2020年中考数学提优专题：《圆：切线长定理》(含答案)
《圆：切线长定理》
知识梳理：
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
综合练习：
一．选择题
1．如图，已知AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若AB＝3，ED＝2，则BC的长为（）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
2．既有外接圆，又有内切圆的平行四边形是（）
A．矩形B．菱形C．正方形D．矩形或菱形
3．如图所示，已知PA、PB切⊙O于A、B两点，C是上一动点，过C作⊙O的切线交PA于点M，交PB于点N，已知∠P＝56°，则∠MON＝（）
A．56°B．60°C．62°D．不可求
4．已知四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，AD＜BC，又⊙O与AB、AD、CD分别相切于点E、F、G，圆心O在BC上，则AB+CD与BC的大小关系是（）
A．大于B．等于C．小于D．不能确定
5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝15，过点D作一圆与AB、BC分别相切于G、H，与边AD、CD相交于点E、F，且5AE＝4DE，8CF＝DF，则BH等于（）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图，PA，PB分别切⊙O于点A和点B，C是上任一点，过C的切线分别交PA，PB于D，E．若⊙O的半径为6，PO＝10，则△PDE的周长是（）
A．16 B．14 C．12 D．10
7．如图△ABC内接于⊙O，PA，PB是⊙O的两条切线，已知AC＝BC，∠ABC＝2∠P，则∠ACB的弧度数为（）
A．B．C．D．
8．PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，∠APB＝54°，则∠COD＝（）A．36°B．63°C．126°D．46°
9．如图，P A、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，∠P的度数为（）
A．35°B．45°C．60°D．70°
10．已知：如图，AB为⊙O的直径，CD、CB为⊙O的切线，D、B为切点，OC交⊙O 于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD、BD．以下结论：①AD∥OC；②点E为△CDB的内心；③FC＝FE；④CE•FB＝AB•CF．其中正确的只有（）
A．①②B．②③④C．①③④D．①②④
二．填空题
11．如图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A、B，PA＝6，在劣弧AB上任取一点C，过C作⊙O的切线，分别交PA，PB于D，E，则△PDE的周长是．
12．如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝．
13．如图，四边形ABCD是正方形，以BC边为直径在正方形内作半圆O，再过顶点A作半圆O的切线（切点为F）交CD边于E，则sin∠DAE＝．
14．如图，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AB＝6，PA＝5．则⊙O的半径．
15．如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，∠P的度数为．
16．如图，PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，若PA＝10cm，则△PEF的周长是cm，若∠P＝35°，则∠AOB＝（度），∠EOF＝（度）．
17．如图，正方形ABCD的边长为4，以AB为直径向正方形内作半圆，CE与DF是半圆的切线，M，N为切点，CE，DF交于点P．则AE＝，△PMN的面积是．
三．解答题
18．如图，∠APB＝52°，PA、PB、DE都为⊙O的切线，切点分别为A、B、F，且PA＝6．
（1）求△PDE的周长；
（2）求∠DOE的度数．
19．如图，P是半径为cm的⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于点A，B，PA＝PB ＝3cm，∠APB＝60°，C是弧AB上一点，过C作⊙O的切线交PA，PB于点D，E．（1）求△PDE的周长；
（2）若DE＝cm，求图中阴影部分的面积．
20．已知：AB为⊙O的直径，∠A＝∠B＝90°，DE与⊙O相切于E，⊙O的半径为，AD＝2．
①求BC的长；
②延长AE交BC的延长线于G点，求EG的长．
参考答案
一．选择题
1．解：由切割线定理，得DE2＝EA•EB，
∵AB＝3，ED＝2，
∴4＝AE（AE+3），
解得AE＝1或﹣4（舍去），
∵CB切⊙O于B，
∴∠B＝90°，
∴根据勾股定理得，BC2+42＝（BC+2）2，
∴BC＝3．
故选：B．
2．解：A、矩形只有外接圆，没有内切圆，故本选项不符合题意；
B、菱形只有内切圆，没有外接圆，故本选项不符合题意；
C、正方形既有外接圆，也有内切圆，故本选项符合题意；
D、矩形只有外接圆，没有内切圆，菱形只有内切圆，没有外接圆，故本选项不符合题意；故选：C．
3．解：∠PMN+∠PNM＝180°﹣∠P＝124°，
∠AMN+∠BNM＝360°﹣124°＝236°，
∵MA、MC是⊙O的切线，
∴∠AMO＝∠CMO，
∵NB、NC是⊙O的切线，
∴∠BNO＝∠CNO，
∴∠CMO+∠CNO＝（∠AMN+∠BNM）＝118°，
∴∠MON＝180°﹣118°＝62°，
故选：C．
4．解：连接OF，OA，OE，作AH⊥BC于H．
∵AD是切线，
∴OF⊥AD，
易证四边形AHOF是矩形，
∴AH＝OF＝OE，
∵S△AOB＝•OB•AH＝•AB•OE，
∴OB＝AB，
同理可证：CD＝CO，
∴AB+CD＝BC，
故选：B．
5．解：由8CF＝DF，得CF＝15×＝，
则CH2＝CF×DC，
故CH＝5，
设BC＝x，则BH＝x﹣5＝BG，
故AG＝20﹣x，
又∵5AE＝4DE，
∴DE＝x，AE＝x，
则AG2＝AE×AD，则（20﹣x）2＝x2，
解得：x＝12，
故BH＝BC﹣CH＝7．
故选：C．
6．解：连接OA，
∵PA切⊙O于A，
∴∠OAP＝90°，
∴在Rt△OAP中，OP＝10，OA＝6，由勾股定理得：PA＝8，∵PA，PB分别切⊙O于点A和点B，DE切⊙O于C，
∴PA＝PB＝8，DA＝DC，EB＝EC，
∴△PDE的周长是：
PD+DE+PE
＝PD+DC+CE+PE
＝PD+DA+EB+PE
＝PA+PB
＝8+8
＝16，
故选：A．
7．解：连接OA，OB．则OA⊥AP，OB⊥PB，
∴在四边形APBO中，∠P+∠AOB＝180°，
又∵∠AOB＝2∠ACB，∠ABC＝2∠P，
设∠ACB＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣4∠P，
∴∠AOB＝360°﹣8∠P，
∴∠P+∠AOB＝∠P+（360°﹣8∠P）＝180°，∴∠P＝，
∴∠ACB＝180﹣4×＝，
∴∠ACB的弧度数为．
故选：A．
8．解：如图，连接OA，OB，OE，
∵PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，
∴∠AOC＝∠EOC，
同理∠BOD＝∠DOE，
