第十二章 全等三角形(小结)

第十二章全等三角形（小结）

教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

全等三角形有关知识.

2.内容解析

全等三角形的概念、性质与判定方法是学生已经学习了平行线、三角形等知识的基础上引入的，是上述内容的延伸，同时，也为进一步学习四边形、圆、相似形等有关知识埋下伏笔，具有承上启下的作用.

这种作用不仅体现在知识上面，还体现在研究问题的策略和方法上：一是实验——观察——猜想——证明——结论，是我们研究图形的重要策略；二是我们通过全等三角形的定义：三条边分别相等、三个角分别相等的两个三角形全等，探究了从“一个条件”“两个条件”“三个条件”分别探究，最后通过作图，概括出一系列判定方法：SSS、SAS、ASA，证明了AAS和HL定理，体现了数学的“简单美”.由此可见，实验操作和推理论证都能帮助我们获得新结论.

通过本章的学习，学生学会了画三角形、尺规作任意角的平分线、画全等三角形的技能，明白了画图的依据，发展了合情推理能力.

本章知识结构图：

二、教学目标

1.通过复习，了解全等形、全等三角形的概念，掌握全等三角形的判定方法，并灵活运用全等三角形的有关知识解决问题；

2.通过复习，发展学生的合情推理与演绎推理素养，学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式；

3.学会发现问题与提出问题；经历从不同角度分析问题和解决问题的方法，体验解决问题的方法的多样性，优化思维，初步形成批判质疑的良好思维习惯；

4.感受成功的乐趣，激发学生的求知欲.

三、教学重点、难点

重点：全等三角形；

难点：用全等三角形的有关知识灵活解决问题.

四、教法、学法

学生在教师的组织、引导、合作下，自主学习、合作学习、探究学习，大胆讲解，发展思维.

五、教具、学具

教具：PPT ；

学具：导学案.

六、教学流程

（一）问题驱动，复习全等形知识

1. 什么叫全等形？

2.如何表示这两个五边形全等？

【设计意图】以问题驱动教学，以问题启迪思维，复习全等形与全等形的表示方法.

（二）观察、思考，回忆全等三角形概念及其性质

1.观察下面的每一组图形，它们有什么关系？

2.什么叫全等三角形？

3.已知图中的两个三角形全等，则_______α∠=.

50°

58°

B C

M

拓展：上图中的条件不变，如果3b =cm ，那么，α∠的对边的长是多少？为什么？

【设计意图】通过动画演示，感受全等变换，本题主要考查了“SAS ”和“全等三角形的对应边相等,对应角相等”,属于基础题.

［师生活动］学生回答、讲解.

（三）运用全等三角形的判定条件，灵活构造方案 1.给出下列四个条件:

①AB=DE ，BC EF =，AC DF =； ②,,AB DE B E BC EF =∠=∠=； ③,,B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠； ④,,.AB DE AC DF B E ==∠=∠ 其中，能使ABC DEF ≌成立的条件共有( )

A.1组

B.2组

C.3组

D.4组

2.（2015，海南）如图，下列条件中，不能证明ABC DCB ≌的是（ ）

A. AB=DC ，AC=DB

B. AB=DC ，∠ABC=∠DCB

C. BO=CO ，∠A=∠D

D.AB=DC ，∠A=∠D

【设计意图】考查学生对全等三角形的条件的掌握情况，明晰“SSA ”是假命题.

3.如图，AB 、CD 相交于点O ，AD CB =，请你补充一个条件，使AOD COB ≌，你补充的条件是_______________.

分析：（1）以题中的已知条件和隐含条件为依托，三角形全等的判定方法为依据，直接添加条件；（2）也可以以题中的已知条件和隐含条件为依托，三角形全等的判定方法为依据，间接添加条件.

【设计意图】以上各题都是条件开放性试题，目的是考查学生对三角形全等判

定方法的灵活运用，培养学生思维的发散性与灵活性. 学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式.

【学法指导】学生的数学学习过程，实际上是一个学习经验的不断总结、迁移、优化、重构的过程，学生每天的解题过程实际上就是上述过程的不断重复的过程，因此，引领学生及时反思，将有助于学生数学能力的提高和核心素养的形成.由此，学生得到：条件添加问题的思维策略是：要以题中的已知条件和隐含条件为依托，三角形全等的判定方法为依据，合理添加条件，即既可以直接添加条件，也可以间接添加条件.学生回答，彼此对话，共同进步.

