第17讲 相似三角形
经典学而思全等三角形全套
第一讲全等三角形的性质及判定 【例1】 如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =． 【补充】如图所示：AB CD ∥，AB CD =．求证：AD BC ∥． 【例2】 已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证： OA OD =． 【补充】已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠． 【补充】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求 证：FC AD =． F E D C B A 【例3】 如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证： AC BD ∥． O F E D C B A F E D C B A D C B A F E O D C B A O D C B A
【补充】已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =． F E C B A 【例4】 如图，90DCE CD CE AD AC BE AC ∠=?=⊥⊥，，，，垂足分别为A B ，，试说明AD AB BE += E D C B A 【例10】 如图所示， 已知AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =． 【例11】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥． P F E D C B A 【补充】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证： BG CF BC +=． G A B C D E F F D C B A
16全等三角形备课稿
备课笔记
（2）如图，在△ABC和△DEF中，AB//DE ，AB=DE，添加下列一个 条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是 （） A．∠A=∠D B．BC=EF C．∠ACB=∠F D．AC=DF （3）如图，△ABC≌△AEF，且B、F、C三点共线，则对于结论① AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC=∠EFB，其中正 确结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4 个 活动三、综合检测 2、（1）在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方 形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC 有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 （2）如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF， 则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③ 当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论 是________________．（请写出正确结论的序号）． 2(2) 2(3) （3）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B，D重合，已知AB=3，AD=4， 则①DE=DF；②DF=EF；③△DCF≌△DGE；④EF= 4 15 ．上面结论正确 的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 学生活动：独 立思考，自主 完成. 1（3） 1（2） 2（1）
3、如图，正方形ABCD中，点E、F在边DC、BC上，且∠EAF=45° (1)求证：DE+BF=EF (2)若CD=4，且AE=AB+CE，求△AEF的面积. 活动四、能力提升 4、如图1，AD平分∠BAC．∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC． 探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°， 求证：DB=DC． 应用：如图3，四边形ABDC中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC=a， 则AB﹣AC=（用含a的代数式表示） 学生活动： 1、独自练习； 2、请学生板演 第3题. 教师活动： 1、指导学生在 运用性质与判 定的过程中总 结注意点； 2、对学生进行 友情提醒以及 方法的点拨。
全等三角形导学案(共16课时)
