数学人教版九年级上册切线长定理.2.3切线长定理
九年级上册24.2.3 切线长定理
一、教学目标
1、了解切线长的定义；
2、掌握切线长定理，并利用其进行有关计算；
3、在切线长定理的运用中，渗透方程的思想，熟悉用代数方法解几何题.
二、教学重点
切线长定理
教学难点
应用切线长定理解决问题
三、教学过程
1、新课导入
复习：上节课，我们学习了切线的性质和判定，什么是切线的判定和性质？
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
下面我们来研究经过圆外一点所作的两条切线之间的关系.
2、切线长定义
如图，过圆外一点P有两条直线PA、PB分别与⊙O相切.经过圆
外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切
线长.
如图，线段PA、PB为⊙O的切线长.
3、探究新知
问题：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
证明：如图，连接OA和OB.
PA和PB是⊙O的两条切线.
OA⊥AP，OB⊥BP
又OA=OB，OP=OP
∴Rt∆AOP≌Rt∆BOP.
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
由此得到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
追问：OP会不会平分AB所对的两条弧？线段AB与OP存在怎样的位置关系？
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.平分切点所成的两弧；垂直平分切点所成的弦.
4、内切圆
问题：一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？
分析：圆要与三角形的三条边都相切，说明这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径.把该圆心找出，就可以以圆心到边的距离为半径把该圆形铁皮截下.
三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边
的距离相等.如图，分别作∠B，∠C的平分线BM和CN，设它
们相交于点I，则点I到AB，BC，CA的距离都相等.以I为圆心，
点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与∆ABC的三条边都相
切，圆I就是所作的圆.
内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切
圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
5、例题典析
例.如图, △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.
解: 设AF=x (cm)，则AE=x，
CD=CE=AC–AE = 13 –x
BD=BF=AB–AF = 9 –x
由BD + CD = BC可得
(13 –x) + (9 –x) = 14
解得x = 4cm
因此AF = 4 (cm)
BD=5 (cm)
CE=9 (cm)
6、练习巩固
（1）如图，△ABC中，∠ABC=
50，∠ACB=
75，点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数. （2）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=
25.求∠P的度数.
（3）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切与E，F，G三点，且AB//CD，BO=6cm。CO=8cm.
求BC的长.
（4）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB.
7、知识拓展
（1）△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积.（提示：设△ABC的内心为O，连接OA，OB，OC.）
（rl
S
ABC2
1
=
∆
）
（2）如图，Rt△ABC中，∠C=
90，AB，BC，CA的长分别为c，a，b.求△ABC的内切圆半径r.
分析：依题意，可得四边形OFCE 是正方形，
在Rt △ABC 中，2AD+2BD+2CE=AB+BC+AC ，
2
)(2BD AD AC BC AB CE r +-++== =22c c b a -++=)21c b a -+（
四、小结
五、作业布置
新人教版九年级上册数学[切线长定理—知识点整理及重点题型梳理](基础)
新人教版九年级上册初中数学 重难点有效突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 切线长定理—知识讲解（基础） 【学习目标】 1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义； 2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明. 【要点梳理】 要点一、切线的判定定理和性质定理 1．切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 要点诠释： 切线的判定方法： （1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线； （2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线； （3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）. 2．切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 要点诠释： 切线的性质： （1）切线和圆只有一个公共点； （2）切线和圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于过切点的半径； （4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心. 要点二、切线长定理 1．切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点诠释： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
3．圆外切四边形的性质： 圆外切四边形的两组对边之和相等. 要点三、三角形的内切圆 1．三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即 (S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径). 【典型例题】 类型一、切线长定理 1．如图，PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C ，⊙O 的半径长为6 cm ，PO ＝10 cm ，求△PDE 的周长． 【答案与解析】 连结OA ，则OA ⊥AP ． 在Rt △POA 中，PA ＝22OA OP -＝22610-＝8（cm ）． 由切线长定理，得EA ＝EC ，CD ＝BD ，PA ＝PB ，
人教版九年级数学上切线长定理和三角形的内切圆含答案
