第八章多元函数微分学
第八章 多元函数微分学
【考试要求】
1．了解多元函数的概念、二元函数的几何意义及二元函数的极值与连续概念（对计算不作要求）．会求二元函数的定义域．
2．理解偏导数、全微分的概念，知道全微分存在的必要条件与充分条件． 3．掌握二元函数的一、二阶偏导数的计算方法． 4．掌握复合函数一阶偏导数的求法． 5．会求二元函数的全微分． 6．掌握由方程(,,)
0F x y z =所确定的隐函数(,)z z x y =的一阶偏导数的计算方法．
7．会求二元函数的无条件极值．
【考试内容】
一、多元函数的概念
1．多元函数的定义
设D 是n 维空间的点集，如果对于每个点12(,,,)n P x x x D ∈L
，变量u 按照一定
法则总有确定的值与之对应，则称u 是变量1x 、2x 、L 、n x 的n 元函数（或点P 的函数），记为12(,,,)n u
f x x x =L 或 ()u f P =．
当2n =时，即为二元函数的定义，一般记为(,)z f x y =．
2．二元函数的几何意义
设
D
是二元函数
(,)
z f x y =的定义域，则空间点集
{(,,)(,),(,)}x y z z f x y x y D =∈称为二元函数(,)z f x y =的图形，一般情况
下，它在空间表示一张曲面．
二、二元函数的偏导数
1．一阶偏导数
设二元函数(,)z f x y =在点(,)x y 的某邻域内有定义，当自变量y 保持定值不变
时，若极限
0(,)(,)
lim
x f x x y f x y x
?→+?-? 存在，则称此极限值为函数(,)z
f x y =在点(,)x y 处对x 的偏导数，记作
(,)x f x y ，z
x
?? 或 x z （(,)x f x y ' 或 x z ' 也可）
． 类似可定义函数(,)z
f x y =在点(,)x y 处对y 的偏导数
(,)(,)
lim
y f x y y f x y y
?→+?-? ，
记作
(,)y f x y ，
z
y
?? 或 y z （(,)y f x y ' 或 y z ' 也可）． 当00(,)(,)x y x y =时，称00(,)x f x y 为二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处
对x 的偏导数值；类似地称00(,)y f x y 为二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对y 的
偏导数值． 2．二阶偏导数
设函数(,)z f x y =在区域D 内具有偏导数(,)x z f x y x
?=?，(,)y z f x y y ?=?，
那么在D 内
(,)x f x y 、(,)y f x y 都是x 、y 的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，
则称它们是函数(,)z f x y =的二阶偏导数，按照对变量求解次序的不同有下列四个二阶
偏导数：
22(,)xx z z f x y x x x ?????== ??????，2(,)xy z z
f x y y x x y
?????=
= ???????， 2(,)yx z z f x y x y y x ?????== ???????，22(,)yy z z
f x y y y y ?????== ??????． 其中第二、三个偏导数称为混合偏导数．如果函数(,)z f x y =的两个混合偏导数
2z
x y
???
及2z y x
???在区域D 内连续，那么在该区域内两个混合偏导数一定相等．此时，求函数(,)z f x y =的二阶混合偏导数时就与次序无关了．
三、二元函数的全微分
1．全微分的定义
设二元函数(,)z f x y =在点(,)x y 的某邻域内有定义，如果函数在点(,)x y 的全
增量(,)(,)z
f x x y y f x y ?=+?+?-可表示为
()z A x B y o ρ?=?+?+，
其中A 、B 不依赖于x ?、y ?，而仅与x 、y
有关，ρ=，则称函
数
(,)z f x y =在点(,)x y 处可微分，而A x B y ?+?称为函数(,)z f x y =在点
(,)x y 处的全微分，记作dz ，即dz A x B y =?+?．
如果函数(,)z
f x y =在区域D 内各点处都可微分，那么称函数在D 内可微分．
当
(,)z f x y =在点(,)x y 处可微时，有z A x
?=
?，
z B y
?=
?，故全微分
z z
dz dx dy x y
??=+??．
2．可微分的条件
（1）必要条件：如果函数(,)z
f x y =在点(,)x y 可微分，则该函数在点(,)x y 的偏导
数
z x
??、
z y
??必定存在，且函数
(,)
z f x y =在点
(,)
x y 的全微分为
z z
dz dx dy x y
??=
+??． （2）充分条件：如果函数(,)z
f x y =的偏导数
z x ??、z
y
??在点(,)x y 连续，则函数(,)z f x y =在该点处可微分．
二元函数(,)z f x y =连续、偏导数存在与可微之间的关系为：
偏导数连续?函数可微?函数连续 或 偏导数连续?函数可微?偏导数存在． 说明：二元函数(,)z
f x y =连续、偏导数存在与可微之间的关系非常重要，必须记住．
四、二元函数复合函数的求导法则
1．一元函数与多元函数复合的情形
如果函数()u
t ?=及()v t φ=都在点t 可导，函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具
有连续偏导数，则复合函数[(),()]z
f t t ?φ=在点t 可导，且有
dz z du z dv
dt u dt v dt
??=+
?? ． 式中导数
dz
dt
称为全导数． 2．多元函数与多元函数复合的情形
如果函数(,)u x y ?=及(,)v x y φ=都在点(,)x y 具有对x 及对y 的偏导数，函
数(,)z
f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数，则复合函数[(,),(,)]
z f x y x y ?φ=在点(,)x y 的两个偏导数都存在，且有
z z u z v
x u x v x
?????=+
????? ， z z u z v y u y v y ?????=+????? ． 五、二元函数隐函数的求导法则
1．二元方程确定一元函数的情形
设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数，且00(,)0F x y =，00(,)0y F x y ≠，则方程(,)0F x y =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y
f x =，它满足条件00()y f x =，并有
x y
F dy
dx F =- ．
2．三元方程确定二元函数的情形
设函数
(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续偏导数，且
000(,,)0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点000(,,)
x y z 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)z
f x y =，它满足条件
000(,)z f x y =，并有
x z
F z x F ?=-? ，
y z
F z
y F ?=-? ． 六、二元函数的极值
1．二元函数极值的相关概念
设函数(,)z f x y =的定义域为D ，000(,)P x y 为D 的内点．若存在0
P 的某个邻域0()U P D ?
