复变函数 小结

《复变函数》 小结

第一章

一、

复数基本概念及其运算

1. 复数：z x yi =+

，i （2）共轭复数：z x i y =-，记作：z 。

性质：z z =； 1212z z z z = ；“ ”可以是：“,,,+-?÷

”

()()22

22Re Im z z z z x y ?=+=+；

Re 2z z x z +==，Im 2

z z

y z -== （3）复数的模、主辐角a r g

(,]z ππ∈-、辐角

z =

()

()()arctan 0,arctan 0,0arg arctan 0,020,0

20,0

y x x y y x x y z y x x y x y x y ππ

ππ?>??

+<≥??

=-<??-=

rg arg 2A z z k π=+

2. 复数的表示

代数表示：复数z x i y =+11-←?→向量(,)x y 11

-←?→点z ； 三角表示： cos sin z r i r θθ=+(cos sin )r i θθ=+

指数表示：(cos sin )z r i θθ=+i r e θ

=.

注：r 是z 的模，θ是z 的任意一个辐角。 3. 复数的运算

四则运算：设有111z x iy =+，222z x i y =+两个复数：

121212()z z x x i y y ±=±+±； 1212121221()()z z x x y y i x y x y ?=-++； 1

2

z z z =

； 乘幂与方根（利用指数表示、三角表示）

设有复数i z r e θ

=，则()n

i n

n in z re r e

θθ

==

;

21k i n n n k w r e

θπ??

+ ???

= （0,1,21k n =- ）

Note ：① 1212||||z z z z ?=?；1212Arg()Arg Arg z z z z ?=+；

②

1122||

||z z z z =；1122Arg Arg Arg z z z z ??=- ???

；

三、复变函数及其运算 1. 复变函数：()w f z =。

几何意义：把z 平面上的一个点集???→映射

w 平面的一个点集。 与实变函数的关系：设z x i y =+，w u i v =+，则()w f z =可以写成：

()w u iv f x i y =+=+ (,)(,)u x y i v x y =+

第二章

一、复变函数的导数与微分 1. 定义：()w f z =，0()f z '=0lim

z w z ?→??000()()lim

z f z z f z z ?→+?-=?； 或记作0

z z dw

dz =. 2．求导法则：四则运算、 复合函数求导、反函数求导与一元函数相同； 3. 微分：d ()d w f z z '=； 二、解析函数※

1.定义：如果函数()f z 在0z 点以及0z 点的邻域内处处可导，则称()f z 在0z 点解析；

2.判别解析函数的方法 （1）定义：()f z '=0lim

z w z ?→??0()()

lim

z f z z f z z

?→+?-=? （2）Cauchy-Riemann 方程：

函数()(,)(,)w f z u x y i v x y ==+在点z x i y =+处可导 ?

(,)u x y ，(,)v x y 在点(,)x y 处可微，且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann )方程：

u v x y ??=??，u v

y

x ??=-??

注：

（3）解析函数的性质：

①在区域 D 内(),()f z g z 解析，则()0

()

()(),()(),()g z f z f z g z f z g z g z ≠±?在区域 D 内也

解析；

②复合函数[()]w f g ξ= 在 D 内解析；

③()w f z =的反函数()z w ?=在值域内解析，且()

1

()()z w w f z ??='='。

3. 解析函数的构造

问题：已知实部函数(,)u x y ，求虚部(,)v x y (或者已知虚部 v ，求实部 u )，

使得()(,)(,)f z u x y i v x y =+解析，且满足指定的条件。 方法1：偏积分

x y v u =-

(,)v x y =d ()y u x y ?-+?

由(,)y v x y =x u ，()y ??

方法2：第二类曲线积分

①x y dv v dx v dy =+：,x y y x v u v u =-=

②由(,)dv v x y ????→曲线积分

全微分

00(,)(,)

(,)d d x y y x x y v x y u x u y =-+?

00

(,)d (,)d x y y x u x y x u x y y c =-++??