切线长定理和三角形的内切圆 知识点1切线长定理 1.如图24-2-36,PA,PB分别切☉O于A,B两点,如果∠P=60°,PA=2,那么AB的长为() 图24-2-36 A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图24-2-37是用一把直尺、含60°角的三角尺和光盘摆放而成的,A为60°角与直尺的交点,B为光盘与直尺的唯一交点.若AB=3,则光盘的直径是() 图24-2-37 A.6√3 B.3√3 C.6 D.3 3.如图24-2-38,PA,PB分别切☉O于点A,B,MN切☉O于点C,分别交PA,PB于点M,N.若PA=7.5 cm,则△PMN的周长是() 图24-2-38 A.7.5 cm B.10 cm C.12.5 cm D.15 cm 4.如图24-2-39,PA,PB,CD分别切☉O于点A,B,E,CD分别交PA,PB于C,D两点.若∠P=40°,则∠PAE+∠PBE的度数为() A.50° B.62° C.66° D.70° 图24-2-39图24-2-40
5.[2019·盐城阜宁期中]如图24-2-40,☉O为△ABC的内切圆,AC=10,AB=8,BC=9,D,E分别为BC,AC上的点,且DE为☉O的切线,则△CDE的周长为() A.9 B.7 C.11 D.8 6.如图24-2-41,PA,PB分别切☉O于点A,B,连接PO与☉O相交于点C,连接AC,BC. 求证:AC=BC. 图24-2-41 7.如图24-2-42所示,P为☉O外一点,PA,PB为☉O的切线,A,B为切点,AC为☉O的直径,PO 交☉O于点E. (1)试判断∠APB与∠BAC的数量关系,并说明理由. (2)若☉O的半径为4,P是☉O外一动点,是否存在点P,使四边形PAOB为正方形?若存在,请求出PO的长,并判断点P的个数及其满足的条件;若不存在,请说明理由. 图24-2-42 知识点2三角形的内切圆与内心 8.三角形的内心是 () A.三边垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条高所在直线的交点 D.三条中线的交点 9.[2020·随州]如图24-2-43,设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h,r,R,则下列结论不正确的是() 图24-2-43
数学人教版九年级上册《 切线长定理》
《切线长定理》教案 浠水县望城实验中学万春光 教学目标 1．知识与技能：理解切线长的概念，掌握切线长定理的内容，并会运用切线长定理解决相关的问题. 2．过程与方法：通过复习引导给出切线长定义，经过实验、猜想、证明发现切线长定理。培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想． 3．情感、态度和价值观：通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度． 教学重点 切线长定理及其运用. 教学难点 切线长定理的导出及证明和运用定理解决实际问题. 教学过程 (一)情景引入 由如何求“V ”形支架內篮球的半径而引出切线长. (二)探求新知 活动一：切线长定义
如图，已知⊙O外一点P,过P作⊙O的切线PA，切点为A，则P点与A点之间的线段长度，就是P点到⊙O的切线长. 切线长定义： 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. （引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.） 活动二：过圆外一点最多可以引圆的几条线. （演示）过圆外一点最多可以引圆的两条切线. 活动三： 观察：如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，则线段PA，PB 都是点P到⊙O的切线长． 1、提出问题：（1）线段PA与PB的长度有什么关系呢. (2)连接PO,则∠OPA与∠OPB的大小有什么关系. 2、观察： 在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？ 3、猜想：PA=PB，∠APO=∠BPO 4、证明猜想，形成定理
数学人教版九年级上册切线长定理.2.3切线长定理
九年级上册24.2.3 切线长定理 一、教学目标 1、了解切线长的定义； 2、掌握切线长定理，并利用其进行有关计算； 3、在切线长定理的运用中，渗透方程的思想，熟悉用代数方法解几何题. 二、教学重点 切线长定理 教学难点 应用切线长定理解决问题 三、教学过程 1、新课导入 复习：上节课，我们学习了切线的性质和判定，什么是切线的判定和性质？ 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径. 下面我们来研究经过圆外一点所作的两条切线之间的关系. 2、切线长定义 如图，过圆外一点P有两条直线PA、PB分别与⊙O相切.经过圆 外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切 线长. 如图，线段PA、PB为⊙O的切线长. 3、探究新知 问题：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？ 证明：如图，连接OA和OB. PA和PB是⊙O的两条切线. OA⊥AP，OB⊥BP
又OA=OB，OP=OP ∴Rt∆AOP≌Rt∆BOP. ∴PA=PB，∠APO=∠BPO. 由此得到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 追问：OP会不会平分AB所对的两条弧？线段AB与OP存在怎样的位置关系？ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.平分切点所成的两弧；垂直平分切点所成的弦. 4、内切圆 问题：一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？ 分析：圆要与三角形的三条边都相切，说明这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径.把该圆心找出，就可以以圆心到边的距离为半径把该圆形铁皮截下. 三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边 的距离相等.如图，分别作∠B，∠C的平分线BM和CN，设它 们相交于点I，则点I到AB，BC，CA的距离都相等.以I为圆心， 点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与∆ABC的三条边都相 切，圆I就是所作的圆. 内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切 圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 5、例题典析 例.如图, △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长. 解: 设AF=x (cm)，则AE=x， CD=CE=AC–AE = 13 –x BD=BF=AB–AF = 9 –x 由BD + CD = BC可得 (13 –x) + (9 –x) = 14
数学人教版九年级上册圆的切线长定理
切线长定理教学设计 一、内容和内容解析 内容：本课是人教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册第二十四章第二节第五课时，其主要内容是切线长的定义、切线长定理、三角形的内切圆及相关概念. 内容解析：在直线和圆的三种位置关系中，相切是最重要的，而“切线的判定和性质”是研究一条直线和圆的问题，两条直线和圆相切，三条直线和圆相切会是怎样的？本节内容是在学习了“圆的基本性质”、“切线的判定和性质”等知识基础上，通过“引导发现法”得到. 切线长定理再次体现了圆的轴对称性，为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等，提供了理论依据，它是沟通勾股定理、垂径定理以及三角函数关系等之间的桥梁；三角形的内切圆是借助切线长定理的知识从另一个角度进一步揭示三角形和圆的关系. 在教材的编写上，本课还注意了使学生经历充分地观察、猜想、验证、推理、交流、应用等数学活动后获得结论，这对于培养学生的观察能力、推理能力、图形处理能力、探索及解决问题的能力等方面，都起着较为重要的作用. 基于此，本节课的教学重点是：发现并证明切线长定理，运用切线长定理解决问题.
