b2) 写出结果． 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：am+an+bm+bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑 两组之间的联系。 解：原式=(am+an)+(bm+bn) =a(m+n)+b(m+n)每组之间还有公因式！ =(m+n)(a+b) 思考：此题还可以怎样分组？ 此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。 例2、分解因式：2ax-10ay+5by-bx 解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。第二、三项为一组。 解：原式=(2ax-10ay)+(5by-bx)原式=(2ax-bx)+(-10ay+5by) =2a(x-5y)-b(x-5y)=x(2a-b)-5y(2a-b) =(x-5y)(2a-b)=(2a-b)(x-5y) 练习：分解因式1、a2-ab+ac-bc2、xy-x-y+1
A因式分解的常用方法(目前最牛最全的教案)
A因式分解的常用方法(目前最牛最全的教案)
因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2——— a2±2ab+b2=(a±b)2； (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且2 22a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：2 22222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式=)()(bn bm an am +++ =)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。 第二、 三项为一组。 解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy
因式分解16种方法
因式分解的16种方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又 有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。 注意三原则 1分解要彻底2最后结果只有小括号 3最后结果中多项式首项系数为正(例如：—3x2? x=-x3x —1) 分解因式技巧 1?分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2. 分解因式技巧掌握： ①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。基本方法 ⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“ ”号时，多项式的各项都要变号。 提公因式法基本步骤： (1)找出公因式； (2)提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的 一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 1 1 注意：把2a2+ —变成2(a2+-)不叫提公因式 2 4 ⑵公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式：a2「b2 =(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2± 2ab+ b2= a-b2 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的
《因式分解-提公因式法》知识点归纳
《因式分解-提公因式法》知识点归纳★★ 知识体系梳理 ◆ 因式分解------把一个多项式变成几个整式的积的形式；（化和为积） 注意： 、因式分解对象是多项式； 2、因式分解必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止； 3、可运用因式分解与整式乘法的互逆关系检验因式分解的正确性； ◆ 分解因式的作用 分解因式是一种重要的代数恒等变形，它有着广泛的应用，常见的用途有化简多项式和进行简便运算，恰当的运用分解因式，常可以使计算化繁为简。 ◆ 分解因式的一些原则 （1）提公因式优先的原则．即一个多项式的各项若有公因式，分解时应首先提取公因式。 （2）分解彻底的原则．即分解因式必须进行到每一个
多项式因式都再不能分解为止。 （3）首项为负的添括号原则．即如果多项式的首项系数为负，应先添上带“－”号的括号，并遵循添括号法则。 ◆ 因式分解的首要方法—提公因式法 、公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。 2、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，可以逆用乘法分配律，把各项共有的 因式提出以分解因式的方法，叫做提公因式法。 3、使用提取公因式法应注意几点： （1）提取的“公因式”可以是数、单项式，也可以是一个多项式，是一个整体。 （2）公因式必须是多项式的每一项都有的因式，在提取公因式时，要把这些公共的因式全部找出来，并提到括号外面去，才算完成了提取公因式。（找最高公因式）（3）对多项式中的每一项的数字系数，在提取时要提出这些数字系数的最大公约数，各项都含有相同的字母，要提取相同字母的指数的最低指数。 ◆ 提公因式法分解因式的关键： 、确定最高公因式；（各项系数的最大公约数与相同因
因式分解常用的六种方法详解
因式分解常用的六种方法详解 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7． 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)
因式分解最牛最全的方法
因式分解 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因 式分解中常用的公式，例如： (1) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 a 2-b 2=(a+b)(a-b)； (2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 a 2±2ab+b 2=(a ±b)2； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3 a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)． 下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用 公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有 b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考 虑两组之间的联系。 解：原式=)()(bn bm an am +++ =)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-2 2 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因 式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式=)()(22ay ax y x ++- =)())((y x a y x y x ++-+
初一数学因式分解的常用方法(最新整理)
因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多 数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)； (2) (a±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a±b)2； (3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； (4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)； 例.已知是的三边，且， 则的形状是（ ）a b c ，，ABC ?2 2 2 a b c ab bc ca ++=++ABC ?A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?==三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式=) ()(bn bm an am +++ = 每组之间还有公因式！ )()(n m b n m a +++ = ))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式= 原式=)5()102(bx by ay ax -+-) 510()2(by ay bx ax +-+- = =)5()5(2y x b y x a ---)2(5)2(b a y b a x --- = =)2)(5(b a y x --) 5)(2(y x b a --练习：分解因式1、 2、bc ac ab a -+-2 1 +--y x xy
因式分解的方法与技巧