，使得对于该邻域内异于0P 的任何点(,)x y ，都有
00(,)(,)f x y f x y < ，
则称函数
(,)f x y 在点00(,)x y 有极大值00(,)f x y ，点00(,)x y 称为函数(,)f x y 的
极大值点；若对于该邻域内异于0P 的任何点
(,)x y ，都有 00(,)(,)f x y f x y > ，
则称函数
(,)f x y 在点00(,)x y 有极小值00(,)f x y ，点00(,)x y 称为函数(,)f x y 的
极小值点．极大值、极小值统称为极值，使得函数取得极值的点称为极值点． 2．二元函数取得极值的必要条件
设函数(,)z
f x y =在点00(,)x y 具有偏导数，且在点00(,)x y 处具有极值，则有
00(,)0x f x y = ， 00(,)0y f x y = ．
说明：使
(,)0x f x y =，(,)0y f x y =同时成立的点00(,)x y 称为函数(,)
z f x y =
的驻点．由上述必要条件可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点． 3．二元函数取得极值的充分条件
设函数(,)z
f x y =在点00(,)x y 的某邻域内连续且具有一阶及二阶连续偏导数，又
00(,)0x f x y =，00(,)0y f x y =，令00(,)xx f x y A =，00(,)xy f x y B
=，
00(,)yy f x y C =，则(,)f x y 在点00(,)x y 处是否取得极值的条件如下：
（1）20AC B ->时具有极值，且当0A <时有极大值，当0A >时有极小值； （2）20AC B -<时没有极值；
（3）20AC
B -=时可能有极值，也可能没有极值（即无法确定）．
利用此条件，具有二阶连续偏导数的函数(,)z f x y =的极值求解步骤如下：
（1）解方程组
(,)0x f x y =，(,)0y f x y =，求得一切实数解，即求得所有的驻点；
（2）对于每一个驻点00(,)x y ，求出二阶偏导数的值A 、B 和C ； （3）定出
2AC B -的符号，按照上述结论判定00(,)f x y 是不是极值．
说明：讨论函数的极值时，如果函数在所讨论的区域内具有偏导数，则由函数取得极值的必 要条件可知，极值只可能在驻点处取得．然而，如果函数在个别点处的偏导数不存在，这些
点当然不是驻点，但也可能是极值点．例如函数z
=00(,)x y 处的偏导
数不存在，但该函数在点00(,)x y 处却有极大值．因此，在考虑函数的极值问题时，除了 考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑．
【典型例题】
【例8-1】求下列函数在指定点处的偏导数． 1．(1)
y
z
x =+，求
12
x y z x
==?? ，
12
x y z y
==?? ．
解：因
1(1)y z y x x -?=+?，故 211
2
2(11)4x y z x
-==?=+=?．
因
(1)ln(1)y
z x x y ?=++?，故 21
2
(11)ln(11)4ln 2x y z y
==?=++=?．
2．22ln()z x x y =+，求
1
1
x y z x
==?? ， 11
x y z
y
==?? ．
解：因
22222
22
2
2
22ln()ln()z x x x y x x y x x y x y ?=++?=++?++，
故
11
ln 22x y z x
==?=+? ．
因
22
2
2
22z y xy x y x y x y ?=?=?++，故
122
1
211
111x y z y ==???==?+ ． 【例8-2】求下列函数的偏导数． 1．arctan
1x y
z
xy +=- ．
解：222
1
(1)()()1(1)111z
xy x y y x
xy x x y xy ?--+-=?=?-+??
++ ?-??
，
由变量x 与y 的对称性，可得
2
1
1z y y ?=
?+ ．
2．sin sin x z
e y = ．
解：sin sin cos sin cos sin x x z e x y x ye x
?=??=? ，
sin cos x z
e y y
?=? ．
3
．ln(z x =+ ．
解：
(1z x ?=+=??
=
，
z y ?==
? ．
4．(1)y z
xy =+ ．
解：121(1)(1)y y z y xy y y xy x
--?=+?=+? ，
ln(1)ln(1)
[][ln(1)]1y xy y xy z x e e xy y y y xy ++??==?++???+ (1)[ln(1)]1y xy
xy xy xy
=+++
+ ．
5．222u xy yz zx =++ ．
解：
2
2u y zx x
?=+?，22u xy z y ?=+?，22u yz x z ?=+?． 6．y
z
u x
= ．
解：1y z
u y x x z
-?=?，
1ln ln y y
z z u x x x x y z z
?=?=?， 22ln ln ()y y z z u y y x
x x x z z z
?=?-=-? ． 【例8-3】求下列函数的所有二阶偏导数． 1．ln()x y z
e e =+ ．
解：因
1x x
x y
x
y z e e x e e e e ?=?=?++，1y y
x y x y
z e e y e e e e ?=?=?++，
故
()()()
222
2x x y x x
x
x y
x y
x y x y e e e e e z e e x x e e e e e e ++-?????=== ???+??++，
()()
2222
x
x y x y
x
y
x y x y z z e e e e x y y x y e e e e e e +?????-?====- ??????+??++，
()()
()
22
2
2y x y y y
y
x y
x y
x
y x
y e e e e e z e
e y y e e e
e
e
e
++-???