二、目标和目标解析 目标： 1.理解并掌握切线长，能运用切线长定理解决相关问题. 2.了解三角形内切圆、内心的概念，会作三角形的内切圆. 目标解析： 1.经历观察、实验、猜想、验证、推理、应用等数学活动，培养学生的观察能力、概括能力和演绎推理能力，渗透转化思想. 2.通过切线长定理的应用，培养学生独立思考的习惯，发展合作交流与应用意识，感悟数学与实际生活的密切联系. 3.通过一系列探究活动的开展，使学生从中体验数学活动的探索性和创造性，感受探究成功的乐趣，从而激发学习兴趣. 三、教学问题诊断分析 学生刚学完切线的性质，对其应用掌握不很牢固，有多条直线与圆相切时转化到每一条直线和圆相切、三角形的内切圆实际上可以转化“三组切线长”思维有一定的障碍。在教学中应精心设计教学活动，使学生在原有知识的基础上，引导学生观察发现，细致剖析，使他们理解、让他们会用。 四、教学支持条件分析 1.借助切线的性质，明晰切线与切线长的区别与联系，为发现、证明切线长定理服务.建立切线长定理与三角形内切圆的联系，寻找三角形的内心.
数学人教版九年级上册切线长定理
九年级数学《切线长定理》教学案例分析 一、教材分析 （一）教材地位、作用 《切线长定理》这节课是人教版九年级上册第二十四章 第一节第四部分的内容，是在学生学习了圆、弦、弧、圆心角等概念和相关知识的基础上出现的，圆周角与圆 心角的关系在圆的有关说理、作图、计算中应用比较广 泛通过对圆周角定理的探讨，培养学生严谨的思维品质，同时教会学生从特殊到一般的分类讨论的思维方法。因此本节课无论在知识上，还是方法上，都起着十 分重要的作用。 .所以这一节课既是前面所学知识的继续，又是后面研究圆与其它平面几何图形的桥梁和纽带. 教材把《切线长定理》这节分为两个课时进行教学，第一课时是探索圆周角与圆心角的关系，第二课时 是探索直径所对圆周角的特殊性.我今天说的是第一课时. （二）教学重点、难点 1.教学重点： 圆周角定理的证明需要分三种情况一一证明，培养 了学生的逻辑思维的严密性，因此圆周角定理的发现与 论证是本课的重点。 2.教学难点： 学生第一次接触分类证明，而证明又要添加适当的
辅助线。因此圆周角定理的证明是本课的难点。 二、教学目标分析 1.知识与技能目标： ⑴通过观察，使学生了解圆周角的概念。 ⑵理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。 2.过程与方法目标： 运用分类思想给予逻辑证明定理，让学生能够证明定理的正确性，最后运用定理解决一些实际问题。 3.情感态度与价值观 ⑴经过探索圆周角定理的过程，发展学生的数学思考能力。 ⑵通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验。 三、教法与学法分析 (一)学情分析： 1.学生的认知基础 学生已经了解圆中的基本概念，会判断圆心角，基本掌握圆心角的相关性质，熟练掌握了三角形外角和定理。 2.学生的年龄心理特点 初三学生已经具备一定的独立思考和探索能力，并能
人教版数学九年级上册《切线长定理》教学案
第3课时切线长定理 教学目标：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。 2、在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟 悉用代数的方法解几何题。 教学重点：理解切线长定理。 教学难点：灵活应用切线长定理解决问题。 教学过程： 一、复习引入： 1．切线的判定定理和性质定理． 2．过圆上一点可作圆的几条切线？过圆外一点呢？过圆内一点呢？ 二、合作探究 1、切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这 点到圆的切线长。 2、切线长定理 （1）操作：纸上一个⊙O，PA是⊙O的切线，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B。 OB是⊙O 的半径吗？PB是⊙O的切线吗？猜一猜PA与PB的关系？∠APO与∠BPO呢？ 从上面的操作及圆的对称性可得： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角． （2）几何证明． 如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠APO=∠BPO． 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 3、三角形的内切圆 思考：如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的铁片，并且使圆的面积尽可能大呢？ 三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 三角形的内心：三角形内切圆的圆心即三角形三条角平分线的交点叫做——
（1）图中共有几对相等的线段 （2）若AF=4、BD=5、CE=9，则△ABC周长为____ 例如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, 且AB=9cm =1810,求⊙O的半径。 BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的长。若S △ABC 三、巩固练习 1、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。PO交⊙O于E点 （1）若PB=12，PO=13，则AO=____ （2）若PO=10，AO=6，则PB=____ （3）若PA=4，AO=3，则PO=____；PE=_____. （4）若PA=4，PE=2，则AO=____. 2、如图2，PA、PB是⊙O的两条切线、 A、B为切点，CD切⊙O于E交PA、PB 于C、D两点。 （1）若PA=12，则△PCD周长为____。 （2）若△PCD周长=10，则PA=____。 （3）若∠APB=30°,则∠AOB=_____，M是⊙O上一动点，则∠A MB=____ 3、如图Rt△ABC的内切圆分别与AB、AC、BC、相切于点E 、D、F，且∠ACB=90°，AC=3、BC=4，求⊙O的半径。
