习题1-7 无穷小的比较
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§1.7无穷小的比较
一、判断题
1、γβα,,是同一极限过程中的无穷小，且,~,~γββα则必有γα~。 [ ]
2、0→x 时330tan sin sin ~,lim
lim 0sin x x x x x x x x x x →∞→--∴== [ ] 3、已知11cos lim 0=-→x
x x ，由此可断言，当)1(cos ,0x x x -→与时为等价无穷小。[ ] 4．当0→x 时，x 3sin 与1-x e 是同阶无穷小 。 [ ]
5．当1→x 时，31x - 是1-x 的高阶无穷小。 [ ]
二、单项选择题
1、x →0时，1—cos x 是x 2的 。
(A)高阶无穷小 (B)同阶无穷小，但不等价 (C)等价无穷小 (D)低阶无穷小
2、当x →0时，（1—cos x ）2是sin 2x 的 。
(A)高阶无穷小 (B)同阶无穷小，但不等价 (C)等价无穷小 (D)低阶无穷小
3、如果应满足则高阶的无穷小是比时c b a x c bx ax x ,,,11
1
,2+++∞→ 。
(A)1,1,0===c b a (B) 0,1,a b c ==为任意常数
(C) 为任意常数c b a ,,0≠ (D) 都可以是任意常数c b a ,,
4、1→x 时与无穷小x -1等价的是 。 (A)()3121
x - (B) ()x -121 (C) ()2121
x - (D) x -1
5．下列极限中，值为1的是 。 (A) x x x sin 2lim π∞→ (B) x x x sin 2lim 0π→ (C) x x x sin
2lim 2
ππ→ (D) x x
x sin 2lim ππ→
2 3
0tan sin lim 11062
x x x x A B C D 6、极限
．；． ． ．．→-∞01cos3lim sin 31230632
x x x x
A B C D 7、极限．； ．； ．； ．．→-
B 组
三、设当0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比n x x sin 高阶无穷小；而n x x sin 又是比)1(2
-x e 高阶的无穷小，求n 。
01()()()()x x x x x x 四、若时，与是等价无穷小，与是同阶无穷小，αααβ→1()()()()x x x x 但不是等价无穷小，证明：与也是等价无穷小。αβαβ--
第周第学时教案授课教师：贾其鑫
第周第学时教案授课教师：贾其鑫
第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 1.3.2 无穷大量 定义：1.13 如果在x 的某一变化过程中，1() y f x =是无穷小量，则在该变化过程中，()f x 为无穷大量，简称无穷大，记作：lim ()f x =∞ 如果在x 的某一变化过程中，对应的函数值的绝对值|f (x )|无限增大（函数）, 就称函数 f (x )为当x →x 0(或x →∞)时的无穷大. 记为 ∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞ →)(lim x f x ). 应注意的问题: 当x →x 0(或x →∞)时为无穷大的函数f (x ), 按函 数极限定义来说, 极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态, 我们也说“函数的极限是无穷大”, 并记作 ∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞ →)(lim x f x ). 讨论: 无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大? 提示: ∞=→)(lim 0x f x x ??M >0, ?δ>0, 当0<|x -0x |<δ时, 有 |f (x )|>M . 正无穷大与负无穷大: +∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x , -∞=∞→→)(lim ) ( 0x f x x x . 例2 证明∞=-→1 1lim 1x x . 证 因为?M >0, ?M 1= δ, 当0<|x -1|<δ 时, 有 M x >-|11| , 所以∞=-→1 1lim 1x x . 提示: 要使M x x >-=-| 1|1|11| , 只要M x 1|1|<-.
