北大版高等数学第三章 积分的计算及应用答案 习题3.2
习题3.2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2111.ln ln ln ln 2
2
2
111
ln ln ln .2
2
222
4
1
1112
2.1212212
a x
a x
a x
a x
a x
a x
a x
a x a x
a x
a x
a x x
x xd x xd x x x d x
x
x
x
x
x x
d x x xd x x C x x
e d x x d e
x e
e d x x e xe
d x
a
a
a
a
a
x x e xd e x e e e
d x
a a a a a x e
a ==
-
=-
=-=
-+==-
=
-
=-=-+=-
???
???????? 求下列不定积分
:2
2
2
3
2232
122
122.1
11
3.sin 2co s 2co s 2co s 22
2
2
11co s 2sin 2.
2
4
4.arcsin arcsin arcsin arcsin 1arcsin 2
a x a x a x
a x
a x
x
xd e
x e
e
e
C
a a
a a
x
e
x C a
a a x xd x xd x x x xd x x x x C xd x x x xd x x x x x x =
-
+
+??=-++ ?
??=-=-
+
=-
+
+=-=-
=+
=?
?????
?
?
arcsin .
x C +
2
2
2
2
222222225.arctan arctan arctan arctan 11(1)1arctan arctan ln (1).2
12
1116.co s 3co s 3co s 3co s 32
2
2
1313co s 3sin 3co s 3sin 3222
4
1x
x
x
x
x
x
x
x
xd x
xd x x x xd x x x x
d x x x x x x C x I e
xd x xd e
e
x e
d x
e x e
xd x e
x xd e
=-=-
++=-=-
+++==
=-
=+=
+
=??
??
?????()
()22222223
co s 3sin 33co s 324
139co s 3sin 3,
24
44131co s 3sin 32co s 33sin 3.132413sin 37.sin 3sin 33co s 3sin 33co s 3sin 33x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
e x e x e
xd x
e
x e
x I I x x e C x x e C x I d x xd e
e
x e
xd x
e
e
x xd e
e x e
-------+-=+
-
??=
++=++ ?
??
==-=-+=--=--??
???(
)co s 33sin 3x
x e
xd x
-+?
()sin 33(co s 33),
1sin 33co s 3(sin 33co s 3).
10
10
x
x
x
x
x
e x e
x I e
I e
x e
x C x x C -----=--+=
--+=-
++
()
()2
2
2
22
2
2
2
118.sin sin sin co s 1sin co s 1sin co s sin 1sin co s .
11sin co s ,1(sin co a x
a x
a x
a x
a x
a x
a x
a x
a x
a x
a x
a x a x a x
b I e
b xd x b xd e
e
b x e
b xd x
a
a
a
b e b x b xd e
a a b
e b x e
b x b e
b xd x
a a b
e
b x e
b x b I a a
b I e b x e b x b a a a
e
I a b x b a b
==
=
-
=-=-+=-
+??
=
- ???
+
=
-+?????s ).
b x C +
9.,111
ln (32
2311ln (3.
26
I x xd x I I x C
x C =
==-
??=--
???=--
?=++=+
+?
?
?
?
?
?
2
2
2
10.co sh sin h sin h sin h sin h co sh .11.ln (ln (ln (ln (ln (.12.(arcco s )(arcco s )2(arcco s )2arcco x xd x xd x x x xd x x x x C x d x x x xd x xd x x x x x C x d x x x x
x x ==
-
=-++=+-
+
=+
-
=+
-
=+=-??????
?
?)
2s (arcco s )2
s 1xd x x x d x
=-+??
2
(arccos )2.x x x x C =--+
()2
2
2
2
2
2
2
arcco s 11
13.arcco s (1)
2
1arcco s 12(1)2arcco s 1.
2(1)
14.arctan arctan
1arctan
,,22
22arctan ,
11arc x xd x xd x x
x x x x C x x x x u x u d x u d u
u u d u u u C x
u
=
--=
+
-=++-======
=-+++???
???
?
?
1tan
arctan 2arctan
2arctan
arctan (1)arctan
.
x x C
x C
x C =-
-+=-+=+?
2
arcsin 1arcsin 15.arcsin arcsin 0)arcsin arcsin ln |1/arcsin ln (1ln arcsin ln (1ln ||(0)(x x d x xd x
x x x
x x x
x
x C
x x
x
x C
x x
x C x x
??
=-
=-+ ???=-
+
>=--
=-
-++=-+--+=-
+-
-+≠???
??
原函数为偶函数42
4
3
2
24
4
2
4
2
3
4
4
2
4
4
2
4
3
4
).
1
(ln )
12ln 16.(ln )(ln )4
4
4
(ln )
1
(ln )
1
ln ln 42
4
8
(ln )
1(ln )
1ln ln .