人教版九年级数学上册《第二单元_课时3_切线长定理》名师教学设计
《切线长定理》教学设计 一、教学内容分析 圆的切线长定理和三角形的内切圆是在学习了切线的性质定理以及判定定理的基础之上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性进一步的认识，为证明线段、角、弧相等提供了依据. 会从圆上任意不同的两点出发作出两条切线，这两条切线有两种位置关系，平行和相交.在相交的情况下，可以看成由圆外一点引出的两条切线，如图（1）（见下页），已知点P为⊙O外的一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为AB两点.我们把线段PA，PB的长叫做点P到⊙O的切线长.学生利用切线性质定理、角平分线判定定理等知识比较容易证明OP平分∠APB.如图（2）（见下页），连接OA，OB，根据切线的性质，则OA⊥PA，OB⊥PB，垂足分别为点A、点B.又因为OA=OB，即点O到∠APB两边的距离相等，根据角平分线判定定理，则点O在∠APB的平分线上.如图（3），连接OP，由于∠AOP=∠BOP，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可以得到PA=PB，当然此处也可以通过证明三角形全等得出结论，方法不唯一. 这样，我们就得到了切线长定理. 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 经过圆外一点引圆的两条切线，连接该点与两个切点，根据切线长定理，会形成一个等腰三角形，结合等腰三角形的性质和垂径定理等，可以得到一些常用结论该基本图形在圆的学习中十分重要，需要学生深入理解.如图（4）所示，连接PO AB，进一步能得到以下结论：线段相等，AP=BP，AD=BD；角相等，∠APO=∠BPO，∠AOP=∠BOP，∠PAB=∠PBA，∠PAO=∠PBO；弧AC BC；位置关系，AB⊥OP. 相等，=
九年级数学(上)《圆---切线长定理》
第3课时切线长定理 一、教学内容 人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级上册“24.2直线和圆的位置关系”（第三课时） 二：教学内容解析 本节课是直线与圆的位置关系中的第三课时，是直线与圆位置关系中重点内容，是在学习了切线的性质和判定的基础上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识。体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合。 在教学过程中，通过安排实践操作活动，使学生提高了探究的兴趣。首先教师突出操作要求，学生操作并思考回答问题，教师在学生回答问题的基础上进一步引导学生从中发现问题，让学生体会从具体情景和实践操作中发现条件，解决问题。通过设计问题情境，使学生提高解决问题的意识，通过自己画图尝试从中得到感性认识，进而不断地比较，让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确的追求过程中，使学生体会数学发展的过程。 三：教学流程安排
四：教学目标与重难点： 【知识与技能】 理解掌握切线长的概念和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念. 【过程与方法】 利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征.结合求证三角形内面积最大的圆的问题，掌握三角形内切圆和内心的概念. 【情感态度】 经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力. 【教学重点】 切线长定理及其应用. 【教学难点】 内切圆、内心的概念及运用. 一、情境导入，初步认识 探究如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B，回答下列问题：（1）OB是⊙O半径吗？（2）PB是⊙O的切线吗？（3）PA、PB是什么关系？（4）∠APO和∠BPO有何关系？
九年级数学第三章切线长定理
切线长定理 【学习目标】 1.了解切线长定义,掌握切线长定理： 2.了解圆外切四边形定义及性质； 3.利用切线长定理解决相关的计算和证明. 【要点梳理】 要点一、切线长定理 1.切线长： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 要点进阶： 切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2.切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点进阶： 切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 要点二、圆外切四边形的性质 1.圆外切四边形 四边形的四条边都与同一个圆相切,那这个四边形叫做圆的外切四边形. 2.圆外切四边形性质 圆外切四边形的两组对边之和相等. 【典型例题】 类型一、切线长定理 例1.已知PA、PB分别切。。于A、B, E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D. (1)若PA=6,求APCD的周长.
