中考总复习--函数专题复习

初中数学函数专题复习 专题一 一次函数和反比例函数

一、一次函数及其基本性质

1、正比例函数

形如()0≠=k kx y 的函数称为正比例函数，其中k 称为函数的比例系数。

（1）当k>0时，直线y=kx 经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大； （2）当k<0时，直线y=kx 经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小。

2、一次函数

形如b kx y +=的函数称为一次函数，其中k 称为函数的比例系数，b 称为函数的常数项。 （1）当k>0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；y 随x 的增大而增大； （2）当k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限；y 随x 的增大而增大； （3）当k<0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限；y 随x 的增大而减小； （4）当k<0,b<0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限；y 随x 的增大而减小。 例题1：在一次函数y ＝(m －3)x m -1＋x ＋3中，符合x ≠0，则m 的值为 。

随堂练习：已知自变量为x 的函数y=mx +2-m 是正比例函数，则m =________，该函数的解析式为_______。 例题2：已知一次函数y =kx +b 的图象经过第一、二、三象限，则b 的值可以是（ ） A 、﹣2 B 、﹣1 C 、0

D 、2

随堂练习：

1、直线y =x －1的图像经过象限是（ ）

A 、第一、二、三象限

B 、第一、二、四象限

C 、第二、三、四象限

D 、第一、三、四象限 2、一次函数y =6x ＋1的图象不经过．．．（ ）

A 、第一象限

B 、第二象限

C 、第三象限

D 、第四象限

例题3：已知一次函数2-+=n mx y 的图像如图所示，则m 、n 的取值范围是（ ） A 、m ＞0，n ＜2 B 、m ＞0，n ＞2 C 、m ＜0，n ＜2 D 、m ＜0，n ＞2

随堂练习：已知关于x 的一次函数n mx y +=的图象如图所示，则2||m m n --可化简为 。

例题4：已知一次函数y =kx +b 的图像经过二四象限，如果函数上有点()()1122,,,x y x y ，如果满足12y y >，那么1x 2x 。

3、待定系数法求解函数的解析式

（1）一次函数的形式可以化成一个二元一次方程，函数图像上的点满足函数的解析式，亦即满足二元一次方程。

（2）两点确定一条直线，因此要确定一次函数的图像，我们必须寻找一次函数图像上的两个点，列方程组，解方程，最终求出参数k b 、。

例题5：已知：一次函数y kx b =+的图象经过M (0，2)，(1，3)两点。 （1）求k 、b 的值；

（2）若一次函数y kx b =+的图象与x 轴的交点为A （a ，0），求a 的值。

随堂练习：

1、直线1y kx =-一定经过点（ ）。

A 、(1，0)

B 、(1，k )

C 、(0，k )

D 、(0，－1) 2、若点（m ，n ）在函数y =2x +1的图象上，则2m ﹣n 的值是（ ） A 、2 B 、-2 C 、1 D 、-1 3、一次函数24y x =-+的图象与y 轴的交点坐标是（ ） A 、（0，4） B 、（4，0） C 、（2，0） D 、（0，2）

4、已知一次函数()0≠+=k b kx y 图象过点)2,0(，且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的解析式。

4、一次函数与方程、不等式结合

（1）一次函数中的比较大小问题，主要考察

（2）一次函数的交点问题：求解两个一次函数的交点，只需通过将两个一次函数联立，之后通过解答一个二元一次方程组即可。

例题1：已知一次函数y ax b =+的图象过第一、二、四象限，且与x 轴交于点（2，0），则关于x 的不等式(1)0a x b -->的解集为（ ）

A 、x <－1

B 、x > -1

C 、x >1

D 、x <1 随堂练习：

1、若直线42--=x y 与直线b x y +=4的交点在第三象限，则b 的取值范围是（ ） A 、84<<-b B 、04<<-b C 、4-b D 、84≤≤-b

2、结合正比例函数y =4x 的图像回答:当x >1时,y 的取值范围是( ) A 、y =1 B 、1≤y <4 C 、y=4 D 、y >4

例题2：在同一平面直角坐标系中，若一次函数533-=+-=x y x y 与图象交于点M ，则点M 的坐标（ ） A 、（-1，4）

B 、（-1，2）

C 、（2，-1）

D 、（2，1）

随堂练习：如图，一次函数y=k 1x+b 1的图象l 1与y=k 2x+b 2的图象l 2相交于点P,则方程组??

