利用导数判断单调性

利用导数判断函数的单调性教学案

命题人：禚术桂 审核人：张华 时间:2012.1.12

班级 姓名 学号 面批时间

课前预习案

【学习目标】会利用导数研究函数的单调性,掌握分类讨论思想的应用.

【重点、难点】利用导数研究函数的单调性.

【自主学习】

1、设函数()y f x =在区间(,)a b 内可导.(1)如果在(,)a b 内, ()0f x '> ,则()f x 在此区间是增函数;(2)如果在(,)a b 内, ()0f x '< ,则()f x 在此区间是减函数.

2、()/0f x <是()f x 为减函数的（ A ）

A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【预习自测】

求下列函数的单调区间:

(1)3241y x x x =-+- (2)2()f x x x

=+

解：（1）函数的单调递增区间为：413413(,),(,)33

-+-∞+∞ 函数的单调递减区间为：413413(,)33

-+ （2）函数的单调递增区间为：(,2),(2,)-∞-+∞

函数的单调递减区间为：(2,2)-

课内探究案

【精讲点拨】

例1、 求下列函数的单调区间:

（1）()1x f x e x =-- （2）()ln f x x x =-

解：（1）函数的单调递增区间为：(0,)+∞

函数的单调递减区间为：(,0)-∞

（2）函数的单调递增区间为：(1,)+∞

函数的单调递减区间为：(0,1)

例2、 证明：函数16()f x x x

=+

在()0,4上是减函数 证明：222

221616()1(0,4)16

160

0,4.x f x x x x x x -'=-=∈∴<∴-<∴ 函数在（）上是减函数

例3、 若函数321y x x mx =+++在(),-∞+∞上是增函数,求实数m 的取值范围。 解：232y x x m '=++

4120

1

3R R m m '∴≥∴?=-≤∴≥ 2函数在上是增函数

y =3x +2x+m 0在上恒成立

【当堂检测】 函数11

y x =+的减区间是 (,1),(1,)-∞--∞

利用导数判断函数的单调性教学案

命题人：禚术桂 审核人：张华 时间:2012.2.9

班级 姓名 学号 面批时间

课后拓展案

A 组

1、求函数32()15336f x x x x =--+的增区间。

解：函数的递增区间：

∞∞（-,-1),(11,+)

2、求函数2()2ln f x x x =-的减区间。

解：函数的定义域(0,)+∞

2

()22()20,1,010

(0,1)

f x x x

f x x x x x x '=-'=-

<<-<<>∴ 令得函数的递减区间是：

3、证明：函数34

y x =-在(),4-∞上是减函数。 2

3

(4)0

x '-'<∴∞证明：y =-当x<4时,y 函数在(-,4)上是减函数

B 组

1、函数x e x x f )3()(-=的增区间是 (2,)+∞

。 2、求函数()ln f x x x =的单调区间。

解：（1）函数的单调递增区间为：1(,)e

+∞ 函数的单调递减区间为：1(0,)e

C 组 证明函数211()2f x x x

=+在()1,+∞上是增函数。 证明：322311()1,1

()0

()(1,).

x f x x x x

x x f x f x -'=-=>>'∴>∴+∞当时函数在上是增函数

利用导数判断函数的单调性教学案

命题人：禚术桂 审核人：张华 时间:2012.2.10

班级 姓名 学号 面批时间

课后拓展案（2）

A 组

1、函数13)(23+-=x x x f 的减区间为（0,2） 。

2、函数x y e ex =-的增区间为 (1,)+∞

。 3、函数()ln 3y x x =-的减区间为 （0，e 2） 。

4、求函数()2263

x f x x -=

+的单调区间。 333),(3,)

∞+∞解：函数的单调递增区间：(3-2,3+2)

函数的单调递减区间：

(-,3-23+2

5、已知函数53

123-++=ax x x y 在()+∞∞-,是单调函数，求a 的取值范围。 222(,)20.

440

1

y x x a R y y x x a R a a '=++'∴-∞+∞'∴=++≥∴?=-≤∴≥ 解：函数在上是单调函数

在上恒大于或恒小于零。在上恒成立

B 组

1、函数x x x y sin cos -=在下面哪个区间内是增函数（B ）

A ．)23,2(ππ

B ．)2,(ππ

C ．)25,23(ππ

D ．)3,2(ππ

2、若函数x ax x f ln )(-=在()0,1上是减函数，求实数a 的取值范围。

a 1a ≤解：实数的取值范围是：

C 组

设()21

x t f x x +=+在()2,+∞上是增函数，求t 的取值范围。 22

2222()(2)2()0(2)

28

x x t f x x x x t f x x x x t +-'=++-'∴=≥∞+∴≤+∞∴≤解：在(2,+)恒成立t 在(2,+)恒成立