1-11.无穷小的阶及其比较

第七节无穷小量的比较

第七节无穷小的比较教学目的：使学生掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。教学重点：用等价无穷小求极限教学过程：一、讲授新课：在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于其商会出现不同的情况，例如：???????>∞<==?=-→→n m n m n m b a b a x x b x a m n x m n x 0lim lim 00000000 （00,b a 为常数，n m ,为自然数）可见对于n m ,取不同数时，n x a 0与m x b 0趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小进行比较或分类：定义：设α与β为x 在同一变化过程中的两个无穷小， (i) 若0lim =α β，就说β是比α高阶的无穷小，记为)(αβo =； (ii) 若∞=α βlim ，，就说β是比α低阶的无穷小； (iii) 若0lim ≠=C α β，，就说β是比α同阶的无穷小； (iv) 若1lim =α β，就说β与α是等价无穷小，记为βα~。【例1】当0→x 时，2x 是x 的高阶无穷小，即)(2x o x =；反之x 是2x 的低阶无穷小；2x 与x cos 1-是同阶无穷小；x 与x sin 是等价无穷小，即x x sin ~。注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：)(),(22x o x x o x ==，但)()(x o x o ≠，因为)(?o 不是一个量，而是高阶无穷小的记号； 2：显然(iv)是(iii)的特殊情况； 3：等价无穷小具有传递性：即γαγββα~~,~?；

4：未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当0→x 时，x x 1sin 与2x 既非同阶，又无高低阶可比较，因为2 01sin lim x x x x →不存在； 5：对于无穷大量也可作类似的比较、分类； 6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：定理：若βαβα'',,,均为x 的同一变化过程中的无穷小，且ββαα''~,~，及?' 'αβlim ，那么αβαβ '' =?lim lim 。【例2】求x x x 20sin cos 1lim -→。解：因为当0→x 时，x x ~sin 所以 21cos 1lim sin cos 1lim 2020=- =-→→x x x x x x 。【例3】求x x x x 22arcsin lim 20+→ 解：因为当0→x 时，x x 2~2arcsin ，所以原式122 22 lim 22lim 020==+=+=→→x x x x x x 。 7：在目前，常用当0→x 时，等价无穷小有： 221 ~cos 1,~arctan ,~arcsin ,~tan ,~sin x x x x x x x x x x -； 8：用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎！二、课堂练习：三、布置作业：

高数无穷小比较的教案

第13、14、15、16课时：【教学目的】 1、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限； 2、熟记一些常见的等价无穷小； 3、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型； 4、了解连续函数的性质与初等函数的连续性。【教学重点】 1、常见的等价无穷小的推导； 2、等价无穷小求极限； 3、函数连续性的概念（含左连续与右连续）及函数间断点的类型。【教学难点】判断间断点的类型。 §1. 7 无穷小的比较 1.定义：（1）如果0lim =α β，就说β是比α高阶的无穷小，记作)(αβ =；（2）如果∞=α βlim ，就说β是比α低阶的无穷小，（3）如果0lim ≠=c α β，就说β是比α同阶的无穷小，（4）如果0,0lim >≠=k c k α β，就说β是关于α的k 阶的无穷小，（5）如果1lim =αβ，就说β与α是等价的无穷小，记作βα~ 这些中重要的是等价无穷小，结合例题要让学生特别熟练的记住一些常见的等价无穷小。例1.证明：当0→x 时，x n x n 1~ 1+ 2.定理1.β与α是等价无穷小的充分必要条件为)(ααβ += 例2.因为当0→x 时，x x ~sin ，x x ~tan ，x x ~arcsin ，22 1~cos 1x x -，所以当0→x 时有)(s i n x x x +=，)(tan x x x +=，)(arcsin x x x +=，)(2 1cos 122x x x +=- 定理2 设αα'~，ββ'~，且αβ' 'lim 存在，则 αβαβ' '=lim lim

例3求x x x 3tan 2tan lim 0→，例4求x x x x 3sin lim 30+→，例5求1cos 1)1(lim 3 120--+→x x x 注：求极限过程中，一个无穷小量可以用与其等价的无穷小量代替，但只能在因式情况下使用，和、差情况不能用。教学小结与学法建议学完本节课要理解无穷小比较的定义，要牢记课上总结的常见等价无穷小，等价无穷小替换时求极限的一种重要方法，做题时要注意正确的替换方法，在加减法中千万不能用等价无穷小替换，要结合例题和习题掌握牢固和熟练。师生活动设计P59：1，2，3，4（1）（2）作业：P59：4（3）（4）

试比较和中哪一个是高阶无穷小量

习题2-3 9. 试比较)(x α和)(x β中哪一个是高阶无穷小量? (1) x x x 10)(3+=α, 4)(x x =β, 当0→x 时; 解: 010 lim 10lim )()(lim 23 03400=+=+=→→→x x x x x x x x x x αβ，所以)(x β是)(x α的高阶无穷小量. （4）() x α=1()1x x β=-, 当x →+∞时; 解: ()lim lim lim (1 ()x x x x x αβ→+∞→+∞ ===-∞，所以)(x β是)(x α的高阶无穷小量. 10．当0→x 时求下列无穷小量关于x 的阶：（1）36x x +；解：36333(1)x x x x x +=+ ，所以36x x +关于x 的阶为3. （3 x = ，所以x x 的阶为1. 11. 用等价无穷小量替代法计算下列极限: (1) x x x x 7tan 5sin lim 2 0+→; 解: 7 575lim )775sin (lim 75sin lim 7tan 5sin lim 002020==+=+=+→→→→x x x x x x x x x x x x x x x . 习题2-4 3.指出下列函数的间断点并说明其类型.若是可去间断点, 则补充定义函数值后使它连续. (7) 2 31)(22+--=x x x x f ; 解: 1=x 是)(x f 的可去间断点，2=x 是)(x f 的第二类间断点. 因为2) 2()1(lim )1)(2()1)(1(lim )(lim 111-=-+=---+=→→→x x x x x x x f x x x . 1=x 是)(x f 的可去间断点, 定