∴∠COD＝∠COE+∠DOE＝∠AOB，
∵∠APB＝54°，
∴∠AOB＝126°，
∴∠COD＝63°．
故选：B．
9．解：根据切线的性质定理得∠PAC＝90°，
∴∠PAB＝90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°．
根据切线长定理得PA＝PB，
所以∠PBA＝∠PAB＝55°，
所以∠P＝70°．
故选：D．
10．解：连接OD，DE，EB，
CD与BC是⊙O的切线，∠ODC＝∠OBC＝90°，OD＝OB，
∵OC＝OC
∴Rt△CDO≌Rt△CBO，
∴∠COD＝∠COB，
∴∠COB＝∠DAB＝∠DOB，
∴AD∥OC，故①正确；
∵CD是⊙O的切线，
∴∠CDE＝∠DOE，而∠BDE＝∠BOE，
∴∠CDE＝∠BDE，即DE是∠CDB的角平分线，同理可证得BE是∠CBD的平分线，
因此E为△CBD的内心，故②正确；
若FC＝FE，则应有∠OCB＝∠CEF，应有∠CEF＝∠AEO＝∠EAB＝∠DBA＝∠DEA，∴弧AD＝弧BE，而弧AD与弧BE不一定相等，故③不正确；
设AE、BD交于点G，由②可知∠EBG＝∠EBF，
又∵BE⊥GF，
∴FB＝GB，
由切线的性质可得，点E是弧BD的中点，∠DCE＝∠BCE，
又∵∠MDA＝∠DCE（平行线的性质）＝∠DBA，
∴∠BCE＝∠GBA，
而∠CFE＝∠ABF+∠FAB，∠DGE＝∠ADB+∠DAG，∠DAG＝∠FAB（等弧所对的圆周角相等），
∴∠AGB＝∠CFE，
∴△ABG∽△CEF，
∴CE•GB＝AB•CF，
又∵FB＝GB，
∴CE•FB＝AB•CF
故④正确．
因此正确的结论有：①②④．
故选：D．
二．填空题（共7小题）
11．解：∵PA，PB分别为⊙O的切线，
∴PA＝PB，
同理，DA＝DC，EB＝EC．
∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝PD+DC+CE+PE＝PD+AD+PE+BE＝PA+PB＝2PA＝2×6＝12．
故答案是：12．
12．解：∵CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，
∴CD＝CE，
∵∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝CD，
∴AD＝CE，
∵AD＝2，
∴CE＝2．
故答案为：2．
13．解：设正方形ABCD的边长为4a，EC＝x，
∵AF为半圆O的切线，
∴AF＝AB＝4a，EC＝EF＝x，
在Rt△ADE中，DE＝4a﹣x，AE＝4a+x，
∴AE2＝AD2+DE2，即（4a+x）2＝（4a）2+（4a﹣x）2，
解得x＝a，
∴AE＝5a，DE＝3a，
在Rt△ADE中，sin∠DAE＝＝＝．
故答案为．
14．解：连接OP，OB，
∵AP为⊙O切线，PB为⊙O切线，
∴PA＝PB，
∵∠APO＝∠BPO，
PG＝PG，
∴△APG≌△BPG，
∴∠PGA＝90°，
∵△APO为直角三角形，
∠APG＝∠APG，
∴△PGA∽△PAO，
根据垂径定理，得到AG＝GB，
在R t△PAG中，PG＝＝4，
∵△PGA∽△AGO，
∴＝，
∴＝，
∴AO＝．
故答案为：．
15．解：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵∠BAC＝35°，
∴∠AOB＝110°，
∵PA，PB分别是⊙O的切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠P+∠AOB+∠PAO+∠PBO＝360°，
∴∠P＝70°．
故答案为：70°．
16．解：∵PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，∴PA＝PB＝10cm，ED＝EA，FD＝DB，
∴PE+EF+PF＝PE+ED+PF+FD
＝PA+PB
＝20（cm）；
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
而∠P＝35°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣35°＝145°；
连OD，如图，
∴∠ODE＝∠ODF＝90°，
易证得Rt△OAE≌Rt△ODE，Rt△OFD≌Rt△OFB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠3＝∠AOB＝72.5°，
∠EOF＝72.5°．
故答案为20；145；72.5．
17．解：（1）由切线长定理知：AE＝EM，CM＝CB；
∵CD＝CB，
∴CM＝CD＝4．
设AE＝EM＝x，则DE＝4﹣x，CE＝CM+EM＝4+x；
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得x＝1；
故AE＝1．
（2）同（1）可求得BF＝FN＝1，则DF＝CE＝5，DE＝CF＝3；则可证得Rt△CDE≌Rt△DCF；
∴∠DCP＝∠CDP，即DP＝CP，
∴PM＝PN；
故△DPC∽△NPM，且MN∥CD；
设MN所在直线与AD、BC的交点为R、T，则MR⊥AD，NT⊥BC；
在Rt△MRE中，ME＝1，则ER＝ME•cos∠DEC＝，MR＝ME•sin∠DEC＝；过P作PG⊥MN于G，则RG＝GT＝2，MG＝2﹣RM＝；
易知RE∥PG，则△REM∽△GPM，
∴＝（）2＝；
∵S△REM＝MR•RE＝××＝，
∴S△PMG＝×＝，
故S△PMN＝2S△PMG＝．
三．解答题（共3小题）
18．解：（1）∵PA、PB、DE都为⊙O的切线，
∴DA＝DF，EB＝EF，PA＝PB＝6，
∴DE＝DA+EB，
∴PE+PD+DE＝PA+PB＝12，
即△PDE的周长为12；
（2）连接OF，
∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、F三点，
∴OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOE＝∠FOE＝∠BOF，∠FOD＝∠AOD＝∠AOF，∵∠APB＝52°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣52°＝128°，
∴∠DOE＝∠FOE+∠FOD＝（∠BOF+∠AOF）＝∠BOA＝64°．
19．解：（1）∵PA、PB、DE是⊙O的切线，
∴PA＝PB＝3cm，CE＝BE，AD＝DC，
∴△PDE的周长＝PE+DE+PD＝PE+CE+CD+PD
＝PE+BE+AD+PD
＝PA+PB
＝3cm+3cm
＝6cm；
（2）连接OB、OA、OE，OD，如图，
∵PA、PB、OC是⊙O的切线，
∴OB⊥PB，OA⊥PA，OC⊥DE，
∴∠OBP＝∠OPA＝90°，
∵∠APB＝60°，
∴∠BOA＝120°，
∵BE＝CE，DC＝DA，
∴S△OCE＝S△OBE，S△OCD＝S△ODA，
∴S五边AOBED＝2S△ODE＝2×××＝4，
∴图中阴影部分的面积＝S五边AOBED﹣S扇形AOB＝4﹣＝（4﹣π）cm2．
20．解：①过点D作DF⊥BC于点F，
∵AB为⊙O的直径，∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，AD与BC是⊙O的切线，∴DF＝AB＝2，BF＝AD＝2，
∵DE与⊙O相切，
∴DE＝AD＝2，CE＝BC，
设BC＝x，
则CF＝BC﹣BF＝x﹣2，DC＝DE+CE＝2+x，
