概率统计第八章假设检验参考答案

概率论与数理统计作业

班级 姓名 学号 任课教师

第八章 假设检验

教学要求：

一、理解假设检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误；

二、了解一个正态总体均值与方差的假设检验，了解两个正态总体均值差与方差比的假设检验；

三、了解总体分布假设的2χ检验法，会应用该方法进行分布拟合优度检验（选学）．

重点：假设检验的基本思想、假设检验的基本步骤、单个正态总体均值和方差的假设检验． 难点：正态总体均值和方差的假设检验．

一、基本计算题

1．某灯泡厂生产一种节能灯泡，其使用寿命（单位：小时）长期以来服从正态分布

）（2150,1600N ．现从一批灯泡中随意抽取25只，测得它们的平均寿命为1636小时．假定

灯泡寿命的标准差稳定不变，问这批灯泡的平均寿命是否等于1600小时（取显著性水平

05.0=α）？

解：(1) 依题意，检验假设1600:00==μμH ，（1600:01=≠μμH ）; (2) 由于标准差σ已知，在0H 成立时，采用U 检验法.选择统计量：

n

X U σ

μ0

-=

～()1,0N

(3) 对于给定的显著性水平05.0=α，当25=n 时，查正态分布表得临界点

96.1025.02

==z z α

（4）由25=n ，，1636=x ，150=σ，计算统计值：

2.125

150

1600

16360

=-=

-=

n

x u σ

μ

(5) 由于96.12.1025.02

==<=z z u α落在拒绝域

??

???

?

????≥-==20

ασμz n x u W

之外，所以在显著性水平05.0=α下，接受1600:0=μH .即认为这批灯泡的平均寿命等于1600.

2．正常人的脉搏平均为72（次/min ），检查10例四乙基铅中毒患者，测的他们的脉搏（次/min ）为: 54 67 68 78 70 66 67 70 65 69

已知脉搏服从正态分布，在显著性水平05.0=α下，问四乙基铅中毒患者与正常人的脉搏有无显著差异？

解：(1) 依题意，检验假设72:00==μμH ，（72:01=≠μμH ）; (2) 由于标准差σ未知，在0H 成立时，采用T 检验法.选择统计量：

n

S X T 0

μ-=

～()1-n t (3) 对于给定的显著性水平05.0=α，当10=n 时，查t 分布表得临界点 ：

()2622.2)9(1025.02

==-t n t α,

(4) 由10=n ，，4.67=x ，9292.5=s 计算统计值：

4534.210

9292.572

4.670=-=-=

n s x t μ (5) 由于>=4534.2t ()2622.2)9(1025.02

==-t n t α，t 落在拒绝域 ：

)}1(/{2

-≥-=

=n t n

s x t W αμ

之内，故拒绝72:00==μμH ，即四乙基铅中毒患者与正常人的脉搏有显著差异．

3．某食品厂生产一种食品罐头，每罐食品的标准重量为500克．今从刚生产的一批罐头中随机抽取10罐，称得其重量为（单位：克）

495 510 505 498 503 492 502 512 497 506

假定罐头重量服从正态分布，问这批罐头的平均重量是否合乎标准（取05.0=α）？

解：(1) 依题意，检验假设500:00==μμH ，（500:01=≠μμH ）; (2) 由于标准差σ未知，在0H 成立时，T 检验法.选择统计量：

n

S X T 0

μ-=

～()1-n t (3) 对于给定的显著性水平05.0=α，当10=n 时，查t 分布表得临界点 ：

()2622.2)9(1025.02

==-t n t α,

(4) 由10=n ，，502101101

==∑=i i

x x ，∑==--=1012

225.6)(1101i i x x s ，计算统计值： 9730.010

5.6500

5020=-=-=

n s x t μ (5) 由于<=9730.0t ()2622.2)9(1025.02

==-t n t α，t 落在拒绝域 ：

)}1(/{2

-≥-=

=n t n

s x t W αμ

之外，故接受500:00==μμH ，即认为这批罐头的平均重量合乎标准．

4．在10块田地上同时试种,A B 两种谷物，根据亩产量（单位：kg ）算得30.97A x =，

79.21=B y ，26.7A

s =，21.1B s =．

问这两种谷物的平均亩产量有无显著差异（05.0=α）？ 假定两种谷物的亩产量都服从正态分布，且方差相等．

解：（1）设A X ～()2

1

1

,σμN ,B

Y

～()22

2

,σμN

,依题意，检验假设210

:μμ=H

，

（211:μμ≠

H ）;