1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2 =-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
. 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→
第13、14、15、16课时： 【教学目的】 1、 掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限； 2、 熟记一些常见的等价无穷小； 3、 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型； 4、 了解连续函数的性质与初等函数的连续性。 【教学重点】 1、常见的等价无穷小的推导； 2、等价无穷小求极限； 3、函数连续性的概念（含左连续与右连续）及函数间断点的类型。 【教学难点】 判断间断点的类型。 §1. 7 无穷小的比较 1.定义： （1）如果0lim =α β，就说β是比α高阶的无穷小，记作)(αβ =； （2）如果∞=α βlim ，就说β是比α低阶的无穷小， （3）如果0lim ≠=c α β，就说β是比α同阶的无穷小， （4）如果0,0lim >≠=k c k α β，就说β是关于α的k 阶的无穷小， （5）如果1lim =αβ，就说β与α是等价的无穷小，记作βα~ 这些中重要的是等价无穷小，结合例题要让学生特别熟练 的记住一些常见的等价无穷小。 例1.证明：当0→x 时，x n x n 1~ 1+ 2.定理1.β与α是等价无穷小的充分必要条件为)(ααβ += 例2.因为当0→x 时，x x ~sin ，x x ~tan ，x x ~arcsin ，22 1~cos 1x x -， 所以当0→x 时有)(s i n x x x +=，)(tan x x x +=，)(arcsin x x x +=，)(2 1cos 122x x x +=- 定理2 设αα'~，ββ'~，且αβ' 'lim 存在，则 αβαβ' '=lim lim
例3求x x x 3tan 2tan lim 0→，例4求x x x x 3sin lim 30+→，例5求1cos 1)1(lim 3 120--+→x x x 注：求极限过程中，一个无穷小量可以用与其等价的无穷 小量代替，但只能在因式情况下使用，和、差情况不能用。 教学小结与学法建议 学完本节课要理解无穷小比较的定义，要牢记课上总结的常见等价无穷小，等价无穷小替换时求极限的一种重要方法，做题时要注意正确的替换方法，在加减法中千万不能用等价无穷小替换，要结合例题和习题掌握牢固和熟练。 师生活动设计P59：1，2，3，4（1）（2） 作业：P59：4（3）（4）
第七节 无穷小的比较 教学目的：使学生掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 教学重点：用等价无穷小求极限 教学过程： 一、讲授新课： 在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于其商会出现不同的情 况，例如：??? ????>∞<==? =-→→n m n m n m b a b a x x b x a m n x m n x 0lim lim 000 00 000 （00,b a 为常数，n m ,为自然 数） 可见对于n m ,取不同数时，n x a 0与m x b 0趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小进行比较或分类： 定义：设α与β为x 在同一变化过程中的两个无穷小， (i) 若0lim =α β，就说β 是比α高阶的无穷小，记为)(αβo =； (ii) 若∞ =αβlim ，，就说β是比α低阶的无穷小； (iii) 若0 lim ≠=C αβ，，就说β是比α同阶的无穷小； (iv) 若1lim =α β，就说β与α是等价无穷小，记为βα~。 【例1】 当0→x 时，2x 是x 的高阶无穷小，即)(2x o x =；反之x 是2x 的低阶无 穷小；2x 与x cos 1-是同阶无穷小；x 与x sin 是等价无穷小，即x x sin ~。 注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：)(),(22x o x x o x ==，但)()(x o x o ≠， 因为)(?o 不是一个量，而是高阶无穷小的记号； 2：显然(iv)是(iii)的特殊情况； 3：等价无穷小具有传递性：即γαγββα~~,~?；
4：未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当0→x 时，x x 1sin 与2x 既非同 阶，又无高低阶可比较，因为2 1sin lim x x x x →不存在； 5：对于无穷大量也可作类似的比较、分类； 6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有： 定理：若βαβα'',,,均为x 的同一变化过程中的无穷小，且ββαα''~,~，及? ' 'αβl i m ， 那么αβα β' '=?lim lim 。 【例2】 求x x x 2 sin cos 1lim -→。 解：因为当0→x 时，x x ~sin 所以 2 1cos 1lim sin cos 1lim 2 2 = -=-→→x x x x x x 。 【例3】 求x x x x 22arcsin lim 2 +→ 解：因为当0→x 时，x x 2~2arcsin ， 所以 原式12 22 2lim 22lim 2 == +=+=→→x x x x x x 。 7：在目前，常用当0→x 时，等价无穷小有： 2 21~ cos 1,~arctan ,~arcsin ,~tan ,~sin x x x x x x x x x x -； 8：用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎！ 二、课堂练习： 三、布置作业： 第七节 无穷小的比较 教学目的：使学生掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 教学重点：用等价无穷小求极限 教学过程： 一、讲授新课： 在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于其商会出现不同的情 况，例如：??? ????>∞<==? =-→→n m n m n m b a b a x x b x a m n x m n x 0lim lim 000 00 000 （00,b a 为常数，n m ,为自然 数） 可见对于n m ,取不同数时，n x a 0与m x b 0趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小
8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→解：原式 11)32(1)31 (lim 3 =++-= ∞→n n n n 上下同除以 。
3．两个重要极限 （1） 1 sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(lim 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→210 ) 21(lim ，e x x x =+∞ →3 )31(lim ；等等。 利用两个重要极限求极限 例5 2 03cos 1lim x x x -→解：原式= 61 )2(122sin 2lim 32sin 2lim 2 2 02 2 0=?=→→x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例 6 x x x 2 ) sin 31(lim -→=6 sin 6sin 31 sin 6sin 310 ] ) sin 31[(lim ) sin 31(lim ---→-? -→=-=-e x x x x x x x x x x 例7 n n n n )12(lim +-∞→= 31 331 1 331])131[(lim )131(lim -+--+∞→+-?-+∞→=+-+=+-+ e n n n n n n n n n n 。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2 x - ～ 2x -。 定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0 x x →时的无穷小，且)(x f ～ )(1x f ，)(x g ～)(1x g ，则当 ) () (lim 110 x g x f x x →存在时， )() (lim x g x f x x →也存在且等于 ) (x f ) ()(lim 110 x g x f x x →，即 )() (lim x g x f x x →=)()(lim 11 0x g x f x x →。
陕西国际商贸学院 教学设计 课程名称：经济应用数学.A 授课教师：_____________ 授课班级：_____________ 基础课部大学数学教研室 2017至2018学年第 1 学期
课题：无穷小与无穷大 课程：经济应用数学A教学对象：课时：2课时 任课教师：教材：《高等数学（经管类）》吴玉梅，古佳，康敏，科学出版社 一、教材分析 选用的是《高等数学（经管类）》，教材，教材适用于经济，金融和管理类的学生。本节课的主要介绍的是无穷小与无穷大，从无穷小与无穷大的定义到运算性质，让学生对无穷小与无穷大有一个整体的认识，之后对无穷小的比较做进一步学习。 1、以教材作为出发点，依据《课程标准》，引导学生体会、参与科学探究过程。首先复习数列的极限函数的极限，通过对极限概念的进一步分析和总结，让学生自主、独立的发现问题，对可能的答案做出假设与猜想，并通过多次的检验，得出正确的结论。学生通过收集和处理信息、表达与交流等活动，获得知识、技能、方法、态度特别是创新精神和实践能力等方面的发展。2、用标准的数学语言得出结论，使学生感受科学的严谨，启迪学习态度和方法，不仅要保证数学知识的完整性，也要提升学生运用数学的思想和应用数学知识解决实际问题的方法。 二、教学目标与内容 1.教学目标 知识与技能 通过对本节的学习，理解无穷小与无穷大的概念及它们的关系，掌握无穷小的运算性质，熟记常用的等价无穷小量，会用等价无穷小替换定理求极限。 过程与方法 通过对本节的学习，使同学理解无限与有限的相对性，学会在无限的范围考虑问题，在此过程中，要培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生提出、分析、理解问题的能力，进而发展整合所学知识解决实际问题的能力。 情感态度与价值观 通过对本节的学习，使同学理解无限与有限的相对性，学会在无限的范围考虑问题让学生体验数学在实际生活中的运用，激发学生自主学习的兴趣，也培养了学生的创新意识和探索精神。 2.教学重难点 教学重点： 1.无穷小与无穷大的定义 2.无穷小的运算性质 3.无穷小的比较
大一高数 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){},|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<-