例2.如图，ZkABC中，/ACB=90° ,以AC为直径的00交AB于D, E为BC中点. 求证：DE是。0切线. 举一反三： 【变式】已知：如图，。。为AA8C的外接圆，BC为。。的直径，作射线使得8A平分NC3F, 过点A作 A£>_L8/于点。.求证：A4为。0的切线. 例3.如图，正方形ABCD边长为4cm以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则AADE的面积（） A. B. 24 C.8 D.6
类型二、圆外切四边形 例4.已知四边形ABCD中，AB〃CD,。。为内切圆，E为切点. (I )如图1,求NAOD的度数； (II )如图 1,若 A0=8cm, D0=6cm.求 AD、0E 的长： (III)如图2,若F是AD的中点，在(H)中条件下，求F0的长. 举一反三： 【变式】在圆外切四边形ABCD中，AB:BC:CD:AD只可能是( ). A. 2:3:4:5 B. 3:4:6:5 C. 5:4:1:3 D. 3:4:2:5
数学人教版九年级上册切线长定理
切线长定理 教学目标： 1．知识与技能：理解切线长的概念，掌握切线长定理。 2．过程与方法：通过对探究的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想． 3．情感态度与价值观：通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习 兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度。 教学重点：理解切线长定理。 教学难点：灵活应用切线长定理解决问题。 教学过程： 一、回顾旧知： 圆的切线判定定理： 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 几何语言: ∵l⊥OA，且l 经过⊙ O上的A点 ∴直线l是⊙O的切 线 切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径二、 二、合作探究（切线长定理）： 1、切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 2、探究：已知⊙O及⊙O外的一点P，PA与⊙O相切于A点，连接OA，如果将⊙O沿直线OP翻折，在⊙O上是否存在点B与点A重合的点？ OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？ 几何证明：如图，已知PA、PB是⊙o的两条切线．求证：PA=PB，∠APO=∠BPO 证明：∵PA、PB是⊙o的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP ∴∠ OAP= ∠ OBP=900 ∵ OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL） ∴PA=PB，∠APO=∠BPO 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
几何语言表示： ∵PA、PB是⊙o的两条切线， ∴PA=PB，∠1=∠2 练习： 一、判断 1、过任意一点总可以作圆的两条切线（） 2、从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。 二、填空 1、如图PA、PB切圆于A、B两点，，连结PO，则 2、如图;已知⊙O的半径为3厘米，点P和圆心O的距离为5厘米，PE,PF是⊙O的两条切线，切点分别是D，E则PE= PF= 50 = ∠APB = ∠APO
新人教版九年级数学上第24.2.3节 切线长定理优秀教学设计反思
新人教版九年级数学上第24.2.3节切线长定理优秀教学设计反思 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 教材分析 “切线长定理”是人教版九年级数学上册第二十四章“圆”的第二节的内容，本节内容安排六个课时，本课时是本节内容的第五课时，本课设计主要是在切线的基础上，明确切线长的定义，通过学生动手操作，逻辑证明来明确切线长定理，引出三角形的内切圆，通过与三角形的内切圆有关的练习巩固切线长定理。 学情分析 我班学生来自全县各个乡镇，学生的基础参差不齐。再加上这个班是进入九年级我才接手的成绩较差的班级，基础薄弱，因而要加强动手操作探究知识
的教学，让学生学知识学到“知其然并知其所以然”，不仅“知其所以然”，还要学以致用。 教学目标 一、知识与技能： 1.了解切线长的概念． 2.理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用． 3.复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线长定理，然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，最后应用它们解决一些实际问题． 二、数学思考： 1.通过操作、观察两条切线长，发展学生的合情推理能力和演绎推理能力。 2.学生经历知识的形成与运用过程，培养学生的数学语言概括、表达能力。 三、解决问题 1.学生探索切线长定理过程中，学会