??===
???+??
++ ．
2．y
xe z
e
= ．
解：因
y y xe y xe y
z e e e
x
+?=?=?，y y xe y xe y z e xe xe y +?=?=?， 故
()
222
y y y xe y xe y y xe y
z e e e e x x
+++??==?=??， ()
22(1)(1)y y y xe y xe y y y xe y
z z e e xe xe e x y y x y
+++???===?+=+?????，
()
22
(1)(1)y y y xe y xe y y y xe y
z xe xe xe x xe e y y
+++??==?+=+?? ． 【例8-4】求下列函数的全微分．
1．x z xy y
=+ ．
解：因
1z y x y ?=+?，2
z
x x y
y ?=-?，
故 21()()z z x
dz dx dy y dx x dy x y y y
??=+=++-?? ． 2．2sin()z
x y =+ ．
解：因
22cos()z
x x y x
?=+?，2cos()z x y y ?=+?，
故 222cos()cos()z z
dz dx dy x x y dx x y dy x y
??=+=+++?? ．
【例8-5】设sin u
z e v =，而u xy =，v x y =+，求
z x ??和z y
??． 解：sin cos 1(sin cos )u u u z z u z v e v y e v e y v v x u x v x
?????=+=?+?=+?????
[sin()cos()]xy e y x y x y =+++，
sin cos 1(sin cos )u u u z z u z v e v x e v e x v v y u y v y
?????=+=?+?=+????? [sin()cos()]xy e x x y x y =+++．
【例8-6】设arcsin()z
x y =-，而3x t =，24y t =，求
dz
dt ．
解：38dz z dx z dy t dt x dt y dt ??=+=+??
=
=
．
【例8-7】求下列函数的偏导数（其中f
具有二阶连续偏导数）．
1．22(,)z
f xy x y = ．
解：令2u xy =，2v x y =，则 (,)z f u v =．为了表达简便，引入以下符号：
1(,)(,)u f u v f u v '=，2(,)(,)v f u v f u v '=，11(,)(,)uu f u v f u v ''=， 12(,)(,)uv f u v f u v ''=，21(,)(,)vu f u v f u v ''=，22(,)(,)vv f u v f u v ''=，
这里下标1表示对第一个变量u 求偏导数，下标2表示对第一个变量v 求偏导数． 根据复合函数的求导法则，有
22121222z f u f v f y f xy y f xyf x u x v x
?????''''=+=?+?=+????? ， 22121222z f u f v f xy f x xyf x f y u y v y
?????''''=+=?+?=+????? ． 2．(23,)w f x y z xyz =
++ ．
解：类似上例，根据复合函数的求导法则，有
12121w
f f yz f yzf x
?''''=?+?=+? ， 121222w
f f xz f xzf y
?''''=?+?=+? ， 121233w
f f xy f xyf z
?''''=?+?=+? ． 【例8-8】求下列方程所确定的函数的导数或偏导数． 1．方程
2
sin 0x y e xy +-= 确定了函数
()y y x =，求
dy dx
． 解：设2(,)sin x F x y y e xy =+-，
则
22
cos 22cos x x x y F dy e y e y dx F y xy xy y --=-=-=
-- ． 2．方程
ln arctan
y x = 确定了函数 ()y y x =，求dy
dx
．
解：设22
1(,)ln arctan ln()arctan 2y y F x y x y x x
=-=+-，
则
222
222
2
21
()2()
1x x
y x y F y x y x x y x
+=
-?-
=+++，
222
2
2
2
21
12()
1y y y x F y x y x x y x
-=-?=+++ ，
故
2222
x y x y
F dy x y x y y x dx F x y x y +++=-=-=--+ ．
3．方程
20x y z ++-= 确定了函数 (,)z z x y =，求
z x ??和z y
??．
解：设(,,)
2F x y z x y z =++-，
则
1x z yz F z
x F ?=-===
?-
，
1y z F z
y F ?=-===
?-
．
4．方程
3x y z
e e e xyz ++= 确定了函数
(,)z z x y =，求z x ??和z
y
??．
解：设(,,)3x
y z F x y z e e e xyz =++-，
则
3333x x
x z z
z F z e yz yz e x F e xy e xy ?--=-=-=?-- ， 3333y y
y z z
z F z e xz xz e y F e xy e xy
?--=-=-=?-- ． 【例8-9】求函数
3322(,)339f x y x y x y x =-++-的极值．
解：先解方程组 2
2
(,)3690(,)360
x
y f x y x x f x y y y ?=+-=??=-+=?? ， 求得驻点(1,0)、(1,2)、(3,0)-、(3,2)-． 再求出二阶偏导数
(,)66xx f x y x =+，(,)0xy f x y =，(,)66yy f x y y =-+．
在点(1,0)处，
21260AC B -=?>，又0A >，故函数在(1,0)处有极小值
(1,0)5f =-；
在点(1,2)处，2
12(6)0AC B -=?-<，所以(1,2)f 不是极值；
在点(3,0)-处，21260AC
B -=-?<，所以(3,0)f -不是极值；
在点(3,2)-处，2
12(6)0AC B -=-?->，又0A <，所以函数在(3,2)-处有
极大值
(3,2)31f -=．
【例8-10】求函数
32(,)6125f x y y x x y =-+-+的极值．
解：先解方程组 2
(,)260
(,)3120
x y f x y x f x y y =-+=??=-=? ， 求得驻点(3,2)、(3,2)-．再求出二阶偏导数
(,)2xx f x y =-，(,)0xy f x y =，(,)6yy f x y y =．
在点(3,2)处，2240AC
B -=-<，所以(3,2)f 不是极值；
在点(3,2)-处，2240AC B -=>，又20A =-<，所以函数在(3,2)-处有极
大值(3,2)30f -=．
【历年真题】
一、选择题
1．（2009年，1分）二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处存在偏导数是(,)f x y 在该点可
微分的（ ）
（A ）必要而不充分条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要且充分条件 （D ）既不必要也不充分条件 解：根据二元函数微分的存在性定理可知，二元函数(,)z
f x y =在点00(,)x y 处可微分
则偏导数一定存在，但反之不一定成立，故选项（A ）正确．
2．（2008年，3分）已知xy
z e =，则z
x
?=?（ ）
（A ）xy ye （B ）xy xe （C ）xy
xye （D ）xy
e
解：因
()xy
xy xy z e e y ye x x
??==?=??，故选项（A ）正确． 3．（2007年，3分）设22
x y z e
+=，则dz =（ ）
（A ）22
2()x y e xdx ydy ++ （B ）22
2()x y e xdy ydx ++ （C ）22
()x y e xdx ydy ++ （D ）2