4
8
2
4
8
8
x x x xd x
x x d x x d x x
x x x x x xd x xd x
x x x
x x x
x x d x x x C ==
-
=-=-
=
-
+
=
-
+
+???
???
2
23/22
5/2
2
5/2
arctan 1arctan (1)
1217.arctan (1)(1)
2
(1)
23x xd x xd x xd x x x -+??=
=
-+ ?++??
?
?
?
2
2
3/2
2
5/2
arctan 1
.tan ,(/2,/2).sec ,3(1)
3(1)
x d x
x u u d x u d u x x
ππ=-
+
=∈-=++?
3
2
2
5/2
3
3
3
2
5/2
2
3/2
32
3/2
2
3/2
co s
(1sin )sin (1)
11sin sin ,3
3arctan arctan 11(1)
3(1)
33arctan 11
.
3(1)
9(1)
d x
u d u u d u x
u u C C x xd x x C x x x x x
C x x =
=-=
+?
?=-
+=
+ ????? ?=-
+-+ ?++???
=-
+
+++????
2
2
2
2
2
2
2
2
1
18.ln (ln (2
11ln (2211ln (2211
1ln (22
2
111
ln (ln (222221ln (
2
x x
d x x d x
x
d x x x x x x x x x x x C
x x +=+=+
-
=+
-
=+-
+
?=+
-+
+++ ?
?
=+
????
??
11ln (.
4
4
x C -
++
高数不定积分例题
不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-,则=)(x f ( ) A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析:因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案:B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(,则=)(x f ( ) A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析:对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=,所以= )(x f x x cos 答案:C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析:利用基本积分公式积分运算性质进行积分,注意在计算时,对被积函数要进行适当的变形 解:1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分
1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析:注意到这几个被积函数都是复合函数,对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法,在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=,设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解:1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析:注意到这些积分都不能用换元积分法,所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及u ,v '的选择可以参照下列步骤①凑微分,从被积函数中选择恰当的部分作为dx v ',即dv dx v =',使积分变为?udv ;②代公式,?udv ?-=vdu uv ,计算出dx u du '=;③计算积分?vdu 解:?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (
完整word版,高等数学考研辅导练习题不定积分定积分及常微分方程
《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1. 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2. 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+,求()01f x x <<。 3. 设 2 ()f x dx x C =+?,则2(1)xf x dx -=? 。 4. 计算 3。 5。 计算。 6. 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8. 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10. 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11. 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12. 设()arcsin xf x dx x C =+? ,则 1 () dx f x =? 。 13. 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-,且(())ln f x x ?=,求()x dx ??。 14. 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15. 计算x 。 16. 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17. 计算ln t tdt α ? 。 18. 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1.设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??,求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2. 设1 ()2()f x x f x dx =+? ,则()f x = 。 3. 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4. 已知()f x 连续,且满足()()1f x f x -=,则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?= 。
(完整版)定积分测试题
题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 (8小题,共26分) 得分 阅卷人 1. 4)(2 x dt t f x =? ,则=?dx x f x 40)(1( ) A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2.设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续,则函数 dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有( )个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3. =+? dx x x 3 1 ( ) A .18 B . 3 8 C . 1 D .0 4.设 )(x ?''在[b a ,]上连续,且a b =')(?,b a =')(?,则 ?='''b a dx x x )()(??( ) (A )b a - (B )21(b a -) (C ))(2 1 22b a + (D ))(2 122 b a - 5. 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --? 6.sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ,上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7.2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 . 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数,且已知,,则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2 二、填空 (2小题,共5分) 得分 阅卷人
高等数学不定积分例题思路和答案超全
高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 :求下列不定积分1.知识点:。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析:!利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数,由积分表中的公式(2)可解。 解: (2)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (3)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。:解. (4)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (5)思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解: (6)★★思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解: (8)★思路:分项积分。 解: (9)★★思路:?看到,直接积分。 解: (10)★★思路: 裂项分项积分。解: (11)★解: (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然。 解: (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解: (14)★★思路:被积函数,积分没困难。 解: (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。 解: (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。 解: () 17★思路:不难,关键知道“”。 :解. ()18★思路:同上题方法,应用“”,分项积分。 解: ()19★★思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。 解: ()20★★思路:注意到被积函数,则积分易得。 解: 、设,求。2★知识点:。考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析::。即可1直接利用不定积分的性质解::等式两边对求导数得 、,。求的原函数全体设的导函数为3★知识点:。仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析:。连续两次求不定积分即可解:,由题意可知:。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点:。考查原函数(不定积分)与被积函数的关系思路分析:。只需验证即可解:,而、,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为,由题意可知:,; 又点在曲线上,适合方程,有, 所以曲线的方程为 、,:问6一物体由静止开始运动,经秒后的速度是★★(1)在秒后物体离开出发点的距离是多少?