（2）由于2221,σσ未知但2

221σσ=，在0H 成立时，选择统计量：

2

11

1n n S Y X T w

+-=

～()221-+n n t

其中 ()()2

11212

2212-+-+-=

n n S n S n S B

A w

；

(3) 对于给定的显著性水平05.0=α，当1021==n n 时，查t 分布表得临界点

()1009.2)18(2025.0212

==-+t n n t α,

（4）由1021==n n , 97.30=x ，7.26=A s ，79.21=B y ，1.21=B s 计算统计值：

8465.010

11010635

.2479.2197.30112

1=+-=

+-=

n n s y x t w

B A

其中 ()()05.5792

11212

2212=-+-+-=

n n s n s n s B

A w

，0635.24=w s ；

（5）由于<=8465.0t ()1009.2)18(2025.0212

==-+t n n t α,t 没有落在接受域中，故应接受210:μμ=H ,即这两种谷物的平均亩产没有明显差异．

5．按两种不同配方生产橡胶，测的伸长率（%）如下:

配方Ⅰ： 540 533 525 520 544 531 536 529 534

配方Ⅱ： 565 577 580 575 556 542 560 532 570 561 设橡胶伸长率服从正态分布，检验按两种配方生产的橡胶伸长率的方差是否相同（取

05.0=α）？

解：(1) 设Y X ,分别表示配方Ⅰ、配方Ⅱ的总体，则X ～()2

1

1

,σμN

,Y ～

()

2

2

2,σμN . 依题意，检验假设2

2210:σσ=H ，2

2211:σσ≠H ；

（2）在0H 成立时，选择统计量：

22

2

122

2

12

22

1S S S S F ==

σσ～()1,121--n n F （3）对于给定的显著性水平05.0=α，当10,921==n n 时，查F 分布的双侧临界值: ()()10.49,82,1025.0212

==--F n n F α,

()()()

2294.036

.41

8,919,81,1025.0975.0212

1≈=

==---

F F n n F

α (4) 由于

4444.5329191==∑=i i x x ，()

778.531912

9121=--=∑=i i x x s ，8.561101101

∑-==i i y y ，

()

8444.238110110

1

2

22

∑==--=i i y y s ；得统计值：

2271.08444

.2367778.532221≈==s s F

（5） 由于()2294

.09,82271.0975.0=<≈F F .则F 落在拒绝域中，故应拒绝2

2

210:σσ=H （或接受22211:σσ≠H ）。即两种配方生产的橡胶伸长率的方差不相同． 6．某盐业公司用机器包装食盐，按规定每袋标准重量为1公斤，标准差不得超过0.02公斤．某日开工后，为了检查机器工作是否正常，从装好的食盐中抽取9袋，称得其重量（单位：公斤）为

0.994 1.014 1.020 0.950 1.030 0.968 0.976 1.048 0.982 假定食盐的袋装重量服从正态分布，问当日机器工作是否正常（取05.0=α）？

解：由题意知需要对这天包装的每袋食盐净重的期望和方差分别作假设检验。 亦即分别检验假设1:0=μH 及22

102.0:≤σ

H .

设一袋食盐的净重为X ，则),(~2σμN X .

⑴ 检验假设1:0=μH ，由于2

σ未知，采用t 检验法.

由样本值计算得998.0=x ，2

2

32.0=s . 对于自由度为81=-n ，

025.02

=α

， 查

t 分布表得临界点 306.2)19(025.0=-t .计算统计值得：

)8(306.21875.09

/32.01998.0/025.0t n

s x t =<=-=

-=

μ

由于()2030681875.0025.0=<=t t ，故应接受假设1:0=μH . ⑵ 检验假设22

102.0:≤σ

H ，采用2χ检验法

对于自由度为81=-n ，025.0=α，查2χ分布表得临界点5.15)8(2

05.0=χ.

)8(5.1548.2002

.032.0)19()1(205.02

22

2

2

χσχ=>=?-=-=

s n 所以2

χ落在拒绝域之内，故拒绝假设22

102.0:≤σ

H .

综合⑴和⑵可以认为，这天包装机工作不正常．

7. 甲乙两个铸造厂生产同一种铸件，铸件的重量都服从正态分布．分别从两厂的产品

中抽取7件和6件样品，称得重量（单位：kg ）如下:

甲厂： 93.3 92.1 94.7 90.1 95.6 90.0 94.7 乙厂： 95.0 94.9 96.2 95.1 95.8 96.3

在显著性水平05.0=α下，问甲厂铸件重量的均值是否比乙厂的小？ 而甲厂铸件重量的方差是否比乙厂的大？

解： 71=n ，62=n ，

025.02

=α

由观察值计算得 9286.921=x ，2662.21=s ,55.952=x ，6285.02=s . ⑴ 检验假设0:210<-μμH ，0:211≥-μμH 对于自由度为11221=-+n n ，

025.02

=α

,查t 分布表得临界点

2010.2)267(025.0=-+t ;

7265.12

676285

.052662.262

)1()1(212

2

2211=-+?+?=

-+-+-=

n n s n s n s w

2010.27291.26

1717265.155.959586.921102

121-<-=+?