因式分解应具有四种意识 一、优先意识 按因式分解的一般步骤和思考程序，要树立优先提多项式公因式的意识 例1．分解因式：21222 x y xy y -+ 解： 二、换元意识 通过换元，可以达到化繁为简、化难为易的目的 例2．分解因式：2 5()7()6x y x y ---- 解： 三、完整意识 依分解因式的步骤，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止 例3．分解因式：22222()4+-a b a b 解： 四、应用意识 例4．生产一批高为200 mm 的圆柱形容器，底面半径的合格尺寸为（501±）mm ，任取两个这样的产品，它们的容积最多相差多少（π取3.14）？ 解： 因式分解中的数学思想 众所周知，数学思想是我们数学解题的灵魂，因式分解也不例外，在因式分解过程中也蕴含着许多的数学思想，如果能灵活的加以运用，往往能更好地解决因式分解问题，下面就因式分解中的常见的思想方法举例说明： 一、整体思想 所谓用整体思想来分解因式，就是将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分解. 例1 把多项式(x 2－1)2+6(1－x 2)+9分解因式. 分析 把(x 2－1)看成一个整体利用完全平方公式进行分解，最后再利用平方差公式达到 分解彻底的目的 解 二、类比思想 类比思想地因式分解中的运用很广泛，具体地表现在：一是因式分解与整式乘法的对比；二是因式分解与乘法的分配律的对比；三是因式分解与乘法公式的对比. 例2 分解因式：（1）x 3y －xy 3；（2）abx 2－2abxy +aby 2. 分析（1）对比平方差公式可先提取xy 后，（2）对比完全平方公式可先提取ab ，.
初中常用因式分解公式
初中常用因式分解公式 2013.6.6 一．因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。 二．因式分解方法： 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有相同因式，那么就可以把这个相 同因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x2-2x 解：x2-2x =x(x -2) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a2 +4ab+4b 解：a2 +4ab+4b =（a+2b）（a+2b）完全平方公式 最常用的公式： （1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2——— a2±2ab+b2=(a±b)2； (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 注意该方法的核心是分组后能提取公因式！ 4、十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x2 -19x-6 分析： 1 -3 7 2 交差相乘再相加2-21=-19 解：7x2 -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配凑法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个我们已经会的分式分解方法，然后就能将其因式分解。
因式分解的通用方法(目前最牛完整的课程教案)(3)
因式分解的常方法 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 用方法 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=(a±b)2； (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且2 2 2 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式=)()(bn bm an am +++ =)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-2 2 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后
《因式分解》全章复习与巩固(知识讲解及例题演练)
《因式分解》全章复习与巩固 【学习目标】 1. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算； 2．掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法； 3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 要点二、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式是，即，而正好是 除以m 所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 要点三、公式法 1.平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 2.完全平方公式 两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即()2222a ab b a b ++=+，()2 222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式. 要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边 是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减） 这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以 是单项式或多项式. 要点四、十字相乘法和分组分解法 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b =?? +=? ，则()()2x bx c x p x q ++=++ 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 要点五、因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.
因式分解公式大全
公式及方法大全 待定系数法(因式分解) 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用． 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法． 常用的因式分解公式：
例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)， 若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是 x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决． 解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，
比较两边对应项的系数，则有 解之得m=3，n=1．所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1)． 说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7． 分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为 (x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式． 解设 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd， 所以有 由bd=7，先考虑b=1，d=7有 所以 原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．
因式分解的方法与技巧
因式分解的方法与技巧Prepared on 21 November 2021
因式分解应具有四种意识 一、优先意识 按因式分解的一般步骤和思考程序，要树立优先提多项式公因式的意识 例1．分解因式：21222 x y xy y -+ 解： 二、换元意识 通过换元，可以达到化繁为简、化难为易的目的 例2．分解因式：25()7()6x y x y ---- 解： 三、完整意识 依分解因式的步骤，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止 例3．分解因式：22222()4+-a b a b 解： 四、应用意识 例4．生产一批高为200mm 的圆柱形容器，底面半径的合格尺寸为（501±）mm ，任取两个这样的产品，它们的容积最多相差多少（π取3.14） 解： 因式分解中的数学思想 众所周知，数学思想是我们数学解题的灵魂，因式分解也不例外，在因式分解过程中也蕴含着许多的数学思想，如果能灵活的加以运用，往往能更好地解决因式分解问题，下面就因式分解中的常见的思想方法举例说明： 一、整体思想 所谓用整体思想来分解因式，就是将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分解. 例1 把多项式(x 2－1)2+6(1－x 2)+9分解因式. 分析 把(x 2－1)看成一个整体利用完全平方公式进行分解，最后再利用平方差公式达到分解彻底的目的 解 二、类比思想 类比思想地因式分解中的运用很广泛，具体地表现在：一是因式分解与整式乘法的对比；二是因式分解与乘法的分配律的对比；三是因式分解与乘法公式的对比. 例2 分解因式：（1）x 3y －xy 3；（2）abx 2－2abxy +aby 2.
