武大期末复习-数理方程教学指导纲要.

第九章定解问题的物理意义

基本要求与教学内容：

1、理解波动方程、热传导方程、Poison方程和Laplace方程的物理意

义,

根据物理问题写出其相应的方程(不需要推导方程)。

2、第一、第二类边界条件的物理意义。根据具体物理问题，掌握确

定这两类边界条件的方法。

3、初始条件的意义及确定。

本章重点：

掌握由具体的物理问题写出其相应的定解问题方法，即泛定方程和定解条件。

第十章利用积分变换解无界问题

基本要求与教学内容：

1、熟练掌握利用d'Alembert公式计算一维无界的齐次波动方程，理

解其解的物理意义。

2、了解一维无界非齐次波动方程的通解形式及计算。

本章重点：

利用d'Alembert公式计算一维无界的齐次波动方程

第十一章一维有界问题的分离变量

基本要求与教学内容：

1、理解分离变量法的基本概念：方法、条件、不同定解问题的通解

形式。

2、熟练准确写出第一、第二类齐次边界条件的本征值和本征函数。

3、熟练掌握用分离变量法求解一维有界问题的解：1）分离变量得到

的两个方程；2）由本征值问题确定相应的本征值和本征函数；3）确定关于)(t

T方程的解（或者与其对应变量方程的解）；4）定解问题的通解；5）由定解条件确定待定系数（通过系数比较方法确定系数是一种重要的方法）。

4、熟练掌握利用本征函数展开解一维有界非齐次方程：1)对应齐次

方程和齐次边界条件的本征函数的确定；2)非齐次项和初始条件按本征函数的展开, 方程的解按本征函数的展开；3)求解关于)(t

T 方程的解；4)定解问题的解。

5、掌握非齐次边界条件的齐次化。

本章重点：

?第二类齐次边界条件的本征值和本征函数

?用分离变量法求解一维有界问题的解

?利用本征函数展开解一维有界非齐次方程

?非齐次边界条件的齐次化

第十二章 球坐标的分离变量 Legendre 多项式 基本要求与教学内容：

1、 了解波动方程、热传导方程的分离变量，Helmholtz 方程的导出和含时间变量满足的方程。

2、 了解Helmholtz 方程在球坐标中分离变量得到的三个方程，Legendre 方程。

3、 L egendre 方程的解，Legendre 方程的本征值问题：

)

()(3210)1()10)1('2'')111

2

x P x y l l l y y x y l l xy y x l x x ==+?????==≤=++--±=≤本征函数：，，，，本征值：有限有限（（

4、 L egendre 多项式的性质：

1) 重要的公式：)()1()(,1)1(x P x P P l l l -=-=

)35(2

1

)(),13(21)(,)(,1)(232210x x x P x x P x x P x P -=-=

==（要求记忆） 2) Legendre 多项式的母函数

∑∞

==+-02

)(211l l l r x P r xr

1

01

1<<≤≤-r x

3) Legendre 多项式的递推关系（不要求记忆）

0)()()12()()1(11=++-+-+x lP x xP l x P l l l l )()()()12('1'1x P x P x P l l l l -+-=+

4) 掌握Legendre 多项式的正交关系和广义 Fourier 展开

正交关系

lk k l l dx x P x P δ1

22

)()(1

1

+=

?- ∑∞

==0

)()(l l l x P C x f dx x P x f l C l l ?-+=1

1)()(212 亦可以利用系数比较法计算系数l C 。

5、 熟练掌握稳态轴对称问题

1）首先根据具体物理问题写出相应的定解问题； 2）稳态轴对称问题的通解

定解问题 ?????==?=)(),(0

),(2θθθf r u r u a r

)(cos )(),(0

1θθl l l l l l P r B

r A r u ∑∞

=++=

3）稳态轴对称问题的特解：

a)根据定解问题的物理意义选择特解，球内问题和球外问题通解的系数l A 和l B 的取值 。

0≡≡l l A B 球外问题：球内问题：

b ）由边界条件)(),(θθf r u a r ==，利用系数比较法确定特解的系数l A 或者l B 。

本章重点：

? Legendre 多项式的性质 ? 稳态轴对称问题的解

第十三章 柱坐标的分离变量 Bessel 函数 基本要求与教学内容：

1、 掌握波动方程、热传导方程的分离变量中含时间变量满足的方程，Helmholtz 方程在柱坐标中分离变量得到的三个方程以及各个参数的意义，Bessel 方程。

2、 周期性边界条件的本征值问题：

1）本征值问题 ???Φ=+Φ=Φ+Φ)

()2(0

)()(2"?π???n

2）通解 {}{} ,,,,,1)(2?????in i i in n e e e e ±±±==Φ

或者 ??????=Φ???n

n n c o s s i n

)( n=0,1,2,3,…

3）本征函数{}?in e 的正交关系及按本征函数{}?in e 的Fourier 展开

3、 熟练掌握圆域Dirichlet 问题的通解与特解

定解问题??