无穷小量与无穷大量的比较

§5 无穷小量与无穷大量的比较先看数列的情形．设,n n x y 是无穷小量，即：lim n →∞ n x ＝0，lim n →∞ n y ＝0．考虑n n n y x ∞→lim 可能出现各种情形： 0lim ≠=∞→c y x n n n ， n c x n =，n y ＝1n ； 0lim =∞→n n n y x ， n x ＝21 n ，n y ＝1n ； ∞=∞→n n n y x l i m ， n x n 1=，21 n y n = n n n y x ∞→lim 不存在 n n n y x ∞→lim 是有界量，n x ＝(1)n n -，n y ＝1 n ， n n n y x ∞→lim 是无界量，但非无穷大，n x ＝ [1(1)]n n +-，n y ＝21 n ，这时 n n x y ＝[1(1)]n n +- 可见，有些无穷小量可以比较，但有些不能。定义3.10 设l i m n →∞ n x ＝0，lim n →∞ n y ＝0． (1)若存在A >0，B >0及正整数N ，使得当n N >时，有 0

n x 与n y 是同阶无穷小量?若存在A >0，B >0及正整数N ，使得当n N >时，有 0 ?ε，N ?，当N n >时，n n y x ε<|| 这表明n x 趋于0的速度比n y 快得多。 n x 与n y 为等价无穷小量?n x ～n y ?lim n →∞ n n x y ＝1 ? n n n y x α=-1，其中0l i m =∞→n n α ?n n n n y y x α+= ?)(n n n n n y o y y x ==-α，这表明：1、n 充分大时，n x 于n y 几乎相等。 2、两个等价无穷小量之差是比其自身更高阶的无穷小量还要引进一个记号： n x ＝()n O y ? 如果 n n x y 是有界的，即||n n x y ≤M )1(O x n = ? 如果M x n ≤||

习题1-7 无穷小的比较

1 §1.7无穷小的比较一、判断题 1、γβα,,是同一极限过程中的无穷小，且,~,~γββα则必有γα~。 [ ] 2、0→x 时330tan sin sin ~,lim lim 0sin x x x x x x x x x x →∞→--∴== [ ] 3、已知11cos lim 0=-→x x x ，由此可断言，当)1(cos ,0x x x -→与时为等价无穷小。[ ] 4．当0→x 时，x 3sin 与1-x e 是同阶无穷小。 [ ] 5．当1→x 时，31x - 是1-x 的高阶无穷小。 [ ] 二、单项选择题 1、x →0时，1—cos x 是x 2的。 (A)高阶无穷小 (B)同阶无穷小，但不等价 (C)等价无穷小 (D)低阶无穷小 2、当x →0时，（1—cos x ）2是sin 2x 的。 (A)高阶无穷小 (B)同阶无穷小，但不等价 (C)等价无穷小 (D)低阶无穷小 3、如果应满足则高阶的无穷小是比时c b a x c bx ax x ,,,11 1 ,2+++∞→ 。 (A)1,1,0===c b a (B) 0,1,a b c ==为任意常数 (C) 为任意常数c b a ,,0≠ (D) 都可以是任意常数c b a ,, 4、1→x 时与无穷小x -1等价的是。 (A)()3121 x - (B) ()x -121 (C) ()2121 x - (D) x -1 5．下列极限中，值为1的是。 (A) x x x sin 2lim π∞→ (B) x x x sin 2lim 0π→ (C) x x x sin 2lim 2 ππ→ (D) x x x sin 2lim ππ→

无穷小阶的比较

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42 / 5 1.6 无穷小阶的比较 1 无穷小的比较设α,β是自变量的同一变化过程中的两个无穷小.。 (1) 如果0lim 0x x βα →=，则称β是比α高阶的无穷小，记为()o βα=；也说α是比β低阶的无穷小。 (2) 如果0lim x x c βα →=(c 是不为0的常数)，则称β是与α同阶的无穷小。 (3) 如果0lim 1x x βα →=，则称β与α是等价无穷小，记作βα:或αβ:。 (4) 如果0 lim k x x c βα→=(0k >，c 是不为0的常数)，则称β是关于α的k 阶无穷小。例如 0x →时，2 3()x o x =，sin x x :，1cos x -与2x 是同阶无穷小，同时1cos x - 也是关于x 的二阶无穷小。注意并不是所有的无穷小都能进行比较，x →∞时，1()f x x =，sin ()x g x x =都是无穷小。由于()1lim lim ()sin x x f x g x x →∞→∞=和()lim lim sin ()x x g x x f x →∞→∞=都不存在，因此，1()f x x =与sin ()x g x x =不能进行阶的比较。例1 0x →时，比较1cos x -与2x 的阶。解 2 222000022sin 2sin sin 1cos 111222lim lim lim lim 12224()22x x x x x x x x x x x x →→→→?? ?-====?= ? ??? 。 0x →时，1cos x -与212 x 是等价无穷小。定理 1.5.1 设α,β是自变量的同一变化过程中的两个无穷小，则βα:()o βαα?=+。例如 0x →时，211cos 2x x -: ，故 2211cos ()2 x x o x -=+，即221cos 1()2x x o x =-+，于是在0x =的小邻域内可以用2112 x -近似代替cos x 。定理1.5.2 设,,,ααββ''都是自变量同一变化过程中的无穷小，且αα':，ββ':，