在Rt△DCF中，DC2＝CF2+DF2，
即（2+x）2＝（x﹣2）2+（2）2，
解得：x＝，
即BC＝；
②∵AB为⊙O的直径，∠A＝∠B＝90°，
∴AD∥BC，
∴△ADE∽△GCE，
∴AD：CG＝DE：CE，AE：EG＝AD：CG，
∵AD＝DE＝2，
∴CG＝CE＝BC＝，
∴BG＝BC+CG＝5，
∴AE：EG＝4：5，
在Rt△ABG中，AG＝＝3，
∴EG＝AG＝．
2020【浙教版】九年级数学下册第2章《切线长定理》同步测试(含答案)
2.2 切线长定理 1．切线长定理：过圆外一点，可以引圆的两条切线，切线长________． 2．如图，点P是⊙O外一点，PA，PB切⊙O于点A，B，AB交PO于点C，则有如下结论： (1)PA＝PB；(2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝∠BOP＝∠CAP＝∠CBP；(3)AB⊥OP 且AC＝BC. A组基础训练 1．如图，从圆O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别 为A，B，如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( ) A．4 B．8 C．6 D．10 第1题图 2．如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结 论中，错误的是( ) 第2题图 A．∠1＝∠2 B．PA＝PB C．AB⊥OP D．PA2
＝PC·PO 3．如图，一圆内切四边形ABCD，且AB＝16，CD＝10，则四边形 的周长为( ) A．50 B．52 C．54 D．56 第3题图 4.(邵阳中考)如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA， CD是⊙O的切线，A，D为切点，连结BD，AD.若∠ACD＝30°，则 ∠DBA的大小是( ) 第4题图 A．15° B．30° C．60° D．75° 5．如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA，PB，切点分别为 A，B.下列结论中：①OP垂直平分AB；②∠APB＝∠BOP； ③△ACP≌△BCP；④PA＝AB；⑤若∠APB＝80°，则∠OBA＝40°.正 确的是________．
1．如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O 上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A的度数是________°. 第6题图 7．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE＝2，AD＝4.则BE＝________，BC＝________. 第7题图 2．如图，⊙O与△ABC中AB、AC的延长线及BC边相切，且∠ACB ＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边长依次为3，4，5，则⊙O的半径是________． 第8题图 9．如图，AB为半圆O的直径，在AB的同侧作AC，BD切半圆O 于点A，B，CD切半圆O于点E.若AC＝4，BD＝9，求⊙O的半径．
4.4.6 2020中考数学复习：《切线长定理》近8年全国中考题型大全(含答案)
切线长定理 一、选择题 1. (2015 四川省达州市) 如图，AB为半圆O的在直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，连接OD、OC，下列结论：①∠DOC=90°，②AD+BC=CD，③S△AOD：S△BOC=AD2：AO2，④OD：OC=DE：EC，⑤OD2=DE?CD，正确的有（） A．2个B．3个C．4个D．5个 2. (2016 湖北省荆州市) 如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（） A．15° B．20° C．25° D．30° 3. (2016 广西河池市) 如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相较于A（0,2），B（0,8）．则圆心P的坐标是（） A．(5,3) B．(5,4) C．（3,5） D．（4,5） １
２ 4. (2018 福建省龙岩市) （4分）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，AC 交⊙O 于点D ，若∠ACB=50°，则∠BOD 等于（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．80° 5. (2018 广东省深圳市) （3分）如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A 为60°角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径是（ ） A ．3 B ． C ．6 D ．
３ 6. (2018 四川省眉山市) （3分）如图所示，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，线段PO 交⊙O 于点C ，连结BC ，若∠P=36 °，则∠B 等于（ ） A ．27° B ．32° C ．36° D ．54° 7. (2019 福建省龙岩市) （4分）如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 在⊙O 上，且∠ACB ＝55°，则∠APB 等于（ ） A ．55° B ．70° C ．110° D ．125° 8. (2019 黑龙江省哈尔滨市) （3分）如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，点C 为⊙O 上一点，连接AC 、BC ，若∠P ＝50°，则∠ACB 的度数为（ ） A ．60° B ．75° C ．70° D ．65° 9. (2019 湖南省益阳市) （4分）如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是（ ）
2020-2021中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题)
2020-2021中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题) 一、圆的综合 1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题： （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）24 【解析】 试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可； （2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解． 试题解析：（1）证明：连接OD ， ∵OD=OA ， ∴∠ODA=∠A ， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AB ， ∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ， ∴∠EOC=∠DOC ， 在△EOC 和△DOC 中， OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC （SAS ）， ∴∠ODC=∠OEC=90°， 即OD ⊥DC ， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）由（1）知CD 是圆O 的切线， ∴△CDO 为直角三角形， ∵S △CDO = 1 2 CD?OD ， 又∵OA=BC=OD=4，