课题： 11.1 全等三角形 第1课时 累计1课时 编写人： 备课组长： 审查人 授课时间 教学目标：1、知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素。 2、知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等 3、能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边。 教学重点：全等三角形的性质。 教学难点：找全等三角形的对应边、对应角。 教学过程： 一、 创设情境，引入新课（课前检测） 二、课前预习 1、 阅读教材2——3页 2、填空 （1） 叫做全等形 （2） 叫做全等三角形 （3）把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做 ，重合的边叫做 重合的角叫做 。 （4）“全等”用 表示， 读作 。 （5）全等三角形的性质： ， 。3.思考 （1）下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角 （2）将ABC ?沿直线BC 平移，得到DEF ?，说出你得到的结论，说明理由？ （3）如图，,ACD ABE ???AB 与AC ，AD 与AE 是对应边，已知： οο30,43=∠=∠B A ，求ADC ∠的大小。 三．合作探究 D D B D B E B C
例1.已知如图（1），ABC ?≌DCB ?,其中的对应边:____与____,____与____,____与____, 对应角:______与_______,______与_______,______与_______. 例2.如图（2），若BOD ?≌C B COE ∠=∠?,.指出这两个全等三角形的对应边； 若ADO ?≌AEO ?,指出这两个三角形的对应角。 （图1） （图2） （ 图3） 例3．如图（3）, ABC ?≌ADE ?，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G, ο105=∠=∠AED ACB ,οο25,10=∠=∠=∠D B CAD ,求DFB ∠、DGB ∠的度数. 三、疑难点拨 1、如图，已知△ABE ≌△ACD , ∠ADE=∠AED,∠B=∠C,指出其它的对应边和对应角。 五、当堂训练 教材4页的1、2题 六、小结提升 1、你学到了什么？还存在哪些困惑？ 2,、教师补充。 展示 点评 题号 题号 题号 题号 题号 七、课堂作业 1、 教材4页1、 2、3 课后反思： 课外练习p4 4 课辅p1 变式练习
第4讲.全等三角形的经典模型(二).培优
等等…腰 漫画释义 满分晋级阶梯 4 全等三角形的 经典模型（二） 三角形11级 特殊三角形之直角三角形 三角形10级 勾股定理与逆定理 三角形9级 全等三角形的经典模型（二）
O F E C B A A F C O B E D H A B C D O E O G F E C B A “手拉手”数学模型： ⑴ ⑵ ⑶ 【引例】 如图，等边三角形ABE 与等边三角形AFC 共点于A ，连接BF 、CE ， 求证：BF =CE 并求出∠EOB 的度数. 【解析】 ∵△ABE 、△AFC 是等边三角形 ∴AE =AB ，AC =AF ，60∠=∠=?EAB FAC 知识互联网 思路导航 例题精讲 题型一：“手拉手”模型
3 N M C B A B N C A B C M N ∴∠+∠=∠+∠EAB BAC FAC BAC 即∠=∠EAC BAF ∴AEC ABF △≌△ ∴BF =EC ∠=∠AEC ABF 又∵AGE BGO ∠=∠ ∴60∠=∠=?BOE EAB ∴60∠=?EOB 【例1】 如图，正方形BAFE 与正方形ACGD 共点于A ，连接BD 、CF ，求证：BD =CF 并求出 ∠DOH 的度数. 【解析】 同引例，先证明ABD AFC △≌△ ∴BD =FC ，∠=∠BDA FCA ∵∠=∠DHO CHA ∴90∠=∠=?DOH CAD 【例2】 如图，已知点C 为线段AB 上一点，ACM △、BCN △是等边三角形． ⑴ 求证：AN BM =. ⑵ 将ACM △绕点C 按逆时针方向旋转180°，使点A 落在CB 上，请你对照原题图在图中画出符合要求的图形； ⑶ 在⑵得到的图形中，结论“AN BM =”是否还成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； ⑷ 在⑵所得的图形中，设MA 的延长线交BN 于D ，试判断ABD △的形状，并证明你的结论． 【分析】 这是一个固定 后运动变化的探索题，且在一定的条件下，探究原结论的存在性（不变性）； 需要画图分析、判断、猜想、推理论证． 【解析】 ⑴ ∵ACM △、BCN △是等边三角形 ∴AC CM =，BC CN = 60ACM BCN ∠=∠=° ∴∠=∠ACN MCB 在ACN △和MCB △中 典题精练 O H G D F E C B A
八级数学竞赛讲座第十讲全等三角形
第十讲全等三角形 全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点，运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题． 利用全等三角形证明问题，关键在于从复杂的图形中找到一对基础的三角形，这对基础的三角形从实质上来说，是由三角形全等判定定理中的一对三角形变位而来，也可能是由几对三角形组成，其间的关系互相传递，应熟悉涉及有公共边、公共角的以下两类基本图形： 例题求解≌△ACN；②BE=CF；③△AC，＝AF，给出下列结论：①∠1=∠2E= 【例1】如图，∠∠F=90°，∠B=∠C) ． (广州市中考题 (ABM；④CD=DN，其中正确的结论是把你认为所有正确结论的序号填上)对一个复杂的图形，先找出比较明显的一对全等三角形，并发现有用的条件，进而判断推出思路点拨 其他三角形全等．两个三角形的全等是指两个图形之间的一种‘对应”关系，“对应'两字，有“相当”、“相应”注 的含意，对应关系是按一定标准的一对一的关系，“互相重合”是判断其对应部分的标准．