2
222()x
y e dx dy ++
解：因
22
2x y z xe
x
+?=?，222x y z ye y +?=?，z z dz dx dy x y ??=+??， 故
22
22
22
222()x y x y x y dz xe dx ye
dy e
xdx ydy +++=+=+，选项（A ）正确．
二、填空题 1．（2010年，2
分）“函数(,)z f x y =的偏导数z x ??、z
y
??在点(,)x y 存在”是“函数
(,)z f x y =在点(,)x y 可微分”的 条件．
解：根据二元函数微分的存在性定理可知，二元函数(,)z
f x y =在点(,)x y 处可微分则
偏导数一定存在，但反之不一定成立，故“函数(,)z f x y =的偏导数z x ??、z
y ??在点
(,)x y 存在”是“函数(,)z f x y =在点(,)x y 可微分”的必要非充分条件．
三、计算题
1．（2010年，5分）求由方程0z
e xyz -=所确定的二元函数(,)z
f x y =的全微分dz ．
解：先求二元函数(,)z
f x y =的偏导数．设(,,)z F x y z e xyz =-，则由二元函数的
隐函数存在定理可知，
x z z z F z yz yz x F e xy e xy ?-=-=-=?--，y z z z F z xz xz y F e xy e xy
?-=-=-=?--，
故
z z z z yz xz dz dx dy dx dy x y e xy e xy
??=
+=+??--． 2．（2009年，5分）求函数sin 2
y
y w x e =++的全微分．
解：因
1w
x ?=?，
1cos 22y w y e y ?=+?， 故全微分
1(cos )22
y w w y dw dx dy dx e dy x y ??=
+=++??． 3．（2008年，5分）求二元函数33z x y xy =+的全微分．
解：因
232z
x y y x
?=+?，323z x xy y ?=+?，
故 2332(2)(3)z z
dz dx dy x y y dx x xy dy x y
??=+=+++??．
4．（2007年，5分）设222(,,)u
f x y z x y z ==++，2sin z x y =，求
u x ??，u
y
??． 解：此题为二元函数的复合函数求偏导数问题，其中x 和y 既是自变量又是中间变量，故
32222sin 24sin u f f z x z x y x x y x x z x
????=+?=+?=+????， 2422cos 2sin 2u f f z y z x y y x y y y z y
????=+?=+?=+????． 5．（2006年，4分）设22sin()ln(2)z xy x xy y =+-+，求(2,0)
dz
．
解：因
(2,0)(2,0)
2222cos()12z
x y y xy x
x xy y ??
?-=+=???-+?
?， (2,0)
(2,0)
22224cos()2124z x y x xy y
x xy y ???-+-=+=+=???-+??， 故
(2,0)
(2,0)(2,0)
z
z
dz
dx dy dx dy x
y
??=+
=+??．
6．（2006年，4分）求
22(,)(2)3x y f x y e x y -=-+的极值．
解：令
2222(2)2(22)0x y x y x y x f e x y e x e x y x ---=-+?=-+=，
2222(2)(4)(24)0x y x y x y y f e x y e y e x y y ---=--+?-=--+= 可解得，
函数
(,)f x y 的驻点为(0,0)和(4,2)--．再求二阶偏导数，
2222(22)(22)(242)x y x y x y xx f e x y x e x e x y x ---=-++?+=-++， 22(22)(22)(4)4x y x y x y x y xy f e x y x e x e y ye ----=--++?+=-=-， 2222(24)(44)(284)x y x y x y yy f e x y y e y e x y y ---=-+-?-+=-+-．
在点(0,0)处，
(0,0)
2xx
A f ==，(0,0)
0xy
B f ==，(0,0)
4yy
C f ==-，故
22(4)0AC B -=?-<，故函数在(0,0)处没有极值．
在点
(4,2)
--处，
2
(4,2)
6xx
A f e ---==-，
2
(4,2)
8xy
B f e ---==，
2(4,2)
12yy
C f e ---==-，故24472640AC B e e ---=->，又0A <，故函
数在(4,2)--处有极大值，极大值为2(4,2)83f e ---=+．
7．（2005年，5分）设2
y
x
z =，求dz ．
解：因
22ln 2
2ln 2()2y y
x x z y y x x x
?=?-=-?，1ln 22ln 22y y x x z y x x ?=?=
?， 故 2ln 2ln 222y y
x x
z z y dz dx dy dx dy x y x x
??=+=-+??．
(完整版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
第八章 偏导数与全微分 一、选择题 1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x u x y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 2 1 - B. 21 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ] A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2 x +22y +32 z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 =??l u [ D ] A. 635 B.635- C.335 D. 3 3 5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ] A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A. y cos 1ε+ B. y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y cos 11 ε+ 8. 函数y x xy z 2050++ = （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值 9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件
最新多元函数微分法及其应用习题及答案
第八章 多元函数微分法及其应用 (A) 1．填空题 (1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2，x y z ???2 ，则在D 上， x y z y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。 (3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域 (1)y x z -=；(2)2 2 arccos y x z u += 3．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 0 0-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ???23及2 3y x z ???。 5．求下列函数的偏导数 (1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数 dt dz 。 7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt du 。 8．曲线?? ???=+= 4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程122 2222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。 10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
