2016届虹口区高三一模数学卷(附答案)

（第10题图）

（第7题图）

虹口区2015学年度第一学期期终教学质量监控测试

高三数学 试卷 2016.1

考生注意：

1.本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时间120分钟.

2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.

一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接

填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1．函数1()2x f x +=的反函数1

()_________.f x -=

2．设全集{},11,U R A x x ==->若集合则U A =e______. 3．若复数z 满足

201520161z

i i i

=++（i 为虚数单位），则复数z

=______. 4．在二项式81

)x

的展开式中，常数项的值为______.

（结果用数字表示）

5．行列式12cos()

tan 25cos cot()

x x x

x π

π+-的最大值为______.

6. 在等差数列{}n a 中，1352469,15,a a a a a a ++=++=

则数列{}n a 的前10项的和等于_____.

7．如图，已知双曲线C 的右焦点为F ，过它的右顶点A 作实轴的垂线，与其一条渐近线相交于点B ；若双曲线C 的 焦距为4，OFB ?为等边三角形（O 为坐标原点，即双曲线 C 的中心），则双曲线C 的方程为_________________.

8.已知数据128,,,x x x 的方差为16，则数据121,x +

2821,,21x x ++ 的标准差为 .

9.已知抛物线2

8x y =的弦AB 的中点的纵坐标为4 ，则

AB 的最大值为__________.

10．如图所示，半径2R =的球O 中有一内接圆柱，当

圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差等于___________.

11. 锅中煮有肉馅、三鲜馅、菌菇馅的水饺各5个，这三种水饺的外形完全相同. 从中任意舀取4个水饺，则每种水饺都至少取到1个的概率为___________.（结果用最简分数表示）

12. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12364,a a a =且

2135215()(),

n n S a a a a n N *-=++++∈

则______.n a =

13．在由正整数构成的无穷数列{}n a 中，对任意的1,,n n n N a a *

+∈≤都有且对任意的

,k N *∈数列{}n a 中恰有k k 个，则2016________.a =

14. 若函数()()()2,1,3,1x a x f x x a x a x ?-≤?=?

-->??

恰有两个零点，则实数a 的取值范围是___________.

二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的

相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分.

15. 设αβ、为两个不同平面，若直线l α在平面内，则l α

ββ⊥⊥“”是“”的

（ ）

（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件

（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件

16 . 已知直线544x x ππ

==和是函数()sin()(0,0)f x x ω?ω?π=+><<图像的两

条

相

邻

的

对

称

轴

，

则

?

的值为

（ ） （A ）

4π （B ）

3π （C ）

2

π

（D ）

34π

17.已知a b 、均为单位向量，且0.a b ?=

若435,c a c b -+-= 则c a + 的取值

范围是

（第19题图）

A

B

C

P Q A 1

B 1

C 1

(

)

（A

）3,

??

（B ）[]3,5 （C ）[]3,4 （D

）5?? 18．设函数22,0,

(),0,

x x f x log x x ?+≤?=?>??

若关于x 的方程()f x a =有四个不同的解1234,,,,

x x x x

且

1234,

x x x x <<<则

312234

1

()x x x x x ++

的取值范围是

( )

（A ）()3,-+∞ （B ）(),3-∞ （C ）[)3,3- （D ）(]

3,3-

三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.

19．(本题满分12分) 本题共2个小题，每小题6分.

如图，在正三棱柱111ABC A B C - 中，已知它的底面边长为10， 高为20 .

(1) 求正三棱柱111ABC A B C -的表面积与体积；

(2) 若P Q 、

分别是1BC CC 、的中点，求异面直线PQ AC 与所

成角的大小（结果用反三角函数表示）.

20．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分. 已知ABC ?的面积为S ，且.AB AC S ?=

（1） 求sin cos ,tan 2A A A ,的值；

（2） 若,6,4B CA CB π=-=

求ABC ?的面积S .

21．(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分， 第2小题8分. 对于函数1

(),1f x x

=

-定义[]11()(),()()().n n f x f x f x f f x n N *+==∈已知偶函数()g x 的定义域为(,0)(0,),(1)0g -∞?+∞=；

20150,1()().x x g x f x >≠=当且时，

（1）求234(),(),(),f x f x f x 并求出函数()y g x =的解析式；

(2) 若存在实数,()a b a b <使得函数[](),g x a b 在上的值域为[],mb ma ，求实数

m 的取值范围.

22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题6分，第2小题4分，第2小题6分.