用数形结合思想解决问题。 2.学生运用切线长定理解题，提高运用知识和技能解决问题的能力。 四.情感、态度与价值观 培养学生主动参与探索知识，获得数学知识的良好学习习惯，从而提高学生学习数学的积极性。 教学重点和难点 1．重点：切线长定理及其运用． 2.•难点与关键：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题． 教学过程 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢
九年级切线长定理知识点
九年级切线长定理知识点 九年级切线长定理是数学中的一个重要定理，它在解决几何问 题中起到了至关重要的作用。切线长定理的应用范围非常广泛， 涉及到各种与圆相关的数学问题。本文将从几何概念、切线的定义、切线长定理的推导和应用等方面进行讲解。 首先，我们来回顾一下一些基本的几何概念。在平面几何中， 圆是指平面上与一个确定点的距离相等的所有点的集合。圆由圆 心和半径决定，其中圆心是指到圆上任意一点的线段的中点，半 径是指圆心到圆上任意一点的线段。而切线是指与圆只有一个公 共点的直线。 那么，如何准确地描述切线的定义呢？我们可以从圆的性质出 发来定义切线。对于任意一点P在圆上，过P点与圆心O的直线，称为弦。如果弦只有一个公共点与圆相交，那么这条弦就是切线。换言之，切线是与圆只有一个交点的直线。 接下来，我们来探索一下切线长定理的推导过程。假设已知圆 的半径为r，切线与半径的交点为A，切线与圆的切点为B，那么 我们要证明切线长与半径和半径所对的圆心角存在相等关系。首先，我们可以得到△OBA为直角三角形。通过勾股定理，我们可
以得到OB的平方等于OA的平方加上AB的平方，即 OB²=OA²+AB²。 运用一些几何性质，我们得到△OBA与△OAB相似。由于两 个三角形的对应边的比例相等，于是可以得到OA的比例等于AB 的比例，即OA/AB=AB/OB。同时，AB/OB等于弦两端的线段的 比例，即AB/2r，因为弦被半径平分。将这个比例代入前面的等式中，我们可以得到OA²=2r×AB。这就是切线长定理的推导过程。 经过推导，我们可以得出切线长与半径之间的关系。具体来说，切线长等于半径的平方乘以2，即l=2r。这意味着在圆上，如果我们知道了圆的半径，就可以直接计算出切线的长度，而不需要知 道切线与半径的具体交点位置。 切线长定理在解决几何问题中发挥了重要的作用。它在很多应 用中都展现出了其独特的价值。例如，当我们需要计算切线的长 度时，只需要知道圆的半径即可，无需知道切线与圆的具体交点 位置。这在实际问题中非常实用，可以帮助我们更高效地解决几 何难题。
数学人教版九年级上册切线长定理
切线长定理教学设计 湛江市坡头区第一中学陈先贵 1、教学目标： （1）、知识目标：了解切线长的定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关的计算；在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题。 （2）、能力目标：经历画图、度量、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，培养学生有条理地、清晰地阐述自己的观点的能力。 （3）、情感与态度目标：了解数学的价值，对数学有好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。 2、教学重点：理解切线长定理 3、教学难点：应用切线长定理解决问题 学习过程： 一、激发情趣，导入新课 师：同学们，请看这是什么玩具？ （悠悠球）对，这是大家非常喜爱的一种玩具。 师：（教师演示一次）可是，大家在玩悠悠球时是否想到过它的转动过程中还包含着数学知识呢？是什么知识呢？ 我们来看一下它的构造。（拆开球，出示球的剖面） 师：这是悠悠球在转动的一瞬间的剖面，从中你能抽象出什么样的数学图形？ （球的整体和中心轴可分别抽象成圆形，被拉直的线绳可抽象成线段。） 师：这些图形位置关系怎样？ （两圆为同心圆，线段所在直线和小圆相切）[在这两问中，如果学生想不到球的整体时，这个圆可以不提] 师：线段的两个端点和小圆的位置关系怎样？ （一个是切点在小圆上，一个在小圆外） 师：我们可以看出，球与手的距离就决定于这条线段的长度。在几何中，我们把满足上述特征的线段的长叫做点到圆的切线长，这节课我们就来研究切线长的有关知识。 二、合乎情理，探索发现 1、提出问题： 过平面内的一点作圆的切线，可以作出几条切线？（注意分类讨论） 2、切线长的概念． 如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长。 注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量. 3、观察 变动点P 的位置，观察图形的特征和各量之间的关系． 4、猜想
数学人教版九年级上册切线长定理、三角形的内切圆、内心
