复变函数论第二章总结
复变函数论第二章总结
一、思维导图
二、分类
1.与积分路径无关：
定理1 如果函数f(z)在单连通域内处处解析，F(z)为f(z)的一个原函数，那么：
其中为单连通域内的两个点。
2.与积分路径有关：
①无奇点：
定理2（柯西积分定理）设f(z)在单连通域E内解析，C为E 内任一简单闭曲线，则：
例题：
②有一个奇点：
定理3（柯西积分公式）如果函数f(z)在区域D内处处解析，C为D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，为C 内任意一点，那么
例题：
定理4（高阶导数公式）解析函数的导数仍然为解析函数，它的n阶导数为：
例题：
③有两个及以上奇点：
定理5（复合闭路定理）设C为多连通域D内的一条简单闭曲线，是在C内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以为边界的区域全含于D，如果f(z)在D内解析，则： (1) ，
例题：
2.解析函数与调和函数的关系
1.调和函数的定义：
若u(x,y)在区域E内具有连续的二阶偏导数，且在E内满足，则
称函数u(x,y)为区域E的调和函数。方程称为调和方程。
定理1 任何一个在区域E上解析的函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其实部与虚部都是该区域上的调和函数。（该定理的逆定理不成立！要使u+iv解析，还需要满足C-R条件才可以）2.对于给定的调和函数u(x,y)，把使u+iv构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数。
3.求共轭调和函数的两种方法：①偏积分法（最常用，且不容易出错）
如果已知一个调和函数u，那么就可以利用柯西－黎曼方程求得它的共轭调和函数v,从而构成一个解析函数u+vi。这种方法称为偏积分法。
例题：
②偏积分法：
例题：
（这里的积分路径一般从原点(0,0)开始选取，选任意的也可以）
复变函数总结
第一章 复数与复变函数 一、复数几种表示 （1）代数表示 yi x z += （2）几何表示：用复平面上点表示 （复数z 、点z 、向量z 视为同一概念） （3）三角式：)sin (cos θθi r z += （4）指数式 ： θi re z = 辐角πk z Argz 2arg += 22||y x z += ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧ <=->=<<-><+>=0,0,2/0,0,2/0 ,0,arctan 0 ,0,arctan ,0,arctan arg y x y x y x x y y x x y x x y z ππππ i z z y z z x 2,2-= += 二、乘幂与方根 （1）乘幂： θi re z =，θin n n e r z = （2）方根： 1,2,1,0,||arg 2-==+n k e z z i n z k n n π 第二章 解析函数 一、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数 求导法则与一元实变函数类似 函数点解析的定义：函数在一点及其点的邻域处处可导
注：（1）点解析⇒点可导， 点可导推不出点解析 （2）区域解析与可导等价 二、定理1 iv u z f w +==)(在0z 可导⇔v u ,在0z 可微，满足C-R 方程 定理2 iv u z f w +==)(在区域D 解析（可导） ⇔v u ,在区域D 可微，满足C-R 方程 讨论1 v u ,在区域D4个偏导数存在且连续，满足C-R 方程 ⇒iv u z f w +==)(在区域D 解析（可导） 三、解析函数和调和函数的关系 1、定义1 调和函数：满足拉普拉斯方程，且有二阶连续偏导数的函数。 定义2 设),(),,(y x y x ψϕ是区域D 调和函数，且满足C-R 方程， x y y x ψϕψϕ-==,，则称ψ是ϕ的共轭调和函数。 2、定理1 解析函数的虚部与实部都是调和函数。 定理2 函数在D 解析⇔虚部是实部的共轭调和函数。 3、问题：已知解析函数的实部（或虚部），求虚部（或实部） 理论依据： （1）虚部、实部是调和函数。 （2）实部与虚部满足C-R 方程。 求解方法：（例如已知v ） （1）偏积分法：先求y x u u ,，再求)(y dx u u x ϕ+=⎰，得出)(y ϕ （2）利用曲线积分：求du u u y x ,,，再c dy u dx u u y x y x y x ++=⎰),() ,(00 （3）直接凑全微分：求du u u y x ,,，再du
复变函数论第二章总结
复变函数论第二章总结 一、思维导图 二、分类 1.与积分路径无关： 定理1 如果函数f(z)在单连通域内处处解析，F(z)为f(z)的一个原函数，那么： 其中为单连通域内的两个点。 2.与积分路径有关： ①无奇点： 定理2（柯西积分定理）设f(z)在单连通域E内解析，C为E 内任一简单闭曲线，则： 例题：
②有一个奇点： 定理3（柯西积分公式）如果函数f(z)在区域D内处处解析，C为D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，为C 内任意一点，那么
例题： 定理4（高阶导数公式）解析函数的导数仍然为解析函数，它的n阶导数为： 例题：
