条件收敛与绝对收敛
第四节条件收敛与绝对收敛
对于任意项级数J■ an ,我们已经给出了其收敛的一些判
n =1
别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质一条件收敛与绝对收敛。
定义10.5对于级数a n，如果级数'Ta n l是收敛的，我们称
n =1n =1
级数v a n绝对收敛。
n d
如果-|a n |发散，但7 a n是收敛的，我们称级数7 a n条件收n =1 n =1n =1
敛。
n 1
条件收敛的级数是存在的，如、口
n=1 n
收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极限过程。并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。大体说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。下面我们讨论条件收敛与绝对收敛的性质。
定理10.17绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然
Q Q Q Q
证明：设级数v a n收敛，即v |a n |收敛，由Cauchy收敛准
n =1 n=1
则，对_ ;0,存在N，当n>N时，对一切自然数p,成
立着|a n 1 | |a n 2 I |a n p I —
于是：
|a ni a n.2 a n p 卩la nd L |a n 2 I Wn p 卜；
Q Q
再由Cauchy 收敛准则知a n 收敛。
n 丄
n 1
由级数-可看出反之不成立。
n=i n
注：如果正项级数|a n |发散，不能推出级数】a n 发散。
n =1
n=1
但如果使用 Cauchy 判别法或 D 'Alembert 判别法判定出
OQ
Q Q
；
'|a n |发散，则级数「a n 必发散，这是因为利用
Cauchy 判 n =1
n =1
Q Q
别法或D 'Alembert 判别法来判定一个正项级数
、ja n |为发散 心
时，是根据这个级数的一般项|a n |当n 》=时不趋于0，因此 Q Q
Q Q
对级数J an 而言，它的一般项也不趋于零， 所以级数J an 发
n =1
n =1
散。
例10.38讨论级数（T
厂1匚2 1
的敛散性，如收敛指明 心 n + 1
J n p
是条件收敛或绝对收敛。
解，当p "时,由于lim
n 2 1
- 0,所以级数发散.
n
T°° n + 1 J n p
当p 2时，因为
n 2 1
n 1 . n p
lim
1
n
& 1/ n p
|a ni a n.2 a n p 卩 la nd L |a n 2 I Wn p
卜；
而1
收敛，所以原级数绝对收敛 n.1 ..n p 当0 p 乞2时,
p
p
(n 2 4n 4)(n 1)2 _ (n 2 4n 3)n 2
(n 1)(n 2) n 珂n 1)。
p
p
> (n 2 + 4n + 4)n 2 - (n 2 + 4n + 3)n 2
p
上
(n 1)( n 2) n 珂n 俨
p
n'
c
p -------------- 7 0
(n 1)( n
2) n 2( n 1)2
故｛比｝单调减少，且
n 2 1 lim 0
n
心 n 1 n p
由Leibniz 判别法知「(-1)
n 1
n 2 1
收敛，
nN
n 十 1n p
；n 2 1
发散，所以当0 ：：： p 辽2时级数条件收敛。 nw n 1 n p
前面已经指出，一个收敛级数（不论是绝对收敛或条件 收敛），将其项任意加括号后，得到的新级数仍收敛，这个 性质称为收敛级数满足结合律。下面我们讨论收敛级数的交 换律。
u n u n
+1
(n +1)J n p
n + 3
(n 2) (n 1)p
显然
显然有 O^n "n \,
0“n Ta n \, n 叮，2,
Q Q
设J an 是一个级数，将级数项任意交换顺序，得到的新 n 丄
Q Q
级数记为a a n ,我们有下列定理：
n 丄
定理10.18设级数a n 绝对收敛，则重排的级数1 a n 也是
n =1
n=1
绝对收敛的，且其和不变。
证明：先设a a n 是正项收敛的级数，此时有
n =1
m
7
v a [
a n =M,对m=1,2,…,均成立
n =1
n =1
即正项级数a n 的部分和数列有界，从而a n 收敛，
n T nT
QO QO
且a 仁-a n
n =1
nW
而正项级数E a n 也可看成是E a n 的重排，从而也有
n =1
nW
、a n _ ' a n
n =1 nW
所以 a n = '? a n .