因式分解最全方法归纳
因式分解最全方法归纳 一、因式分解的概念与原则 1、定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种恒等变换叫做因式分解，也叫作分解因式。 2、原则： （1）分解必须要彻底（即分解之后的因式均不能再做分解）； （2）结果最后只留下小括号； （3）结果的多项式是首项为正，为负时提出负号； （4）结果个因式的多项式为最简整式，还可以化简的要化简； （5）如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前； （6）相同因式的乘积写成幂的形式； （7）如无特殊要求，一般在有理数范围内分解。如另有要求，在要求的范围内分解。 3、因式分解的一般步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
（2）如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； （3）如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项法来分解； （4）检查各因式是否进行到每一个因式的多项式都不能再分解。 也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要相对合适。” 二、因式分解的方法 1、提取公因式 公因式：一个多项式的多项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式。公因式可以是单项式，也可以是多项式。 确定公因式的方法：公因数的常数应取各项系数的最大公约数，多项式第一项为负的，要提出负号；字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的。 提取公因式：公因式作为一个因式，原式除以公因式的商作为另一个因式。 注意事项： （1）先确定公因式，一次把公因式全部提净；
（2）提完公因式后，商的项数与原式相同，与公因式相同的项，其商为1 不可丢掉； （3）提取的公因式带负号时，多项式的各项要变号。 例1、分解因式：6a 2 b–9abc+3ab 解：原式=3ab (2a-3c+1 ) 例2、分解因式：–12x 3 y 2 +4x 2 y 3 解：原式=–4x 2 y 2 ( 3x–y) 总结（口诀）：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1 把家守；提负要变号，变形看奇偶。 2、公式法 分解因式与整式乘法是互逆的恒等变换，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解成因式。 平方差a2 –b 2 = (a+b ) (a– b ) 完全平方(a±b )2 =a 2 +b 2 ±2ab (a+b+c ) 2 =a 2 +b 2 +2ab+2bc+2ca 立方差a3 –b 3 = (a– b ) (a 2 +b 2 +ab ) 立方和a3 +b 3 = (a+b ) (a 2 +b 2 – ab )
因式分解的9种方法
因式分解的多种方法——--知识延伸，向竞赛过度 1. 提取公因式：这种方法比较常规、简单，必须掌握.常用的公式:完全平方公式、平方差公式 例一：0322 =-x x 解：x(2x-3）=0， x1=0，x2=3/2这是一类利用因式分解的方程. 总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x —a ）因式,这对我们后面的学习有帮助。 2. 公式法 常用的公式:完全平方公式、平方差公式。注意:使用公式法前,部分题目先提取公因式。 例二：42-x 分解因式 分析:此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =（a+b)(a —b) 2解:原式=（x+2）(x —2） 3. 十字相乘法 是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。注意:它不难。 这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a1，a2的积a1?a2，把常数项c 分解成两个因数c1,c2的积c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果 例三： 把3722+-x x 分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 分解二次项系数（只取正因数）： 2＝1×2＝2×1; 分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1）=（-1）×（—3）. 用画十字交叉线方法表示下列四种情况: 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数－7. 解 原式=（x —3)(2x —1). 总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0）,如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c 可以分解成两个因数之积,即c=c1c2，把a1，a2,c1,c2,排列如下： a1 c1 ╳ a2 c2 a1c2+a2c1 按斜线交叉相乘,再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c 的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
因式分解-人大附中内部资料
牛牛秘籍3 因式分解（上）
目录 5.1基本概念 (2) 5.2提公因式法 (2) 5.3公式法 (4) 5.4选主元 (5) 5.5分组分解法....................................................................................................................... 错误！未定义书签。 5.6拆添项法........................................................................................................................... 错误！未定义书签。 5.7十字相乘法....................................................................................................................... 错误！未定义书签。 5.8重组重解........................................................................................................................... 错误！未定义书签。 5.9双十字相乘法................................................................................................................... 