实际遇到的图形，两个全等三角形并不重合在一起，但其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻拆、旋转等方法得到，这种改变位置，不改变形状大小的图形变动叫三角形的全等变换．( ) 的取值范围是＝4，则边ABAD在△2】 ABC中，AC＝5，中线【例9 C．5 第17讲 全等三角形 命题点 全等三角形的性质与判定 1．(2020·河北T21·9分)如图，点B ，F ，C ，E 在直线l 上(F ，C 之间不能直接测量)，点A ，D 在l 异侧，测得AB ＝DE ，AC ＝DF ，BF ＝EC. (1)求证：△ABC ≌△DEF ； (2)指出图中所有平行的线段，并说明理由． 解：(1)证明：∵BF ＝EC ， ∴BF ＋FC ＝EC ＋CF ，即BC ＝EF. 又∵AB ＝DE ，AC ＝DF ， ∴△ABC ≌△DEF(SSS)． (2)AB ∥DE ，AC ∥DF. 理由：∵△ABC ≌△DEF ， ∴∠ABC ＝∠DEF ，∠ACB ＝∠DFE. ∴AB ∥DE ，AC ∥DF. 2．(2020·河北T23·11分)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝40°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转100°，得到△ADE ，连接BD ，CE 交于点F. (1)求证：△ABD ≌△ACE ； (2)求∠ACE 的度数； (3)求证：四边形ABFE 是菱形． 解：(1)证明：由旋转性质，得∠BAC ＝∠DAE ＝40°，∠BAD ＝∠CAE ＝100°， 又∵AB ＝AC ， ∴AB ＝AC ＝AD ＝AE. 在△ABD 和△ACE 中， ???? ?AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ， ∴△ABD ≌△ACE(SAS)． (2)∵∠CAE ＝100°，AC ＝AE ，∴∠ACE ＝12(180°－∠CAE)＝1 2×(180°－100°)＝40°. (3)证明：∵∠BAD ＝∠CAE ＝100°，AB ＝AC ＝AD ＝AE ，∴∠ABD ＝∠ADB ＝∠ACE ＝∠AEC ＝40°. ∵∠BAE ＝∠BAD ＋∠DAE ＝140°， ∴∠BFE ＝360°－∠BAE －∠ABD －∠AEC ＝140°. ∴∠BAE ＝∠BFE.∴四边形ABFE 是平行四边形． ∵AB ＝AE ，∴四边形ABFE 是菱形． 初一数学春季班（教师版） 本节课通过推理和专题训练，学会运用全等三角形的判定方法去解决三角形全等的综合问题．通过添加辅助线解决相关的边角证明问题，本节的内容相对综合，难度稍大． 全等三角形综合主要是通过全等得出结论，进而求出相应的边和角之间的关系．对于稍复杂的会通过添加平行线，倍长中线或截长补短等方法，解决综合问题． 全等三角形的综合 内容分析 知识结构 模块一：全等三角形判定的综合 知识精讲 【例1】 已知：AE ＝ED ，BD ＝AB ，试说明：CA ＝CD ． 【难度】★ 【答案】见解析． 【解析】在△ABE 与△DBE 中， AE ED AB BD BE BE =?? =??=?， ()ABE DBE SSS ∴???， AEB DEB ∴∠=∠， AEC DEC ∴∠=∠． 在△ACE 与△DCE 中， AE ED AEC DEC CE CE =?? ∠=∠??=? ， ()AEC DEC SAS ∴??， CA CD ∴=（全等三角形的对应边相等） ． 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理的应用． 【例2】 如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BE ＝CE ，试说明：AE ＝DE ． 【难度】★ 【答案】见解析． 【解析】在△ABC 和△DCB 中， AB DC AC DB BC CB =?? =??=? ， ∴△ABC ≌△DCB （S.S.S ） ， ∴∠ABC=∠DCB ． 在△ABE 和△DCE 中， AB DC ABC DCB BE CE =?? ∠=∠??=? ， ∴△ABE ≌△DCE （S.A.S ） ， ∴AE=DE （全等三角形的对应边相等）． 【总结】本题主要考查了全等三角形判定定理的应用． 例题解析 A B E C D A B C D E 七年级下学期春季班 （学生版） 最 新 讲 义 2 / 16 本节主要针对全等三角形的相关概念和性质及全等三角形的判定进行讲 解，重点是全等三角形的性质的运用和判定两个三角形全等的四个判定定理，要求同学们可以达到灵活运用判定定理进行说明三角形全等的理由．本节课是几何说理的基础，综合性不高，相对简单． 全等形、全等三角形及其相关的概念 （1） 全等形：能够重合的两个图形叫做全等形. （2） 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶 点叫做对应顶点；互相重合的角叫做对应角；互相重合的边叫做对应边． 如下图所示： 已知：△ABC ≌DFE ，A 与D ，B 与F 是对应顶点，则：(C 与E 是对应顶点) 对应边有：AB 与DF ，AC 与DE ，BC 与FE ． 对应角有：A D B F C E ∠∠∠∠∠∠与，与，与． 全等三角形的概念性质和判定 内容分析 知识结构 模块一：全等三角形的概念和性质 知识精讲 A B C D E F 3 / 16 全等三角形的数学语言： 三角形ABC 与三角形A ′B ′C ′全等，记作△ABC ≌△A ′B ′C ′，读作“三角形ABC 全等于三角形A ′B ′C ′”． 