③有两个及以上奇点： 定理5（复合闭路定理）设C为多连通域D内的一条简单闭曲线，是在C内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以为边界的区域全含于D，如果f(z)在D内解析，则： (1) ， 例题：
2.解析函数与调和函数的关系 1.调和函数的定义： 若u(x,y)在区域E内具有连续的二阶偏导数，且在E内满足，则 称函数u(x,y)为区域E的调和函数。方程称为调和方程。 定理1 任何一个在区域E上解析的函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其实部与虚部都是该区域上的调和函数。（该定理的逆定理不成立！要使u+iv解析，还需要满足C-R条件才可以）2.对于给定的调和函数u(x,y)，把使u+iv构成解析函数的调和函数v(x,y)称为u(x,y)的共轭调和函数。
3.求共轭调和函数的两种方法：①偏积分法（最常用，且不容易出错） 如果已知一个调和函数u，那么就可以利用柯西－黎曼方程求得它的共轭调和函数v,从而构成一个解析函数u+vi。这种方法称为偏积分法。 例题： ②偏积分法： 例题：
复变函数及积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换复习提纲 第一章 复变函数 一、复变数和复变函数 ()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续 极限 A z f z z =→)(lim 0 连续 )()(lim 00 z f z f z z =→ 第二章 解析函数 一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。 二、柯西——黎曼方程 掌握利用C-R 方程?????-==x y y x v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。 掌握复变函数的导数： y x y x y y x x v iv iu u v iu y f i iv u x f z f +==-=+-=??=+=??= 1)(' 三、初等函数 重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。 1、幂函数与根式函数 θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数 n k z i n n e r z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数 2、指数函数：)sin (cos y i y e e w x z +== 性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，z z e e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数 ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……） 性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:k k z z 1 )'(ln = 。 4、三角函数：2cos iz iz e e z -+=i e e z iz iz 2sin --= 性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界 5、反三角函数（了解）
复变函数论总结
复变函数论总结 摘要：对数学物理方法的第一篇复变函数论每一章每一节做了总结，对这一章也有了深入的认识，通过积分与柯西积分定理和柯西积分公式，学习了圆域内泰勒级数的展开与环域内洛朗级数的展开，以及应用留数定理计算实变函数定积分，傅立叶积分与傅立叶变换。 关键词：复数；导数；解析；积分；柯西公式、定理；幂级数展开；留数；傅立叶积分与傅立叶变换 1引言 《复变函数论主要内容》 第一章复变函数complex function 第二章复变函数的积分complex function integral 第三章幂级数展开power series expansion 第四章留数定理residual theorem 第五章傅立叶变换Fourier integral transformation 第一章复变函数 §1.1 复数及复数的运算 §1.2 复变函数 §1.3导数 §1.4解析函数 §1.1 复数及复数的运算 1．复数的概念 的数被称为复数，其中。 ；；ｉ为虚数单位，其意义为 当且仅当时，二者相等 复数与平面向量一一对应 ｚ平面 虚轴ｙ . （ｘ，ｙ） ｒ
ｘ实轴 模 幅角(ｋ) 注意：复数“零”（即实部和虚部都等与零的复数）的幅角没有明确意义 2．复数的表示代数表示 三角表示 指数表示 一个复数ｚ的共轭复数 注意：在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差3．无限远点 在复变函数论中，通常还将模为无限大的复数也跟复平面上的一点对应，而且称这一点为无限远点，我们把无限远点记作，它的模为无限大，幅角则没有明确意义 4．复数的运算 复数的加法法则： 复数与的和定义是 两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。复数的加法满足交换律和结合律，且 ， 当同一方向时等号成立。 复数的减法法则： 且有 复数的乘法法则： 乘法的交换律、结合律与分配律都成立 复数的除法法则： 注意：采用三角式或指数式比较方便。 §1.2复变函数 (一)复变函数的定义 若在复数平面上存在一个点集Ｅ,对于Ｅ的每一点，按照一定的规律，有一个或多个复数值与之相对应，则称的函数—复变函数，ｚ称为的宗量，定义域为Ｅ，记作，ｚＥ (二)区域的概念