1、教材分析 本节课是直线与圆位置关系中的第三课时,是在学习了切线的性质和判定的基础之上,继续对切线的性质的研究,是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识.本节课是图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合.在习题和内切圆的计算中体现了把复杂问题转化为简单问题后解决问题,从而滲透转化思想和方程思想,提高应用意识.切线长定理的探究,通过设计先翻折图形再思考的环节加入了实践操作活动,使学生提高探究的兴趣,应用了“实验几何——论证几何”的探究方法,并初步建立了由动手操作抽象出数学条件进而解决问题的意识.让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰,从具体到抽象,从直觉到逻辑的过程,再由直观、粗糙向严格、精确的追求过程中,使学生体验数学发展的过程.它也是为证明线段,角相等,弧相等,垂直关系等提供了理论依据. 2、学情分析 学生对前面学圆的相关知识都有一定的把握程度。学生对圆的图形的认知水平也较高,这对本节课的学习有一定的帮助。学习过程不会很困难,理解也不很困难,但书写证明过程有一定的难度.因此,课堂上需要充分调动学困生的积极性,带动所有学生都融入到课堂中来. 3、教学目标 知识与技能: 1、了解切线长,三角形的内切圆、三角形的内心等概念. 2、掌握切线长定理,初步学会运用切线长定理进行计算. 3、学会利用方程思想解决几何问题,掌握数形结合思想. 过程与方法: 通过探究,使学生发现、掌握切线长定理,并初步学会应用切线长定理解决问题.同时通过从三角形纸片中剪出最大圆的实验的过程中发现三角形内切圆的画法,能用内心的性质解决问题. 情感态度与价值观: 1、通过小组合作学习的形式,让学生有团队精神. 2、在交流学习中激发学生的学习兴趣,调动学生学习的积极性. 4、重点难点 重点:切线长定理及其运用,三角形的内切圆的画法和内心的性质. 难点:三角形的内心及其半径的确定及转化思想. 5、教学过程 活动1 问题提出,导入新课 试一试：经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有几种情形？ 观察第三个图形，回答下列问题: 1.OB是⊙O的一条半径吗? 2.PB是⊙O的切线吗? 定义:经过圆外一点作圆的切线,这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. 切线与切线长的区别与联系: (1)切线是一条与圆相切的直线;不能度量. (2)切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长.
新人教版数学九上优秀教案：24.2.2.3切线长定理
教学过程设计
如图，三角形的三条角平分线交于一点，设交点为I，那么I到AB AC BC的距离相等，因此以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则。I与厶ABC的三条边都相切. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切 圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内 心. 点，这点与三边距离相等” 和“圆心与圆上各点距离 都等于半径”结合，理解三 角形的内切圆的概念. 引岀三角形的内 切圆概念，便于学 生理解 (三)应用 1.如图，已知。O是厶ABC的内切圆，切点分别为 D、E、F, CD=1, AE=2 BF=3, 且^ ABC的面积为6.求 内切圆的半径r . 分析：可知OD OE 0E分别垂直于BC AC AB,由于面积是已知的，?因此转化为面积法来求.连结AO BO CO就可把三角形ABC分为三块，？问题迎刃而解. 2.如图，。O的直径AB=12cm AM BN是切线，DC切。O于E，交AM 于D，?交BN于C,设AD=x BC=y. (1 )求y与x的函数关系式，并说明是什么函数？ (2)若x、y是方程2t2-30t+m=0的两根，求x，y的值. (3)求厶COD勺面积. 分析：(1)要求y与x的函数关系，就是求 BC与AD的关系，根据切线长定理：DE=AD=x CE=CB=y即DC=x+y又因为AB=12,所以只要作DF丄BC于F ,根据勾股定理，便可求得. (2)v x, y 是2t 2-30t+m=0 的两根，那么学生审题，思考利用切线长定理求岀三角形三边的长度，从题中条件 “ ABC的面积为6 ”出发，作辅助线，再以面积为等量关系，建立以r为未知数的方程. 理清题意，观察图形，结合题中条件思考解题思路，综合运用勾股定理、一元二次方程的根与系数的关系和切线长定理. X1+X2=30 =15, xx= m，结合(1 )的结论便可求得x、y的值. 2 2 三、课堂训练— 完成课本98页练习 四、小结归纳 1 •圆的切线长概念和定理；2•三角形的内切圆及内心的概念 五、作业设计 作业：复习巩固作业和综合运用为全体学生必做；拓广探索为成绩中上等学生必做. 板书设 课题 圆的切线长概念切线长定理三角形的内切圆及内心的概念 例1. 例2. 使初步运用切线长 定理，根据题中关键 条件，考虑所求, 灵 活运用面积法得出 解题方法，从而解 决问题. 培养学生综合解 题能力，能从条件 和结论岀发，分 析解题思路，化 未知为已知，体 会转化思想. 教师组织学生进行练习，教师 巡回检查，师生交流评价，教 师指导学生写岀解答过程，进 行题后反思. 让学生尝试归纳，总结，，反 思，教师点评汇总 运用本节知识，形 成做题技巧，培 养学生的应用意 识和能力 归纳提升，加强反 思，使学生对知 识的掌握系统化 巩固深化提高 归纳
人教版数学九年级上册第3课时切线长定理练习题含答案解析