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20,

2().n n S S n na n N *=+=∈

（1） 计算1234,,,,a a a a

并求数列{}n a 的通项公式；

（2） 若数列{}n b 满足12335(21)23,n n n b b b n b a ++++-=?+ 求证：数列{}n b 是等比数列； （

3

）

由

数

列

{}

n a 的项组成一个新数列

{}

n c ：

1122334567,,,,c a c a a c a a a a ==+=+++

（第23题图）

1112212221,n n n n n c a a a a ---++-=++++ . 设n T 为数列{}n c 的前n 项和，试求lim 4

n n

n T →∞

的值.

23. (本题满分18分) 本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第2小题8分.

已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左焦点为,F 短轴的两个端点分别为

,A B 、且2,AB =ABF ?为等边三角形 .

(1) 求椭圆C 的方程；

(2) 如图，点M 在椭圆C 上且位于第一象 限内，它关于坐标原点O 的对称点为N ； 过点 M 作x 轴的垂线，垂足为H ，直线NH 与椭圆

C 交于另一点J ，若12

HM HN ?=-

，试求以线段NJ 为直径的圆的方程；

（3）已知12l l 、是过点A 的两条互相垂直的直线，直线1l 与圆22

:4O x y +=相交于

P Q 、两点，直线2l 与椭圆C 交于另一点R ；求PQR ?面积取最大值时，直线1l 的方程.

虹口区2015学年度第一学期期终教学质量监控测试 高三数学 参考答案和评分标准 2016年

1月

一、填空题（本大题共14题,每题4分,满分56分）

1．2log 1(0)x x -> 2．[]0,2 3. 2 4．28

C 1

B 1

A 1

Q P

C

B

A

（第19题图）

5． 13 6. 80 7. 2

213

y x -= 8． 8

9. 12 10． 8π 11．5091

12. 14n -

13．63 14．()1,12,3???+∞ ???

二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）

15. B 16. A 17. B 18. D 三、解答题（本大题共5题，满分74分）

19．(本题满分12分) 本题共2个小题，每小题6分. 解

：

（

1

）

1111122=23=210+31020600)ABC ABC A B C ABB A S S S cm ?-+??=+正三棱柱侧矩形 ……(3分)

111231=1020)ABC ABC A B C V S AA cm -???=正三棱柱……(6分)

（2）连结11,,BA BC 则1//,BC PQ 又11//,AC AC

故11BC A ∠等于异面直线PQ AC 与所成角. ……(8分)

易得111110

BC BA AC ===而，故

222

1111

11111

cos 2BC AC BA BC A BC AC +-∠=

=?? 于是异面直线PQ AC 与

所成角的大小为arc ……(12分)

20．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分.

解：（1）由AB AC S ?= 得 1

cos sin 2

c b A c b A

??=???

tan 2,0,.

2A A π???=∈ ???于是 ……(4分)

进而求得

4sin ,cos tan 2.3A A A =

==- ……(7分)

（2）66, 6.CA CB BA c -===

由得即 ……(9分)

6sin sin sin sin()b c c B

b B C A B =?==+由正弦定理，有

……(12分)

11sin 612.22S bc A =?=?=于是 ……(14

分)

21．(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分， 第2小题8分. 解：（1）因为()11

()()1,1f x f x x x

==

≠-故 []()2111

()()10,1,111f x f

f x x x x

x

==

=-

≠≠-

- [][]32431

()()(0,1),1

1(1)

1

()()(0,1),

(3)

1f x f

f x x x x x

f x f f x x x x

==

=≠≠--==≠≠- 分

故对任意的3,()()(2,3,4),n i i n N f x f x i +∈==有

于

是

201

(

)f x x

?

+

=

==-

≠≠

20151

0,1()()1.x x g x f x x

>≠==-故当时，

1

(1)0,0()1.g x g x x =>=-又故当时，

由()g x 为偶函数，1100,()()11.x x g x g x x x <->=-=-=+-当时，

1

1,0,1

()11

10.x x g x x

x x

?+

==-

?

?->??，因此

. ……(6分) (2) 由于

()

y g x =的定义域为

(,0)(0,)-∞?+∞，

又,,a b mb ma a b <<可知与同号，0m <且;进而

[](),g x a b 在递减,且0.a b << ……(8分)函数()y g x =的图像，如图所示. 由题意，有

1()1,1()1,g a ma a g b mb b ?

=+=???

?=+=??

……(10分)

故,a b 是方程1

1m x x

+=的两个不相等的负实数根，即方程210m x x --=在(),0-∞上有

两个不相等的实根，于是

14010101

0.

4

m a b m ab m m ?

??=+>?

?

+=

??

=->??

?-<< ……(12分) 综合上述，得：实数m 的取值范围为1

,

0.4??

- ???