?+=+=2

211,

b x k y b x k y 的解是（ ）

A 、??

?=-=3,2y x B 、???-==2

,3y x C 、???==3,2y x D 、2

3x y =-??=-?

例题3：如图，直线y =kx +b 经过A （3,1）和B （6,0）两点，则不等式0＜kx +b ＜x 3

1

的解集为________。

随堂练习：如图，已知函数y ＝3x ＋b 和y ＝ax －3的图象交于点P (－2，－5)，则根据图象可得不等式3x ＋b ＞ax －3的解集是 。

5、一次函数的基本应用问题

例题1：如图,正方形ABCD 的边长为a ,动点P 从点A 出发,沿折线A →B 一D → C →A 的路径运动,回到点A 时运动停止.设点P 运动的路程长为x ，AP 长为y ,则y 关于x 的函数图象大致是(

)

随堂练习：如图3，直角梯形AOCD 的边OC 在x 轴上，O 为坐标原点，CD 垂直于x 轴，D （5,4），AD =2.若动点F E 、同时从点O 出发，E 点沿折线DC AD OA →→运动，到达C 点时停止；F 点沿OC 运动，到达C 点时停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度。设E 运动秒x 时，△EOF 的面积为y （平方单位），则y 关于x 的函数图象大致为（ ）

例题2：某景区的旅游线路如图1所示，其中A 为入口，B ，C ，D 为风景点，E 为三岔路的交汇点，图1中所给数据为相应两点间的路程（单位：km ）．甲游客以一定的速度沿线路“A →D →C →E →A ”步行游览，在每个景点逗留的时间相同，当他回到A 处时，共用去3h ．甲步行的路程s （km ）与游览时间t （h ）之间的部分函数图象如图2所示．

（1）求甲在每个景点逗留的时间，并补全图象； （2）求C ，E 两点间的路程；

（3）乙游客与甲同时从A 处出发，打算游完三个景点后回到A 处，两人相约先到者在A 处等候， 等候时间不超过10分钟．如果乙的步行速度为3km/h ，在每个景点逗留的时间与甲相同，他们的约定能否实现？请说明理由。

随堂练习：煤炭是攀枝花的主要矿产资源之一，煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划。某煤矿现有1000吨煤炭要全部运往A 、B 两厂，通过了解获得A 、B 两厂的有关信息如下表（表中运费栏“元/km t ?”表示：每吨煤炭运送一千米所需的费用）：

（第2题）

图2

12

图1

（1）写出总运费y（元）与运往厂的煤炭量x（t）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费（可用含a的代数式表示）

例题3：如图，直线y=kx-6经过点A（4，0），直线y=-3x+3与x轴交于点B，且两直线交于点C。

（1）求k的值；

（2）求△ABC的面积。

随堂练习：如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(－4，0)，点B的坐标为(0，b)(b>0)．P 是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P'（点P'不在y轴上），连结PP'，P'A，P'C．设点P的横坐标为a．

（1）当b＝3时，①求直线AB的解析式；②若点P'的坐标是(-1，m)，求m的值；

（2）若点P在第一象限，记直线AB与P'C的交点为D．当P'D：DC=1：3时，求a的值；

（3）是否同时存在a，b，使△P'CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由。.