错误！未定义书签。 5.10换元法............................................................................................................................. 错误！未定义书签。 5.11因式定理......................................................................................................................... 错误！未定义书签。 5.12待定系数法..................................................................................................................... 错误！未定义书签。 5.13对称式与轮换式 ............................................................................................................ 错误！未定义书签。
因式分解方法与技巧
因式分解方法与技巧 因式分解是初二学生学习的一个难点，有些学生在学习时感到不知所措，究其原因是没有掌握因式分解的基本方法。故本人对因式分解的常用方法作了一个小结，希望能对同学们有所帮助。 专题一 分解因式的常用方法：一提二用三查 ，即先考虑各项有无公因式可提；再考虑能否运用公式来分解；最后检查每个因式是否还可以继续分解，以及分解的结果是否正确。 常见错误： 1、漏项，特别是漏掉 2、变错符号，特别是公因式有负号时，括号内的符号没变化 3、分解不彻底 首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底” ［例题］把下列各式因式分解： 1.x(y-x)+y(y-x)-(x-y) 2 2.a a -5 3.3(x 2-4x)2-48 [解析]1中()()22x y y x -=-,可以直接提取公因式(y-x);2、3中先提取公因式，再用平方差公式分解 [答案]1 原式=x(y-x)+y(y-x)-(y-x)2 =(y-x)[x+y-(y-x)] =2y(y-x) 2 a 5-a=a(a 4-1)=a(a 2+1)(a 2-1)=a(a 2+1)(a+1)(a-1) 3原式=3[(x 2-4x)-16]=3(x 2-4x+4)(x 2-4x-4) [点拨]看出其中所含的公式是关键 专题二 二项式的因式分解:二项式若能分解，就一定要用到两种方法：1提公因式法 2平方差公式法。先观察二项式的两项是否有公因式，然后再构造平方差公式，运用平方差公式a 2-b 2=(a+b)(a-b)时，关键是正确确定公式中a,b 所代表的整式，将一个数或者一个整式化成整式，然后通过符号的转换找到负号，构成平方差公式，记住要分解彻底。 平方差公式运用时注意点： 根据平方差公式的特点：当一个多项式满足下列条件时便可用平方差公式分解因式： A 、 多项式为二项式或可以转化成二项式； B 、 两项的符号相反； C 、 每一项的绝对值均可以化为某个数的平方，及多项式可以转化成平方差的形式； D 、 首项系数是负数的二项式，先交换两项的位置，再用平方差公式； E 、 对于分解后的每个因式若还能分解应该继续分解；如有公因式的药先提取公因式 [例题]分解因式：3(x+y)2-27 [答案]3（x+y ）2-27=3[(x+y)2-9]=3[(x+y)2-32 ]=3()()33-+++y x y x [点拨]先提取公因式，在利用平方差公式分解因式，一次不能分解彻底的，应继续分解 专题三
因式分解常用方法总结
因式分解常用方法总结 【知识回顾】 分式方程的解法及注意（增根问题） 例1、已知关于x 的分式方程a x a =++1 12无解，试求a 的值（提示：先把x 求出来，即用a 来表示x ） 【新知识讲解】 一、分解因式与整式乘法的关系. 因式分解的特点：它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系. 例： 由（a +b ）（a －b ）=a 2－b 2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式； 由a 2－b 2=（a +b ）（a －b ）来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这 两个过 程正好相反. 二、分解因式常用的方法. 1、找公因式的一般步骤. （1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数； （2）取相同的字母，字母的指数取较低的； （3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的. （4）所有这些因式的乘积即为公因式. 例2：993－99能被100整除吗？还能被那些数整除? 2、公式法： (1）平方差：a 2—b 2=（a +b ）（a —b ） 例3：1）25－16x 2; 2）9a 2－4 1b 2. 3）9（m +n ）2－（m －n ）2 4）2x 3 －8x . （2）完全平方和：（a +b ）2=a 2+2ab +b 2 （3）完全平方差：（a —b ）2=a 2—2ab +b 2
三、十字相乘法分解因式：利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。 例4、在多项式232++x x 分解时，也可以借助画十字交叉线来分解。2x 分解为x x ?，常数项2分解12?，把它们用交叉线来表示： 所以)2)(1(232++=++x x x x 同样：q px x ++2=))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++可以用交叉线来表示： 其中ab q =，b a p += 例5：用十字相乘法分解因式： （1）1272+-x x （2）1242--x x （3）1282++x x （4）12112--x x 四、用分组分解法分解因式 （1）定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又不能直接利 用分式法分解， 但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如： 22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 （2）原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。 （3）有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。 例6 把下列各式分解因式 （1）bc ac ab a -+-2 （2）bx by ay ax -+-5102 （3）n mn m m 552+-- （4）bx ay by ax 3443+++ x x +2 +1 x x +a +b