复变函数论
复变函数论 大家认识这个人？他就是大名鼎鼎的法国数学家Cauchy，初学数学分析时，经常遇到以他命名的定理。比方说柯西收敛准则，柯西中值定理，还有一个著名的不等式柯西施瓦茨不等式等等，并且柯西在复变函数论中也作出了杰出的贡献，奠定了复变函数论的基础：柯西黎曼方程（C-R方程）、柯西积分定理、柯西积分公式、柯西阿达马公式（求解级数的收敛半径）等等. 复变函数的指定教材是四川大学出版的《复变函数论》—钟玉泉第四版 考察的范围主要在前6章，分别是： 一、复数与复变函数； 二、解析函数； 三、复变函数的积分； 四、解析函数的幂级数表示法；
五、解析函数的洛朗展式与孤立奇点； 六、留数理论及其应用. 首先看看第一章考察的主要内容： 会求某一个复数的模与幅角、主幅角，不管是简单复数还是复杂的，直接套公式就行了. 会将某一个复数化为指数形式或者三角形式：比方说以下这个 5.知道一些关于简单的复函数的连续性。比方说： f(z)=z共轭在z平面上处处连续； f(z)=1/(1-z)在单位圆-1 知道解析的概念，什么是函数在区域内解析 最重要的自然是柯西黎曼方程——以它来判断某一个函数的解析性与可微性，知道可微的充要条件. 会用定义来判断某一个复函数在平面上的可微性。比方说： f(z)=z共轭在z平面上处处不可微 f(z)=z^n在z平面上处处可微 知道某一些初等多值函数的支点 根式函数z^(1/n)仅以z=0与z=无穷为支点； 对数函数InZ只以z=0与z=无穷为支点； 如果是In（z-a），那么显然支点是z=a与z=无穷 这个很重要，在第六章计算实积分的时候，经常先要判断被积函数的支点，前提是被积函数或者辅助函数是多值解析函数的情形，一定要适当的割开平面，使其能分出单值解析分支，才能应用柯西积分定理 第二章习题详解 1． 利用导数定义推出： 1) ()1 -=n n nz z ' （n 为正整数） 解： () ()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z n n n n n z n n z n ????????-??????++-++=-+=--→→Λ2210 0121lim lim ' ()()11210121----→=????? ?++-+= n n n n z nz z z z n n nz ???Λlim 2) 211z z -=?? ? ??' 解： ()()2 0001111 11z z z z z z z z z z z z z z z z z -=+-=+-=- +=??? ??→→→?????????lim lim lim ' 2． 下列函数何处可导何处解析 1) ()iy x z f -=2 解：设()iv u z f +=，则2 x u =，y v -= x x u 2=??，0=??y u ，0=??x v ，1-=??y v 都是连续函数。 只有12-=x ，即2 1 -=x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()iy x z f -=∴2在直线2 1 -=x 上可导，在复平面内处处不解析。 2) ()3332y i x z f += 解：设()iv u z f +=，则3 2x u =，3 3y v = 26x x u =??，0=??y u ，0=??x v ，29y y v =??都是连续函数。 只有2 296y x =，即032=± y x 时才满足柯西—黎曼方程。 ()3332y i x z f +=∴在直线032=±y x 上可导，在复平面内处处不解析。 3) ()y ix xy z f 22+= 解：设()iv u z f +=，则2 xy u =，y x v 2 = 章节名称：第二章 解析函数 学时安排：4学时 教学要求：使学生熟悉复变函数导数与解析函数的概念；掌握判断复变函数可导 与解析的方法；熟悉复变量初等函数的定义和主要性质 教学内容：1，复变函数导数与解析函数的概念以及可导与解析的判别方法；2， 复变初等函数定义及其主要性质 教学重点：复变函数的导数与解析函数等基本概念，判断复变函数可导与解析的 方法；复变量初等函数的定义和主要性质 教学难点：函数解析的概念及判定方法 教学手段：课堂讲授 教学过程： 一、第二章 解析函数 §1、解析函数的概念 1，复变函数的导数与微分： （1）导数的定义； 设函数)(z f =ω定义在区域D 内，0z 为D 中的一点，点z z ?+0不出D 的范围。如果极限 z z f z z f z ?-?+→?)()(lim 000 存在，那么就说)(z f =ω在0z 可导。这个极限值称为)(z f =ω在0z 的导数，记作 z z f z z f dz d z f z z z ?-?+==→?=)()(lim )(000 0'0ω 注意：1）定义中的)0(00→?→?+z z z z 即的方向是任意的； 2）如果)(z f =ω在区域D 内处处可导，就说)(z f =ω在D 内可导。 例1，求2)(z z f =的导数 解 因为=?-?+→?z z f z z f z )()(lim 0z z z z z z z z z 2)2(lim )(lim 02 20=?