习 题 3.3 无穷小量与无穷大量的阶 1. 确定a 与α，使下列各无穷小量或无穷大量等价于(～) a x α： (1) u (x ) = x x x 543 32-+, (x →0，x →∞)； (2) u (x ) = x x x x 524 3 23+- (x →0，x →∞)； (3) u (x ) = x 3 + x 2 3 (x →0+，x →+∞)； (4) u (x ) = x x x ++ (x →0+，x →+∞)； (5) u (x ) = 13+x - 123 +x (x →0，x →+∞)； (6) u (x ) = x 2 1+ - x (x →+∞)； (7) u (x ) = - 3 2 x (x →0+)； (8) u (x ) = 1+x x - e 2x (x →0+)； (9) u (x ) = ln cos x - arc tan x 2 (x →0)； (10) u (x ) = x tan 1+ - 1-sin x (x →0)。 解（1）)(x u ～)0(23→x x ；)(x u ～)(5∞→x x 。 （2）)(x u ～)0(21→--x x ；)(x u ～ ) (3 1∞→x x 。 （3）)(x u ～)0(3 2 +→x x ；)(x u ～)(2 3 +∞→x x 。 （4）)(x u ～)0(81 +→x x ；) (x u ～)(21 +∞→x x 。 （5）)(x u ～)0(65→x x ；)(x u ～ )(321 +∞→x x 。 （6）)(x u ～ )(2 11 +∞→-x x 。 （7）)(x u ～)0(21 +→x x 。 （8）)(x u ～)0(2+→-x x 。
关于高等数学等价无穷小替换极限的计算 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
讲义 无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数()x f 的极 限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面我们用
→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。 定义： 当在给定的→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大，即 ()∞=→x f x ＊ lim 。显然，∞→n 时， 、 、、32n n n 都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 0lim =-∞ →x x e ， +∞=+∞ →x x e lim ， 所以x e 当-∞→x 时为无穷小，当+∞→x 时为无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果()x f 为无穷大， 则 ()x f 1为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且()0≠x f ，则() x f 1 为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系: 定理1 0 lim () () (),x x x f x A f x A x α其中)(x α是自变量在同一变化过程0 x x →（或∞→x ）中的无穷小. 证：（必要性）设0 lim () ,x x f x A 令()(),x f x A α则有0 lim () 0,x x x α （充分性）设() (),f x A x α其中()x α是当0x x 时的无穷小，则 【意义】 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
§5 无穷小量与无穷大量的比较 先看数列的情形．设,n n x y 是无穷小量，即：lim n →∞ n x ＝0，lim n →∞ n y ＝0． 考虑n n n y x ∞→lim 可能出现各种情形： 0lim ≠=∞→c y x n n n ， n c x n =，n y ＝1n ； 0lim =∞→n n n y x ， n x ＝21 n ，n y ＝1n ； ∞=∞→n n n y x l i m ， n x n 1=，21 n y n = n n n y x ∞→lim 不存在 n n n y x ∞→lim 是有界量，n x ＝(1)n n -，n y ＝1 n ， n n n y x ∞→lim 是无界量，但非无穷大，n x ＝ [1(1)]n n +-，n y ＝21 n ， 这时 n n x y ＝[1(1)]n n +- 可见，有些无穷小量可以比较，但有些不能。 定义3.10 设l i m n →∞ n x ＝0，lim n →∞ n y ＝0． (1)若存在A >0，B >0及正整数N ，使得当n N >时，有 0 n x 与n y 是同阶无穷小量?若存在A >0，B >0及正整数N ， 使得当n N >时， 有 0?ε，N ?，当N n >时，n n y x ε<|| 这表明n x 趋于0的速度比n y 快得多。 n x 与n y 为等价无穷小量?n x ～n y ?lim n →∞ n n x y ＝1 ? n n n y x α=-1，其中0l i m =∞→n n α ?n n n n y y x α+= ?)(n n n n n y o y y x ==-α， 这表明：1、n 充分大时，n x 于n y 几乎相等。 2、两个等价无穷小量之差是比其自身更 高阶的无穷小量 还要引进一个记号： n x ＝()n O y ? 如果 n n x y 是有界的，即||n n x y ≤M )1(O x n = ? 如果M x n ≤|| 1.4 无穷小与无穷大 1.4.1 无穷小 1．无穷小量的定义 定义：如果x → x 0 （或x → ∞ ）时, 函数f (x ) 的极限为零 ,那么把f (x ) 叫做当x → x 0（或x → ∞ ）时的无穷小量，简称无穷小。 例如：因为 0)1(lim 1 =-→x x ，所以函数x-1是x →1时的无穷小。 因为 01 lim =∞ →x x ，所以函数x 1是当x →1时的无穷小。 因为 011lim =--∞ →x x ，所以函数x -11 是当x →－∞时的无穷小。 