-=

+--=

n n s x x t w

由于t 没有落在拒绝域中，故应接受0:210<-μμH , 即甲厂铸件重量的均值比乙厂铸件重量的均值小．

⑵ 假设检验210:σσ>H ，211:σσ≤H 对于自由度为611=-n ，512=-n ，025.02

=α

，975.02

1=-

α

，查F 分布表得

临界点 98.6)5,6(025.0=F ，99

.51

)6,5(1)5,6(025.0975.0=

=

F F , )5,6(0013.136285.02662.2025.02

2

2221F s s F >≈==

所以F 落在拒绝域之外，故接受原假设210:σσ>H .即甲厂铸件重量的方差比乙厂铸件重量的方差大．

二、客观题

(一)填空题

1．12,,,n X X X 是来自正态总体),(2σμN 的简单随机样本，其中2,μσ未知，记

2

211

1,()n n

i i i i X X X X n σ====-∑∑，则检验假设01:0,:0H H μμ=≠的t 检验统计量为

Q

n n X T )

1(-=

．

2．设总体~(,)X B n p ，设假设检验0:H 010,:p p H p p =≠的拒绝域为

)}({}{2121C C C X C X W <≥≤= ,则犯第一类错误的概率为

i m n

C i i

i n i

n C i i i

n

p p C p p C -=-=-+-=∑∑)1()

1(0001

2

1

α，犯第二类错误的概率为 i n C C i i i

n p p C

--+=-=

∑)1(11

1

1211β；

3．设总体2

~(,)X N μσ，μ为已知常数，(12,,,n X X X )是来自X 的样本，则假

设检验2222

0010

:,:H H σσσσ=≠的统计量是)(~)(22

1

2

2

n X

n

i i

n χσ

μχ∑=-=；当0H 成立

时，服从 2

χ的自由度为n 分布． （二）选择题

1．对正态总体期望进行假设检验，如果在显著水平α＝0.05下，接受假设0:H μ＝μ0，则在显著水平α＝0.01下，下列结论中正确的是（ A ）．

（A ）必接受0H ； (B) 可能接受，也可能拒绝0H ； (C) 必拒绝0H ； (D) 不接受，也不拒绝0H ．

2．总体2

~(,)X N μσ，μ为已知常数，2

0σ>为未知参数，（12,,,n X X X ）是来

自X 的简单随机样本，则假设检验2222

0010:,:H H σσσσ=>的拒绝域为（ D ）. （A

）10{(,,)}n W x x z α=> ；

（B ）2

21

12

0()

{(,,):

(1)}n

i

i n x x W x x n αχσ=-=≥-∑ ；

（C ）2

21

12

()

{(,,):

()}n

i

i n x x W x x n αχσ=-=≥∑ ；

（D ）2

21

12

()

{(,,):

()}n

i

i n x W x x n αμχσ=-=≥∑ ．

3．设某种药品中有效成分的含量服从正态分布2(,)N μσ，原工艺生产的产品中有效成分的平均含量为α，现用新工艺试制了一批产品，测其有效成分的含量，以检验新工艺是否真的提高了有效成分的含量．要求当新工艺没有提高有效成分的含量时，误认为新工艺提高了有效成分的含量的概率不超过%5，那么应取原假设0H 及检验水平α是（ C ）.

（A ） 0:,0.01H μαα≤=； （B ） 0:,0.05H μαα≥=； (C) 0:,0.05H μαα≤=； （D ） 0:,0.01H μαα≥=．

4．设总体~(,)X B N p ,则假设检验6.0:,6.0:10>=p H p H 的拒绝域W 的形式为（ B ）．

（A ）}{}{21C X C X W ≥≤= ； (B) }{2C X W >=； (C) }{1C X W <=； (D) }{21C X C W <<=． 5. 在假设检验中，设1H 为备择假设，犯第一类错误的情况是（ B ） （A ）1H 为真，接受1H ； （B ）1H 不真，接受1H ； （C ）1H 为真，拒绝1H ； （D ）1H 不真，拒绝1H .