+=?-?+→?→? 所以 z z f 2)('= 思考题，问yi x z f 2)(+=是否可导？ （2）可导与连续 1）连续不一定可导。（解答上述思考题可得这一结论） 2）可导一定连续。 (完整版)复变函数知识点总结复变函数知识点总结 1. 复数与复变函数 - 复数是实数和虚数的组合，可表示为a + bi的形式，其中a和b分别是实部和虚部。 - 复变函数是以复数为自变量和因变量的函数，例如f(z)。 2. 复变函数的运算规则 - 复变函数的加法和减法：对应实部和虚部进行分别运算。 - 复变函数的乘法：使用分配律进行计算。 - 复变函数的除法：使用共轭形式并应用分配律和除法规则。 3. 复变函数的解析表示 - 复变函数可以用级数形式表示，即幂级数或洛朗级数。 - 幂级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n)，其中c_n是幂级数的系数，z_0是展开点。 - 洛朗级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n) + ∑(d_n * (z - z_0)^(-n))。 4. 复变函数的性质 - 全纯性：如果一个函数在某个区域内都是解析的，则称其为全纯函数。 - 解析性：如果一个函数在某一点附近有解析表示，则称其为解析函数。 - 保角性：保持角度的变化，即函数对角度的保持。 - 映射性：函数之间的对应关系，实现从一个集合到另一个集合的映射。 5. 复变函数的应用 - 物理学：用于描述电磁场、电路等问题。 - 工程学：用于信号处理、图像处理等领域。 - 统计学：用于数据分析、模型拟合等方面。 6. 复变函数的计算方法 - 积分计算：使用路径积分或者柯西公式进行计算。 - 极限计算：使用洛朗级数展开或级数加和求解极限。 - 零点计算：使用代数方法或数值解法求解函数的零点。 以上是复变函数的知识点总结，希望对您有所帮助！ 复变函数知识点总结pdf 复变函数知识点总结pdf是一份非常重要的文献，它涵盖了许多 数学领域的知识点。本文为大家详细说明了复变函数的一些重要知识点。 1.复变函数的基础知识 在复变函数的学习中，首先要掌握的是复数和复平面的知识。在 笛卡尔平面中，复数可以表示为(x, y)，而在复平面中，复数可表示 为z=x+yi，其中i为虚数单位，满足i²=-1。 2.复变函数的解析性 复变函数一般表示为f(z)=u(x, y)+iv(x, y)，其中u和v是实 函数。在复平面中，如果一个函数在某一点处可导，则称该函数在该 点处解析。如果一函数在某一点处不可导，则称其不解析。解析性是 使用复变函数求解各种问题的基础，令它的应用广泛。 3.单值函数和多值函数 在实数域中，正弦函数和余弦函数在一个周期内是单值函数。然 而在复变函数中，正弦函数和余弦函数在复平面中是多值函数。为了 解决这一问题，引入了复平面上的分支点、导入复平面上的割缝等进 行处理。 4.共形映射 共形映射是指一个复变函数在整个复平面上都是单射的，它将直 线保持为直线，并保持所谓的角的大小不变。由于它具有这些性质， 所以它常常被应用于储存在一种几何意义下的问题的解法中。 5.复积分 复变函数中的复积分与实变函数中的有许多相似之处，但它们之 间还是存在很多不同。例如，由于复变函数是二维的，因此涉及到复 平面环境，所以复盘積分必须遵循平凡的或把握组成元素的库题结构。 总的来说，复变函数的知识点繁多，需要日积月累的学习和积累， 随着时间的推移，掌握复变函数的技能和知识将越来越重要。以上就 是本文章对于“复变函数知识点总结pdf”的总结，希望能够帮到大家。 复变函数公式及常用方法总结 复变函数公式及常用方法总结 扩展阅读：复变函数总结完整版 第一章复数 1i2=-1i1欧拉公式z=x+iy 实部Rez虚部Imz 2运算①z1z2Rez1Rez2Imz1Imz2 ②z1z2Rez1z2Imz1z2Rez1Rez2Imz1Imz2 z1z2③ x1iy1x2iy2x1x2ix1y2ix2y1y1y2x1x2y1y2ix1y2x2y1 ④z1z1z2x1iy1x2iy2x1x2y1y2y1x2x1y2i2222z2z2z2x2iy2x2iy2x2y2x2y2⑤zxi y共轭复数 zzxiyxiyx2y2共轭技巧 运算律P1页 3代数，几何表示 zxiyz与平面点x,y一一对应，与向量一一对应 辐角当z≠0时，向量z和x轴正向之间的夹角θ，记作 θ=Argz=02kk=±1±2±3… 把位于-π＜0≤π的0叫做Argz辐角主值记作0=argz0 4如何寻找argz 例：z=1-iz=i 42z=1+i 4z=-1π 5极坐标：xrcos，yrsinzxiyrcosisin i利用欧拉公式ecosisin可得到zre iz1z2r1ei1r2ei2r1r2ei1ei2r1r2ei12 6高次幂及n次方 znzzzzrneinrncosnisinn 凡是满足方程z的ω值称为z的n次方根，记作 nnz zrei2kn即rn 2knr2kn 1n第二章解析函数 1极限2函数极限 ①复变函数 对于任一ZD都有W与其对应fz注：与实际情况相比，定义域，值域变化例fzz ②limfzzz0称fz当zz0时以A为极限 zz0☆当fz0时，连续例1 证明fzz在每一点都连续 证：fzfz0zz0zz00zz0所以fzz在每一点都连续 3导数 fz0limzz0fzfz0dfzzz0zzz0"例2fzC时有C证：对z有limz0fzzfzCClim0所以C"0z0zz例3证明fzz不可导解：令zz0 fzfz0zz0zz0xiyzz0zz0zz0xiy当0时，不存在，所以不可导。 