第3课时切线长定理 一、选择题 1.下列说法中，不正确的是 ( ) A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点 B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部 C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等 2．给出下列说法： ①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； ②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形； ③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆； ④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形． 其中正确的有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( ) A．21 B．20 C．19 D．18 4.如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP， 则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有 ( ) A．1个 B．2个C．3个 D．4个 4题图5题图6题图 5．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边相切于点D、E、F，则点O是△DEF的 ( ) A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 6.一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( )
P B A O A ．21 B ．20 C ．19 D ．18 二、填空题 6．如图，⊙I 是△ABC 的内切圆，切点分别为点D 、E 、F ，若∠DEF=52o ， 则∠A 的度为________． 6题图 7题图 8题图 7．如图，一圆内切于四边形ABCD ，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD 的周长为________． 8．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，∠BAC=50o ，则∠BOC 为____________度． 三、解答题 9. 如图，AE 、AD 、BC 分别切⊙O 于点E 、D 、F ，若AD=20，求△ABC 的周长． 10. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为点A 、B ，若直径AC= 12，∠P=60o ，求弦AB 的长． 11. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°． （1）求∠APB 的度数； （2）当OA ＝3时，求AP 的长． 12．已知：如图，⊙O 内切于△ABC ，∠BOC =105°，∠ACB =90°，AB =20cm ．求BC 、AC 的长．
初三数学 三角形的内切圆、切线长定理知识精讲 人教四年制
初三数学 三角形的内切圆、切线长定理知识精讲 人教四年制 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 1. 三角形的内切圆 2. 切线长定理 二. 重点、难点： 1. 内心的特点： （1）角平分线的交点 （2 （3）内心X （4（5（62. 【典型例题】 [例1] 已知ABC ∆（1）D 为BIC ∆（2）若DE=1，证明： （1）连BD 、∵1∠与5∠对圆弧⋂ BD ∴251∠=∠=∠ 又 ∵32∠+∠=∠DIC ，54∠+∠=∠DCI ∴DCI DIC ∠=∠∴ DI=DC 又 ∵21∠=∠∴ BD=DC=DI ∴ D 为BIC ∆的外心 （2）∵52∠=∠，ADC ∠为公共角 ∴EDC ∆∽CDA ∆ ∴ DA DC DC DE =∴4412 =⨯=⋅=DA DE DC ∴ DC=2 ∴ DI=DC=2
但7=r 时，AB=3，CD=14，CD AB <，矛盾 ∴ 圆O 的半径为cm 3 [例4] ABC ∆中，AB=AC=17cm ，BC=16cm ，求ABC ∆内切圆的半径。
设内切圆半径为r ，以ABC ∆面积为等量关系建立方程， 有： r c b a AH BC )(2121++=⋅，即r )161717(21 151621++=⋅⋅
连OA 、O O '、OB 、OP PC 、PD 切⊙O 于C 、D ⋂ ⋂ =⇒∠=∠⇒OF OE 21 ⇒⎪⎭ ⎪ ⎬⎫⊥'⇒=⇒=⊥'⇒⋂⋂AB O O OB OA OB OA EF O O EF ∥AB 【模拟试题】（答题时间：40分钟） 一. 选择题： 1. 圆的最大弦长为m ，如果直线与圆相交，该直线与圆心距离为d ，则（ ） A.m d > B.m d 21> C.m d = D.m d 2 1< 2. 圆的周长为π2，如果一条直线与圆心的距离为 2 π ，那么这条直线与这个圆（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 3. 在ABC ∆中，︒=∠90A ，⊙O 分别与AB 、AC 切于D 和E ，点O 在BC 上，设AB=a ， 长为（ ） A. 320B.3 25C. 5 D. 8 9. 若圆的外切四边形ABCD 的面积为2 20cm ，边AD 与边BC 的和为10cm ，则该圆的半径长为（ ） A.4cm B. 2cm C. 1cm D. 以上都不对 二. 填空题： 1. 直角三角形两条直角边长分别为9和40，则它的外接圆半径R=，内切圆半径=r