全等三角形的性质： （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等； （2）全等三角形的面积相等，周长相等； （3）全等三角形的对应线段（高线、中线、角平分线）相等． 全等三角形中应注意的问题： （1）要正确区分“对应边”与“对边”、“对应角”与“对角”的不同含义； （2）符号“≌”表示的双重含义：①“∽”表示形状相同；②“=”表示大小相等； （3）表示两个三角形全等时，表示对应的顶点的字母要写在相对应的位置上； 画三角形： 确定三角形形状、大小的条件：六个元素（三条边、三个角）中的如下三个元素：两角及其夹边；两边及其夹角；三边. 【例1】 下列说法正确的是（ ） A ．全等三角形是指形状相同的三角形 B ．全等三角形是指面积相等的三角形 C ．全等三角形的周长和面积都相等 D ．所有的等边三角形都全等 【例2】 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（ ） A ．形状相同 B ．周长相等 C ．面积相等 D ．全等 【例3】 如图所示，△ABC ≌△CDA ，且AB ＝CD ，则下列结论错误的是（ ） A ．∠1＝∠2 B ．AC ＝CA C ．∠B ＝∠D D ．AC ＝BC 例题解析 2 1A B C D 1 初二秋季·第3讲·提高班·教师版 作弊？ 三角形9级 全等三角形的经典模型（二） 三角形8级 全等三角形的经典模型（一） 三角形7级 倍长中线与截长补短 满分晋级 漫画释义 3 全等三角形的 经典模型（一） 2 D C B A 45°45° C B A 等腰直角三角形数学模型思路： ⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC 或904545??°，，）.如图1； ⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2； ⑶补全为正方形.如图3，4. 图1 图2 图3 图4 思路导航 知识互联网 题型一：等腰直角三角形模型 3 初二秋季·第3讲·提高班·教师版 A B C O M N A B C O M N 【例1】 已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=°，O 为BC 的中点， ⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不要 求证明） ⑵如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持 AN =CM .试判断△OMN 的形状，并证明你的结论. ⑶如果点M 、N 分别在线段CA 、AB 的延长线上移动，且在移动中保 持AN =CM ，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明． 【解析】 ⑴OA =OB =OC ⑵连接OA , ∵OA =OC 45∠=∠=BAO C ° AN =CM ∴△ANO ≌△CMO ∴ON =OM ∴∠=∠NOA MOC ∴90∠+∠=∠+∠=?NOA BON MOC BON ∴90∠=?NOM ∴△OMN 是等腰直角三角形 ⑶△ONM 依然为等腰直角三角形， 证明：∵∠BAC =90°，AB =AC ，O 为BC 中点 ∴∠BAO =∠OAC =∠ABC =∠ACB =45°， ∴AO =BO =OC ， ∵在△ANO 和△CMO 中， AN CM BAO C AO CO =?? ∠=∠??=? ∴△ANO ≌△CMO （SAS ） ∴ON =OM ，∠AON =∠COM ， 又∵∠COM -∠AOM =90°， 典题精练 A B C O M N 第一讲——全等三角形的性质 知识点一：全等形的概念及性质 【知识透析】 1、全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 2、全等形的性质：全等图形的形状和大小都相同。 【典型例题】 1、观察下图所示的各个图形，指出其中的全等形。 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽ 解析：全等形：⑴⑻，⑵⑹，⑶⑷，⑸⑺。 ⑼与⑽形状相同，但是大小不等。 【注】是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等. 【随堂练习】 1、在下列各组图形中，是全等的图形是（ ） A ． B ． C D 知识点二：全等三角形的定义和表示方法 1、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的对应元素 两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 3、全等三角形的表示方法 “全等”用符号“≌”表示，其中“∽”表示形状相同（即相似），“﹦”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小相等，这就是全等。 符号“≌”读作“全等于”，如ABC ?和△DEC 全等，记作ABC ?≌△DEC 。 其中点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F 是对应顶点；AB 和DE ，BC 和EF ，AC 和DF 是对应边； A ∠和D ∠，B ∠和E ∠，C ∠和F ∠是对应角。 【典型例题】 1、如下图，△ABC ≌△ADE ，试找出对应边、对应角。 O E D C B A 注：全等三角形可以利用“运动法、翻折法、旋转法、平移法”等来找对应元素。 