定理：fzux,yivx,y在zxiy处可导u，v在x,y处可微，且满足C-R 第一章 复数 1 2i =—1 1-= i 欧拉公式 z=x+iy 实部Re z 虚部 Im z 2运算 ① 2121Re Re z z z z =⇔≡ 21Im Im z z = ②()()()()()2121212121Im Im Re Re Im Re z z z z z z z z z z ++±=±+±=± ③ ()()()() 1221212121122121221121y x y x i y y x x y y y ix y ix x x iy x iy x z z ++-=-++=++=⋅ ④ ()()()()2 2 2 221212222212122222211222 121y x y x x y i y x y y x x iy x iy x iy x iy x z z z z z z +-+++=-+-+== ⑤iy x z -= 共轭复数 ()() 22y x iy x iy x z z +=-+=⋅ 共轭技巧 运算律 P1页 3代数，几何表示 iy x z += z 与平面点()y x ,一一对应，与向量一一对应 辐角 当z ≠0时，向量z 和x 轴正向之间的夹角θ，记作θ=Arg z=πθk 20+ k=±1±2±3… 把位于-π＜0θ≤π的0θ叫做Arg z 辐角主值 记作0θ=0arg z 4如何寻找arg z 例:z=1-i 4 π - z=i 2π z=1+i 4 π z=-1 π 5 极坐标： θcos r x =， θsin r y = ()θθsin cos i r iy x z +=+= 利用欧拉公式 θθθsin cos i e i += 可得到 θi re z = ()21212121212121θθθθθθ+=⋅=⋅=⋅i i i i i e r r e e r r e r e r z z 复变函数论框图 课程的重点与难点 课程的重点是 （1）解析函数，柯西积分定理和积分公式 （2）级数，泰勒展开和罗朗展开式，解析函数的唯一性定理（3）残数定理及应用 （4）线性变换，保形映射 课程的难点 （1）多值函数, （2）保形映射. CH1 复数与复变函数 内容：复数及其运算、几何表示，复平面上的点集、区域、曲线、集与集之间的距离，区域的连通性，复变函数，极限，连续，复球面与无穷远点。 要求：重点是复数的运算以及用复数方程表示曲线，用不等式表示区域。 建议：对复数理论已有所掌握，这里不求完整，只对它作简要复习。 CH2解析函数 内容：复变函数导数和微分的定义，解析函数的概念和奇点的定义，柯西-黎曼条件，函数可微与解析的充要条件，初等函数：幂函数，根式函数，指数函数，三角函数，反三角函数以及一般幂函数与一般指数函数。 要求：重点是解析函数概念，柯西-黎曼条件，基本初等函数的解析性，难点是初等多值函数，有关支点，支割线等概念，一般只要求理解。 建议：重点是柯西——黎曼定理和基本初等函数的定义和性质。 CH3复积分 内容：复积分的概念及其简单性质，柯西积分定理及其推广（单连通，复连通），原函数概念，柯西积分公式及其推论，解析函数的无穷可微性，一些重要定理，刘维尔定理，莫勒拉定理，调和函数概念，解析函数与调和函数的关系。 要求：柯西定理，柯西积分公式及高阶导数公式的用法。 建议：本章包含复变解析函数的最精彩的部分。Cauchy定理与Cauchy公式是本章的重点与难点，也是本课的重要理论基础。 CH4泰勒级数CH5洛朗级数 CH4解析函数的幂级数表示法 内容：复级数的基本性质，幂级数：Abel定理，和函数的解析性，Taylor展开式，解析函数的级数展开（重点是一些初等函数的泰勒展式），解析函数零点的孤立性，解析函数的唯一性定理，最大模原理。 要求：重点是函数展开成泰勒级数。 建议：要求熟练地把一些比较简单的初等函数展开成泰勒级数。 CH5解析函数的罗朗展式与孤立奇点 内容：解析函数的罗朗展式，罗朗级数与泰勒级数之间的关系，解析函数的孤立奇点：可去奇点、极点、本性奇点，席瓦尔兹引理，毕卡定理，三类孤立奇点的判别，解析函数在无穷远点邻域的性质，整函数与亚纯函数概念、简单性质。 要求：重点是解析函数的罗朗展式。 复变函数小结 复变函数小结 复变函数小结 关于前两章复数和解析函数部分这里不再总结。复数一块掌握复数表示的三种形式和相关运算。解析函数一块关键是要掌握C-R方程和解析及可导的判断，掌握指数函数、对数函数、幂函数的计算及性质。复变函数积分1参数方程。 2柯西积分定理(条件：f(z)在单连通区域内解析)。 推论1:积分与路径无关。(可使用原函数的方法)推论2:闭合曲线上的积分为0。. 3复合闭路定理(条件:在多连通内及边界上解析)4高阶导数公式(条件:在单(多)连通内及边界上解析) 说明了解析函数区域内部的点处的值可以由边界处的值决定；解析函数具有任意阶导数，各阶导函数仍解析。 级数 1复数数列收敛的充要条件:实部、虚部数列均收敛。 2复数项级数收敛的充要条件:实部、虚部实数项级数均收敛。3绝对收敛与条件收敛。判断绝对收敛的步骤: 实部虚部分离。直接取模。 判断收敛的一般方法：收敛的必要条件、比较判别法、比值判别法或根值判别法。一般是先判断是否为绝对收敛，再判断是否条件收敛(注意莱布尼兹判别法的使用)。