二、反比例函数及其基本性质

1、反比例函数的基本形式

一般地，形如x

k y =

（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。x k y =还可以写成kx y =1-

)0(<=

k x k y )0(>=k x

k

y 2、反比例函数中比例系数k 的几何意义

（1）过反比例函数图像上一点，向x 轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k 的绝对值的一半。

（2）正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与反比例函数y =

x

k

（k ＞0）的图像交于A 、B 两点，过A 点作AC ⊥x 轴，垂足是C ，三角形ABC 的面积设为S ，则S=|k|，与正比例函数的比例系数k 1无关。 （3）正比例函数y=k 1x （k 1＞0）与反比例函数y =

x

k

（k ＞0）的图像交于A 、B 两点，过A 点作AC ⊥x 轴，过B 点作BC ⊥y 轴，两线的交点是C ，三角形ABC 的面积设为S ，则S=2|k|，与正比例函数的比例系数k 1无关。

例题1：点P 是x 轴正半轴上的一个动点，过P 作x 轴的垂线交双曲线1

y x

=于点Q ，连续OQ ，当点P 沿x 轴正方向运动时，Rt △QOP 的面积（ ）

A 、逐渐增大

B 、逐渐减小

C 、保持不变

D 、无法确定 例题2：如图，双曲线(0)k

y k x

=

>与⊙O 在第一象限内交于P 、Q 两点，分别过P 、Q 两点向x 轴和y 轴作垂线，已知点P 坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为 。

随堂练习：

1、如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数

221k k y x

++=的图象上。若点A 的坐标为（－2，－2），则k 的值为

A 、1

B 、－3

C 、4

D 、1或－3

2、如图所示，在反比例函数2

(0)y x x

=

>的图象上有点1234,,,P P P P ，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1234,,,S S S S ，则

123S S S ++= 。

3、如图,直线l 和双曲线(0)k

y k x

=

>交于A 、B 亮点,P 是线段AB 上的点（不与A 、B 重合）,过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线,垂足分别是C 、D 、E,连接OA 、OB 、OP,设△AOC 面积是S 1、△B OD 面积是S 2、△P OE 面积是S 3、则（ ）

A 、S 1＜S 2＜S 3

B 、 S 1>S 2>S 3

C 、S 1=S 2>S 3

D 、S 1=S 2

3、反比例函数的图像问题

（1）反比例函数的图像取决于比例系数。

（2）利用反比例函数的图像与一次函数、一元一次不等式结合 例题1：函数y ax a =-+与(0)a

y a x

-=

≠在同一坐标系中的图象可能是（如图所示）

随堂练习：一次函数)0(≠+=m m x y 与反比例函数x

m

y =

的图像在同一平面直角坐标系中是（ ）

例题2：如图，正比例函数12y x =

的图象与反比例函数k

y x

=(0)k ≠在第一象限的图象交于A 点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，已知OAM ?的面积为1. （1）求反比例函数的解析式；

（2）如果B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点B 与点A 不重合），且B 点的横坐标为1，在x 轴上求一点P ，使PA PB +最小.