其中，0C C =或12C C +； 二、

初等函数

1. 指数函数：(cos sin )z

x iy

x w e e

e y i y +===+

注：整个复平面解析；()z

z

e e

'=

2. 对数函数：Ln ln||arg 2w z z i z i k π==++

主值lnz

注：各分支在除去原点及负实轴的复平面内连续、解析；

d ln d z z =1

z

3. 幂函数：规定Ln z

w z e

αα==

注：z α+

=，处处解析；z α-

=，（除原点）处处解析

α=有理数+无理数，除去原点及负实轴的复平面内解析、多值；

4. 三角函数：cos 2iz

iz

z e e

-=+；sin 2i z i z z e e i -=-

注：整个复平面解析；导数公式与实变一样；

第三章

一、复变函数的积分的基本概念、性质 1.定义

()d C

f z z ?

=0

1

lim ()n

k k k f z λζ→=?∑

注：

()d C

f z z ?

表示沿闭曲线C 的正方向（逆时针）积分；

2.复积分的性质

[()()]d ()d ()d C

C

C

f z

g z z f z z g z z αβαβ+=+??

?；

()d ()d C

C f z z f z z -

=-?

?

；

1

2

()d ()d ()d C

C C f z z f z z f z z =+?

??；

二、复积分的计算

1. ()f z 在D 内不一定解析：设曲线:()()()C z z t x t i y t ==+，:t a b →，则

[]()d [()]d ()[()]()d b b

C

a

a

f z z f z t z t f z t z t t '=?

?? ，其中，()()()z t x t i y t '''=+

注：重要的结论：

()

21

d 01n

C

πi n z

n z z =?=?≠-?

? ，（曲线C 包含0z ）；

2. ()f z 在单连通域D 内解析： （1）C 为D 内的任意一条简单闭曲线，则()d 0.C

f z z =?

（2）C 为D 内的任意一条简单曲线，则

10

10()d ()()()z

z C

f z z G z G z G z ==-?

（3）()f z 在单连通域D 内解析，D 内闭曲线C 包含0z ，则

00()d ()2C f z z f z πi z z =?-? ， ()

01

0()2d ()()!

n n C f z πi z f z z z n +=-? 3. ()f z 在多连通域D 内解析：

1

2

()d ()d ()d ()d .n

C

C C C f z z f z z f z z f z z =+++?

???

注：,i C C 为逆时针方向；

第四章 一、复数项级数 （其余的概念及性质类似） 1.复数列：{}1,2,n n α= ，其中n n n a ib α=+；

Note ：{}n α收敛?0n n a →∞

???→，0n n b →∞

???→

2.

n

n α

+∞

=∑敛散性的判别：（1）实部

1

n

n a

+∞

=∑、虚部

1n

n b

+∞

=∑都收敛；

（2）lim 0n n α→+∞

≠，则

n

n α

+∞

=∑发散；

（3）若

1n

n α

+∞

=∑收敛，则称

1n

n α

+∞

=∑绝对收敛。（模）

（4）若

1

n

n α

+∞

=∑发散，

1

n

n α

+∞

=∑收敛，则称

1

n

n α

+∞

=∑条件收敛。

二、复变函数项级数 （其余的概念及性质类似） 1.收敛域：标准型

0n n n c z +∞

=∑收敛圆半径：1||

lim

||

n n n c R c →+∞+=

一般型

()

n

t z z n

n c z z +∞

=-=-???→∑0

n n n c z +∞

=∑

2.和函数：借助基本展式

1

1n

n z

z

+∞

==

-∑，通过变形（求导、积分、拆项）求和。 三、将函数展成泰勒、洛朗级数

（1）根据奇点的个数，将复平面分为几个解析环； （2）根据所借助解析环的范围，将函数变形

1

1z

-（拆项、逐项求导、逐项求积），借助230

1

11n n z z z z z +∞

===+++-∑

第五章 留数

一、孤立奇点

1

01000

()()()m m m c c f z c c z z z z z z --=+

++

+-+-- 本性奇点

可去奇点

阶极点

可去奇点：0

0lim ()z z f z c →=；

m 阶极点：0

lim ()z z f z →=∞； note ：该条件只能判断是极点；

0lim ()()m

m z z f z z z c -→-=（有限值），则0z 为()f z 的m 阶极点

本性奇点：0

lim ()z z f z →不存在，且不为∞；

二、留数

1. 留数：设0z 为函数()f z 的孤立奇点，将()f z 在0z 的去心邻域内展成洛朗级数：

0()()n n n f z c z z +∞

=-∞

=-∑1

0100

()c c c z z z z -=+

++-+- 称1c - ()f z 在0z 的留数。记作：01Res[(),]f z z c -=1()d 2C

f z z πi

=?