4. 如图，已知AC 、BD 相交于O ，BAC ABD ∠=∠，D C ∠=∠.你能得到哪些结论？为什么？

【设计意图】本题是结论开放性试题，既可以从题目中直接得到一些结论，也可以间接得到一些结论.广开言路，打开学生的思维，将课堂学习推向高潮.

5.下列四个条件中，不能证明两个直角三角形全等的是（ ）

A.两条直角边对应相等 B .一条直角边和一个锐角对应相等

C.斜边和一条直角边对应相等

D.两个锐角对应相等

【设计意图】直角三角形作为一种特殊的三角形，比一般三角形全等的判定方法多了“HL ”，整合判定方法，便于学生形成完整的认知结构，去伪存真.

（四）运用三角形全等知识，解决数学问题

例1 如图，AD 为BAC ∠的平分线，DF AC ⊥于F ，90B ∠=?，.DE DC = 求证：.BE FC =

师生活动：根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得DB DF =，又DE DC =，根据“HL ”可证Rt CFD ≌Rt EBD ，从而BE FC =.

【设计意图】本题主要考查“角平分线上的点到角的两边的距离相等”、“HL ”，考查学生的逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力.

【学法指导】在学生独立思考的基础上，可以合作交流，然后小组派代表到讲台讲解他们组的学习成果，最后，教师板演.推理过程中，要求做到：言之有理，落笔有据，养成良好的思维习惯.

例2 数学课上，林老师在黑板上画出下面的图形（其中，点B 、F 、C 、E 在一条直线上），现给出四个条件：

①AB DE =，②BF EC =，③B E ∠=∠，④12∠=∠.请你从四个条件中选出三个为题设，另一个为结论，构造一个真命题，并予以证明.

题设：________；结论：__________.

证明：

【设计意图】本题是条件和结论同时开放的试题，需要先构造真命题，然后再证明，考查学生综合分析问题、解决问题的能力.

【学法指导】本题先让学生独立思考，然后组间交流与辩论，师生共同完成，最后可以让学生自己板演.以三个为条件，另一个为结论，能构造四个命题，其中，①②④ ? ③是假命题.

（五）动手尝试，解决问题 如图，AB DE =，AC DF =，BE CF =.求证：AB DE ∥，AC DF ∥.

【设计意图】本题是基础题,主要考查SSS 、全等三角形的对应角相等、同位角相等,两直线平行.同时,本题的图形可以变式,有助于培养学生思维的灵活性，发展核心素养.

（六）畅所欲言，反思升华

1.一般三角形全等的判定方法有哪些？直角三角形？

2.条件开放题（如添加条件问题），要以题中的已知条件和隐含条件（公共边、公共角、对顶角）为依托，以全等三角形的判定方法为依据，合理添加条件.添加方案往往不唯一.

3.结论开放题，结论往往不唯一，有些结论直接能得到，有些结论间接能得到.

4.综合开放题（即条件和结论都开放的问题），在构造命题时，要看清楚要求是什么，是构造真命题，还是假命题.

［设计意图］回顾反思，有助于学生建构完整的认知结构，优化数学活动经验，掌握基本的数学思维方法和数学思想，形成数学核心素养.

（七）分层作业

1 .基础题

课本第55页第3、5、7、8题；

2.能力提高题

课本第56页第9、11题.

［设计意图］通过分层作业，关注学生的差异，促进学生的个性化学习，有利于学生建立自信，体会成功的乐趣.

七、教学反思

1.本教学设计始终以“学生的学为中心”，以发展学生的数学核心素养为旨归，以学生“学进去，讲出来”为主要学习方式，自我对话、同伴对话、与文本对话、师生对话，深入细致地研读文本，形成自己的数学素养.

2. 蒙台梭利说：“教育就是激发生命，充实生命，协助孩子们用自己的力量生存下去，并帮助他们发展这种精神.”雅斯贝尔斯在《什么是教育》中这样理解教育：“教育的本质意味着：一棵树摇动另一棵树，一朵云推动另一朵云，一个灵魂唤醒另一个灵魂.”所以，我始终追求激发、唤醒的教育，激发学生沉睡的潜能，唤醒学生对成功的渴望，让他们勇敢讲出来，然后通过对话、交往，共同提高.

3.本教学设计以问题驱动教学，以问题推进学习进程，在问题解决中发展思维，强化认知，优化学习经验和方法，自我建构认知结构，在由浅入深的问题中，逐步建构，不断优化.

4.例题、习题的选择既覆盖了所有知识，又关注了学生之间的差异，有助于学生个性化的学习.

5.或许教学中还有许多不足之处，还有值得商榷的地方，但这正是数学教学的魅力所在，如果教学没有任何遗憾，那么教学也就不能称之为一门艺术了.