以零为极限的数列｛x n ｝，称为当n →∞时的无穷小， n 1，n 3 2 都是n →∞时的无穷小。 注：⑴不能笼统的说某函数是无穷小，说一个函数f(x)是无穷小，必须指明自变量的变化趋向。 ⑵不要把绝对值很小的常数说成是无穷小，因为这个常数在x →x 0（或x →∞）时，极限仍为常数本身，并不是零。 ⑶常数中只有零可以看作是无穷小，因为零在x →x 0（或x →∞）时，极限是零。 2.无穷小的性质 在自变量的同一变化过程中，无穷小有以下性质： ⑴有限个无穷小的代数和仍是无穷小（无穷多个无穷小之和不一定是无穷小）。 ⑵有限个无穷小的乘积仍是无穷小。 ⑶有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。（常数与无穷小的乘积仍是无穷小）。 ⑷无穷小除以具有非零极限的函数所得的商仍为无穷小。 例1．求 x x x sin lim ∞ → 解：∵1sin ≤x ，是有界函数， 而 01 lim =∞ →x x ∵有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。 ∴ x x x sin lim ∞ →＝0 3．函数极限与无穷小的关系 定理：具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是该函数的极限。 4．无穷小的比较 例：当x →0时，x, 3x ， x 2, sinx, x x 1 sin 2 都是无穷小。 观察各极限： 032 lim =→x x x x 2比3x 要快得多 1sin lim =→x x x sinx 与x 大致相同 ∞=?=→→x x x x x x x sin 1sin lim lim 020 sinx 比x 2慢的多 x x x x x x 1sin 1 sin lim lim 220 →→= 不存在 不可比 极限不同，反映了无穷小趋于0的“速度”是多样的。 得到以下结论：设α和β都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小 ⑴如果αβlim ＝0，则称β是比α高阶的无穷小 ⑵如果αβ lim ＝∞，则称β是比α低阶的无穷小 ⑶如果αβ lim ＝k （k ≠0），则称β与α是同阶的无穷小 ⑷如果α β lim ＝1，则称β与α是等价无穷小，记为α～β。 例2．比较当x →0时，无穷小 x x ---111 与x 2阶数的高低。 1 §1.7无穷小的比较 一、判断题 1、γβα,,是同一极限过程中的无穷小，且,~,~γββα则必有γα~。 [ ] 2、0→x 时330tan sin sin ~,lim lim 0sin x x x x x x x x x x →∞→--∴== [ ] 3、已知11cos lim 0=-→x x x ，由此可断言，当)1(cos ,0x x x -→与时为等价无穷小。[ ] 4．当0→x 时，x 3sin 与1-x e 是同阶无穷小 。 [ ] 5．当1→x 时，31x - 是1-x 的高阶无穷小。 [ ] 二、单项选择题 1、x →0时，1—cos x 是x 2的 。 (A)高阶无穷小 (B)同阶无穷小，但不等价 (C)等价无穷小 (D)低阶无穷小 2、当x →0时，（1—cos x ）2是sin 2x 的 。 (A)高阶无穷小 (B)同阶无穷小，但不等价 (C)等价无穷小 (D)低阶无穷小 3、如果应满足则高阶的无穷小是比时c b a x c bx ax x ,,,11 1 ,2+++∞→ 。 (A)1,1,0===c b a (B) 0,1,a b c ==为任意常数 (C) 为任意常数c b a ,,0≠ (D) 都可以是任意常数c b a ,, 4、1→x 时与无穷小x -1等价的是 。 (A)()3121 x - (B) ()x -121 (C) ()2121 x - (D) x -1 5．下列极限中，值为1的是 。 (A) x x x sin 2lim π∞→ (B) x x x sin 2lim 0π→ (C) x x x sin 2lim 2 ππ→ (D) x x x sin 2lim ππ→ 一、在下列各题中，指出哪些变量是无穷小量，哪些变量是无穷大量？ 1．当∞→x 时，变量 x 2是无穷小量； 【0 2lim =∞ →x x 】 2．当-∞→x 时，变量x -2是无穷大量； 【 +∞ =--∞ →x x 2 lim 】 3．当0→x 时，变量x sin 是无穷小量； 【0sin lim 0 =→x x 】 4．当+→0x 时，变量x ln 无穷大量． 【-∞=+→x x ln lim 0 】 二、利用无穷小与有界变量的关系，计算下列极限 1． x x x sin lim ∞ → 2．x x x 1sin lim 2 → 解：由0 1lim =∞ →x x ，且1sin ≤x ， 解：由0lim 2 =→x x ，且11sin ≤x ， 故0 sin lim =∞ →x x x ． 故0 1sin lim 2 =→x x x ． 3．)21(cos lim +→x x x 4．x x x 1sin lim 2 +∞ → 解：由0lim 0 =→x x ，且 3 21cos ≤+x ， 解：由0 1lim =∞ →x x ，且11sin 2 ≤+x ， 故0 )21(cos lim =+→x x x ． 故0 1 sin lim 2 =+∞ →x x x ． 三、求下列极限 1．)158(lim 2 5 +-→x x x 176 155582 =+?-?=． 2． 1 1lim 2 1 ---→x x x 0111)1(2 =----= ． 3．59lim 2 3 -+→x x x 3 5 3 932 =-+=． 强行代入 4．x x x -+→13lim 1 ∞=． 无穷小的倒数是无穷大 5．1 1 lim 2 1 --→x x x 1 ) 1)(1(lim 1 --+=→x x x x 2 11)1(lim 1 =+=+=→x x ． 分解约分