第八章多元函数微分学自测题答案
《高等数学》单元自测题答案 第八章 多元函数微分学 一． 填空题 1.3ln 3xy y ； 2.503-； 3.y x z y ++-； 4.x x e e cos ； 5.dy dx 3 131 +； 二． 选择题 2.D ； 4.D ； 三.解答题 1.解 2 2 222222222211 )221(1y x y x y x x y x x y x x y x x x z +=+++++=++++=??, 22222222221y x x y x y y x y y x x y z +++= +++=??. 2. 解 22222)(11y x y x y x y x z +-=-+=??, 2 22 2111y x x x x y y z +=+=??, 22222222)(2)(2y x xy y x x y x z +=+?--=??, 22222222)(2)(2y x xy y x y x y z +-=+?-=??, 2 22 2 22222222) ()(2)(y x x y y x y y y x x y z y x z +-=+?++-=???=???. 3. 解 设z z y x z y x F 4),,(222-++=,有 2422''-- =--=-=??z x z x F F x z z x . 5. 解 '22'1f x y yf x z -=??, )1(1)1(''22' '212'22''12''11'12f x xf x y f x f x xf y f y x z +--++=???
=''223 ' '11'22'11f x y xyf f x f -+- . 6. 解 令?????=+-==-+=,063, 09632 '2 'y y f x x f y x 得驻点 (1,0), (1,2), (-3,0), (-3,2) 又 66' '+=x f xx , 0''=xy f , 66''+-=y f yy , 在点(1,0)处,0722>=-B AC ,012>=A ,所以5)0,1(-=f 为极小值; 在点(1,2)处,0722<-=-B AC , ,所以)2,1(f 不是极值; 在点(-3,0)处,0722<-=-B AC , 所以)0,3(-f 不是极值; 在点(-3,2)处,0722>=-B AC ,012<-=A ,所以31)2,3(=-f 为极大值. 8. 解 设长,宽,高为 z y x ,,,由题设 xy V z = ,水箱的表面积 )11(2)(2),(y x V xy z y x xy y x S S ++=++==, 问题成为求 ),(y x S 在区域 0,0:>>y x D 的最小值问题.令 ??? ????=-==-=,02,022' 2' y V x S x V y S y x 得D 内唯一驻点3002V y x ==,由问题实际意义知 ),(y x S 在D 内的最小值一定存在,因此可断定),(00y x S 就是最小值,此时 3 33 04 22V V V V z =?=.
多元函数微分学复习题及答案
多元函数微分学复习题及 答案 Last revision on 21 December 2020
第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答 一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12； (D)存在且不等于0或12 （提示：令22y k x =） 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=?????11000，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=???? ?22 2222000，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ，2000(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续。） 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y x y 22+ ； (D) -+x x y 22
第八章多元函数微分法及其应用
第八章多元函数微分法及其应用 第一节多元函数的基本概念 教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。 教学难点：计算多元函数的极限。 教学内容： 一、区域 1.邻域 设P o（x°,y。）是xoy平面上的一个点，是某一正数。与点P o（X o，y°）距离小于：的 点p（x,y）的全体，称为点p的「?邻域，记为U（P0,、），即 U（P°,、）= ｛P PPo < ｝， 也就是 U （P o,、）= ｛（X, y）丨..（X -X。）2（y - y o）2、｝。 在几何上，U（P o「J就是xoy平面上以点p o（x o,y。）为中心、：-0为半径的圆内部 的点P（x,y）的全体。 2.区域 设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点。如果存在点P的某一邻域U（P） E， 则称P为E的内点。显然，E的内点属于E。 如果E的点都是内点，则称E为开集。例如，集合E, =｛（x, y）1 vx2+ y2￡4｝中每个点都是E,的内点，因此E,为开集。 如果点P的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点（点P本身可以属于E，也可以不属于E ），则称P为E的边界点。E的边界点的全体称为E的边界。例如上例中，E ,的边界是圆周x2 y2 = 1和x2 y2=4o
设D是点集。如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于 D，则称点集D是连通的。 连通的开集称为区域或开区域。例如，｛(x, y) x + y a 0｝及｛( x, y)d
多元函数微分法及其应用
第八章多元函数微分法及其应用 （讲授法18学时） 上册研究了一元函数微分法，利用这些知识，我们可以求直线上质点运动的速度和加速度，也可以求曲线的切线的斜率，可以判断函数的单调性和极值、最值等，但这远远不够，因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。一般地说，研究自然现象总离不开时间和空间，确定空间的点需要三个坐标，所以一般的物理量常常依赖于四个变量，在有些问题中还需要考虑更多的变量，这样就有必要研究多元函数的微分学。 多元函数微分学是一元函数的微分学的推广，所以多元函数微分学与一元函数微分学有许多相似的地方，但也有许多不同的地方，学生在学习这部分内容时，应特别注意它们的不同之处。 一、教学目标与基本要求 1、理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 二、教学内容及学时分配： 第一节多元函数的基本概念2课时 第二节偏导数2学时 第三节全微分2学时 第四节多元复合函数的求导法则2学时 第五节隐函数的求导公式2学时 第六节多元函数微分学的几何应用2学时 第七节方向导数与梯度2学时 第八节多元函数的极值及其求法2学时 三、教学内容的重点及难点： 重点： 1．多元函数的极限与连续； 2．偏导数的定义；全微分的定义 3．多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则 4．方向导数与梯度的定义 5．多元函数的极值与最值的求法 难点： 1．多元函数微分学的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系； 2．多元复合函数的求导法则中，抽象函数的高阶导数； 3．由方程组确定的隐函数的求导法则； 4．梯度的模及方向的意义； 5．条件极值的求法