，

其中，C 是0z 的去心邻域内绕0z 的一条简单闭曲线。 注：

1()d 2C

f z z πi c -=??

2. 留数的计算方法

（1）若0z 为()f z 的可去奇点，则10C -=；

（2）若0z 为()f z 的1阶极点，0

00Res[(),]lim()()z z f z z z z f z →=-

若0z 为()f z 的m 阶极点，则

()()011011lim ()1!m m

m z z d c z z f z m dz ---→??=-??-

1c -()

1

1

1

()

()d d 22n C

C

g z f z z z πi

πi

z z +=

=

-?

? ；

（第三章） （3）由洛朗展式取1c -。（本性奇点）

我们在计算的时候要灵活选择方法，不要拘泥于一种方法。

三、留数在实定积分计算中的应用 1. 形如

20

(cos ,sin )d R π

θθθ?

的积分

方法：（1）令i z e θ

=cos sin i θθ=+，则

d d i z i

e θθ=d i z θ=?d d z

i z

θ=

cos 2i i e e θθθ-+=12z z -+=212z z +=，21

sin 2z i z

θ-= []0,2:1i z e

C z θ

θπ=∈???→=

（2）原式=221111

,22z z z R dz z

i z i z =??+- ???? ||1()d z f z z ==? 2Res[(),].k k πi f z z =∑

2. 形如

()d R x x +∞

-∞

?

，()d (0)iax R x e x a +∞

-∞

>?的积分

说明：（1）()

()()

P x R x Q x =

，(),()P x Q x 为多项式； （2）分母()Q x 的次数比分子()P x 的次数至少高二次（高一次）； （3）分母()Q x 无实根。 方法：

()d R x x +∞

-∞

?

()2Res[(),]k C

k

R z dz πi R z z ==∑?

注：C ：包含()R z 所有上半复平面内的奇点的闭曲线，k z 是()R z 在上半平面内的孤立奇点。 方法：

()d iax R x e x +∞

-∞

?

2Res[(),].iaz k k

πi R z e z A i B ==+∑

其中，k z 是()R z 在上半平面内的孤立奇点。 Note ：()d iax R x e x +∞

-∞

=

?

()cos d R x ax x +∞

-∞

?

+()sin d .R x ax x A iB +∞

-∞

=+?

第七章 Fourier 变换

1.定义： Fourier 正变换：()()e d i t F ωf t t ω+∞

--∞

=

=?

F [()]f t

Fourier 逆变换：1()()e d 2i t

f t F πωωω+∞-∞

=

=? F

1

-[()]F ω

2.性质：

① F 12[()()]af t bf t +12()()aF bF ωω=+ ⑤ F

1

()d ()t

f t t F i ωω

-∞

??=?????

② F 0[()]f t t -0

()i t e

F ωω-= ⑥ F [()]2()F t f πω=-

③ F [()]()f t i F ωω'= ⑦ F 1[()]f at F a a

ω??=- ???

④ F []()tf t ()iF ω'= 3. δ函数

()()d (0)t f t t f δ+∞

-∞

=?

； ()()t t δδ=-；()()d (0)t f t t f δ+∞

-∞

''=-?；

F

[]()1t δ=； F []12

()πδω=； F 002(

)i t

e ωπδωω??=-??； F 002()i t

e ωπδωω-??=+??； F []1

()()u t i πδωω

=

+；

第八章Laplace 变换

1.定义：Laplace 变换：0

()()e d s t F s f t t +∞

-==?

L [()]f t

2.性质：

① L 12[()()]af t bf t +12()()aF s bF s =+ ⑤ L

01

()d ()t

f t t F s s ??=???

?

?

② L [()()]f t u t ττ--()s e F s τ-= ⑥ L ()()s

f t F s ds t +∞

??

=????

?

③ L [()]()(0)f t sF s f '=- ⑦ L 1[()]s f at F a a ??= ???

④ L []()tf t ()F s '=- 3. 常用的Laplace 变换

L []1()u t s

=

； L []()1t δ=； L 1kt

e s k ??=??-； L 1

!m

m m t s +??=??； L []22sin k kt s k =+； L []22

cos s kt s k =+