【随堂练习】 1、已知如图1，ABC ?≌DCB ?，其中的对应边: ______与_______，______与_______，______与_______, 对应角:______与_______，______与_______，______与_______. 2、如图2，已知△ABC ≌△DEF ，点E 、C 在线段BF 上，AB =DE ，∠ACB =∠F 。则与BC 相等的边是 _______________， 与∠BAC 相等的角是___________。 图 1 B A D C 图2 F C E A B A 第13讲 全等三角形的综合应用（1） 一、新知探索 证明思路：几何命题都可以表述成这种形式：A （条件） B （结论） 1、分析法：B （结论） C D …… A （条件） 2、翻译法： a b A （条件） c B （结论） …… z 二、典例剖析 考点一：基本型的应用 例1. 已知：E 是正方形ABCD 边AD 上任意一点，FG⊥BE。 求证：FG=BE 。 证明： 设FG 和BE 交于O 做FM ⊥CD 交BE 于N ∵ABCD 是正方形 ∴AD=AB=FM (1) ∠BAE=∠FMG=90° (2) ∵FG ⊥BE ∴∠FON=∠FMG=90° ∵∠OFN=∠MFG ∴△OFN ∽△MFG ∴∠FGM=∠FNO ∵FM ∥AD ∴∠BEA=∠FNO=∠FGM (3) ∴△ABE ≌△MFG(AAS) ∴BE=FG 【变式】如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ． 求证：① AE ＝CD ； ② 若AC ＝12 cm ，求BD 的长． （1）证明：∵DB ⊥BC ，CF ⊥AE ， ∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°． ∴∠D=∠AEC ． 又∵∠DBC=∠ECA=90°，且BC=CA ， ∴△DBC ≌△ECA （AAS ）． ∴AE=CD ； （2）解：由（1）得AE=CD ，AC=BC ， ∴△CDB ≌△AEC （HL ）， ∴BD=EC=BC=AC ，且AC=12． ∴BD=6． 例2.在△ABC 中,AB=CB,∠ABC=90o,F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上,且AE=CF. (1)求证:Rt △ABE ≌Rt △CBF;(2)若∠CAE=30o,求∠ACF 度数. A B C D E F G 【例1】如图，有四个图案，它们绕中心旋转一定的角度后，都能和原来的图案相互重合，其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同，它是（）? 【例3】如图，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边在BD同侧作等边△ ABC和等边△ CDE,AD交CE 于F, BE交AC于G,则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有（）. A. 1对 B . 2对 C . 3对 D . 4对 【例4】 已 知： 如图, 占 八、 、 C为线段AB上一点，.：ACM、CBN是等边三角形. 求证: AN =BM . N M F「' D「E - A C B 【例 5】 如 图， B , C, E三点共线，且「ABC 与 : DCE 是等边三角形，连结BD , AE分别交AC , DC于M , N点. 求证CM 二CN . 【例2】如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱 形菱形ABCD以A为中心（）? AEFG可以看成是把 A .顺时针旋转60°得到 B .顺时针旋转120°得到 C ?逆时针旋转60°得到 D .逆时针旋转120 °得到 【补充】已知：如图，点C为线段AB上一点, ACM、CBN是等边三角形.求证: CF 平分.AFB . G C 匚 C 【例6】（2008年怀化市初中毕业学业考试试卷 ）如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG .求 证：AE =CG . 【例7】 如图，点C 为线段AB 上一点， ACM 、 CBN 是等边三角形 , 【补充】如图，点 C 为线段AB 上一点, 请你证明： ⑴ AN =BM ; ⑵ DE II AB ; ⑶CF 平分ZAFB ? ACM 、 CBN 是等边三角形 . D 是AN 中点， E 是BM 中点，求 N C B A C A 1 B 1D C 1 D 1B A C A 1B 1 D C 1D 1第 十三 讲 全等三角形（5） 一、判断下列命题： 1．（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等. （ ） （2）全等三角形的周长、面积分别相等. （ ） （4）全等三角形对应边上的中线、角平分线、高线分别相等. （ ） 2．