高等数学(同济第五版)第八章-多元函数微分学-练习题册
. 第八章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 作 业 一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为 函数的定义域为函数 二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。 答：（ ） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处： （A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。 答：（ ）
. 三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。
第 二 节 作 业 一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设 二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设 答：（ ） 三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设 四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足 第 三 节 作 业 一、填空题：
第八章多元函数微分法及其应用
第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 1、 平面点集、n 维空间、多元函数的概念，这些你如果不知道就看看。我下面的资料是从P7开始 的。 2、 在数轴上（一维空间），当0x x →时，只有两种趋近方式：一是x 从左边趋近于0x ，即0x x - →； 二是x 从右边趋近于0x ，即0x x + →。在平面直角坐标系中（二维空间），点(,)x y 趋近于点 00(,)x y 时，即00(,)(,)x y x y →的方式有无穷多种，例如，当(,)(0,0)x y →时，点(,)x y 既可 以沿x 正半轴趋于点(0,0)——这时(,)(0,0) lim (,)x y f x y →便可写成0 lim (,0)x f x + →，也可以沿x 负半轴趋于点(0,0)——这时(,)(0,0) lim (,)x y f x y →便可写成0 lim (,0)x f x - →；点(,)x y 既可以沿y 正半轴趋于点(0,0)——这时(,)(0,0) lim (,)x y f x y →便可写成0 lim (0,)y f y + →，也可以沿y 负半轴趋于点(0,0)——这时 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →便可写成0 lim (0,)y f y - →；同时点(,)x y 也可以沿直线3y x =趋于点(0,0)——这时 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →便可以写成0 lim (,3)x f x x →；也可以沿正弦函数图象sin y x =趋于点 (0,0)——这时 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →便可以写成0 lim (,sin )x f x x →。我们应该意识到，点(,)x y 还可以 沿着一些不规则的路径趋于点(0,0)。这里说了这么多，就是要让你明白P7第二段中的“这里 0P P →表示点P 以任何方式趋于点0P ”这句话的涵义。 3、 对于多元函数的极限，特别是二元函数的极限，只需要了解它的定义，并且会求简单的二元函 数的极限，如本节例5、7、8这些题型。考研中，二元函数的极限的计算应该不会考到，重点是一元函数的极限的计算题。但是要会判断 (,)(0,0) lim (,)x y f x y A →≠这类题型，就是通过找一条特 殊路径求出它的极限不等于A 。如P8页给出的那个例题： 22 22 22,00,0 (,){ xy x y x y x y f x y +≠++== 4、 了解多元函数（二元函数）连续性的定义，后面的间断点、最大值最小值定理、介值定理看看 就行了。 5、 习题8——1第 6、7题，结合答案看看就行了。
第八章多元函数微分法及其应用.doc
第八章多元函数微分法及其应用 一、内容提要 多元函数微分法是一元两数微分法的推广，有许多相似之处，学习时应 注意对比，搞清界同. 1. 基本概念与定理 设函数U = f(P),点P 可以是1,2,3,…丿维的.当n>2时,称此函数为多 ① 二元函数z = /(X, y)在儿何上表示空间一张曲面. ② 二元函数z = /(x,y)在点心(巾,儿)处的极限、连续、偏导数、全 微分的定义及关系. 极限 lim f(x,y) = A ： V^>0,3t> >0,当 X->X0 .v->yo ()< p = J(_r_x ())2 +(y _y ())2 < 6时，有 I f(x, y) - A \0 Ay 二阶偏导数. 类似,可定义三阶以上的偏导数. _ 可微 若全增量A< = f(x 0 + 心,y ()+ Ay) - f(x 0,y 0)町表示为 Az = AAx + BAy + o(p),其中 q 二 J (心尸 +(2\)护， 则称z = f (x, y)在点P 0(x 0,y 0)可微.而AAx + BAy 为函数z = f (x, y)在点 P ()(w )，y ())的全微分，记 作 dA. . =AAx + B^y 定理1若函数z = /(x,y)的二阶混合偏导数f xy (x,y)及 /vx (x,y)在区域D 内连续，贝I 」在该区域内(x, y) = /VA .(x,y) ? 偏导 高阶偏导 —阶偏导数f x (x, y), fy (x, y)的偏导数，称为函数f (x, y)的 a? = /.u-UoO=￡ dydx 空、 dx )
多元函数微分学复习(精简版)
高等数学下册复习提纲 第八章 多元函数微分学 本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列): 复合函数求导（☆☆☆☆☆） 条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆） 无条件极值（☆☆☆☆） 曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆） 一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算（☆☆） 重极限、累次极限计算（☆☆） 函数定义域求法（☆） 1. 多元复合函数高阶导数 例 设),,cos ,(sin y x e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求x y z x z ?????2及. 解 y x e f x f x z +?'+?'=??31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x z x y z ++++?''+-?''+'+?''+-?''=???=???])sin ([cos ])sin ([333231312 22析 1）明确函数的结构(树形图) 这里y x e w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构 图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一 项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”. 2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31y x y x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构 相同，仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数.所以1f '对y 求导数为 z u v w x x y y