∴S△CDO=1 2 ×6×4=12， ∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24． 2．如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°． （1）求∠AOC的度数； （2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由； （3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时M点的坐标． 【答案】（1）60°；（2）见解析；（3）对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣3M2（﹣2，﹣3）、M3（﹣2，3M4（2，3）． 【解析】 【分析】 （1）由于∠OAC=60°，易证得△OAC是等边三角形，即可得∠AOC=60°． （2）由（1）的结论知：OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP边上的中线等于OP的一半，由此可证得△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判断出PC与⊙O的位置关系．（3）此题应考虑多种情况，若△MAO、△OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M点，即：C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，可据此进行求解． 【详解】 （1）∵OA=OC，∠OAC=60°， ∴△OAC是等边三角形， 故∠AOC=60°． （2）由（1）知：AC=OA，已知PA=OA，即OA=PA=AC； ∴AC=1 2 OP，因此△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，
中考数学专项练习圆的切线长定理(含解析)
中考数学专项练习圆的切线长定理（含解析）【一】单项选择题 1.如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC=5cm，⊙O 是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，那么剪下的三角形的周长为〔〕 A.12c m B.7c m C.6c m D.随直线MN的变化而变化 2.以下说法正确的选项是() A.过任意一点总可以作圆的两条切 线 B.圆的切线长就是圆的切线的长度 C.过圆外一点所画的圆的两条切线长相 等 D.过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径 3.如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB 于C，D、假设⊙O的半径为1，△PCD的周长等于2 ，那么线段AB 的长是〔〕 A. B.3 C. 2 D. 3
4.如图,圆和四边形ABCD的四条边都相切,且AB=16,CD=10,那么四边形ABCD的周长为() A.5 B.5 2 C.5 4 D.56 5.如图，PA，PB，CD与⊙O相切于点为A，B，E，假设PA=7，那么△PCD的周长为〔〕 A.7 B.1 4 C.10. 5 D.10 6.如图，PA,PB切⊙O于点A,B，PA=8，CD切⊙O于点E，交PA,PB 于C,D两点，那么△PCD的周长是〔〕 A.8 B.18 C.16 D.14 7.如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB= 6，以AB为直径的半⊙O 切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，那么△MCN的周长为〔〕
A.9 B.1 C. 3 D. 2 8.圆外切等腰梯形的一腰长是8，那么这个等腰梯形的上底与下底长的和为〔〕 A.4 B.8 C.1 2 D.16 9.如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD=10cm ，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形〔△AMN〕，那么剪下的△AMN的周长为〔〕 A.20cm B.15cm C.10c m D.随直线MN 的变化而变化 【二】填空题 10.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，假设∠APB=60°，PO=2，那么⊙O的半径等于________． 11.PA、PB分别切⊙O于点A、B，假设PA=3cm，那么PB=________ cm．
2020年全国数学中考试题精选之圆(含答案)
2020年全国数学中考试题精选之圆 一、单选题 1.（2020·赤峰）如图，中，AB=AC ，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA =3，则外接圆的面积为（） A. B. C. D. 2.（2020·永州）如图，已知是的两条切线，A ，B为切点，线段交于点M ．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④M是外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.（2020·永州）已知点和直线，求点P到直线的距离d可用公式 计算．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心C的坐标为，半径为1，直线l的表达式为，P是直线l上的动点，Q是上的动点，则的最小值是（） A. B. C. D. 2 4.（2020·长春）如图，是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，，则的大小为（）
A. B. C. D. 5.（2020·云南）如图，正方形的边长为4，以点A为圆心，为半径画圆弧得到扇形 （阴影部分，点E在对角线上）.若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（） A. B. 1 C. D. 6.（2020·营口）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD.若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（） A. 110° B. 130° C. 140° D. 160° 7.（2020·沈阳）如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连接，则的长为（） A. B. C. D. 8.（2020·宜宾）如图，AB是的直径，点C是圆上一点，连结AC和BC，过点C作于D，且，则的周长为（） A. B. C. D.