（1）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等. （ ） （2）两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等. （ ） （3）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等. （ ） （4）两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等. （ ） （5）三边对应相等的两个三角形全等. （ ） （6）三个角对应相等的两个三角形全等. （ ） （7）两边及其一边上的中线对应相等的两个三角形全等. （ ） （8）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等. （ ） （9）两边及其一边上的高对应相等的两个三角形全等. （ ） （10）两边及其第三边上的高对应相等的两个三角形全等. （ ） （11）两角及其一角的平分线对应相等的两个三角形全等. （ ） （12）两角及第三角的平分线对应相等的两个三角形全等. （ ） （13）一个角对应相等的两个等边三角形全等. （ ） （14）一条边对应相等的两个等边三角形全等. （ ） （15）腰对应相等的两个等腰三角形全等. （ ） （16）底边对应相等的两个等腰三角形全等. （ ） （17）周长和面积都相等的两个三角形全等. （ ） 二、两边及其一边上的中线对应相等的两个三角形全等. 如图，在△ABC 和△A 1B 1C 1中，AB=A 1B 1，BC=B 1C 1，AD 、A 1D 1分别为△ABC 和△A 1B 1C 1的中线， AD=A 1D 1，求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1. 三、两角及其一角的平分线对应相等的两个三角形全等. 两角及第三角的平分线对应相等的两个三角形全等. 如图，在△ABC 和△A 1B 1C 1中，∠ABC=∠A 1B 1C 1，∠ACB=∠A 1C 1B 1，AD 、A 1D 1分别为△ABC 和△A 1B 1C 1的角平分线，AD=A 1D 1，求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1. 第一讲 全等三角形的提高拓展训练讲义（讲义） 一、基础知识精讲 1、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应 角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 2、全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 3、全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 二、典型例题精讲 板块一、截长补短 【例1】 (06年北京中考题)已知ABC ?中，60A ∠= ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明． D O E C B A 4321 F D O E C B A 【解析】 BE CD BC +=， 理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF ， 利用SAS 证得BEO ?≌BFO ?，∴12∠=∠， ∵60A ∠=?，∴1 901202 BOC A ∠=+∠= ，∴120DOE ∠= ， ∴180A DOE ∠+∠= ，∴180AEO ADO ∠+∠= ，∴13180∠+∠= ， ∵24180∠+∠= ，∴12∠=∠，∴34∠=∠， 利用AAS 证得CDO ?≌CFO ?，∴CD CF =，∴BC BF CF BE CD =+=+． 【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=?， 射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系? 1. 2. 3. 1. 3. 4. 如图，在平面直角坐标系中，直线1l 过点A (1，0)且与 y 轴平 行，直线2l 过点B (0，2)且与x 轴平行，直线1l 与2l 相交于点P ．点 E 为直线2l 上一点，反比例函数k y x =（0k >）的图象过点E 且 与直线1l 相交于点F ． （1）若点E 与点P 重合，求k 的值． （2）连接OE ，OF ，EF ．若2k >，且△OEF 的面积为△PEF 面积的2倍，求点E 的坐标． （3）是否存在点E 及y 轴上的点M ，使得以M ，E ，F 为顶点的三角形与△PEF 全等？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 【参考答案】 1. （1）223y x x =-++ （2）a =7，b =2或a =7，b =-2或a =-1，b =2或a =-1，b =-2或 a =1， b =-4或a =5，b =-4或a =5，b =4 2. （1）213442 y x x =-++ （2） (18(18-+-+---，， (4(4+， 3.（1） 21242y x x =-++（2）21 4(022 S x x x =-+<<+ （3）122y x =+，y =6或7 24 y x = - 4.（1）2 （2）（3，2）（3）3(2)8，，8 (2)3， 学生做题前请先回答以下问题 问题1：全等三角形的判定有哪些？ 问题2：全等三角形存在性问题中如何确定分类标准，分类标准确定的依据是什么？ 问题3：全等三角形存在性问题的处理思路是什么？ 问题4：全等三角形存在性问题与相似三角形存在性问题处理时的异同有哪些？ 全等三角形的存在性（一） 1.如图1，直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，点P(x，y)在直线y=-2x+4上，过点P作AB的垂线，与x轴、y轴分别交于点E，F．若△EOF与△AOB全等，则点P的坐标为( ) A. B. C. D. 2.