多元函数微分学总结
`第八章多元函数微分学 8.1基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 8.2基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。
（1）基本概念 ①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于 这一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24 (,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++，
(整理)多元函数微分法及其应用81534
第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(, )P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等，此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用 εδ-定义证明2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的 结论。 例3 设 22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设 2 2224 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论(,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否 存在？ 例5．求222 (,)(0,0)sin()lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数 332 222 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。
高等数学第八章多元函数微分法及其应用教案
第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 1、()y x,f z =，定义域为平面上某一个平面域 几何上()y x,f z =为空间一张曲面。 2、二元函数极限 P186 例1、讨论函数 ()()()0,00 y x 0y x 0x y y 4x y x,f 222222 44 2在=+≠+?????+=极限是否存在。 解：()()()01K x x 4K lim x x K x K 4x lim x y y 4x lim 24222022444 42022442y x 0 2=+=+?=+→→=→x x x 而 ()4y y y 4y lim 244442y x 0 x =+?=→ ∴ () y x f 在(0,0)极限不存在. 3、连续 P187 第二节 偏导数 定义：()()00y ,x y x,f z 在点=处对x 的偏导数， 记作：()0010y y 0x x x 0y y 0x x 0y y 0x x y ,x f ,z ,x f , x z ''????====== 即： ()()()x y ,x f y x,x f lim y ,x f 00000x 00x ?-?+='→? 同理：()()()y y ,x f y y ,x f lim y ,x f 00000y 00y ?-?+='→? ()00y x y ,x f ,f 在''存在，称()()00y ,x y x,f z 在=可导。 例1、y z ,x z ,x z y ????=求 解：lnx x y z ,yx x z y 1y =??=??- 例2、P188，例5，6
多元函数微分学及其应用归纳总结
第八章 多元函数微分法及其应用 一、多元函数的基本概念 1平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概 念 2、多元函数的极限 lim f(x, y)=A (或 lim f(x,y)=A )的；-' 定义 (x,y) 「(x °,y o ) P 「P ) 掌握判定多元函数极限不存在的方法： (1) 令P(x, y)沿y 二kx 趋向P(x o ,y o )，若极限值与k 有关，则可断言 函 数极限不存在； (2) 找两种不同趋近方式，若 lim f (x, y)存在，但两者不相等， (x,y )Tx o ，y o ) 此时也可断言极限不存在。 多元函数的极限的运算法则(包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等)与一元类似： 例1?用…定义证明(侧0,0)(x 2+y 2 )sin 击=0 2 + 2 例 2 ( 03 年期末考试三、15 分当X>0,y >0时，函数x2；(；2_y)2 的极限是否存在？证明你的结论。 xy 2 2 2 2 , x y = 0 x y ，讨论 lim f (x, y)是否存在? (x,y )T(0,0) 3 卫， x 2 + y 2 =0 (JiH ,。)f (X,y )是否存在? 例 3 设 f (x, y) =2 例4(07年期末考试 一、2，3分)设f(x, y)= Q 2 xy 2 . 4 x y 2 2 小 ,x y =0 ，讨论 x 2 y 2 二 0
x 3、多元函数的连续性台(Jim )f (x, y)= f (X o ,y o ) (x ，y) --- (X 0，y 0 ) 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理 二、多元函数的偏导数 1、二元函数z = f (x, y)关于x, y 的一阶偏导数的定义(二元以上类似定义) f (X0pX,y 0)— f(X 0,y 0)存在，则有 y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。)例5求 sin (x 2 y) ~2 2 x y x 3 y 3 2 例1.讨论函数f(x, y)=?x 2+y 0, ,x 2 y 2 = 0 在(0, 0)处的连续性。 2 2^ x y =0 例2. ( 06年期末考试十 ，4 分)试证 f (x, y) 2 xy 2 4 x y 0, 2 ,x 例3 .求lim 亠」 (x,y)—^1,2) xy 例4. lim (x,y)―(0,0) xy -： Z X XN ) y 談 = Zxx^=f x (X 0,y 0)=^WS^X0^ 如果极限叭 (相当于把
(完整版)多元函数微分学及其应用习题解答
1 / 28 习题8-1 1. 求下列函数的定义域： (1) y x z -= ； 解：0,0x y D ≥≥?= ( ){,0,x y y x ≥≥ (2) 2 2 1)ln(y x x x y z --+ -=； 解：2 2 0,0,1y x x x y D -≥≥--?=(){} 2 2,01x y y x x y >≥+<且 (3) )0(1 2 2 2 2 2222>>-+++ ---= r R r z y x z y x R u ； 解：2 2 2 2 2 2 2 2 0R x y z x y z r ≤---<++-?，0 D ?= (){} 2 2222,,x y z r x y z R <++≤ (4) 2 2 arccos y x z u +=。 221,0x y D ≤+≠?= ( ){} 22,0x y z x y ≤ +≠ 2. 求下列多元函数的极限:： (1) 2 2 y 0 1)e ln(lim y x x y x ++→→； 解：y 1ln 2x y →→= = (2) xy xy y x 4 2lim 0+-→→； 解：令t=xy ，1 2 0000 1(4)1 2lim 14x t t y t -→→→→-+===-