2020年中考数学提优专题：《圆：切线长定理》(含答案)
《圆：切线长定理》 知识梳理： （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 综合练习： 一．选择题 1．如图，已知AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若AB＝3，ED＝2，则BC的长为（） A．2 B．3 C．3.5 D．4 2．既有外接圆，又有内切圆的平行四边形是（） A．矩形B．菱形C．正方形D．矩形或菱形
3．如图所示，已知PA、PB切⊙O于A、B两点，C是上一动点，过C作⊙O的切线交PA于点M，交PB于点N，已知∠P＝56°，则∠MON＝（） A．56°B．60°C．62°D．不可求 4．已知四边形ABCD是梯形，且AD∥BC，AD＜BC，又⊙O与AB、AD、CD分别相切于点E、F、G，圆心O在BC上，则AB+CD与BC的大小关系是（） A．大于B．等于C．小于D．不能确定 5．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝15，过点D作一圆与AB、BC分别相切于G、H，与边AD、CD相交于点E、F，且5AE＝4DE，8CF＝DF，则BH等于（） A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图，PA，PB分别切⊙O于点A和点B，C是上任一点，过C的切线分别交PA，PB于D，E．若⊙O的半径为6，PO＝10，则△PDE的周长是（） A．16 B．14 C．12 D．10 7．如图△ABC内接于⊙O，PA，PB是⊙O的两条切线，已知AC＝BC，∠ABC＝2∠P，则∠ACB的弧度数为（）
【2021中考数学】切线长定理专题含答案
切线长定理 一．选择题 1．如图，P A、PB分别切⊙O于A、B，P A＝10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交P A、PB于点E、F．则△PEF的周长为（） A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm 2．如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB＝10，AD ＝6，则CB长（） A．4B．5C．6D．无法确定3．图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则sin∠CBE＝（） A．B．C．D． 4．如图，P A、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（）A．40°B．140°C．70°D．80°
5．如图，在▱ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB＝4，BE ＝5，则DE的长为（） A．3B．4C．D． 6．如图，P A、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，CD交P A、PB于C、D两点，若∠P＝40°，则∠P AE+∠PBE的度数为（） A．50°B．62°C．66°D．70° 7．如图，在等腰三角形△ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E．过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB，AC于M，N．那么的值等于（） A．B．C．D．1 8．如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC＝90°，AD＝2，AB＝6，以AB为直径的半⊙O切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（）
【2020初三数学】直线和圆的位置关系 切线长定理含答案
直线和圆的位置关系切线长定理 一．选择题 1．关于下列四种说法中，你认为正确的有（） ①垂直于弦的直线一定经过圆心； ②经过直径外端的直线是圆的切线； ③对角互补的四边形四个顶点共圆； ④圆外一点引圆的两条切线，两切点的连线被该点与圆心连线垂直平分． A．1个B．2个C．3个D．4个 2．如图，BM为⊙O的切线，点B为切点，点A、C在⊙O上，连接AB、AC、BC，若∠MBA＝130°，则∠ACB的度数为（） A．40°B．50°C．60°D．70° 3．已知⊙O的半径r，圆心O到直线的距离为d，当d＜r时，直线与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．以上都不对4．如图，菱形ABCD的边长为10，面积为80，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，菱形的顶点A到圆心O的距离为5，则⊙O的半径长等于（） A．2.5B．C．2D．3 5．如图，P A是⊙O的切线，点A为切点，PO交⊙O于点B，∠P＝30°，点C在⊙O上，连接AC，BC，则∠ACB的度数为（）
A．25°B．28°C．30°D．35° 6．如图，AB是⊙O的直径，直线P A与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠BCO＝α，则∠P的度数为（） A．2αB．90°﹣2αC．45°﹣2αD．45°+2α 7．如图，P A、PB是⊙O切线，A、B为切点，AC是直径，∠P＝40°，则∠BAC＝（） A．40°B．80°C．20°D．10° 8．如图，AB是⊙O的直径，BP是⊙O的切线，AP与⊙O交于点C，D为BC上一点，若∠P＝36°，则∠ADC等于（） A．18°B．27°C．36°D．54° 9．如图，AB是圆O的直径．点P是BA延长线上一点，PC与圆O相切，切点为C，连接OC，BC，如果∠P＝40°，那么∠B的度数为（）
初中数学中考切线长定理(含答案解析)
切线长定理 一、选择题（本大题共8小题，共24.0分） 1.如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°， 则∠DOE等于()度． A. 40 B. 50 C. 70 D. 80 2.如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D.若△PCD 的周长等于3，则PA的值是() A. 3 2B. 2 3 C. 1 2 D. 3 4 3.如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD切 ⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是() A. 10 B. 18 C. 20 D. 22 4.如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD 切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD 的周长是() A. 10