如图2，已知点A，B在抛物线上，且点A在第四象限，点B在第一象限，A，B两点的横坐标满足方程．连接OB，OA，AB，将线段OB绕点O顺时针旋转90°得到线段OC．若D是坐标平面内一点，且△OAB和△OCD全等，则符合题意的点D的坐标为( ) 图1 图2 12．1 全等三角形 一、学习目标 1、知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素。 2、知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等。 3、能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边。 二、重点难点 教学重点：全等三角形的性质。 教学难点：找全等三角形的对应边、对应角。 三、合作探究 １.观察p 2图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形 2．学生自己动手（同桌两名同学配合） 取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板 、 完全一样． 3．获取概念 形状与大小都完全相同的两个图形就是 ．（要是把两个图形放在一起，能够完全重合，就可以说明这两个图形的形状、大小相同．） 即：全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形． 推得出全等三角形的概念： 对应顶点： 、对应角： 、 对应边： 。 “全等”符号： 读作“全等于” 导入新课 将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF ；将△ABC 沿BC 翻折180°得到△DBC ；将△ABC 旋转180°得△AED ． 甲 D C A B F E 乙 D C A B 丙 D C A B E 议一议：各图中的两个三角形全等吗？ 得出： ≌△DEF ，△ABC ≌ ，△ABC ≌ ． （注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上） 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，?但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略． 观察与思考： 寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？ 全等三角形的性质： ， 。 四、精讲精练 精讲： 例1、如图，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，? 说出这两个三角形中相等的边和角． D C A B O 全等三角形 全等三角形性质 图形全等：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。“全等”用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．?表示，读作“全等 ．．．．．．．． 于” ．． 全等三角形的定义：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如DEF ABC? ?和全等时，点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点，记作DEF ABC? ? ?。 F D A B C 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1.下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（） A．①②③④ B．①③④C．①②④D．②③④ 2.如图,△ABD≌△ACE,则AB的对应边是_______,∠BAD的对应角是______． 3.已知:如图,△ABE≌△ACD,∠B=∠C,则∠AEB=_______,AE=______． 4.如图:△ABC≌△DCB,AB和DC是对应边,∠A和∠D是对应角,则其它对应边是 ______________,对应角是____________________． 5.已知:如图,△ABC≌△DEF,BC∥EF,∠A=∠D,BC=EF,则另外两组对应边是____,另外两组对应角是_____． 2题3题4题5题 1 第22讲 全等三角形 参考答案 二、【课前热身---经典链接】（磨刀不误砍柴功！！！） 得分： 1．A 2．A 3．30 4．∠ACB=∠DBC 5. 解：补充条件：EF=BC ，可使得△ABC ≌△DEF ．理由如下： ∵AF=DC ，∴AF+FC=DC+FC ，即：AC=DF ，∵BC ∥EF ，∴∠EFD=∠BCA ， 在△EFD 和△BCA 中 ?? ???=∠=∠=CA FD BCA EFD BC EF ∴△EFD ≌△BCA 三、【知识要点梳理—知识链接】 1.完全重合 2.（1）对应边（2）对应角 3.（1）三组对应边分别相等 （2）有两边及其夹角对应相等 （3）有两角及其夹边对应相等 （4）有两角及一角的对边对应相等 （5）斜边及一直角边对应相等 4.距离 5.距离 平分线 6.平行 一半 五、【中考链接一湛江真题】快乐一练！ 得分___________ 1.C 2．不是 AC=DF 3. 证明：∵ AB ∥DE ， ∴DEF ABC ∠=∠. 在△ABC 和△DEF 中， 又∵D A ∠=∠，EF BC =， ∴△ABC ≌△DEF ． 4. 解：四边形EFGH 是平行四边形 证明：连结AC ，如图2． E F ，分别是AB BC ，的中点，EF ∴是ABC △的中位线， EF AC ∴∥，且12EF AC =． 