2 / 28 (3) x xy y x sin lim 5 0→→； 解：0050 sin sin lim 5lim 55x x y y xy xy x x →→→→== (4) 2 2x 2 2220 0e )()cos(1lim y y x y x y x ++-→→； 解：2222222 2 222x 001cos()1 1cos()2(sin ),lim 20022()e y x y x y x y x y x y →→+-+-+=∴=??=+Q (5) xy y x y x )(lim 220 +→→。 解：0,xy >设22 ln()xy x y +两边取对数，由夹逼定理 2200 222222lim ln() 2 2 2 2000 ln()()ln() 0lim ln()0,lim()1 x y xy x y xy x x y y xy x y x y x y xy xy x y x y e →→+→→→→≤+≤++<+=∴+==xylnxy 当时同理可得, 3. 证明下列极限不存在： (1) y x y x y x -+→→0 0lim ； 证明：(1)(,)(,)(,)(1)m x x y y mx f x y f x mx m x +=== -当沿直线趋于原点(0,0)时. 00 1lim ,1x y x y m m x y m →→++=--不同时,极值也不同,所以极限不存在。 (2) 222220 0)(lim y x y x y x y x -+→→。 证明： 22 22200 (,)(,)(,)1,lim 1 ()x y x y x y y x f x y f x x x y x y →→====+-当沿直线趋于原点(0,0)时,
高等数学多元函数微分法
第 八 章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 多元函数的基本概念 教学目的:学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概 念,掌握多元函数的连续性定理,能够判断多元函数的 连续性,能够求出连续函数在连续点的极限。 教学重点:多元函数概念与极限,多元函数的连续性定理。 教学难点:计算多元函数的极限。 教学内容: 一、 区域 1． 邻域 设),(000y x p 就是xoy 平面上的一个点,δ就是某一正数。与点),(000y x p 距离小于δ的点(,)p x y 的全体,称为点0P 的δ邻域,记为),(0δP U ,即 ),(0δP U =}{0δ
}41),{(221<+<=y x y x E 中每个点都就是E 1的内点,因此E 1为开集。 如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点,也有不属于E 的点(点P 本身可以属于E ,也可以不属于E ),则称P 为E 的边界点。E 的边界点的全体称 为E 的边界。例如上例中,E 1的边界就是圆周12 2=+y x 与 22y x +=4。 设D 就是点集。如果对于D 内任何两点,都可用折线连结起来,且该折线上的点都属于D ,则称点集D 就是连通的。 连通的开集称为区域或开区域。例如,}0),{(>+y x y x 及 }41),{(22<+
多元函数微分学复习题及答案
第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答 一、选择题 1. 极限lim x y x y x y →→+00 242= （提示：令22y k x =） （ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于 12 (D) 存在且不等于0或1 2 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ，则极限lim (,)x y f x y →→00 = （ C ） （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） (A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ，则(,)f x y （ A ） （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ， 20 0(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续.） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22 + (B) - +y x y 22 (C) y x y 22 + (D) -+x x y 22 6、设f x y y x (,)arcsin =，则f x '(,)21= （ A ） （A ）-1 4 （B ） 14 （C ）-12 （D ）1 2 7、设y x z arctan =，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ）
第八章多元函数微分学
第八章 多元函数微分学 【考试要求】 1．了解多元函数的概念、二元函数的几何意义及二元函数的极值与连续概念（对计算不作要求）．会求二元函数的定义域． 2．理解偏导数、全微分的概念，知道全微分存在的必要条件与充分条件． 3．掌握二元函数的一、二阶偏导数的计算方法． 4．掌握复合函数一阶偏导数的求法． 5．会求二元函数的全微分． 6．掌握由方程(,,) 0F x y z =所确定的隐函数(,)z z x y =的一阶偏导数的计算方法． 7．会求二元函数的无条件极值． 【考试内容】 一、多元函数的概念 1．多元函数的定义 设D 是n 维空间的点集，如果对于每个点12(,,,)n P x x x D ∈L ，变量u 按照一定 法则总有确定的值与之对应，则称u 是变量1x 、2x 、L 、n x 的n 元函数（或点P 的函数），记为12(,,,)n u f x x x =L 或 ()u f P =． 当2n =时，即为二元函数的定义，一般记为(,)z f x y =． 2．二元函数的几何意义 设 D 是二元函数 (,) z f x y =的定义域，则空间点集 {(,,)(,),(,)}x y z z f x y x y D =∈称为二元函数(,)z f x y =的图形，一般情况 下，它在空间表示一张曲面． 二、二元函数的偏导数 1．一阶偏导数
设二元函数(,)z f x y =在点(,)x y 的某邻域内有定义，当自变量y 保持定值不变 时，若极限 0(,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-? 存在，则称此极限值为函数(,)z f x y =在点(,)x y 处对x 的偏导数，记作 (,)x f x y ，z x ?? 或 x z （(,)x f x y ' 或 x z ' 也可） ． 类似可定义函数(,)z f x y =在点(,)x y 处对y 的偏导数 (,)(,) lim y f x y y f x y y ?→+?-? ， 记作 (,)y f x y ， z y ?? 或 y z （(,)y f x y ' 或 y z ' 也可）． 当00(,)(,)x y x y =时，称00(,)x f x y 为二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处 对x 的偏导数值；类似地称00(,)y f x y 为二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对y 的 偏导数值． 2．二阶偏导数 设函数(,)z f x y =在区域D 内具有偏导数(,)x z f x y x ?=?，(,)y z f x y y ?=?， 那么在D 内 (,)x f x y 、(,)y f x y 都是x 、y 的函数，如果这两个函数的偏导数也存在， 则称它们是函数(,)z f x y =的二阶偏导数，按照对变量求解次序的不同有下列四个二阶 偏导数： 22(,)xx z z f x y x x x ?????== ??????，2(,)xy z z f x y y x x y ?????= = ???????， 2(,)yx z z f x y x y y x ?????== ???????，22(,)yy z z f x y y y y ?????== ??????． 其中第二、三个偏导数称为混合偏导数．如果函数(,)z f x y =的两个混合偏导数 2z x y ???