4幂级数敛散性判断及收敛半径的求法：阿贝尔定理(不缺项)、比值判别法(缺项)5泰勒级数(记住常用的泰勒级数:exp(x),Ln(x),1/(1- x),sin(x),cos(x)…)6洛朗级数 洛朗级数存在条件：f(z)在圆环域内r重点记忆： 傅利叶变换及其逆变换的定义。 单位脉冲函数的筛选性质(一般形式)。单位阶跃函数u(t)的傅氏变换。正余弦函数的傅氏变换。 e的傅氏变换。 傅氏变换的线性性质(注意tf(t)的傅氏变换为-F’(s)/i)、位移性质(两个公式)、微分性质、积分性质。 卷积的定义、计算公式、卷积定理(两个公式)注：计算卷积要注意成立区间的讨论。拉普拉斯变换重点记忆： 拉普拉斯变换及其逆变换的定义。单位脉冲函数的筛选性质(一般形式)。幂函数tm的拉氏变换。 单位阶跃函数u(t)的拉氏变换。 指数函数e的拉式变换。正余弦函数的拉氏变换。拉氏变换的线性性质、位移性质(两个公式，其中一个个公式也叫延迟性质)、微分性质(注意tf(t)的拉普拉斯变换为-F’(s))、积分性质(注意f(t)/t的拉式变换)。卷积的定义、计算公式、卷积定理。 掌握用反演积分公式计算f(t)。 注：求解拉式逆变换的三种方法：直接法、卷积、留数。掌握用拉式变换法求解微分方程。 ktiwt 扩展阅读：《复变函数》总结 复变小结 1.幅角（不赞成死记，学会分析） yarctg,x0x,x0,y0argz2yarctg,x0,y0x,x0,y0yargtg.2x2-∏b.对于P12例题1.11可理解为高中所学的平面上三点（A,B,C）共线所满足的公式:(向量)OC=tOA+（1-t）OB=OB+tBA 第二章 1.1 2-1．解析的概念，特别是一点解析的概念（49）。 2-2. 奇点的概念（50）（对于初等函数而言，就是没有定义的点）。 2-3. 复变函数的导数与一元函数的导数的类比。 2-4. 充要条件：（定理2.5（56）） 2-4-1. ,,,x y x y u u v v 连续（初等函数：没有定义的点，一般二元函数用分析法（很 少出现）） 2-4-2. C R -方程：,x y x y u v v u ==- 2-4-3. 求导数的两种方法：1. ,,,x y x y u u v v ；2. 一元函数方法。 常用的一点可微的充分条件：推论2.3 2-5. 两种典型题： 2-5-1. 判断可微性与解析性（例2.7-2.9） 2-5-2. 证常数（91页题6） 2-5-3. 同样的讨论步骤： 1. 分出,u v 2. 求,,,x y x y u u v v 3. 讨论 3-1,,,x y x y u u v v 的连续性（初等函数：没有定义的点，一般二元函数用分析法（很少出现）） 3-2是否满足C R -方程：,x y x y u v v u ==- 4. 获得结论。 扫一下题9 11,,x y x y u v v u u v v u r r r r q q 抖抖==-?=-抖抖（cos ,sin x r y r q q ==） 1. 11,,x y x y u v v u u v v u r r r r q q 抖抖==-?=-抖抖 2(,0),x u r u x u y u u x y r x x r r r q q q 抖抖抖=+=->抖抖抖 ,y u r u y u x u u r y y r r r q q q 抖抖抖= +=+抖抖抖 2,x v r v x v y v v r x x r r r q q q 抖抖抖=+=-抖抖抖 y v r v y v x v v r y y r r r q q q 抖抖抖=+=+?抖抖抖 22(1)x y x u y u y v x v u v r r r r r r q q 抖抖=?=+抖抖 22()(2)y x y u x u x v y v u v r r r r r r q q 抖抖=-?=--抖抖 11(1)(2),(1)(2)u v v u x y y x r r r r q q 抖抖?崔=?崔=-抖抖 2． 11,,x y x y u v v u u v v u r r r r q q 抖抖==-?=-抖抖 1.2 初等单值函数 2-6. 指数函数（59），由于性质（1）（59），（继承性）我们称复指数函数是实指数函数的推广（延拓），同理复三角函数和复双曲函数也有此性质。2-7. 三角函数。2-8，双曲函数 2-9. 结论是：初等函数大多能由指数函数构造出来 习题：91页10题（1）（3），11题（2），13题，14题（1）（3），16题（1）（3），17题（2），18题（1）（3） 1.3 初等多值函数 2-9. 单叶映射（单射）。注意：区域到区域的（非）单叶满映射是一 一映射，因此其逆映射为（非）单值的。 2-10 根式函数：66页，图2.3， 对函数(arg ,arg )n z w z w q j ===来说，其单叶性区域 00::T G n n p p j p q p -< 《复变函数论》课程教学大纲 课程编号：03110094 课程性质：专业必修课 先修课程：数学分析总学时数：72 学分：4 适合专业：数学与应用数学 （一）课程教学目标 《复变函数论》是数学与应用数学专业的一门重要基础课，又是《数学分析》的后继化、完备化课程。它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一。