同理：GH AC ∥，且12GH AC =， EF GH ∴ ∥． ∴四边形EFGH 是平行四边形． 六、【中考演练二----2010-2012年中考题】 得分___________ 1．AC=DC （答案不唯一） 2．3 3．4 4．B 5．A 6． 证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD ，即：∠EAD=∠BAC ， 在△EAD 和△BAC 中?? ???∠=∠=∠=∠EAD BAC AE AB E B ∴△ABC ≌△AED （ASA ）， ∴BC=ED A B C G D H F E 4题 第一讲全等三角形的性质及判定 例1】 如图， AC ∥DE ，BC ∥EF ， AC DE ．求证： AF BD ． 补充】如图所示： AB ∥CD ，AB CD ．求证： AD ∥BC ． 例 2 】 已知：如图， B 、 E 、 F 、 C 四点在同一条直线上， AB DC ， BE CF ， B C ．求证： OA OD ． 补充】已知：如图， AD BC ， AC BD ，求证： C D ． 补充】如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ，E 为CD 中点，连结AE 并延长 AE 交BC 的延长线于点 F ．求 证： F C AD ． A D E F B B C 例3】 如图， AB ，CD 相交于点 O ，OA OB ，E 、F 为CD 上两点， AE ∥ BF ， CE DF ．求证： AC ∥BD ． D 补充】已知，如图，AB AC ，CE AB ，BF AC ，求证：BF CE ． 例 4 】如图，DCE 90 ，CD CE，AD AC ，BE 例10】如图所 示， 例11 】 E 、 D AC ，垂足分别为A，B ，试说明AD AB BE 已知AB DC ，AE DF ，CE BF ，证明：AF DE ． F 分别是形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF ．求证： 补充】 E 、F 、G分别是形ABCD 的BC、CD 、AB边上的点， GE AE D F C EF ，GE EF ．求证：BG CF BC ． 补充】如图所示： AF CD ， BC EF ， AB DE ， A 例 13】（1）如图， △ABC 的边 AB 、AC 为边分别向外作形 ABDE 和形 ACFG ，连结 EG ，试判 断 △ABC 与 △AEG 面积之间的关系，并说明理由 . （ 2）园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的形理石和黑色的三角形理石铺成 .已知中间 的所有形的面积之和是 a 平方米，圈的所有三角形的面积之和是 b 平方米，这条小路一共 例14】如图， ABC 中，AB BC ， ABC 90 ，D 是 AC 上一点， 且CD CB AB ，DE AC 交 AB 于 E 点．求证： AD DE EB ． 例 12】 在 凸五边形中， D ， BC D E ， M 为 CD 中点．求证： D F C AM CD ． D ．求证： BC ∥ EF ． 占地多少平方米？ 数学思维方法讲义之一年级：九年级 §第1讲证明（三角形专题） 【学习目标】 1、牢记三角形的有关性质及其判定； 2、运用三角形的性质及判定进行有关计算与证明。 【考点透视】 1、全等三角形的性质与判定； 2、等腰（等边）三角形的性质与判定； 3、直角三角形的有关性质，勾股定理及其逆定理； 4、相似三角形的性质与判定。 【精彩知识】 专题一三角形问题中的结论探索 【例1】如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一 起，且∠DAB=30°。有以下四个结论：①AF⊥BC；②△ADG≌△ACF； ③O为BC的中点；④AG：DE=3：4，其中正确结论的序号 是. ●变式练习 1．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结 论中：①BE=DC；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．正确的序号 是． ★考点感悟： 专题二三角形中的平移、旋转等图形变换问题探索 【例2】如图(1)，Rt△ABC中，∠ACB=-90°，CD⊥AB，垂足 为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F （1）求证：CE=CF． （2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A’D’E’的位置，使点E’落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论． 图（1）图（2） 【例3】△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B． （1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形． （2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的 1 4 时，求线段EF的长． ★考点感悟： A D B C E O2020届河北省中考系统复习：第17讲全等三角形(8年真题训练)
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