随堂练习：如图，直线y =2x ﹣6与反比例函数()k

y=x 0x

>的图象交于点A （4，2）

，与x 轴交于点B ． （1）求k 的值及点B 的坐标；

（2）在x 轴上是否存在点C ，使得AC =AB ？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．

例题3：已知一次函数y 1=x －1和反比例函数y 2=2

x 的图象在平面直角坐标系中交于A 、B 两点，当y 1＞y 2

时，x 的取值范围是( )．

A 、x ＞2

B 、－1＜x ＜0

C 、x ＞2，－1＜x ＜0

D 、x ＜2，x ＞0 随堂练习：

1、如图，反比例函数y 1=k 1x 和正比例函数y 2=k 2x 的图象交于A （-1，-3）、B （1，3）两点，若k 1

x ＞k 2x ，则

x 的取值范围是

A 、-1＜x ＜0

B 、-1＜x ＜1

C 、x ＜-1或0＜x ＜1

D 、-1＜x ＜0或x ＞1

2、点A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)都在反比例函数y =-3

x

的图象上，若x 1

A 、 y 3

B 、y 1

C 、y 3

D 、y 2

3、如图，一次函数y 1=ax +b （a ≠0）与反比例函数y 2=()0≠k x

k

的图象交于A （1,4）、B （4,1）两点，若y 1＞y 2，则x 的取值范围是

4、反比例函数的基本应用

例题1：如图，等腰梯形ABCD 放置在平面直角坐标系中，已知(2,0)A -、(6,0)B 、(0,3)D ，反比例函数的图象经过点C ．

（1）求C 点坐标和反比例函数的解析式；

（2）将等腰梯形ABCD 向上平移m 个单位后，使点B 恰好落在双曲线上，求m 的值．

随堂练习：已知一次函数m x y +=1的图象与反比例函数x

y 6

2=

的图象交于A 、B 两点，.已知当1>x 时，21y y >；当10<

（1）求一次函数的解析式；

（2）已知一次函数在第一象限上有一点C 到y 轴的距离为3，求△ABC 的面积。

例题2：如图，点A 在双曲线y ＝

x

k

的第一象限的那一支上，AB 垂直于x 轴与点B ，点C 在x 轴正半轴上，且OC ＝2AB ，点E 在线段AC 上，且AE ＝3EC ，点D 为OB 的中点，若△ADE 的面积为3，则k 的值为________．

随堂练习：如图，M 为双曲线y =

上的一点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线y x m =-+于D 、C 两点，若直线y x m =-+与y 轴交与点A ，与x 轴交与点B ，则A D ·BC 的值为 。

专题二 二次函数

一、二次函数的基本性质以及二次函数中三大参数的作用

1、二次函数的解析式及其求解

一般的，形如),0(2

是常数、、c b a a c bx ax y ≠++=的函数叫做二次函数，其中，x 是自变量，

c b a 、、分别为二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）一般式：c bx ax y ++=2

。已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2

。已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.

（4）对称点式：已知图像上有两个关于y 轴对称的点()()k x k x ,,,21，那么函数的方程可以选用对称点式

()()k x x x x a y +--=21，代入已知的另外的点就可以求出函数的方程来了。

例题1：根据题意，求解二次函数的解析式。 （1）求过点A(1,0)，B(2,3)，C(3,1)的抛物线的方程

（2）已知抛物线与x 轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式．

（3）已知二次函数的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x 轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。 （4）已知二次方程32=++c bx ax 的两个根是-1和2，而且函数c bx ax y ++=2

过点（3,4），求函数

c bx ax y ++=2的解析式。

（5）已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式.

（6）已知二次函数当x ＝2时有最大值3，且它的图象与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。 随堂练习：

1、已知二次函数的图像经过点A(2,1),B(3,4),且与y 轴交点为（0，7），则求函数的解析式

2、已知过点（2，0），（3，5）的抛物线c bx ax y ++=2与直线33+=x y 相交与x 轴上，求二次函数的

解析式

3、已知二次函数c bx ax y ++=2，其顶点为（2,2)，图象在x 轴截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。

4、已知函数的c bx ax y ++=2过点(1,3),且函数的对应方程的根是2和4，求方程132=++c bx ax 的解

5、抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线（ ）

A 、1x =

B 、1x =-

C 、3x =-

D 、3x =

2、二次函数的基本图像

（1）二次函数2

y ax =的图像：一般地，抛物线2

y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点。当a >0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当a <0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大。

（2）二次函数2

()y a x h k =-+的图像：当a >0时，开口向上；当a <0时，开口向下；对称轴是直线x =h ；顶点坐标是（h ，k ）。

（3）二次函数2()y a x h k =-+与2y ax =图像的关系：一般地，抛物线2()y a x h k =-+与2

y ax =形状相同，位置不同。把抛物线2

y ax =向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线2

()y a x h k =-+。平移的方向、距离要根据h ，k 的值来决定。

（4）二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的图像：一般地，我们可以用配方法求抛物线

2

(0)y ax bx c a =++≠的顶点与对称轴。a b ac a b x a c bx ax y 44222

2

2-+??? ?

?

+=++=，因此，抛物线

2

(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是2b

x a

=-，顶点坐标是24(,)24b ac b a a --

。 例题1：把抛物线y =3x 2先向上平移2个单位再向右平移3个单位，所得的抛物线是（ ） A 、y =3(x +3)2－2

B 、y =3(x +3)2+2

C 、y =3(x －3)2－2

D 、.y =3(x －3)2+2

例题2：已知函数y =ax 2+bx +c 的图象如图，那么函数解析式为（ ）

A 、y =－x 2+2x +3

B 、y =x 2－2x －3

C 、y =－x 2－2x+3

D 、y =－x 2－2x －3

例题3：已知抛物线的解析式为y ＝(x －2)2＋1，则抛物线的顶点坐标是（ ） A 、(－2,1) B 、(2，1) C 、(2，－1) D 、(1，2)