通过本课程的教学，使学生对复变函数的一些基本概念、基本理论、基本方法有较深刻的认识和理解并掌握，培养学生应用这些概念与方法解决实际问题的基本技能，加深对《数学分析》中基础理论的理解；认识到高等数学对初等数学的指导作用；认识到一些不同数学分支之间的内在联系与相互影响，并对现代数学不同学科间的内在联系与相互渗透有一个初步的了解；进一步锻炼学习者的能力，培养和提高分析问题和解决问题的能力；为学习有关专业和扩大数学知识面提供必要的数学基础。 （二）课程的目的与任务 复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识；使学生逐步提高数学修养，掌握数学研究的基本思想方法，最终使学生的数学思维能力得到根本的提高；同时极大的扩展学生的学习思路，使他们了解更多的应用知识，特别是和现代生活息息相关的数学应用知识。复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而提高做好中学数学教育工作的能力。 （三）理论教学的基本要求 《复变函数论》研究的主要对象是解析函数，通过本课程的学习，要求学生了解复函数的概念、性质和解析函数的特性；理解解析函数的基本概念和基本理论（积分理论、级数理论、几何理论）；掌握用复变函数论的基本方法解决问题的方法（复数的计算、判断复函数的可微性及解析性、复积分的计算、复函数的 §1.2 复平面上的点集 我们在上节中提到过的复平面上的线段、直线和圆周等都是复平面上的点集.今后,我们的研究对象-解析函数,其定义域和值域都是复平面上的某个点集. 1. 平面点集的几个基本概念 定义 1.1 由不等式ρ<-0z z 所确定的平面点集(以后平面点集均简称点集),就是以o z 为心,以ρ为半径的圆,称为点o z 的ρ-邻域,常记为()0z N ρ. 定义1.2 考虑点集E .假设平面上一点0z (不必属于E)的任意邻域都有E 的无穷多个点,则称0z 为E 的聚点或极限点;假设0z 属于E,但非E 的聚点,则称0z 为E 的孤立点;假设0z 不属于E,又非E 的聚点,则称0z 为E 的外点. 定义 假设点集E 的每个聚点皆属于E,则称E 为闭集;假设点集E 的点0z 有一邻域全含于E 内,则称0z 为E 的内点;假设点集E 的点皆为内点,则称E 为开集;假设在点0z 的任意邻域内,同时有属于点集E 和不属于E 的点,则称0z 为E 的边界点;点集E 的全部边界点组成的点集称为E 的边界. 点集E 的边界常记成E ∂. 点集E 的孤立点必是E 的边界点. 定义1.4 假设有正数M ,对于点集E 内的点z 皆合M z ≤,即假设E 全含于一圆之内,则称E 为有界集,否则称E 为无界集. 2. 区域与约当(Jordan)曲线 复变函数论的基础几何概念之一是区域的概念. 定义 1.5 具备以下性质的非空点集D 称为区域: (1) D 为开集. (2) D 中任意两点可用全在D 中的折 线连接(图1.12). 定义1.6 区域D 加上它的边界C 称为闭域,记为 .C D D += 注意 区域都是开的,不包含它的边界点. 例 试证:点集E 的边界E ∂是闭集. 证 设z 为E ∂的聚点.取z 的任意ε邻域()z N ε,则存在()z z ≠0使得 ()z N ε∍0z ∈E ∂.在()z N ε内能画出以0z 为心,充分小半径的圆.这时由0z ∈E ∂可见,在此圆内属于E 的点和不属于E 的点都存在.于是,在()z N ε内属于E 的点和不属于E 的点都存在.故z ∈E ∂.因此E ∂是闭集. 应用关于复数z 的不等式来表示z 平面上的区域,有时是很方便的. 例 z 平面上以原点为心,R 为半径的圆(即圆形区域): ,R z < 以及z 平面上以原点为心,R 为半径的闭圆(即圆形闭域): ,R z ≤ 它们都以圆周R z =为边界,且都是有界的. 例 z 平面上以实轴0Im =z 为边界的两个无界区域是 上半平面0Im >z , 及 下半平面0Im 第二章 复变函数 第一节 解析函数的概念及C.-R.方程 1、导数、解析函数 定义2.1：设()w f z =是在区域D 内确定的单值函数，并且0z D ∈。如果极限 00,0 ()() lim z z z D f z f z z z →∈-- 存在，为复数a ，则称)(z f 在0z 处可导或可微，极限a 称为)(z f 在0z 处的导数，记作0'()f z ，或 z z dw dz =。 定义2.2：如果()f z 在0z 及0z 的某个邻域内处处可导，则称()f z 在0z 处解析；如果()f z 在区域D 内处处解析，则我们称()f z 在D 内解析，也称()f z 是D 的解析函数。解析函数的导（函）数一般记为'()f z 或 d ()d f z z 。 注解1、εδ-语言，如果任给0ε>，可以找到一个与ε有关的正数 ()0δδε=>，使得当z E ∈，并且0||z z δ-<时， 00 ()() | |f z f z a z z ε --<-，则称)(z f 在0z 处可导。 注解2、解析性与连续性：在一个点的可导的函数必然是这个点的连续函数；反之不一定成立； 注解3、解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念； 注解4、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此 在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。 