???==?=)(),(0

),(2

??ρ?ρρf u u a

通解 ?ρρ

ρβα?ρin n n n n n

n

e B A u ∑∞

≠-∞=-++

+=0

,00)(ln ),(

或 )c o s s i n ()(ln ),(1

00??ρρρβα?ρn D n C B A u n n n n n n n ++++=∑∞

=-

特解：根据定解问题的物理意义选择通解的各项

,00,000≡=≡=n n A B ββ圆外问题：圆内问题：

由边界条件，利用本征函数{}?in e 的正交关系，确定特解的系数，

亦可以利用系数比较法。 4、 B essel 方程的解，)(ρR 满足的方程的本征值问题

??

?

?

?

??==≤=-++=≤0)()(0)(][)()("2222a a R R a R n k R R ρρρρρρρρρρρ有限

本征值： a

x k n m n m = （n

m x 是n 阶Bessel 函数的第m 个零点）

本征函数： )()()(ρρρa

x J k J R n m n n

m n ==

5、 B essel 函数的性质（整数阶）

1）重要的公式：)()1()(x J x J n n n -=- 2）Bessel 函数的母函数：∑∞

-∞

=-=

n n

n

t

t x t x J

e

)()1(2 利用t 的一些特殊值，证明一些等式。

3） n 阶Bessel 函数的递推公式（不要求记忆）

)()]([)()]([11x J x x J x dx

d x J x x J x dx

d n n n n

n n n n

+----==

应用 a)递推公式展开时的一些特例；

b)掌握公式在计算?dx x J x n m )(型积分时的应用。 4） B essel 函数的正交关系（了解）

本征值a x k n

m n

m

=和本征函数{}

),2,1()( =m k J n

m n ρ的意义，

本征函数{}

),,,2,1()( n m k J n

m n =ρ正交性 ?+=a lm n m n n l n n m n x J a d k J k J 0

21)(2

)()(δρρρρ 5） 本征函数{}

),2,1()( =m k J n

m n ρ的广义 Fourier 展开（了解）

∑∞

==1

)()(m n

m n m k J C f ρρ

?+=

a

n

m n m n m d f k J x J a C 0

21)()()(2

1

ρρρρ

6、 熟练掌握柱坐标系中的定解问题的求解

解题步骤和方法：

（1）根据物理问题写出定解问题；（2）分离变量得到相应的方程；（3）本征值问题：确定本征值和本征函数；（4）确定关于其余变量方程的解；（5）定解问题的通解；（6）由定解条件确定待定系数（了解）。

1）稳态问题：具有圆柱形边界，侧面具有第一类齐次边界条件，上、下底面具有轴对称边界条件的稳态问题的定解问题。

（1） 定解问题 ?????

??===<=?===)

()(0

0),(2102ρρρρρf u f u u a z u h z z a （2） 分离变量 )()(),(z Z R z u ρρ=

???

???=++0)()()(2222

22

ρρρρρρρρR k d dR d R d dz

m （3）本征值： a x k m m 00

=

本征函数：{}

),2,1()(0

0 =m k J m ρ

（4） 关于)(z Z 方程的解

)()()(000

z k sh B z k ch A e D e C z Z m m m m z k m z k m m m m +=+=-

（5）方程的通解： )()]()([),(0

0100ρρm m m m m m k J z k sh B z k ch A z u ∑∞

=+=

2）波动问题或热传导问题：具有圆柱（圆）形边界，侧面具有第一类齐次边界条件，具有轴对称初始条件的波动问题的定解问题。

a) 波动问题 ???

?

?

????===<=?-??===)()(0

0),(),(002

222ρφρ?ρρρρt t t R u u u R

t u a t u t

()

???

????=++=+0)()()(0)()(2222

2222

2ρρρρρρρρR k d dR d R d t T k a dt

t T d m 本征值： R x k m

m

=

本征函数：{}

),2,1()(0

0 =m k J m ρ

)sin()cos()(0

0t ak B t ak A t T m m m m m +=

)()]sin()cos([),(00100ρρm m m m m m k J t ak B t ak A t u ∑∞

=+=

b) 热传导问题 ???

?

??

???==<=?-??==)(0

0),(),(02

ρ?ρρρρt R u u R

t u D t

t u

???

???=++0)()()(222

2

2ρρρρρρρρR k d dR d R d dt

m

本征值： R x k m

m

=

本征函数：{}

),2,1()(0

0 =m k J m ρ

t k D m m m e A t T 2

0)()(-=

)(),(0

01)(2

0ρρm m t k D m k J e A t u m ∑∞

=-=

本章重点：

? Bessel 函数的性质及其应用

? 圆域Dirichlet 问题的通解与特解 ? 柱坐标系中的定解问题的求解