……(14分) 注：若采用数形结合，得出直线y m x =与曲线1

1(0)y x x

=+<有两个不同交点，并进行求解也可.

22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题6分，第2小题4分，第2小题6分. 解：（1）当1n =时，由1121,S a +=得11;a =- 由2120,S a a =+=得21;a = 当3n =时，由33323233,S a a +=+=得33;a =

当4n =时，由444242104,S a a +=+=得4 5.a =

猜想：23().n a n n N *=-∈ ……(3分) 下面用数学归纳法证明：

① 当2n =时， 21,a =结论显然成立；

② 假设当2n k =≥时，2 3.k a k =-由条件知2,n n S na n =-故

[]1111222(1)(1)()(1)1,k k k k k k k a S S k a k ka k k a ka ++++=-=+-+--=+--

于是11(1)1(23)1(1)(21),2(1) 3.k k k k a ka k k k k a k ++-=+=-+=--=+-从而

故数列{}n a 的通项公式为：23().n a n n N *

=-∈ ……(6分)

另解（1）：当1n =时，由1121,S a +=得11;a =- 由2120,S a a =+=得21;a =

当3n =时，由33323233,S a a +=+=得3 3.a =

当4n =时，由444242104,S a a +=+=得4 5.a = ……(2分) 当3n ≥时，由条件知2,n n S na n =-故

()[]111222(1)(1)(1)1,n n n n n n n a S S na n n a n na n a ---=-=-----=---

于是1111

(2)(1)1,1221

n n n n a a n a n a n n n n -----=?

-=----- ……(4分) 112322

()()()1122321

111111111111()()()()()212233432211

n n n n n a a a a a a a

a n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-----=+-+-+-++-+-=-

----- 从而

故23(3).n a n n =-≥ 于是数列{}n a 的通项公式为：23().n a n n N *=-∈……(6分)

证：（2）当1n =时， 11231,b a =+=当2n ≥时，由条件得

[][]

()()123112311111(21)35(23)(21)35(23)23232(23)2(25)2(8(1)

2)

n n n n n n n n n n n n b b b b n b n b b b b n b a a n n n -------=++++-+--++++-=?+-+=---=- 分

从而1

2.n n b -= 故数列{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列. ……(10分)

解：（3）由题意，得

1112212221

111111(223)(221)(221)(227)(225)2(223)(225)(12)

3422

4

n n n n n n n n n n n n n

n

n c a a a a ---++------+=++++=?-+?-+?+++?-+?-????-+?-??

=

=

?- 分

22311223

(444)(222)4

34(41)2(21)442344 (14)

121

n n n n n n n n T c c c +=+++=

+++++++-?-=?-=-?+-- 故分

从而 11lim lim 143 1.424n n

n n n n T →∞→∞??????=-?+=?? ? ?????????

……(16分)

注：在解答第（3）小题时，可直接求出n T .

23. (本题满分18分) 本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第2小题8分.

解：（1

）由题意，得22222,,,b c b b c a =?

?=??+=? ……(2分)

2,

1,a b c ?=?

=??

=?解得 故椭圆C 的方程为22 1.4

x y += ……(4分) （2）设00(,),M x y 则由条件，知000000,0,(,),(,0).x y N x y H x >>--且 从而000(0,),(,).HM y HN x y ==--

于是由20000001(0,)(,),0,2HM HN y x y y y y ?=?--=-=->= 及得 再由点M 在椭圆C

上，得2

20001,4

x y x +==求得

所以),(),0);M N H ……(6分) 进而求得直线NH 的方程:

40.x y -=

由2

240,

1,4

x y x y ?-=??+=?

?J 求得 ……(8分)

进而NJ NJ =线段的中点坐标为

因此以线段NJ

为直径的圆的方程为：22153

((.50

x y += ……(10分) （3）当直线1l 的斜率不存在时，直线2l 与椭圆C 相切于点A ，不合题意；当直线1l 的斜率为0

时，可以求得PQR S ?= ……(12分)

当直线1l 的斜率存在且不为0时，设其方程为1(0),y k x k =-≠则点O 到直线1l 的距

离为d =

从而由几何意义，得PQ == 由于21,l l ⊥故直线2l 的方程为1

1,y x k

=-

-可求得它与椭圆C 的交点R 的坐标为22284,;44k k k k ??--- ?++??

于是AR ==

12PQR

S PQ AR ??==故 ……(15分)

u =>令

则232321313PQR u u u u

S ?=≤++=

当且仅当10

u k =>=即 时，上式取等号.

>

故当k =时，(

)max PQR S ?=；此时直线1l 的方程为：

1.y =-（也可写成

220.y ++=） ……(18分)