随堂练习：

1、在同一平面直角坐标系内，将函数1422

++=x x y 的图象沿x 轴方向向右平移2个单位长度后再沿y 轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是（ ）

A 、（1-，1）

B 、（1，2-）

C 、（2，2-）

D 、（1，1-）

2、将抛物线y =3x 2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ） A 、2

3(2)3y x =++ B 、2

3(2)3y x =-+ C 、2

3(2)3y x =+- D 、2

3(2)3y x =-- 3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，二次函数y=c bx x ++-

2

3

2的图像经过B 、C 两点． （1）求该二次函数的解析式； （2）结合函数的图像探索：当y >0时x 的取值范围。

例题4：关于x 的二次函数y =x 2－2mx +m 2和一次函数y =－mx +n （m ≠0），在同一坐标系中的大致图象正确的是（ ）

随堂练习：

1、二次函数2

()y a x m n =++的图象如图，则一次函数y mx n =+的图象经过（ ）

A 、第一、二、三象限

B 、第一、二、四象限

C 、第二、三、四象限

D 、第一、三、四象限 2、函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）

3、二次函数的增减性及其最值

（1）开口向上的二次函数，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增

B 、

C 、

D 、

大；在对称轴处取到最小值2

44ac b a

-，越靠近对称轴，函数值越小。

（2）开口向下的二次函数，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减

小；在对称轴处取到最大值2

44ac b a

-，越靠近对称轴，函数值越大。

例题1：二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（

）

A 、21y y <

B 、21y y =

C 、21y y >

D 、不能确定

例题2：设A 123(2,),(1,),(2,)y B y C y -是抛物线2

(1)y x m =-++上的三点，则123,,y y y 的大小关系为（ ） A 、123y y y >> B 、132y y y >> C 、321y y y >> D 、213y y y >> 随堂练习：已知二次函数y ＝－

12x 2－7x ＋15

2

，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是( ) A 、y 1＞y 2＞y 3

B 、 y 1＜y 2＜y 3

C 、y 2＞y 3＞y 1

D 、 y 2＜y 3＜y 1

4、二次函数中三大参数的和函数图像的关系

（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2

ax y =中的a 完全一样。

（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线c bx ax y ++=2

的对称轴是直线a

b

x 2-

=,故： ①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b (即a 、b 同号)时，对称轴在y 轴左侧；③0

b

(即a 、b 异号)时,对称轴在y 轴右侧。

（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2

与y 轴交点的位置。

当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2

与y 轴有且只有一个交点(0，c )：

①0=c ，抛物线经过原点； ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0

0

b

。 例题1：已知二次函数2

y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图4所示，有下列四个结论：

20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有（ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

例题2：已知二次函数

的图象如图所示，有下列结论：①

；②abc ＞0；

③8a +c ＞0；④9a +3b +c ＜0。其中，正确结论的个数是( )。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 随堂练习：

1

、已知二次函数

(其中

，

，

)，关于这个二次函数的图象有如下

说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧。以上说法正确的有( )．

A 、0个

B 、1个

C 、2个

D 、3个 2、已知二次函数)0(2

≠++=a c bx ax y 的图象如图所示对称轴为2

1

-

=x 。下列结论中，正确的是（ ） A 、abc >0 B 、a +b =0 C 、2b+c >0 D 、4a 十c <2b 3、已知二次函数

的图象如图所示，则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a-2b+c ，2a+b ，2a-b

中，其值大于0的个数为( )

A 、2

B 、3

C 、4

D 、5

5、二次函数和不等式、方程的结合

（1）二次函数的零点的个数以及求解：通过判断2

=4b ac ?-的正负可以得到二次函数零点的个数，注意，

前提是需要注意一个函数是否为二次函数，需要判断二次项次数是否为零，其中12x =

、。 （2）二次函数和不等式的结合：在x 轴上方，则函数大于零；在x 轴下方，则函数小于零；在直线上方，