B. 18 C. 20 D. 22 5.如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A，B两 点，CD切⊙O于点E，连接OD、OC，下列结论： ，②AD+BC=CD，③S△AOD：S△BOC=AD2： AO2，④OD：OC=DE：OE，⑤OD2=DE⋅CD，正确的 有() A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6.下列事件中，①三点确定一个圆；②平分弦的直径垂直于弦；③从圆外一点可以 引圆的两条切线，它们的切线长相等；④关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是a≤1；⑤圆心角是圆周角的2倍。其中必然事件的个数有() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7.如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘 摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与 直尺唯一交点，若AB=3，则光盘的直径是() A. 6√3 B. 3√3 C. 6 D. 3 8.如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、 C，若∠ACE=25°，则∠D的度数是() A. 50° B. 55° C. 60° D. 65° 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分） 9.如图，⊙O的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切线， 切点分别为A，B.连接OA，OB，AB，PO，若∠APB= 60°，则△PAB的周长为______．
初中数学中考专题复习之圆专题01切线长定理
专题01切线长定理 切线长定理（Theorem of length of tangent），是初等平面几何的一个定理。它指出，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。即如图，AB、AC切圆O于B、C，切线长AB=AC。 1．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O 的半径为1，△PCD的周长等于2，则线段AB的长是（） A．B．3 C．2D．3 解析：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D， ∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB， ∵△PCD的周长等于2， ∴PA+PB＝2， ∴PA＝PB＝， 连接PA和AO， ∵⊙O的半径为1，
∴tan∠APO＝＝＝，∴∠APO＝30°， ∴∠APB＝60°， ∴△APB是等边三角形， ∴AB＝PA＝PB＝． 选A．
2．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C，D，若PA＝4，则△PCD的周长为（） A．5 B．7 C．8 D．10 解析：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B， ∴PB＝PA＝4， ∵CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C，D， ∴CA＝CE，DE＝DB， ∴△PCD的周长＝PC+PD+CD＝PC+CA+PD+DB＝PA+PB＝8， 选C． 3．如图，PA、PB、CD与⊙O相切于点为A、B、E，若PA＝7，则△PCD的周长为（） A．7 B．14 C．10.5 D．10 解析：∵PA、PB、CD与⊙O相切于点为A、B、E， ∴PB＝PA＝7，CA＝CE，DE＝DB， ∴△PCD的周长＝PC+CD+PB ＝PC+CE+DE+PD ＝PC+CA+DB+PD ＝PA+PB＝14， 选B．
2020年中考数学一轮专项复习32 圆中与切线有关的证明、计算(含解析)
2020年中考数学一轮专项复习——圆中与切线有关的证明、计算 基础过关 1. (2018湘西州)已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系为() A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 2．(2019广州)平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线的条数为() A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条 3．(2019杭州)如图，P为⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于A、B两点，若P A＝3，则PB＝() A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第3题图 4．(2019重庆A卷)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连接OD，若∠C＝50°，则∠AOD的度数为() A．40°B．50°C．80°D．100° 第4题图 5．(2019舟山)如图，已知⊙O上三点A、B、C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线P A交OC延长线于点P，则P A的长为()
第5题图 A. 2 B. 3 C. 2 D. 1 2 6．(2019娄底)如图，边长为23的等边△ABC的内切圆的半径为() A. 1 B. 3 C. 2 D. 2 3 第6题图 7．(2019泰安)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO的延长线于点P，则∠P的度数为() A. 32° B. 31° C. 29° D. 61° 第7题图 8．(2019贺州)如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝3OD，AB＝12，CD的长是()
2021年中考数学几何教学重难点专题：圆之切线长定理考察
2021年中考数学几何教学重难点专题： 圆之切线长定理 一．选择题 1．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法： ①PA＝PB； ②OP⊥AB； ③四边形OAPB有外接圆； ④M是△AOP外接圆的圆心． 其中正确说法的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，PA，PB分别切⊙O与点A，B，MN切⊙O于点C，分别交PA，PB于点M，N，若PA ＝7.5cm，则△PMN的周长是（） A．7.5cm B．10cm C．12.5cm D．15cm 3．如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝4，则⊙O的面积为（）
A．πB．2πC．4πD．0.5π 4．如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB＝3，则光盘的直径是（） A．6B．3C．6 D．3 5．如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC＝10，AB＝8，BC＝9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（） A．9 B．7 C．11 D．8 6．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（） A．B．C．D． 7．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA＝10cm，C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长为（）