n =1
n =1
对一般项级数a n ，设、ja n |收敛
n =1
nW
| a n | a n
| a n \ ~ a n
记 u n = n n , v n = n n ,
n=1,2，…
,
2 2
显然有O^n "n\, 0“n Ta n\, n 叮，2,
由比较判别法知正项级数 -u n 与v n 均收敛。因而重排后的
级数M 与a Vn 也收敛，且有
n =1
n =1
' U
n
n =1
n =1
、V = V n
n =1
n =1
从而，级数\ja n i=v (u n U )也收敛，即v a n 绝对收敛，且
n =1
n d
n =1
有
' ia n i=' (u n -v n )=' u n 八 v
nT nT n=1 nT
='
U
n
— '
V
n
=
(U
n
一
V
n
)
n =1
n =1 n=1
oQ
=a
n
n m
下面我们讨论条件收敛级数的重排
：
Q Q
定理10.19( Riemann )设^ a n 是条件收敛级数,则
n 二1
(1)对任意给定的一个 r R ，必存在a n 的一个重排a 空
n 二1
使得a a n =r ；
n =1
⑵ 存在a n 的重排级数V a n 使
n =1
nW
7.3 任意项级数的绝对收敛与条件收敛-习题
1．判别下列级数的敛散性，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？ ⑴ 1 1 (1)n n ∞ -=-∑； 【解】级数 1 1 (1)n n ∞ -=-∑属于交错级数， 它满足关系1n n u u += >=（1,2,3,n =L ）且lim 0n n n u →∞==， 即由莱布尼兹定理知，级数 1 1 (1)n n ∞ -=-∑收敛， 但 1 1 (1) n n ∞ -=- ∑1n ∞ ==是112p =<的P 级数，发散， 综上知，级数 1 (1)n n ∞ -=-∑条件收敛。 ⑵ 1 11 (1) 3 n n n n ∞ --=-∑； 【解】级数 1 1 1(1)3n n n n ∞ --=-∑属于交错级数， 由于 1 11 (1) 3n n n n ∞ --=-∑1 13n n n ∞ -==∑， 因为111113lim lim lim 1333 n n n n n n n n u n n u n +→∞→∞→∞-++==<， 由正项级数的比值判别法知，级数 11 3n n n ∞ -=∑收敛， 综上知，级数 1 1 1 (1)3n n n n ∞ --=-∑绝对收敛。 ⑶ 1 1 ln (1)n n n n ∞ -=-∑； 【解】级数 1 1 ln (1)n n n n ∞ -=-∑属于交错级数，
由于函数ln x y x =有2 1ln '0x y x -=>当x e >时恒成立， 知ln x y x = 当x e >时为增函数， 从而满足关系1n n u u +>（3,4,5,n =L ）且1 ln lim lim lim 01 n n n n n n u n →∞→∞→∞===， 即由莱布尼兹定理知，级数 1 1 ln (1) n n n n ∞ -=-∑收敛， 但由于 1 1 ln (1) n n n n ∞ -=-∑1ln n n n ∞==∑11n n ∞=>∑，而11 n n ∞ =∑为调和级数，发散， 综上知级数 1 1 ln (1) n n n n ∞ -=-∑条件收敛。 ⑷ 1 1 1 (1)ln(1) n n n ∞ -=-+∑； 【解】级数 1 1 1 (1)ln(1) n n n ∞ -=-+∑属于交错级数， 它满足关系111 ln(1)ln(2) n n u u n n += >=++（1,2,3,n =L ） 且1 lim lim 0ln(1) n n n u n →∞ →∞==+， 即由莱布尼兹定理知，级数 1 1 1 (1)ln(1) n n n ∞ -=-+∑收敛， 但由于1lim n n n u u +→∞1 ln(1) lim 11n n n →∞+=+1lim ln(1)n n n →∞+=+1lim 1 1 n n →∞=+lim(1)n n →∞=+=∞， 且级数111n n ∞ =+∑21 n n ∞ ==∑为调和级数，发散， 即由比较判别法的极限形式知，级数 1 1 ln(1)n n ∞ =+∑发散， 综上知，级数 1 1 1 (1)ln(1) n n n ∞ -=-+∑条件收敛。
条件收敛与绝对收敛
第四节 条件收敛与绝对收敛 对于任意项级数∑∞ =1n n a ，我们已经给出了其收敛的一些判 别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质 — 条件收敛与绝对收敛。 定义10.5 对于级数∑∞ =1 n n a ，如果级数∑∞ =1 ||n n a 是收敛的，我们 称级数∑∞ =1 n n a 绝对收敛。 如果∑∞=1 ||n n a 发散，但∑∞=1 n n a 是收敛的, 我们称级数∑∞ =1 n n a 条件收 敛。 条件收敛的级数是存在的，如∑∞ =+-11 .)1(n n n 收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极限过程。并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。大体说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。下面我们讨论条件收敛与绝对收敛的性质。 定理10.17 绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然. 证明：设级数∑∞ =1 n n a 收敛，即∑∞ =1 ||n n a 收敛，由Cauchy 收敛准 则,对0>?ε, 存在N ，当n >N 时，对一切自然数p , 成立着 ε<++++++||||||21p n n n a a a Λ 于是:
≤++++++||21p n n n a a a Λε<++++++||||||21p n n n a a a Λ 再由Cauchy 收敛准则知∑∞ =1 n n a 收敛。 由级数∑∞ =+-1 1 )1(n n n 可看出反之不成立。 注：如果正项级数∑∞=1 ||n n a 发散，不能推出级数∑∞ =1 n n a 发散。 但如果使用Cauchy 判别法或D ’Alembert 判别法判定出 ∑∞=1 ||n n a 发散，则级数∑∞ =1 n n a 必发散，这是因为利用 Cauchy 判 别法或D ’Alembert 判别法来判定一个正项级数∑∞ =1 ||n n a 为发 散时，是根据这个级数的一般项|a n |当+∞→n 时不趋于0，因此对级数∑∞ =1 n n a 而言，它的一般项也不趋于零，所以级数∑∞ =1 n n a 发散。 例10.38 讨论级数∑∞ =+++-11 1 12)1(n p n n n n 的敛散性，如收敛指明是条件收敛或绝对收敛。 解，当0≤p 时,由于∞ →n lim ,01 12≠++p n n n 所以级数发散. 当2>p 时, 因为 ∞ →n lim 1/11 12=++p p n n n n 而∑ ∞ =1 1n p n 收敛，所以原级数绝对收敛。 当20≤
条件收敛与绝对收敛
第四节条件收敛与绝对收敛 对于任意项级数 a n ,我们已经给出了其收敛的一些判 n 1 别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质 一条件收敛 与 绝对收敛 定义 对于级数 a n ，如果级数 I a n |是收敛的， n 1 n 1 a n 绝对收敛。 n 1 如果|a n |发散，但 a n 是收敛的，我们称级数 n 1 n 1 敛。 (1)n 1. n 1 n 收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极 限过程。并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。大体 说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收 敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。下面我们讨论条 件收敛与绝对收敛的性质。 定理绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然 证明：设级数 a n 收敛，即|a n I 收敛，由Cauchy 收敛准则， n 1 n 1 对 0,存在N ，当n>N 时，对一切自然数 p,成立 着丨 a n 1 丨 1 a n 2 1 1 a n p 1 于是： 我们称级数 a n 条件收 n 1 条件收敛的级数是存在的，如
1 a n 1 a n 2 a np丨丨a n 1丨丨a n2丨丨a n p丨 再由Cauchy收敛准则知a n收敛。 n 1 由级数(1)可看出反之不成立。 n 1 n 注：如果正项级数|a n |发散，不能推出级数a n发散。 n 1 n 1 但如果使用Cauchy判别法或DAlembert判别法判定出|a n | n 1 发散，则级数a n必发散，这是因为利用Cauchy判别法或 n 1 D'lembert判别法来判定一个正项级数| a n |为发散时，是 n 1 根据这个级数的一般项| a n|当n 时不趋于0，因此对级 数a n而言，它的一般项也不趋于零，所以级数 n 1 例讨论级数(1)n1^ 1的敛散性，如收敛指明是条件 n 1 n 1 s'n p 收敛或绝对收敛。 解，当p 0 时，由于W需总0,所以级数发散. 当p 2时，因为 n 2 1 n 1 n p lim ------- : ---- 1 n 1/ .n p 而1收敛，所以原级数绝对收敛。n 1 叮n p 当o p 2时， a n发散。
条件收敛与绝对收敛
第四节条件收敛与绝对收敛 对于任意项级数J■ an ,我们已经给出了其收敛的一些判 n =1 别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质一条件收敛与绝对收敛。 定义10.5对于级数a n，如果级数'Ta n l是收敛的，我们称 n =1n =1 级数v a n绝对收敛。 n d 如果-|a n |发散，但7 a n是收敛的，我们称级数7 a n条件收n =1 n =1n =1 敛。 n 1 条件收敛的级数是存在的，如、口 n=1 n 收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极限过程。并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。大体说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。下面我们讨论条件收敛与绝对收敛的性质。 定理10.17绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然 Q Q Q Q 证明：设级数v a n收敛，即v |a n |收敛，由Cauchy收敛准 n =1 n=1 则，对_ ;0,存在N，当n>N时，对一切自然数p,成 立着|a n 1 | |a n 2 I |a n p I —
于是： |a ni a n.2 a n p 卩la nd L |a n 2 I Wn p 卜；
Q Q 再由Cauchy 收敛准则知a n 收敛。 n 丄 n 1 由级数-可看出反之不成立。 n=i n 注：如果正项级数|a n |发散，不能推出级数】a n 发散。 n =1 n=1 但如果使用 Cauchy 判别法或 D 'Alembert 判别法判定出 OQ Q Q ； '|a n |发散，则级数「a n 必发散，这是因为利用 Cauchy 判 n =1 n =1 Q Q 别法或D 'Alembert 判别法来判定一个正项级数 、ja n |为发散 心 时，是根据这个级数的一般项|a n |当n 》=时不趋于0，因此 Q Q Q Q 对级数J an 而言，它的一般项也不趋于零， 所以级数J an 发 n =1 n =1 散。 例10.38讨论级数（T 厂1匚2 1 的敛散性，如收敛指明 心 n + 1 J n p 是条件收敛或绝对收敛。 解，当p "时,由于lim n 2 1 - 0,所以级数发散. n T°° n + 1 J n p 当p 2时，因为 n 2 1 n 1 . n p lim 1 n & 1/ n p