解析函数的四则运算： ()f z 和() g z 在区域D 内解析，那么()()f z g z ±，()()f z g z ， ()/()f z g z （分母不为零）也在区域D 内解析，并且有下面的导数的 四则运算法则： (()())''()'()[()()]''()()()'() f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z ±=±=+ 2 ()'()()()'() ()[()] 'f z f z g z f z g z g z g z -⎡⎤= ⎣⎦。 复合求导法则：设()f z ζ=在z 平面上的区域D 内解析，()w F ζ=在 ζ平面上的区域1D 内解析，而且当z D ∈时，1()f z D ζ=∈，那么复 合函数[()]w F f z =在D 内解析，并且有 d [()] d ()d ()d d d F f z F f z z z ζζ = 求导的例子： （1）、如果()f z a ≡（常数），那么d ()0d f z z =； （2）、 d 1d z z =， 1 d d n n z nz z -=； （3）、z 的任何多项式 01()...n n P z a a z a z =+++ 在整个复平面解析，并且有 1 12'()2...n n P z a a z na z -=+++ 第二章 解析函数 （一） 1.证明:0>∃δ,使{}0001/),(t t t t δδ+-∈∀,有)()(01t z t z ≠,即C 在)(0t z 的对应去心邻域内无重点,即能够联结割线)()(10t z t z ,是否就存在数列{}01t t n →,使 )()(01t z t z n =,于是有 0) ()(lim )(0 10100 1=--='→t t t z t z t z n n t t n 此与假设矛盾. 01001),(t t t t t >⇒+∈δ 因为 [])()(arg ) ()(arg 010 101t z t z t t t z t z -=-- 所以 []]) ()(lim arg[)()(arg lim )()(arg lim 0 101010101010 10 1t t t z t z t t t z t z t z t z t t t t t t --=--=-→→→ 因此,割线确实有其极限位置,即曲线C 在点)(0t z 的切线存在,其倾角为 )(arg 0t z '. 2.证明:因)(),(z g z f 在0z 点解析,则)(),(00z g z f ''均存在. 所以 )()()()() ()(lim )()()()(lim )() (lim 000 0000 0000z g z f z z z g z g z z z f z f z g z g z f z f z g z f z z z z z z ''= ----=--=→→→ 3.证明:()()() ()()3322 ,0,0,,0,00x y x y u x y x y x y ≠⎧-⎪ =+⎨⎪=⎩ ()()() ()() 3322 ,0,0,,0,00x y x y v x y x y x y ≠⎧+⎪ =+⎨⎪=⎩ 于是()()()00,00,00,0lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===,从而在原点()f z 满足C R -条 第一章 复数与复变函数的学习要点 复变函数论是分析学的一个分支，称为复分析．复变函数论中所涉及的函数是自变量与因变量均取复数的函数，称为复变函数．复变函数论主要研究的对象，是在某种意义下可导（或可微）的复变函数，这种函数通常称为解析函数． 为了建立研究解析函数的理论基础，我们首先要对复数域和复变函数有一个清晰的认识．本章主要介绍复数的基本概念、复数的基本运算（即四则运算，乘方与开方运算，共轭运算）、复数的三角表示与指数表示（统称极坐标表示）、平面拓扑（即平面点集）的一般概念及其复数表示、复变函数的极限与连续．另外，为了研究的需要，在本章我们还将引入复球面与无穷远点． 学习要点及基本要求 1．熟悉复数的三种常用的表示（代数、几何和极坐标表示），理解复数的模和幅角的含义，并知道复数0为什么不定义幅角． 2．熟练掌握复数的基本运算（四则运算、乘方和开方、复数的共扼），并理解它们的几何意 义．掌握复数相等的两种规定：设111i z re θ=，222i z r e θ=，则 1212Re Re z z z z =⇔=且12Im Im z z =； 1212z z r r =⇔=且122()k k θθπ=+∈（或12z z =且12Arg Arg z z =） ． 3．掌握并理解有关复数的如下等式和不等式，并能利用它们解决一些简单的几何问题（例如12 arg z z 表示向量2z 到向量1z 的夹角等）． 121212z z z z z z -≤±≤+，Re ,Im Re Im z z z z z ≤≤+； 1Re ()2z z z =+，1Im ()2z z z i =-，2z z z =⋅； 1212Arg Arg Arg z z z z ⋅=+，1122 Arg Arg Arg z z z z =-（其中12,0z z ≠）；复变函数习题答案第2章习题详解
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复变函数论5
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复变函数1.2-复平面上的点集
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复变函数论第二章习题全解
复变函数的学习要点