A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm 二．填空题 8．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，已知∠P＝60°，OA＝2，那么∠AOB所对弧的长度为． 9．如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝． 10．如图，四边形ABCD是正方形，以BC边为直径在正方形内作半圆O，再过顶点A作半圆O的切线（切点为F）交CD边于E，则sin∠DAE＝． 11．如图，AB、AC是⊙O的切线，且∠A＝54°，则∠BDC＝．
2020年中考数学提优专题：《圆：切割线定理》(含答案)
《圆：切割线定理》 知识梳理： （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线 ∴PT的平方=PA•PB（切割线定理） （2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 几何语言： ∵PBA，PDC是⊙O的割线 ∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）（割线定理） 由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD． 一．选择题 1．如图，P是⊙O的直径BC延长线上一点，PA切⊙O 于点A，若PC＝2，BC＝6，则切线PA的长为（）
A．无限长B．C．4 D． 2．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PBA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB等于（） A．6 B．C．7 D．20 3．设H为锐角△ABC的三条高AD、BE、CF的交点，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，则AH•AD+BH•BE+CH•CF 等于（） A．（ab+bc+ca）B．（a2+b2+c2） C．（ab+bc+ca） D．（a2+b2+c2） 4．如图，MN切⊙O于A点，AC为弦，BC为直径，那么下列命题中假命题是（） A．∠MAB和∠ABC互余B．∠CAN＝∠ABC C．OA＝BC D．MA2＝MB•BC 5．如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、
O、C、B在同一条直线上，作AD⊥AB与BP的延长线交于点D，若半圆O的半径为2，∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3＝0的根，则AB的长等于（） A．B．C．8 D．5 6．如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O的弦，过弧BC 的中点D作AC的垂线交AC的延长于E，若DE＝2，EC＝1，则⊙O的直径为（） A． B．C．5 D．4 7．如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA＝3，AB＝PC＝2，则PD的长是（） A．3 B．7.5 C．5 D．5.5 8．如图，已知⊙O的弦A B、CD相交于点P，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，EA切⊙O于点A，AE与CD的
专题：圆之切线长定理—冲刺2020年全国中考数学真题专项强化练习卷(含答案)
专题：圆之切线长定理 时间：100分钟满分：100分 一．选择题（每题3分，共30分） 1．如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB＝3，则光盘的直径是（） A．3B．C．6D． 2．如图中，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB、CD、CE的长度，下列关系何者正确（） A．AB＞CE＞CD B．AB＝CE＞CD C．AB＞CD＞CE D．AB＝CD＝CE 3．如图，P为圆O外一点，P A，PB分别切圆O于A，B两点，若P A＝3，则PB＝（） A．2B．3C．4D．5 4．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线P A，PB，切点分别为A，B．如果∠APB＝60°，P A＝8，那么弦AB的长是（） A．4B．8C．D．
5．如图，P A、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC＝35°，∠P的度数为（） A．35°B．45°C．60°D．70° 6．如图，AB、CD分别为两圆的弦，AC、BD为两圆的公切线且相交于P点．若PC＝2，CD＝3， DB＝6，则△P AB的周长为何（） A．6B．9C．12D．14 7．如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是（） A．9B．10C．12D．14 8．如图，P A、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B．如果OP＝4，P A＝2，那么∠AOB 等于（） A．90°B．100°C．110°D．120°
2020年浙江省台州市中考数学重点题型-圆的综合专题训练含答案 (1)
2020年浙江省台州市中考数学重点题型-圆的综合专题训练 ⌢的中点，过点D作DE∥ 1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为AC AC，交BC的延长线于点E． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为5，AB=8，求CE的长． 2.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点F，连接BF交⊙O于点G，连接EG. （1）求证：CD=AD+CE . （2）若AD=4CE，求tan∠EGF的值. 3.如图，△ABC内接于⊙O，AD与BC是⊙O的直径，延长线段AC至点G，使AG＝AD，连接DG交⊙O于点E，EF∥AB交AG于点F. （1）求证：EF与⊙O相切. （2）若EF＝2 √3，AC＝4，求扇形OAC的面积.
4.如图，M ，N 是以AB 为直径的⊙O 上的点，且 AN ⌢ ＝ BN ⌢ ，弦MN 交AB 于点C ，BM 平分∠ABD ，MF ⊥BD 于点F. （1）求证：MF 是⊙O 的切线； （2）若CN ＝3，BN ＝4，求CM 的长. 5.如图，⊙O 与Rt △ABC 的直角边AC 和斜边AB 分别相切于点C ，D ；与边BC 相交于点F ，OA 与CD 相交于点E ，连结FE 并延长交AC 边于点G. （1）求证：DF ∥AO. （2）若AC ＝6，AB ＝10，求CG 的长． 6.如图，△ABC 内接于⊙O ，且AB ＝AC ，延长BC 至点D ，使CD ＝CA ，连接AD 交⊙O 与点E ，连接BE ，CE. （1）求证：△ABE ≌△CDE ； （2）填空： ①当∠ABC 的度数为________时，四边形AOCE 是菱形； ②若AE ＝ √3 ，AB ＝2 √2 ，则DE 的长为________．
2020年中考数学一轮复习之圆的综合(切线证明、面积、动点问题)(解析版)
2020年中考数学一轮复习之圆的综合 （切线证明、面积、动点问题） 1．如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AD＝DB，AC与BD交于点E，且AE＝BC． （1）求证：AB＝CB； （2）如图2，△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC，点A经过的路径为弧AF，若AC＝4，求图中阴影部分的面积． （1）证明：∵AD＝BD，∠DAE＝∠DBC，AE＝BC， ∴△ADE≌△BDC（SAS）， ∴∠ADE＝∠BDC， ∴＝． ∴AB＝BC． （2）解：S阴＝S扇形CAF+S△CFG﹣S△ABC＝S扇形CAF＝＝．
2．如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：CG＝3：2，AB＝16． （1）求⊙O的半径； （2）点E为圆上一点，∠ECD＝30°，将沿弦CE翻折，交CB于点F，求图中阴影部分的面积． 解：（1）连接AO，如右图所示， ∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝16， ∴AG＝＝8， ∵OG：CG＝3：2， ∴OG：OC＝3：5，AB⊥CD，垂足为G， ∴设⊙O的半径为5k，则OG＝3k， ∴（3k）2+82＝（5k）2， 解得，k＝2或k＝﹣2（舍去）， ∴5k＝10， 即⊙O的半径是10； （2）如图所示，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M， ∵∠ECD＝30°，由对称性可知，∠DCM＝60°，S阴影＝S弓形CBM， 连接OM，则∠MOD＝120°， ∴∠MOC＝60°， 过点M作MN⊥CD于点N， ∴MN＝MO•sin60°＝10×＝5， ∴S阴影＝S扇形OMC﹣S△OMC＝﹣×10×5＝﹣25．
2020-2021中考数学 圆的综合 培优练习(含答案)附详细答案
2020-2021中考数学 圆的综合 培优练习(含答案)附详细答案 一、圆的综合 1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题： （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）24 【解析】 试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可； （2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解． 试题解析：（1）证明：连接OD ， ∵OD=OA ， ∴∠ODA=∠A ， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AB ， ∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ， ∴∠EOC=∠DOC ， 在△EOC 和△DOC 中， OE OD EOC DOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△EOC ≌△DOC （SAS ）， ∴∠ODC=∠OEC=90°， 即OD ⊥DC ， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）由（1）知CD 是圆O 的切线， ∴△CDO 为直角三角形， ∵S △CDO = 12 CD•OD ， 又∵OA=BC=OD=4，
∴S△CDO=1 2 ×6×4=12， ∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24． 2．如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB=CD． (1)如图(1),求证:AD∥BC； (2)如图(2),点F是AC的中点,弦DG∥AB,交BC于点E,交AC于点M,求证:AE=2DF； (3)在(2)的条件下,若DG平分∠ADC,GE=53,tan∠ADF=43,求⊙O的半径。 【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）129 【解析】 试题分析：(1)连接AC．由弦相等得到弧相等，进一步得到圆周角相等，即可得出结论．（2）延长AD到N，使DN=AD，连接NC．得到四边形ABED是平行四边形，从而有 AD=BE，DN=BE．由圆内接四边形的性质得到∠NDC=∠B．即可证明ΔABE≌ΔCND，得到AE=CN，再由三角形中位线的性质即可得出结论． （3）连接BG，过点A作AH⊥BC，由（2）知∠AEB=∠ANC，四边形ABED是平行四边形，得到AB=DE．再证明ΔCDE是等边三角形，ΔBGE是等边三角形，通过解三角形ABE，得到AB，HB，AH，HE的长，由EC=DE=AB，得到HC的长．在Rt△AHC中，由勾股定理求出AC的长． 作直径AP，连接CP，通过解△APC即可得出结论． 试题解析：解：(1)连接AC．∵AB=CD，∴弧AB=弧CD，∴∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC． （2）延长AD到N，使DN=AD，连接NC．∵AD∥BC，DG∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD=BE，∴DN=BE．∵ABCD是圆内接四边形，∴∠NDC=∠B．∵AB=CD，
备考2020年中考数学培优专题《圆的综合》能力提升训练卷(含答案)
专题训练《圆的综合》 时间：120分钟满分：150分 1．（10分）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC． （1）求证：AC＝CG； （2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径． 2．（10分）如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接CB，过C作CD⊥AB于点D，过点C作∠BCE，使∠BCE＝∠BCD，其中CE交AB的延长线于点E． （1）求证：CE是⊙O的切线． （2）如图2，点F在⊙O上，且满足∠FCE＝2∠ABC，连接AF井延长交EC的延长线于点G． ①试探究线段CF与CD之间满足的数量关系； ②若CD＝4，BD＝2，求线段FG的长．
3．（10分）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的角平分线交AC上点E，过点E 作BE的垂线交AB于点F，△BEF的外接圆⊙O与CB交于点D． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若BC＝9，EH＝3，求⊙O的半径长； （3）如图2，在（2）的条件下，过C作CP⊥AB于P，求CP的长． 4．（10分）如图，线段AB是⊙O的直径，C、D是半圆的三等分点，过点C的直线与AD 的延长线垂直，垂足为点E，与AB的延长线相交于点F，连接OE，交AC于点G．（1）求证：FC是⊙O的切线； （2）连接DC、CO，判断四边形ADCO的形状，并证明； （3）求OG与GE的比值．
5．（10分）已知：CD为△ABC的外角平分线，交△ABC的外接圆O于D． （1）如图1，连接0A，OD，求证：∠AOD＝2∠BCD； （2）如图2．连接BC，若CB平分∠ACD，求证：AB＝BD； （3）如图3，在（2）的条件下，在AB上取一点E，BD上取一点F．连接DE、AF交于点M，连接EF，若∠DMF＝60°，AC＝EF＝7，CD＝8（DF＞BF），求AE的长． 6．（10分）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长A0与⊙O交于点C，连接BC，AF． （1）求证：直线P A为⊙O的切线； （2）证明：OA2＝OD•OP； （3）若BC＝6，tan∠F＝，求cos∠ACB的值．